综合模拟卷（4） 广东省”3+证书“高考《数学考纲百套卷》第94卷

编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第94卷，是综合模拟卷。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第94卷 综合模拟卷（4） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设集合，集合，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 2. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 5．设函数，则（    ） A．2 B．3 C． D． 6．现有三张卡片，上面分别写有数字2，3，6，从中任取两张排成一个两位数排成偶数的概率是：（    ） A． B． C． D． 7．设i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列 满足 ，则 （    ） A．1 B． C． D． 9．从某社区随机抽取8位老人测量血压．测得他们的舒张压（单位：）分别为：73，80，88，73，99，102，89，76．则这8位老人舒压的平均数是（    ） A．83 B．84 C．85 D．86 10．过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 11．在中，已知，，，则x的值为（    ） A．1或 B．或3 C．或 D．1或3 12．若，且，则等于（    ） A． B． C． D． 13．已知圆的圆心为,且过点,则圆的方程为（      ） A． B． C． D． 14．若指数函数（且）的图像经过点，则=（    ） A．4 B．16 C．20 D．24 15．已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16．计算 . 17．某校电子商务班有男生人，女生人，若要选男､女生各1人作为学生代表参加学校的拔河比赛，共有 种不同的选法. 18．已知向量，若，则 ． 19．已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，则 ． 20．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为 . 三、解答题（本大题共4小题，共50分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 21．（本小题12分） 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)设，，求的值． 22．（本小题12分） 在等差数列中，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，则是数列的第几项？ 23．（本小题12分） 如图所示，用的材料制作一个矩形窗框（材料恰好用完，且接头忽略不计），已知矩形窗框一边长为，另一边长为.    (1)当时，求的值； (2)求关于的解析式； (3)当为何值时，窗框所围面积最大？最大面积是多少？ 24．（本小题14分） 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与左支相交于、两点. (1)若，，求双曲线的方程： (2)若直线的斜率为，且，求双曲线的离心率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第94卷，是综合模拟卷。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第94卷 综合模拟卷（4） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设集合，集合，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合之间的包含关系及交集，并集的定义逐项判断即可得解. 【详解】集合，集合， 因为，所以集合不存在包含关系，故错误； ，故错误，正确， ，故错误， 故选：. 2. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的分母不为零，偶次方根被开方数为非负数列式即可求解. 【详解】要使函数有意义，则需使，解得且， 所以函数定义域为. 故选：A. 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可. 【详解】因为的解为且，所以可以推出，故充分性成立， 又因为当时，x还有能为，所以还有可能推出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 4．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的周期公式求解. 【详解】函数的最小正周期. 故选：D. 5．设函数，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】代入求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 6．现有三张卡片，上面分别写有数字2，3，6，从中任取两张排成一个两位数排成偶数的概率是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出所有两位数的情况，利用古典概型求概率即可. 【详解】数字2，3，6，从中任取两张排成一个两位数共有，六个， 其中偶数为四个， 则排成偶数的概率是； 故选：C. 7．设i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法运算即可得解. 【详解】. 故选：B. 8．已知数列 满足 ，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合数列的递推公式，即可代入求解. 【详解】因为数列 满足， 所以. 故选：B. 9．从某社区随机抽取8位老人测量血压．测得他们的舒张压（单位：）分别为：73，80，88，73，99，102，89，76．则这8位老人舒压的平均数是（    ） A．83 B．84 C．85 D．86 【答案】C 【分析】根据平均数的概念求解. 【详解】依题意，73，80，88，73，99，102，89，76的平均数为， . 故选：C. 10．过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由倾斜角求斜率，然后用点斜式求出直线方程，最后化成一般式即可. 【详解】已知倾斜角为，则斜率， 将点和代入点斜式， 可得即， 所以直线方程为. 故选：A. 11．在中，已知，，，则x的值为（    ） A．1或 B．或3 C．或 D．1或3 【答案】D 【分析】利用向量的加法求，再由得，列式可求得. 【详解】由题意得， 因为， 所以，即， 解得或. 故选：D. 12．若，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式即可求解. 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：D 13．已知圆的圆心为,且过点,则圆的方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的标准方程即可得解. 【详解】因为圆的圆心为,且过点. 所以圆的半径为. 所以圆的方程为. 故选:. 14．若指数函数（且）的图像经过点，则=（    ） A．4 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】根据指数函数经过点，求出的值，再将和代入即可. 【详解】因为指数函数（且）的图像经过点， 所以， 所以. 故选：C. 15．已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，讨论变量的取值范围即可． 【详解】因为偶函数在区间上单调递减，且， 则在单调递增，且，函数图像大致如图所示； 由得或，可解得， 所以不等式的解集为.    故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16．计算 . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则即可得解. 【详解】. 故答案为：. 17．某校电子商务班有男生人，女生人，若要选男､女生各1人作为学生代表参加学校的拔河比赛，共有 种不同的选法. 【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】要选男、女各1人作为学生代表参加学校的拔河比赛，可以分为两个步骤： 第一步：选1名男生，共有名男生故共有种不同选法； 第二步：选1名女生，共有名女生故共有种不同选法； 当选定1名男生时，女生就有种选择， 故有种不同的选法. 故答案为：. 18．已知向量，若，则 ． 【答案】 【分析】由两向量平行列出方程即可得解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 故答案为：. 19．已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，则 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，再根据焦半径公式求出a的值，将点代入抛物线方程即可求解. 【详解】依题意，显然，将抛物线化为标准方程为， 所以该抛物线的准线方程为， 因为抛物线上一点到其焦点的距离为2， 所以，解得，所以抛物线方程为， 又因为点在抛物线上，所以，解得. 故答案为：. 20．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为 . 【答案】 【分析】根据题意建立等比数列模型，再由等比数列的前项和公式，和通项公式求值即可. 【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列， 设塔顶灯盏数为，则有，解得， 从塔底数第二层灯的盏数为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，共50分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 21．（本小题12分） 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据余弦定理将展开得到，再利用余弦定理得出，即可得解. （）代入余弦定理即可得解. 【详解】（1）由余弦定理可知，， 则， 因为，即， 又，所以， 又因为，所以. （2）因为，，， 由余弦定理可知，， 所以（舍）或， 故. 22．（本小题12分） 在等差数列中，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，则是数列的第几项？ 【答案】(1) (2)第项 【分析】（1）由等差数列的定义，结合题意列出方程组，求出，再求出通项公式即可； （2）由（1）知数列的通项公式，求出，进而求出等比数列的公比，再求出，结合的通项公式求出即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， ∴. （2），． ∵数列是等比数列，∴，即，解得， ∴是数列的第项. 23．（本小题12分） 如图所示，用的材料制作一个矩形窗框（材料恰好用完，且接头忽略不计），已知矩形窗框一边长为，另一边长为.    (1)当时，求的值； (2)求关于的解析式； (3)当为何值时，窗框所围面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)，. (3)当时，面积最大为. 【分析】（）根据题意结合矩形的周长求出值. （）根据题意列出函数解析式即可得解. （）根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意可知，当时，. （2）由题意可知，， 所以，. （3），， 因为函数，图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 所以当时，面积最大为. 24．（本小题14分） 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与左支相交于、两点. (1)若，，求双曲线的方程： (2)若直线的斜率为，且，求双曲线的离心率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的定义结合已知条件可求出的值，再由焦点得出的值，可求出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设，可得，在、中分别利用余弦定理，化简后可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率的值. 【详解】（1）由题意，双曲线的左、右焦点分别为， 、为该双曲线左支上任意一点，则有， 若， 则有， 因为，则，由可知，则， 所以，双曲线C的方程为 （2）由题意，因为直线的斜率为， 则，，设，由可得； 在中，由余弦定理可得 ① 在中，由余弦定理可得 ② 由①②整理可得， 代入②式可得，所以， 因此，双曲线C的离心率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $