综合模拟卷（5） 广东省”3+证书“高考《数学考纲百套卷》第95卷

编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第95卷，是综合模拟卷。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第95卷 综合模拟卷（5） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，且为第二象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．复数的虚部为（    ） . A．1 B．2 C． D． 5．函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 6．设向量，，若，则等于（   ） A． B．0 C．3 D．3或 7．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．某校开设类选修课2门，类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A．3种 B．6种 C．9种 D．18种 9．倾斜角为且在轴上的截距为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 10．一个公司共有名210员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本.已知某部门有70名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ） A．9 B．6 C．10 D．8 11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的值是（    ） A． B．5 C．4 D． 12．我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养．若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 13．已知数列的第项是，第项是，通项公式，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 14．设函数，若是奇函数，则的值是（   ） A．1 B．3 C． D． 15．下列函数在定义域内单调递减的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16． ． 17．我国古代数学著作《张邱建算经》曾记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）”.若该女子第1天织布2尺，前20天共织布60尺，则第20天织布 尺. 18．已知向量、满足，，则 ． 19．已知直线与圆交于两点，若线段的中点坐标为，则 . 20．已知为锐角，，，则的值为 ． 三、解答题（本大题共4小题，共50分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 21．（本小题12分） 如图所示，在平面四边形中，.    (1)求的余弦值； (2)若，求线段的长. 22．（本小题12分） 已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 23．（本小题12分） 某城市拟在小公园的空地上用篱笆围一个花圃，每条线段都用篱笆.如图所示，其中四边形是矩形，三角形是等边三角形.已知现有篱笆总长度为. (1)建立花圃面积为与的函数关系式； (2)当为何值时，矩形花圃面积最大. 24．（本小题14分） 如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线AB的斜率； (3)求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第95卷，是综合模拟卷。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第95卷 综合模拟卷（5） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集的定义和一元二次不等式基本解法，求解即可. 【详解】由，解得， 所以，又， 所以. 故选：D. 2．若，且为第二象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系求解. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以. 故选：B. 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为零及对数的真数大于零列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为， 故选：. 4．复数的虚部为（    ） . A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先化简复数，再根据复数的定义确定虚部. 【详解】因为， 所以此复数的虚部为1. 故选：A. 5．函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的周期公式求解. 【详解】函数中， 则最小正周期是. 故选：C. 6．设向量，，若，则等于（   ） A． B．0 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，解得. 故选：D. 7．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】由可推出，故充分性成立； 当时，不一定成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：. 8．某校开设类选修课2门，类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A．3种 B．6种 C．9种 D．18种 【答案】C 【分析】根据题意分类讨论选门类选修课，门类选修课和选门类选修课，门类选修课的情况即可得解. 【详解】开设类选修课2门，类选修课3门，一位同学从中选3门， 选门类选修课，门类选修课的选法有种， 选门类选修课，门类选修课的选法有种， 则共有种选法， 故选：. 9．倾斜角为且在轴上的截距为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线的斜率，进而求解直线方程即可. 【详解】倾斜角为，所以. 又因为在轴上的截距为，所以直线方程为. 故选：B. 10．一个公司共有名210员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本.已知某部门有70名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ） A．9 B．6 C．10 D．8 【答案】C 【分析】利用分层抽样原理可求. 【详解】因为公司共有名210员工，某部门有70名员工，样本容量为30， 该部门在总体中的比例为， 所以在容量为30的样本中，该部门抽取的员工人数为； 故选：C. 11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的值是（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义求出的值． 【详解】抛物线的准线方程为， ∵点在抛物线上，∴，解得， 根据抛物线的定义，等于点M到准线的距离，即． 故选：B． 12．我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养．若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由组合数得出5种种子中随机选取2种的基本事件的总数，再得出水稻种子被选中的基本事件的个数，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种， 共有个基本事件， 其中包含水稻种子的基本事件有个， 所以水稻种子被选中的概率为， 故选：D. 13．已知数列的第项是，第项是，通项公式，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合递推公式即可得解. 【详解】由题意知：，， 令可得， 当可得， 当可得， 所以该数列的第项为. 故选：. 14．设函数，若是奇函数，则的值是（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数有列方程求解即可. 【详解】由已知得， 因为函数是奇函数，则， 所以有，解得. 故选：C. 15．下列函数在定义域内单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由常见函数的单调性进行判断即可. 【详解】对于A，为二次函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，为一次函数，在定义域上单调递增，故B错误； 对于C，为指数函数，在定义域上单调递减，故C正确； 对于D，为正弦函数，在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16． ． 【答案】4 【分析】利用指数幂与对数的运算法则即可得解. 【详解】原式. 故答案为：4. 17．我国古代数学著作《张邱建算经》曾记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）”.若该女子第1天织布2尺，前20天共织布60尺，则第20天织布 尺. 【答案】 【分析】根据题意结合等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】由题意可知该女子每天织布的数量成等差数列，设该等差数列为， 则，， 所以，解得， 所以第20天织布的数量为尺， 故答案为：. 18．已知向量、满足，，则 ． 【答案】10 【分析】根据向量内积的运算律，求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 19．已知直线与圆交于两点，若线段的中点坐标为，则 . 【答案】 【分析】由圆的弦长公式结合两点间距离公式计算即可. 【详解】圆，圆心为，半径， 圆心到线段的中点的距离 ， 所以. 故答案为：. 20．已知为锐角，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系和商数关系，先求得的值，结合两角差的正切公式，即可求解. 【详解】∵α为锐角，， ∴， 又， ∴． 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，共50分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 21．（本小题12分） 如图所示，在平面四边形中，.    (1)求的余弦值； (2)若，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由正弦定理求出，再由同角三角函数的平方关系求. （2）先由三角函数的诱导公式求出，再由余弦定理求线段的长. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 可得， 由，，可得为锐角， 所以. 所以的余弦值为. （2）因为，所以， 所以 在中，由余弦定理可得，， 即，所以. 22．（本小题12分） 已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的项求解首项与公差，进而得到通项公式即可； （2）根据数列的通项公式得到数列为等比数列，进而求解前n项和即可； 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可知，，则， 因为，且， 所以数列是以9为首项，9为公比的等比数列； 所以. 23．（本小题12分） 某城市拟在小公园的空地上用篱笆围一个花圃，每条线段都用篱笆.如图所示，其中四边形是矩形，三角形是等边三角形.已知现有篱笆总长度为. (1)建立花圃面积为与的函数关系式； (2)当为何值时，矩形花圃面积最大. 【答案】(1)， (2)当时，矩形花圃面积最大，最大面积为8平方米 【分析】（1）根据篱笆的总长度得到，再根据矩形面积公式，建立函数关系. （2）根据二次函数的性质，求解. 【详解】（1）因为四边形是矩形，所以，， 又因为三角形是等边三角形，所以， 篱笆的总长度为16m，则， 即，故， 所以矩形的面积， 又，得，则，所以的取值范围为. （2）花圃面积， 即时，， 所以当时，矩形花圃面积最大，最大面积为8平方米. 24．（本小题14分） 如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线AB的斜率； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由双曲线的渐近线和焦距即可得到双曲线的标准方程； （2）利用点差法解决中点弦问题，即可得到直线AB的斜率； （3）先根据（2）得到直线AB的方程，联立双曲线和直线AB的方程求出弦长AB，再求出点C到直线AB的距离，进而求出的面积. 【详解】（1）∵ ∴， 又∵渐近线方程为， ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. （2）设，， 则， 由得，③ ∵是AB的中点， ∴，， ∴③式即， ∴， ∴. （3）由（2）可得直线AB的方程为，即 由消去y，整理得， ∴，， ∴. 又∵点到直线AB：的距离， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $