专项突破09 直线、射线、线段的认识与计算（期末复习-知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精讲练

该初中数学讲义以“知识回顾-题型突破-真题演练”为主线构建直线、射线、线段的复习体系，通过知识点框架图系统梳理概念、表示方法及基本性质，用对比表格清晰呈现三者的区别与联系，突出“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”等核心要点的内在逻辑。 讲义亮点在于分层设计的12个重难点培优题型，如“线段中点的有关计算”通过精讲+变式强化推理意识，“与线段有关的动点问题”结合数轴培养几何直观，“最短路径问题”链接生活情境发展应用意识。39道题包含基础巩固与综合拔高，附详细解题思路，助力学生自主复习，也为教师实施分层教学提供精准素材。

专项突破09 直线、射线、线段的认识与计算 （知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：直线 1 知识点梳理02：线段 2 知识点梳理03：射线 3 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 3 重点难点 培优讲练 4 题型1 直线、线段、射线的数量问题 4 题型2 直线相交的交点个数问题 6 题型3 两点确定一条直线 8 题型4 作线段（尺规作图） 10 题型5 线段的和与差 12 题型6 线段中点的有关计算 15 题型7 线段n等分点的有关计算 19 题型8 线段之间的数量关系 23 题型9 与线段有关的动点问题 25 题型10 两点之间线段最短 27 题型11 两点间的距离 30 题型12 最短路径问题 33 期末真题 实战演练 36 知识点梳理01：直线 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点提示：直线的特征： （1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 知识点梳理02：线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 知识点梳理03：射线 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 图6 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图6所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 要点提示： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图7中射线OA，射线OB是不同的射线． 图7 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图8中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图8 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 题型1 直线、线段、射线的数量问题 【精讲】如图： (1)试验观察：如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画 条直线；图②中最多可以画 条直线；图③中最多可以画 条直线． (2)探索归纳：如果平面上有个点，且任意3个点均不在一条直线上，那么经过两点最多可以画条直线．（用含n的式子表示） ． (3)解决问题：某班54名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握 次手． 【答案】(1)3，6，10 (2) (3)1431 【思路引导】（1）根据图形画出直线即可； （2）根据上面得到的规律用代数式表示即可； （3）将代入公式即可求解． 本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到其中的规律． 【规范解答】（1）解：根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画3条直线；图②中最多可以画6条直线；图③中最多可以画10条直线； 故答案为：3，6，10； （2）解：如果平面上有个点，且任意3个点均不在一条直线上， ∴（条） 那么经过两点最多可以画条直线； 故答案为：； （3）解：某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）． 故答案为：1431. 【变式】（24-25七年级上·北京海淀·期中）、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段的定义，解题的关键是理解题意． （1）根据题中的连线规则解答即可； （2）根据题意分情况讨论：①若连接，②若连接，③若连接，即可求解． 【规范解答】解：（1） 、两点之间已有一条线段，、、之间已有两条线段， 、不可以连接， 可与、各连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 还可以与连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 不能再与其他点连接， 而与已连接， 也不可再连接， 为最后一个点，也没有可连接的点， 共（种）， 故答案为：； （2）①若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接，、可以连接， 可以连接，，共条； ②若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 可以连接，共条； ③若连接，则同①还可以连接、，则、不可连接， 可以连接，，共条； 综上所述，最多可以增加条线段， 故答案为：． 题型2 直线相交的交点个数问题 【精讲】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【规范解答】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 【变式】（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】5050个交点，见解析 【思路引导】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 【规范解答】解：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 题型3 两点确定一条直线 【精讲】（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【答案】（1）4；10；（2）；；（3）①15；②30 【思路引导】本题主要考查了图形规律探究，两点确定一条直线，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律． （1）根据图形进行解答即可； （2）根据已知图形得出一般规律，进行解答即可； （3）①将代入代数式进行求解即可； ②将代入求出结果即可． 【规范解答】解：（1）当点数为5时，过任意一点的直线有4条，共有直线（条）； 故答案这：4；10； （2）当点数为时，过任意一点的直线有条，共有直线（条）； 故答案为：；； （3）①进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行的比赛场数为： （场）； ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出的纪念品件数为： （件）． 【变式】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【思路引导】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【规范解答】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 题型4 作线段（尺规作图） 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，过，两点作直线，并连接． (1)尺规作图： ①延长至，使得点为的中点； ②作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） (2)若，求的长． 小明同学写出解答的部分过程，请你帮忙完成填空． 解：（2）因为点为的中点， 所以___________， 因为， 所以___________， 因为， 所以， 因为， 所以___________， 所以___________． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【思路引导】本题考查的是线段的长度计算问题，尺规作图，对线段进行和、差、倍、分的计算是解决本题的关键． （1）根据截取线段作出图形即可； （2）利用线段的和差关系即可解答． 【规范解答】（1）解：作图如下： （2）解：因为点为的中点， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 故答案为：；；；． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规作线段AB，使（保留作图痕迹，写出作法）． 【答案】见解析 【思路引导】本题需要利用直尺和圆规，通过依次截取线段的方法，作出长度为的线段． 【规范解答】解：如图，线段AB即为所求． 作法：①作射线AE； ②以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AE于点C； ③以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线CE于点D； ④以点D为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线DE于点B，线段AB即为所求． 【考点剖析】本题考查了尺规作图中线段的和的作法，掌握利用圆规依次截取已知长度的线段，从而作出所求长度的线段是解题的关键． 题型5 线段的和与差 【精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 【答案】(1)①16，8；②14； (2)或． 【思路引导】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）①根据线段的和差关系求解即可；②先求得，再由点是的中点，可得，可得，最后由可得结果； （2）根据题意，分两种情况，画出图形，当点在点左侧时；当点在点的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【规范解答】（1）解：①∵，， ∴，， 故答案为：16，8； ②，， ， 点是的中点， ， ， ； （2）分两种情况： 如图所示，当点在点右侧时， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ， ， 如图所示，当点在点左侧时， 由条件可知，， ， 综上所述，的长为或． 【变式】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查绝对值的非负性及线段的和差关系． （）依据绝对值非负性，因，两个非负的绝对值相加为，则各自为，所以，解得； （）结合线段和差关系，由，得到，化简后得； （）分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（）知：， ∴ ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 则， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 题型6 线段中点的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·广东广州·期中）若数轴上两点所表示的数分别为和，则有①两点的中点表示的数为；②两点之间的距离． (1)若直接写出： ． (2)在（1）的条件下，点在数轴上对应的数是，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点，使成立，若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由． (3)若数轴上两点所表示的数分别为和（其中），点以每秒1个单位的速度从原点出发向右运动，同时点从点出发以每秒7个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒10个单位的速度向右运动，、分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否为定值？并说明理由． 【答案】(1)8 (2)存在，或 (3)是定值，2 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，中点坐标公式和两点的距离． （1）根据非负数的性质和两点的距离公式即可得到结论； （2）先根据多项式的定义得出点c，设点P对应的数为y，根据题意列出方程，解绝对值方程即可得到结论； （3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是，根据题意求得P点和Q点对应的数，根据两点的距离可得，，的值，代入可得结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：8； （2）解：∵关于x，y的多项式是三次四项式， ∴， 解得， ∴点C表示的数为， 设点P对应的数为p， 则，，， ∵， ∴， 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴（舍去）． 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴（舍去）． ∴点P对应的数为或． 综上所述，点P对应的数为或； （3）解：在运动过程中，的值不变，理由如下： 设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴P点对应的数是， 又∵Q是的中点， ∴Q点对应的数是， ∴， ∴， ∴在运动过程中，的值不变，定值为2． 【变式】（25-26七年级上·山东济南·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离（当时，；当时，），线段的中点表示的数． 如图，数轴上点A，点B，点C表示的数分别为，2，3，点P，Q，R分别从A，B，C出发沿数轴的正方向移动，其中点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，点R的速度为每秒m个单位长度，线段的中点为D，运动时间为t． (1)当时，______； (2)试用含t的代数式表示点D表示的数； (3)若在运动过程中，点R始终在点D的右边，且R，D两点间的距离保持不变，试求m的值和的长度； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)m的值为3，的长度为5 (4)t的值为或 【思路引导】本题考查了数轴两点间的距离和一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意，将进行代入求解即可； （2）根据中点坐标公式求解即可； （3）先根据题意求出点R表示的数，再求出，再根据R，D两点间的距离保持不变进行求解即可； （4）先求出和，再根据进行分情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，当时，点表示的数：； 点表示的数：； ∴ 故答案为：4； （2）解：由（1）得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴线段的中点表示的数为：； （3）解：由题意得，点R表示的数：； ∴． ∵距离保持不变， ∴t的系数为0， ∴ 解得， 此时； （4）解：由题意得，，， ∵， ∴， 分情况讨论：当时：， 解得； 当时：， 解得； 当时：， 解得，故此情况无解． 综上所述，t的值为或． 题型7 线段n等分点的有关计算 【精讲】（24-25七年级上·全国·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)； (2) ； ； ． 【思路引导】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【规范解答】（1）解：因为，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式】．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)或4或或． 【思路引导】本题主要考查了线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． （1）根据题目中所给的“友好点”的定义，进行求值即可． （2）根据“友好点”的定义可得或可求出的长，再由中点的定义可得的长，再求出的长即可得出结果． （3）由题意可知，A不可能是“友好点”，故此题分两大类情况，P或Q点是“友好点”，再分别当P点是“友好点”时，和Q点是“友好点”时，根据“友好点”的定义列方程求解即可． 【规范解答】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点” 根据“友好点”的定义可得，， ， ， 解得， ． （2）由题意可知，点N是线段的中点， 不是线段的中点， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ． （3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”， 故P或Q点是“三等分点”． ， t秒后，，， 当P点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得， 当Q点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得 综上所述：或4或或． 题型8 线段之间的数量关系 【精讲】如图，已知点O是原点，点A、B、C、E都是数轴上的点，点D在数轴的上方，点B表示的数为1，E表示的数为3，点E是的中点，点A在点B的左侧，且． (1)在数轴上找出点A和点C，画直线，连接；（请保留画图痕迹） (2)BE的长=_______； (3)求出点C，点A所表示的有理数． 【答案】(1)作图见详解 (2)2 (3)点C表示5，点A表示 【思路引导】本题考查了数轴上点的位置与距离关系及线段长度的计算． （1）根据已知条件在数轴上确定点A和点C的位置，并画出直线，连接即可； （2）点E在点B的右侧，即用E表示的数减去B表示的数即可； （3）利用线段中点性质求出的距离，随即求出点C表示的数，再利用线段比例关系求出的距离，随即求得点A表示的数． 【规范解答】（1）解：如图所示为所求： （2）解：由题意知，点B表示的数为1，E表示数为3， ∴， 故答案为：2． （3）解：由（2）知，， ∵E为中点， ∴， ∴， ∵，点A在点B左侧， ∴， ∴点C表示5，点A表示． 【变式】．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为____________；的长度为____________；的长度为____________． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1)6，10，4 (2)或 【思路引导】本题考查了线段的中点，线段的和差，掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）先求出的长，再根据中点定义求出、，最后根据线段的和差关系计算即可； （）分在点的右侧和左侧两种情况进行计算即可； 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴； 故答案为：6，10，4； （2）解：当在点的右侧时，如图， ； 当在点的左侧时，如图， ； ∴的长度为或． 题型9 与线段有关的动点问题 【精讲】（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； (3)线段的长度不会发生改变，的长度为6； 【思路引导】本题考查了非负数的性质，数轴上两点的距离公式，一元一次方程的应用，线段的中点以及和差计算，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据平方和绝对值的非负性，求出、的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，再根据数轴上两点的距离公式列方程求解即可； （3）由线段中点可知，，分两种情况讨论：当点P在A、B两点之间运动时；当点P在点A左侧运动时，利用线段的和差分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵点B在点A的右侧， ∴， 解得：， ∴经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； （3）解：∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴，， 当点P在A、B两点之间运动时，， 即； 当点P在点A左侧运动时，， 即； ∴综上所述，线段的长度不会发生改变，其值为6． 【变式】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，线段中点的计算，与线段有关的动点问题，解题的关键在于理解题意列出方程．设点Q的运动速度是 ，根据题意列出方程求解，即可解题． 【规范解答】解：设点Q的运动速度是 ， 因为当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差， 所以， 整理得， 解得， 故答案为：． 题型10 两点之间线段最短 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句按要求画图． (1)连接，作射线，作直线与射线交于点G． (2)若，点E是射线上的一点，，点F是的中点，则的长为_____． (3)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P．要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)11或5 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图−−应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）根据线段，射线，直线的特征画图即可； （2）分两种情况求解即可； （3）线段与的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【规范解答】（1）如图，线段，射线，直线 （2）如图，当点E在线段的延长线上时， ∵，点F是的中点， ∴． ∵， ∴． 如图，当点E在线段的延长线上时， ∵，点F是的中点， ∴． ∵， ∴． 综上可知，的长为11或5； （3）根据两点之间线段最短可知，线段与的交点即为满足题意的点P的位置，如图， 【变式】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）问题提出： 如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井． （1）问题解决：你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请在图2中标出水井的位置点M，并说明理由． 问题拓展： 如果（1）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建），已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建； （2）水井要修建几米？ （3）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队施工几天才能使工程款正好是35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算） 【答案】（1）能，见解析；（2）水井要修建120米；（3）甲工程队施工40天才能使工程款正好是35万元 【思路引导】本题考查线段的性质，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点之间线段最短，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，得到当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，即可； （2）设乙工程队每天修建x米，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设甲工程队施工m天才能使工程款为35万元，根据题意，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：（1）如图2：连接，当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，根据“两点之间线段最短” （2）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米， 由题意，得：，解得， （米）； 答：水井要修建120米 （3）设甲工程队施工m天才能使工程款为35万元，由（2）知：甲工程队每天修建（米）， 由题意，得：， 解得， 答：甲工程队施工40天才能使工程款正好是35万元． 题型11 两点间的距离 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查线段的定义、线段的中点、线段的和差．根据数形结合思想找寻线段间的数量关系是解答的关键． （1）根据线段的定义即可解答； （2）根据，得到，再利用即可求解； （3）由题意求出的长，再根据线段中点的定义求出，根据即可求解． 【规范解答】（1）解：图中有，共条线段， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵C、D分别为中点， ∴， ∴． 【变式】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第二问注意分类讨论思想，此题难度不大． （1）根据非负性求出的值，即可得出结果； （2）根据题意，求出此时，再利用线段中点的定义结合图形即可求解； （3）分6秒后，在点左边时，6秒后，在点右边时两种情况分别计算求出结果即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的中点， ∴，， 若6秒后，在点左边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 若6秒后，在点右边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 综上，运动前点，之间的距离为或． 题型12 最短路径问题 【精讲】（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，已知四点、、、，请按要求完成下列问题： (1)画直线； (2)画射线，连接； (3)连接并延长到，使； (4)若，，画点，使的值最小，则这个最小值为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【思路引导】本题考查了直线、射线、线段的画法，线段的和与差等． （1）根据直线的概念作图即可； （2）根据射线和线段的概念作图即可； （3）首先画射线，在的延长线上依次截取即可； （4）连接、，与的交点就是点． 【规范解答】（1）解：如图：直线，即为所求； （2）解：如图：射线，线段，即为所求； （3）解：如图：点，即为所求； （4）解：如图：点，即为所求． 此时，． 故的最小值为． 故答案为：． 【变式】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末） 如图， 已知直线l及其同侧的两点A、B． (1)在直线l上画一点C，使得最小(画图工具不限，保留画图痕迹) (2)如果是直线l上长度为a的动线段，请在直线l上画出点的位置，使得最小(画图工具不限 ， 保留画图痕迹) 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了复杂作图、最短路线问题，解决本题的关键是作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点． （1）关键最短路线问题：作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点． （2）先把点B向左平移线段a的长度到点 ，再作点A关于直线l的对称点，然后连接与直线l相交，进而找到点D． 【规范解答】（1）解：如图1， 作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C， 根据两点之间线段最短，最小， ∴点即为所求作的点； （2）解：如图2， 先将点向左平移线段的长度到点，作点关于直线l的对称点， 连接交直线l于点，再向右作线段， ∴最小． ∴点 C、D即为所求作的点． 1．若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查了两点间的距离，结合题意分情况求解是解题的关键．分靠近和靠近两种情况，结合线段中点定义求解即可． 【规范解答】解：点是线段中点， ， 点、点是线段上的三等分点， 分靠近和靠近两种情况， 当靠近时，如图，， ， ， ， 当靠近时，如图，，则， ， ， ， 故的长为或． 故选：D ． 2．（23-24七年级上·河北张家口·期末）已知线段，点在的延长线上，且，则线段等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了线段的和与差，根据题意得出，代入已知条件可得，由此求解即可． 【规范解答】解：，，， ∴， ， 故答案为：B． 3．（23-24七年级上·甘肃天水·期末）如图是天桥的侧面图，现实生活中，总有人横穿马路（如图中），却不愿从天桥（如图中）通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为（    ） A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【思路引导】本题考查了两点之间，线段最短．根据两点之间，线段最短作答即可. 【规范解答】现实生活中，总有人横穿马路（如图中），却不愿从天桥（如图中）通过，其原因为两点之间，线段最短． 故选：D． 4．（21-22七年级上·广东清远·期末）如图，C、D是线段上两点，若，且D是的中点，则的长等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查两点间的距离、线段中点的定义、线段的和差等知识点，弄清图形线段的和差关系是解题的关键． 根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 又∵D是的中点， ∴． 故选：A． 5．（21-22七年级上·广东清远·期末）现有以下五个结论：①整数和分数统称为有理数；②绝对值等于其本身的有理数是0和1；③每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；④的系数是；⑤手电筒发射出去的光可看作是一条直线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的分类，绝对值的意义，有理数与数轴，单项式的系数，直线和射线，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：整数和分数统称为有理数；故①正确； 绝对值等于其本身的数为非负数；故②错误； 每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；故③正确； 的系数是；故④错误； 手电筒发射出去的光可看作是一条射线；故⑤错误； 故正确的有2个； 故选：B． 6．如图，C是线段的中点，D是线段的中点，已知图中线段、、的长度之和为，则线段的长度 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查了线段中点的性质，解题的关键是利用线段中点的定义，将线段、用表示，再根据已知条件列方程求解． 利用线段中点的定义，将、、用表示，再根据进而得出的长度． 【规范解答】解：因为是线段的中点， 所以． 又因为是线段的中点， 所以． 所以． 因为，即， ， 解得． 所以． 故答案为：8． 7．在直线l上有A，B，C三点，使得，如果点O是线段的中点，则线段的长度是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了线段中点的有关计算，分类讨论①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，两种情况即可； 【规范解答】解：①当点C在线段上时， ， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴； ②当点C在线段的延长线上时， ， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴； 故答案为：或 8．如图，C，D是数轴上的两点，它们分别表示，1.6，O为原点，则线段的中点表示的有理数是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了有理数与数轴，线段中点的特点． 已知两个点所表示的有理数，求它们中点表示的有理数，就是将这两个数相加，然后除以2，即可解题． 【规范解答】解：因为C，D是数轴上的两点，它们分别表示，1.6， 所以线段的中点表示的有理数是， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点、分别是线段上两点(，)，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ．     【答案】 【思路引导】本题考查了线段的和差计算，根据题意得出， ，进而根据，即可求解． 【规范解答】解：∵，，点与点恰好重合， ，， ∴， ． ∴． 故答案为：4． 10．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）点、都在线段上，且，，若，则线段的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了线段的和与差，根据，设，，因为，可知，，根据可以求出，从而可得：． 【规范解答】解：如下图所示， ， 设，， ， 又 ， 则，， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·陕西·期末）如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点． (1)求的长； (2)若点F是的中点，求的长． 【答案】(1) (2)8 【思路引导】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据，，求出，再根据中点的定义求出，即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，即可． 【规范解答】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． 因为点是的中点， 所以． （2）解：因为， 所以． 因为，， 所以． 因为点是的中点， 所以， 所以． 12．（24-25七年级上·湖北·期末）（1）如图，C 是线段 上的一点, ，D 、E 分别是线段 、 的中点，求线段 的长．                         （2）如图, 丄 丄 为 的平分线， ， 求 的度数． 【答案】（1）线段DE的长为；（2）的度数为 【思路引导】本题考查了线段的中点性质与线段长度计算、垂直的性质（垂直的角为）与角平分线定义及角的和差运算，解题的关键是利用中点、角平分线的定义转化线段或角的数量关系，再通过和差关系求解目标线段长度或角度． （1）先由和求，进而得的长；再根据中点定义求（中点）和（中点）的长；最后用得的长； （2）先由角平分线定义得；再根据垂直性质得；最后利用周角为，通过求． 【规范解答】（1）解：∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∵ 是AC的中点，是AB的中点， ∴ ，， ∴ ， 答：线段DE的长为． （2）解：∵ OE为的平分线，， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，． ∵ 周角为，即， ∴ ． 答：的度数为． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知线段，，． (1)请用尺规按下列要求作图；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长到，使； ②反向延长线段到，使． (2)在（1）的条件下，如果，，，点为的中点． ①求线段的长度； ②若点在线段上，且，则线段的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②1或5 【思路引导】本题考查了作线段，与线段中点有关的计算，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据延长到，使，得出点的位置，再结合反向延长线段到，使得出点的位置，即可作答； （2）①先根据点为的中点进行作图，再结合线段的和差关系进行列式得出，然后运用线段的中点进行分析，即可作答． ②理解题意，得出，结合点在线段上，且，进行分类讨论，即可作答． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：①∵，，， ∴， ∴， ∵点为的中点． ∴， ∴． ②由①得出， ∵， ∴， ∵点在线段上，且， ∴当点在线段上，则； ∴当点在线段上，则． 14．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）例：数轴上有点和点表示的数为、，则，两点之间的距离，若，则可化简为；线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知数轴上有、两点，分别表示的数为、，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位的速度向左匀速运动． 【综合运用】 (1)运动开始前，、两点的距离为 个单位长度；线段的中点所表示的数是 ． (2)点运动秒后所在位置的点表示的数为 （用含的式子表示）． (3)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 【答案】(1)， (2) (3)秒或秒 【思路引导】本题考查数轴上的点表示数，数轴上两点间距离，中点表示的数，用代数式表示线段的长，一元一次方程，数轴上的点表示数，数轴上两点间距离，中点表示的数，用代数式表示线段的长，一元一次方程是解题关键． （1）根据数轴两点距离求的距离，利用数轴中点坐标公式计算即可； （2）先求距离，再利用起点表示的数加或减距离即可求解； （3）根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：运动开始前， A、B两点的距离为， ∵， ∴M表示的数是， 故答案为：，； （2）解：根据题意，点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 故答案为：； （3）解：设A、B两点经过t秒会相距4个单位长度， 点A运动t秒后所在位置的点表示的数为，点B运动t秒后所在位置的点表示的数为， 当点A在点B左侧时：， 解得； 当点A在点B右侧时： 解得， 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过秒或秒会相距4个单位长度． 15．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】本题主要考查了线段的和差及中点，路程问题，列一元一次方程解决几何问题，动点问题，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． （1）根据中点的性质和线段的倍数关系求出线段的长度，然后根据速度公式进行求解即可； （2）根据题意，分两种情况进行讨论，即当点运动时和停止时，进行列方程求解即可； （3）根据动点分三种情况进行讨论，根据线段中点得出相等的线段，令，则，利用线段的和差表示出相关线段，然后代入求值即可． 【规范解答】（1）解：如图所示， ∵，， ∴， ∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点， ∴， ∴，， ∴点运动的时间为， ∴点的速度为， 故答案为：； （2）解：当点没有运动到了点时，假设点运动的时间为，，， ∴， 根据题意得， ① 解得， ，符合题意， 所以，经过P、Q两点相距； ② 解得， ∵， 该种情况不符合题意，舍去； 当点运动到了点，停止运动时，此时，，根据题意得， 点运动的时间为， 综上，经过或P、Q两点相距； （3）解：①如图所示，当点位于点左侧，点位于点左侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ②如图所示，当点位于点左侧，点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ③如图所示，当点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； 综上，． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破09 直线、射线、线段的认识与计算 （知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：直线 1 知识点梳理02：线段 2 知识点梳理03：射线 3 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 3 重点难点 培优讲练 4 题型1 直线、线段、射线的数量问题 4 题型2 直线相交的交点个数问题 5 题型3 两点确定一条直线 6 题型4 作线段（尺规作图） 7 题型5 线段的和与差 8 题型6 线段中点的有关计算 9 题型7 线段n等分点的有关计算 10 题型8 线段之间的数量关系 12 题型9 与线段有关的动点问题 13 题型10 两点之间线段最短 13 题型11 两点间的距离 14 题型12 最短路径问题 16 期末真题 实战演练 17 知识点梳理01：直线 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点提示：直线的特征： （1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 知识点梳理02：线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 知识点梳理03：射线 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 图6 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图6所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 要点提示： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图7中射线OA，射线OB是不同的射线． 图7 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图8中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图8 知识点梳理04：直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 题型1 直线、线段、射线的数量问题 【精讲】如图： (1)试验观察：如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画 条直线；图②中最多可以画 条直线；图③中最多可以画 条直线． (2)探索归纳：如果平面上有个点，且任意3个点均不在一条直线上，那么经过两点最多可以画条直线．（用含n的式子表示） ． (3)解决问题：某班54名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握 次手． 【变式】（24-25七年级上·北京海淀·期中）、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 题型2 直线相交的交点个数问题 【精讲】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 题型3 两点确定一条直线 【精讲】（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【变式】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 题型4 作线段（尺规作图） 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，过，两点作直线，并连接． (1)尺规作图： ①延长至，使得点为的中点； ②作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） (2)若，求的长． 小明同学写出解答的部分过程，请你帮忙完成填空． 解：（2）因为点为的中点， 所以___________， 因为， 所以___________， 因为， 所以， 因为， 所以___________， 所以___________． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规作线段AB，使（保留作图痕迹，写出作法）． 题型5 线段的和与差 【精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 【变式】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 题型6 线段中点的有关计算 【精讲】（25-26七年级上·广东广州·期中）若数轴上两点所表示的数分别为和，则有①两点的中点表示的数为；②两点之间的距离． (1)若直接写出： ． (2)在（1）的条件下，点在数轴上对应的数是，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点，使成立，若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由． (3)若数轴上两点所表示的数分别为和（其中），点以每秒1个单位的速度从原点出发向右运动，同时点从点出发以每秒7个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒10个单位的速度向右运动，、分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否为定值？并说明理由． 【变式】（25-26七年级上·山东济南·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离（当时，；当时，），线段的中点表示的数． 如图，数轴上点A，点B，点C表示的数分别为，2，3，点P，Q，R分别从A，B，C出发沿数轴的正方向移动，其中点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，点R的速度为每秒m个单位长度，线段的中点为D，运动时间为t． (1)当时，______； (2)试用含t的代数式表示点D表示的数； (3)若在运动过程中，点R始终在点D的右边，且R，D两点间的距离保持不变，试求m的值和的长度； (4)当时，直接写出t的值． 题型7 线段n等分点的有关计算 【精讲】（24-25七年级上·全国·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【变式】．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 题型8 线段之间的数量关系 【精讲】如图，已知点O是原点，点A、B、C、E都是数轴上的点，点D在数轴的上方，点B表示的数为1，E表示的数为3，点E是的中点，点A在点B的左侧，且． (1)在数轴上找出点A和点C，画直线，连接；（请保留画图痕迹） (2)BE的长=_______； (3)求出点C，点A所表示的有理数． 【变式】．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为____________；的长度为____________；的长度为____________． (2)若在直线上，且，求的长度． 题型9 与线段有关的动点问题 【精讲】（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 【变式】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 题型10 两点之间线段最短 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句按要求画图． (1)连接，作射线，作直线与射线交于点G． (2)若，点E是射线上的一点，，点F是的中点，则的长为_____． (3)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P．要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 【变式】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）问题提出： 如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井． （1）问题解决：你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请在图2中标出水井的位置点M，并说明理由． 问题拓展： 如果（1）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建），已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建； （2）水井要修建几米？ （3）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队施工几天才能使工程款正好是35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算） 题型11 两点间的距离 【精讲】（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 【变式】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 题型12 最短路径问题 【精讲】（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，已知四点、、、，请按要求完成下列问题： (1)画直线； (2)画射线，连接； (3)连接并延长到，使； (4)若，，画点，使的值最小，则这个最小值为_________． 【变式】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末） 如图， 已知直线l及其同侧的两点A、B． (1)在直线l上画一点C，使得最小(画图工具不限，保留画图痕迹) (2)如果是直线l上长度为a的动线段，请在直线l上画出点的位置，使得最小(画图工具不限 ， 保留画图痕迹) 1．若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 2．（23-24七年级上·河北张家口·期末）已知线段，点在的延长线上，且，则线段等于（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·甘肃天水·期末）如图是天桥的侧面图，现实生活中，总有人横穿马路（如图中），却不愿从天桥（如图中）通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为（    ） A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 4．（21-22七年级上·广东清远·期末）如图，C、D是线段上两点，若，且D是的中点，则的长等于（   ）． A． B． C． D． 5．（21-22七年级上·广东清远·期末）现有以下五个结论：①整数和分数统称为有理数；②绝对值等于其本身的有理数是0和1；③每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；④的系数是；⑤手电筒发射出去的光可看作是一条直线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，C是线段的中点，D是线段的中点，已知图中线段、、的长度之和为，则线段的长度 ． 7．在直线l上有A，B，C三点，使得，如果点O是线段的中点，则线段的长度是 ． 8．如图，C，D是数轴上的两点，它们分别表示，1.6，O为原点，则线段的中点表示的有理数是 ． 9．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点、分别是线段上两点(，)，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ．     10．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）点、都在线段上，且，，若，则线段的长为 ． 11．（24-25七年级上·陕西·期末）如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点． (1)求的长； (2)若点F是的中点，求的长． 12．（24-25七年级上·湖北·期末）（1）如图，C 是线段 上的一点, ，D 、E 分别是线段 、 的中点，求线段 的长．                         （2）如图, 丄 丄 为 的平分线， ， 求 的度数． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知线段，，． (1)请用尺规按下列要求作图；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长到，使； ②反向延长线段到，使． (2)在（1）的条件下，如果，，，点为的中点． ①求线段的长度； ②若点在线段上，且，则线段的长为__________． 14．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）例：数轴上有点和点表示的数为、，则，两点之间的距离，若，则可化简为；线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知数轴上有、两点，分别表示的数为、，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位的速度向左匀速运动． 【综合运用】 (1)运动开始前，、两点的距离为 个单位长度；线段的中点所表示的数是 ． (2)点运动秒后所在位置的点表示的数为 （用含的式子表示）． (3)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 15．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $