专题06 分式（期末复习知识清单，8知识12题型6易错3方法）八年级数学上学期新教材人教版

专题06 分式（8知识&12题型&6易错&3方法清单） 【清单01】分式的定义 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.分式A叫做分子，B叫做分母. 【名师解读】分式的三个特征：①形如_____的形式；②A、B都是_____；③分母中必须含有_____，而对分子不作要求，即分子可含字母，也可以不含字母. 【清单02】分式有意义、无意义即分式值为0的条件 分式 条件 示例 总结 分式有意义 分母_____零，即_____ 分式有意义的条件是_____，x的取值范围为_____ 1）分式有无意义，取决于分母，与分子无关； 2）分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0.而是表示分母的整式的值不能为0，二者不能混淆. 分式无意义 分母_____零，即_____ 分式值为0 分子_____零且分母__________零，即_____且_____ 使值为0的条件为_____ 1）要使分式的值为0，必须同时满足两个条件： ①分母不为0；②分子为0，两者缺一不可； 2）分式值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3） 【清单03】分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子和分母__________一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 2. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何__________，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 3.分式的约分：根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 4.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 5.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 【注意事项】 1)分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. 2)确定公分母的方法: ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取，相同因式的次数取最高次幂. 3）化异分母分式为同分母分式时，要保证每个分式都和原分式相等. 6.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 【清单04】分式的运算 1.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 2.分式的加减法法则 分母类别 文字表述 数字语言 同分母分式 分母不变，把分子相加减 异分母分式 先通分，变为同分母的分式，再加减 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【补充说明】 1）结果应化为最简分式或整式. 2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 3）分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 【清单05】用科学记数法表示较小的数 把一个数记成的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 当原数的绝对值大于0且小于1时，n的值的两种确定方法: 1）n等于原数中左起第一个不为0数字前面0的个数 (包括小数点前的0). 2）小数点向右移动到第一个不为0的数后，小数点移动几位，n就等于几. 【清单06】分式方程的相关定义 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为零，因此解分式方程要验根，其方法是把根代人最简公分母中看其是不是为零. 【清单07】解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 【清单08】分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型一】分式有/无意义条件 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若分式的值为0，则x的值是 ；若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；当 时，分式无意义． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有意义，求应满足的条件． 【题型二】判断分式变形是否正确 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填 ； ； ． （2）；序号中应分别填 ； ； ． （3）；序号中应分别填 ； ； ． （4）．序号中应分别填 ； ； ． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 【题型三】约分与通分 1．（25-26八年级上·北京延庆·期中）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列分式的约分中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【题型四】分式的乘除运算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·阶段练习）计算： (1) (2)； (3) (4) 【题型五】分式的加减运算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 2．（2021·河南南阳·一模）在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么 ， ． 【题型六】分式的混合运算 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）化简：． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（25-26八年级上·山东·课后作业）化简： (1) (2)化简：． 【题型七】用科学记数法表示较小的数 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（    ） A．5 B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 【题型八】解分式方程 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）解方程： 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解分式方程： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）解方程 (1)； (2)． 【题型九】列分式方程 1．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【题型十】分式方程与实际问题 1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 4．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的倍，整个生产任务共用天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件? 【题型十一】与分式有关的新定义问题 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 2．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）在实数范围内定义运算“※”：，若，求． 3．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式，当其分子次数高于或等于分母次数时，我们称之为“假分式”；当其分子次数低于分母次数时，我们称之为“真分式”．如为假分式，，为真分式．假分式可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）或整式，如 ． 解决下列问题： (1)下列分式中属于“假分式”的是 ．（填序号） ； ； ； ． (2)将假分式化为带分式的形式． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【题型十二】比较分式的大小 1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． (1)若，试判断： （填“”“”或“”）． (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【题型一】分式的判断 1．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有 ．（只填序号） 【题型二】分式值为0的条件 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若分式的值为零，则x的值为 ． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【题型三】最简分式与最简公分母 1．（2025八年级上·全国·专题练习）判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【题型四】分式的乘方 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型五】整式与分式的运算 1．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级下·江苏扬州·期中）计算 （1） （2） （3） 【题型六】分式方程的判断 1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式方程的是 ．（请填写序号） 【题型一】分式的化简求值 解题思路：分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 1．（25-26八年级上·北京·期中）先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 2．（25-26九年级上·广东梅州·期中）先化简，再求值：，其中m满足． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）先化简，再求值：，其中． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）先化简，后求值：，其中． 【题型二】根据分式方程的解的情况求字母参数 解题思路： 1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2）分式方程无解，说明： ①原方程去分母后的整式方程无解； ②原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解. 3）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的分母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 1．（24-25八年级下·山东青岛·月考）若关于的分式方程有解，则的取值范围是 ． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若关于的方程无解，则的取值为 ． 3．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【题型三】根据分式方程的特殊解确定字母参数的方法 已知分式方程的解的情况确定字母参数，需先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表示未知数，再根据解的情况确定字母参数的取值情况.同时要注意原分式方程的最简公分母不为零. 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·全国·月考）已知关于x的分式方程，若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 4．（25-26八年级上·河北·期中）已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式（8知识&12题型&6易错&3方法清单） 【清单01】分式的定义 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.分式A叫做分子，B叫做分母. 【名师解读】分式的三个特征：①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母，而对分子不作要求，即分子可含字母，也可以不含字母. 【清单02】分式有意义、无意义即分式值为0的条件 分式 条件 示例 总结 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式有意义的条件是x≠-5，x的取值范围为x≥0 1）分式有无意义，取决于分母，与分子无关； 2）分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0.而是表示分母的整式的值不能为0，二者不能混淆. 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0 使值为0的条件为x=1 1）要使分式的值为0，必须同时满足两个条件： ①分母不为0；②分子为0，两者缺一不可； 2）分式值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3） 【清单03】分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 2. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 3.分式的约分：根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 4.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 5.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 【注意事项】 1)分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. 2)确定公分母的方法: ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取，相同因式的次数取最高次幂. 3）化异分母分式为同分母分式时，要保证每个分式都和原分式相等. 6.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 【清单04】分式的运算 1.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 2.分式的加减法法则 分母类别 文字表述 数字语言 同分母分式 分母不变，把分子相加减 异分母分式 先通分，变为同分母的分式，再加减 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【补充说明】 1）结果应化为最简分式或整式. 2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 3）分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 【清单05】用科学记数法表示较小的数 把一个数记成的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 当原数的绝对值大于0且小于1时，n的值的两种确定方法: 1）n等于原数中左起第一个不为0数字前面0的个数 (包括小数点前的0). 2）小数点向右移动到第一个不为0的数后，小数点移动几位，n就等于几. 【清单06】分式方程的相关定义 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为零，因此解分式方程要验根，其方法是把根代人最简公分母中看其是不是为零. 【清单07】解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 【清单08】分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型一】分式有/无意义条件 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值为、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为时无意义．根据分式的性质，分别代入的值计算分式的值或判断分式是否有意义即可． 【详解】解：∵ 当 时，，∴ A正确，故不符合题意； ∵ 当 时，分母 ，分式无意义，∴ B正确，故不符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ C不正确，故符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若分式的值为0，则x的值是 ；若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；当 时，分式无意义． 【答案】 1 【分析】本题考查分式有无意义，分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0；分式有意义的条件：分母不为0；分式无意义的条件：分母为0，分别求解即可． 【详解】解：若分式的值为0，则， 解得； 若分式有意义，则分母，解得； 若分式无意义，则分母，解得； 故答案为：1，， 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有意义，求应满足的条件． 【答案】且 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂有意义的条件，涉及知识点：零指数幂（底数不为 0）、负整数指数幂（底数不为 0）．解题方法是分别根据零指数幂和负整数指数幂的限制条件列不等式，求解公共解集；解题关键是牢记两种幂的底数不为 0 的要求，易错点是遗漏其中一个条件．解题思路：分别分析零指数幂和负整数指数幂的底数限制，列不等式组求解． 【详解】解：由题意得且，且． 【题型二】判断分式变形是否正确 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 需检查每个选项的变形是否符合此性质． 【详解】A：∵， ∴A错误． B：∵， ∴B正确． C：∵，∴， ∴C错误． D：∵， ∴D错误． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：； 故符合题意的只有选项A； 故选A． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填 ； ； ． （2）；序号中应分别填 ； ； ． （3）；序号中应分别填 ； ； ． （4）．序号中应分别填 ； ； ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （2）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （3）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （4）根据分子从变为可知①②其中一个为，进而根据平方差公式作答即可． 【详解】解：（1） 故答案为：，，； （2） 故答案为：，，； （3） 故答案为：，，； （4） 故答案为：，，． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可； （2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 【题型三】约分与通分 1．（25-26八年级上·北京延庆·期中）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】解：； 故选B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列分式的约分中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式． 分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】解：A、，原选项约分错误，不符合题意； B、，不能约分，不符合题意； C、，约分正确，符合题意； D、，原选项约分错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 【题型四】分式的乘除运算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东烟台·阶段练习）计算： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握算理是解决问题的关键． （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分即可； （3）先进行幂的运算，然后将除法转化为乘法后约分即可； （4）先将分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 【题型五】分式的加减运算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 2．（2021·河南南阳·一模）在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 【答案】D 【解析】根据分式的运算法则求解． 【详解】解：∵ = =， ∴甲乙两人都做错了， 故选：D ． 【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【题型六】分式的混合运算 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）直接约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，然后约分化简； （3）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简； （4）先算乘除，再算加减即可． 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（25-26八年级上·山东·课后作业）化简： (1) (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简即可． （2）先把除法转化为乘法并约分，再通分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型七】用科学记数法表示较小的数 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据1纳米米，将纳米换算成米，并用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1纳米米， ∴纳米米米． 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整数指数幂的运算，用科学记数法表示结果，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学计算法表示即可． （2）先根据幂的乘方、积的乘方运算法则计算，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型八】解分式方程 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘，化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解： 方程两边同时乘，得，， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解， ∴原方程无解． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得； （2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：把代入， 原方程的解是． （2）解：方程两边同时乘以，得 ， 解得 检验：把代入， 原分式方程无解． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）解： 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入． ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键， （1）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可； （2）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可 【详解】（1）解：两边同时乘，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， 原方程的解为． （2）解：两边同时乘得， ， 解得， 经检验是原方程的增根，原方程无解． 【题型九】列分式方程 1．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键． 设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， ∵慢马所需时间为天， ∴慢马速度为； ∵快马所需时间为天， ∴快马速度为； ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选A． 2．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系． 根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流速度，逆流速度，根据题意得， ， 故选：A． 3．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程． 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文， ∴1株椽的价钱为文， ∴， 故选：D． 【题型十】分式方程与实际问题 1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据“工作时间相等”这一等量关系列出分式方程． 设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 4．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的倍，整个生产任务共用天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件? 【答案】甲组每天生产个，乙组每天生产个 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，解题关键是找准等量关系． 设甲组每天能生产个专用控制元件，则乙组每天能生产个专用控制元件，根据题中的等量关系列出分式方程求解，进而求得甲组每天生产个，乙组每天生产个． 【详解】解：设甲组每天能生产个专用控制元件， 则乙组每天能生产个专用控制元件， 可列方程为， 解得：， 经检验是所列分式方程的解， 所以乙组每天分别能生产个专用控制元件， 答：甲组每天生产个，乙组每天生产个． 【题型十一】与分式有关的新定义问题 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 2．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）在实数范围内定义运算“※”：，若，求． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算，先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 3．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式，当其分子次数高于或等于分母次数时，我们称之为“假分式”；当其分子次数低于分母次数时，我们称之为“真分式”．如为假分式，，为真分式．假分式可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）或整式，如 ． 解决下列问题： (1)下列分式中属于“假分式”的是 ．（填序号） ； ； ； ． (2)将假分式化为带分式的形式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据“假分式”定义即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解：由“假分式”定义可知：属于“假分式”， 故选：； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为 ，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 【题型十二】比较分式的大小 1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． (1)若，试判断： （填“”“”或“”）． (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）计算两式之差 ，根据差值的符号进行判断； （2）化简 ，由 可得 ，进而求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 则， ∴， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ， ， ∴， ． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【答案】(1) (2)乙款礼盒的苹果单价更合算，理由见解析 【分析】本题考查了不等式： （1）用“作差法”来比较两个式子的大小即可； （2）分别计算甲和乙的单价再用“作差法”比较即可． 【详解】（1）解： （2）乙款礼盒的苹果单价更合算． 设包装盒的重量为 甲款礼盒的苹果单价：（元/千克） 乙款礼盒的苹果单价：（元/千克） 即： 答：乙款礼盒的苹果单价更合算． 【题型一】分式的判断 1．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母含字母和，是分式． ∴分式有个． 故选B． 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有 ．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）．明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】分式的定义是形如 （、 是整式， 中含有字母且 ）的式子， ① ：分母含有字母，是分式； ② ：分母是常数，不是字母，不是分式； ③ ：是整式的和，不是分式； ④ ：分母 含有字母，是分式； ⑤ ：是单项式，不是分式． 故答案为：①④． 【题型二】分式值为0的条件 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若分式的值为零，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的相关计算，掌握分式有意义且值为零的条件是解题的关键． 分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 由得， 解得或， 又∵，即， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．根据分式的值为0的条件，分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子， 解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式值为零的条件，由分式值为零的条件，得分子为零且分母不为零，即且，解得，再代入所求表达式计算． 【详解】解：由， 得分子，即，解得或， 分母， 所以， 因此， 当时， ， 故答案为：． 【题型三】最简分式与最简公分母 1．（2025八年级上·全国·专题练习）判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 【详解】解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 【答案】(1)是 (2)不是， (3)不是， 【分析】本题考查了最简分式的判断，将分式化为最简分式． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （1）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （2）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （3）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可． 【详解】（1）是最简分式 （2）不是最简分式， （3）不是最简分式， 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)最简公分母为；通分后为，， (2)最简公分母为，通分后为，， 【详解】（1）∵，，的最简公分母是 ∴通分后为，， 故答案为：最简公分母为；通分后为，， （2）∵，， ∴，，，最简公分母为，通分后为，， 【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键 【题型四】分式的乘方 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意； B、，故此选项式子不成立，不符合题意； C、，故此选项式子成立，符合题意； D、，故此选项式子不成立，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘方运算，熟练掌握乘方的运算法则是关键，根据分式乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘方运算，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型五】整式与分式的运算 1．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 2．（20-21八年级下·江苏扬州·期中）计算 （1） （2） （3） 【答案】（1）2；（2）；（3）． 【分析】（1）按同分母分式加法法则计算即可； （2）先通分、再按同分母分式加法法则计算即可； （3）先加括号、然后再通分计算即可． 【详解】解：（1） = = =2； （2） = = = =； （3） = = =． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运用，牢记分式加减运用法则并正确通分成为解答本题的关键． 【题型六】分式方程的判断 1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程是分母中含有未知数的方程这一概念是解题的关键．根据分式方程的定义，判断每个方程是否为分式方程，即方程中是否含有分母且分母里含有未知数． 【详解】解：方程①，分母为，含有未知数，是分式方程； 方程②，分母分别为、、，均不含有未知数，不是分式方程； 方程③，分母为和，含有未知数，是分式方程； 方程④，分母为，含有未知数，是分式方程； 方程⑤，分母为和，是常数，不含有未知数，不是分式方程； 方程⑥，分母为2，不含有未知数，不是分式方程． 故答案为：①③④． 【题型一】分式的化简求值 解题思路：分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 1．（25-26八年级上·北京·期中）先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原分式有意义，则原式． 2．（25-26九年级上·广东梅州·期中）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把除号前面的小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着计算多项式乘以多项式和合并同类项化简，求出x的值，并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式化简求值，算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则，把括号内的分式通分计算，化除法为乘法，然后通过完全平方公式和平方差公式变形，再约分，计算减法即可得到化简结果，接着根据算术平方根和绝对值的非负性，得到a、b的值，再代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ∵，，且， ∴，， ∴， ∴原式． 【题型二】根据分式方程的解的情况求字母参数 解题思路： 1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2）分式方程无解，说明： ①原方程去分母后的整式方程无解； ②原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解. 3）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的分母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 1．（24-25八年级下·山东青岛·月考）若关于的分式方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】此题考查了分式方程的有根，解分式分母不为零，方程第二个分母提取变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，结合有解解不等式即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵方程有解， ∴，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若关于的方程无解，则的取值为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则． 通过去分母解方程，得到解，当解为增根时方程无解，从而求出即可． 【详解】解： 解得， 当时，分母为零，原方程无解， 故， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤得到，当，即时，此时方程无解；当，则原方程有增根，即或，进而可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，此时方程无解； 当时， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴或， ∴或， ∴或， 解得或； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可 【详解】解：原分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即， 综上，m的值是或． 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 【题型三】根据分式方程的特殊解确定字母参数的方法 已知分式方程的解的情况确定字母参数，需先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表示未知数，再根据解的情况确定字母参数的取值情况.同时要注意原分式方程的最简公分母不为零. 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解：先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：即， 去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且，     解得，且． 故答案为：且． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·月考）已知关于x的分式方程，若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，先用m的代数式表示该方程的解，再根据解为非负数列出不等式，还要排除解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 4．（25-26八年级上·河北·期中）已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可； （3）根据方程的根为整数，结合（2）所求可，，即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：a的值为3； （2）解：∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且； （3）解：∵该方程的解为整数，， ∴，， 解得或或或， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $