专项突破07 用一元一次方程解决问题（期末复习-知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精讲练

专项突破07 用一元一次方程解决问题 （知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 2 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 2 重点难点 考点讲练 5 题型1 配套问题（一元一次方程的应用） 5 题型2 工程问题（一元一次方程的应用） 5 题型3 销售盈亏（一元一次方程的应用） 6 题型4 比赛积分（一元一次方程的应用） 7 题型5 方案选择（一元一次方程的应用） 9 题型6 数字问题（元一次方程的应用） 10 题型7 几何问题（一元一次方程的应用） 12 题型8 动点问题（一元一次方程的应用） 12 题型9 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 14 题型10 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 16 题型11 行程问题（元一次方程的应用） 17 题型12 比例分配（一元一次方程的应用） 18 题型13 日历问题（一元一次方程的应用） 20 题型14 古代问题（一元一次方程的应用） 21 题型15 其他问题（一元一次方程的应用） 21 期末真题 实战演练 23 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 题型1 配套问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·山东日照·期中）劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【变式】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（    ）． A． B． C． D． 题型2 工程问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【变式】（25-26七年级上·河南开封·期中）(请必须用方程做答) 某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． (1)1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底．现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ (2)该工厂接到生产一批罐头盒的任务，由甲车间单独完成需要15天，由乙车间单独完成需要30天，现在甲乙两个车间合作4天后，剩下的任务由甲车间单独完成，那么甲车间还需要多少天才能完成？ 题型3 销售盈亏（一元一次方程的应用） 【精讲】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）（1）国家补贴政策持续推进，消费者家电换新需求得到充分激活．某商场购进甲、乙两款电视机，已知甲款电视机购进60台，比乙款电视机的少10台，求该商场购进乙款电视机多少台？ （2）十一期间，该商场推出“国家补贴+商场直降”双重优惠活动，国家补贴政策是购买甲、乙两款电视机均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买电视机的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买电视机原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知甲款电视机原价（高于4000元）比乙款电视机原价（低于4000元）的2倍少100元．若按此销售规则购买一台甲款电视机比购买一台乙款电视机多花1420元，求商场双重优惠下甲款电视机和乙款电视机每台各是多少元？ （3）在（1）和（2）的条件下，该商场购进的甲款电视机和乙款电视机全部销售一空，求该商场这批电视机的销售额（用科学记数法表示）． 题型4 比赛积分（一元一次方程的应用） 【精讲】24-25七年级上·浙江金华·期末）12月30日光明中学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 (1)这次竞赛中答对一题得________分； (2)参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题? (3)参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗?请说明理由． 【变式】（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）周末，数学老师带同学们去某市博物馆参观． 【基础设问】 （1）坐车途中，数学老师和大家玩游戏．数学老师根据方程编写了一道应用题，请你帮他们把空缺的部分补充完整． 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个； ，请问手工小组有几人．（设手工小组有x人） 【开放设问】 （2）请你结合生活实例根据方程编写一道应用题． 【能力设问】 （3）小明想起来之前和爸爸一共下了8盘围棋，爸爸赢一盘记2分，自己赢一盘记6分，每盘都分出了胜负，比赛结束后，爸爸说：“我的得分比你的得分多2分．”请你帮小明判断爸爸的说法是否正确，并给出理由． （4）参观结束后，小明打算给朋友带一些文创用品，现博物馆有以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费（元）． 假如小明消费了元． ①若使用代金券，实际花费 元（用含x的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【拓展设问】 （5）买完文创用品后，所有人员乘客车返回相距的酒店，客车的行驶速度为，同时，酒店工作人员小王开车以的速度从酒店出发，前去迎接，数学老师在两车相遇后换乘小王的车，和小王立刻返回酒店先为大家办理入住手续（车辆掉头、数学老师下车和上车的时间忽略不计），求客车行驶多长时间时两车相距． 题型5 方案选择（一元一次方程的应用） 【精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·月考）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【变式】（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）我校第31届校运会即将举行，七年级1班和2班联合组成一个方阵进行开幕式节目表演．现有两种排列方案，方案一：每排站10人，则多出4人；方案二：每排站11人，则最后一排缺6人．已知两种方案的方阵排数相同，均为排． (1)方案一可得总人数为________人，方案二可得总人数为________人（用含的式子表示）； (2)求两种站法的排数是多少排？ (3)表演时每名学生需要一个4元的道具，问七年级1班和2班一共需要花费多少元购买道具？ 题型6 数字问题（元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． 【初步探究】 （1）数表中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ 【深入探究】 （2）在数表中将平行四边形框上下左右移动，可框住另外九个数，这九个数之和还有（1）中这种规律吗？请说出理由． 【拓展应用】 （3）平行四边形框内的九个数之和能等于1998吗？能等于2005吗？能等于2025吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能．请说出理由． 【变式】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____， _____， ____； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则_____， ____； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12 这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的 四个顶点处“○”中的和都为2．试求m，n的值． 题型7 几何问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为 ． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）某校开展书法方面的知识宣传活动，如图，书法社的同学需要在长方形的宣纸上书写“书法传承美”五个宇，已知宣纸的长为，每个小方框一样大，且宣纸边缘之间的边空宽相等，若边空宽、字宽、字距的比为，求这张宣纸的面积． 题型8 动点问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图1，已知点O为数轴上的原点，点A在数轴上表示的数是3，点B在数轴上原点的左侧，且．（特别说明：我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，在数轴上点A与点B之间的距离，我们直接记作）． (1)设B点表示的数是m，则m的值是 ．（直接写出结果） (2)若动点P从原点O点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动（注：点P在点O、点B之间运动，不与点B重合），在运动过程中，设经过t秒钟后满足：，求t 的值及此时P 点在数轴上对应的数？ (3)如图2，在数轴上的原点O处放一挡板，一小球甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向右运动；同时另一小球乙从B点出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向右运动，在碰到档板后（忽略球的大小，可看作一点），乙球立即以每秒4个单位长度的速度匀速向相反方向运动，设甲球运动的时间为t秒（其中），用含t的代数式表示： ①甲球到原点的距离是 单位长度．（直接写出结果） ②求乙球到原点的距离？ 【变式】（25-26七年级上·广东深圳·期中）综合探究 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： 【问题情境】 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． A．            B． C．           D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2026（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是 ，B点表示的数是 ． (3)在（2）的条件下，若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设它们的运动时间为t秒，现将数轴向右对折，以为折点，若点P对应的点落在数轴上，求当t为何值时，长度为6． 题型9 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）“甲桶油是乙桶的倍，甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等，乙桶油有多少千克？”为解决这个问题，可以“设乙桶油有x千克”，那么根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【变式】．（22-23七年级上·北京昌平·期中）【概念学习】 点A，B，C为数轴上的三点，如果点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么我们就称点C是的偶点． 如图1，点A表示的数为，点B表示的数为1，表示0的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的偶点；表示的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的偶点，但点D是的偶点． 【初步探究】 已知如图2，M，N为数轴上两点，点M表示的数为，点N表示的数为5，若点F是的偶点，回答下列问题： (1)当F在点M，N之间，点F表示的数为__________； (2)当F为数轴上一点，点F表示的数为____________； 【深入思考】 (3)如图3，P、Q为数轴上两点，点P表示的数为，点Q表示的数为40，现有一个动点E从点Q出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点P停止，若运动时间为t，求当t为何值时，P，Q，E中恰有一个点为其余两点的偶点？ 题型10 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（24-25七年级上·江苏南通·月考）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12立方米的部分 元/立方米 超过12立方米但不超过20立方米的部分 元/立方米 超过20立方米的部分 元/立方米 (1)某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） (2)设某户月用水量为立方米，当时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立方米（列方程求解）？ (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含的式子表示） 【变式】（24-25六年级下·山东泰安·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 20吨及以下 a 0.95 超过20吨但不超过30吨的部分 b 0.95 超过30吨的部分 5.8 0.95 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费．） 已知小王家2024年7月用水18吨，交水费56.7元；8月份用水24吨，交水79.2元． (1)求a、b的值； (2)如果小王家9月份用水35吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 题型11 行程问题（元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． (1)如果代数式的值为，那么代数式的值为_______． (2)如图，若，求长方形与的面积差． (3)两地相距千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距千米的时间． 【变式】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是，点B表示的数是5． (1)A、B之间的距离为________； (2)若点C是数轴上一点且到A、B两点的距离相等，则点C对应的数是________； (3)若点D在数轴上，且点D到点B的距离为6，则点D对应的数是________； (4)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上以每秒3个单位长度的速度向右移动；同时一只毛毛虫从点B出发，在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左移动，它们经过几秒后相距4个单位长度？ 题型12 比例分配（一元一次方程的应用） 38．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点所对应的数依次为，3，21，乙数轴上的三点所对应的数依次为．当点与点上下对齐时，点恰好分别与点上下对齐，则的值为（） A． B．1 C．2 D．5 【变式】（23-24七年级上·云南昭通·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 题型13 日历问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）将从1到1800的正整数按一定规律排列如图： (1)探究如图“+”框中的5个数： ①设这5个数中间的数为，这5个数的和是240，求是多少？； ②这5个数的和可能是2005吗？___________（填能或不能） (2)数1240排在第___________行，第___________列； (3)若“+”形框中框住的五个数的和记为“S”，则的最大值与最小值的差等于___________． 【变式】（2025七年级上·全国·专题练习）将连续的奇数按如下图所示的规律排列． (1)十字框中的五个数的平均数与27有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 题型14 古代问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（24-25七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为尺，所列方程为 B．设绳子的长为尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 【变式】（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 题型15 其他问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·山东青岛·期中）用长度相同的小棒按图所示的方式拼摆正五边形． (1)拼摆5个这样的正五边形需要______根小棒，拼摆8个这样的正五边形需要______根小棒； (2)拼摆n个这样的正五边形需要______根小棒（用含n的式子表示）； (3)用2026根小棒可以拼摆多少个这样的正五边形？请说明理由． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满元送元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过元的部分 九折优惠 超过元但不超过元的部分 七折优惠 超过元但不超过元的部分 六折优惠 超过元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 1．（2024七年级上·云南·专题练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则表中△处的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 4．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某校组织师生春游，若租用45座客车若干辆，刚好坐满，若租用60座客车，可比45座客车少租一辆且空余30个座位，则该校去参加春游的有（    ） A．90人 B．200人 C．220人 D．270人 5．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 6．（25-26七年级上·全国·期末）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为 ． 7．某测试卷只有25道选择题，做对1道得4分，做错1道扣1分．某同学做了全部试题，得了70分，他一共做对了 道． 8．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 9．依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定，从2011年9月1日起，公民全月各种收入总额不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按右表分段累进计算．陶老师2012年11月份缴纳个人所得税税金75元，那么陶老师该月的税前收入总额是 元． 全月应纳税所得税额 税率 不超过1500元的部分 3% 超过1500元至4500元的部分 10% …… …… 10．（21-22七年级上·四川绵阳·期末）如示意图，两地间有一条河，两地间路程共米（包括旱路与水路），且两地到河岸均有一定距离，甲、乙二人从地出发到地，乙先于甲出发，当乙走到岸边处登船渡河时，甲从地出发；当小船将乙送过河后再空船原路返回到达地岸边处时，甲刚好到达处登船；当小船将甲送到对岸处时，乙恰好到达地，现已知甲、乙二人步行速度均为米／分钟，小船在水中行驶的平均速度为米／分钟（不考虑水流速度影响），则两地间水路的长度为 米． 11．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 12．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）甲骑车以12千米/时的速度从A地前往B地，同时乙步行以4千米/时的速度从B地前往A地，乙出发后小时遇到甲，相遇后二人继续前进，甲到达B地后休息了半小时立即返回A地，问甲离开B地多少小时后才能追上乙？ 13．（25-26七年级上·北京·期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 14．（25-26七年级上·湖南·期末）将连续的奇数，，，，，…，排列成如图所示数表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 … (1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系？ (2)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和； (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，十字框中的五个数之和能等于吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 15．已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点运动到原点时，此时点 关于的“好点”（填是或者不是）； 若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破07 用一元一次方程解决问题 （知识回顾+15个重难点培优题型+真题演练 共45题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 2 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 2 重点难点 考点讲练 5 题型1 配套问题（一元一次方程的应用） 5 题型2 工程问题（一元一次方程的应用） 6 题型3 销售盈亏（一元一次方程的应用） 7 题型4 比赛积分（一元一次方程的应用） 9 题型5 方案选择（一元一次方程的应用） 13 题型6 数字问题（元一次方程的应用） 15 题型7 几何问题（一元一次方程的应用） 19 题型8 动点问题（一元一次方程的应用） 20 题型9 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 24 题型10 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 26 题型11 行程问题（元一次方程的应用） 29 题型12 比例分配（一元一次方程的应用） 31 题型13 日历问题（一元一次方程的应用） 33 题型14 古代问题（一元一次方程的应用） 36 题型15 其他问题（一元一次方程的应用） 37 期末真题 实战演练 40 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 题型1 配套问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·山东日照·期中）劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【答案】(1)应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面 (2)应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓，再根据题意即可求解． 【规范解答】（1）解：设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 根据题意，得， 解得， 则， 答：应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面； （2）解：由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓（个），还需制作（个）小鼓， ∴应再加入制作鼓身的人数为（名），剪鼓面的人数为（名）， 则新加入（名）， ∴综上所述，应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面． 【变式】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查配套问题，关键是根据部件比例关系列方程，确保部件数量匹配以制作最多仪器．设用立方米钢材做部件，则做部件的钢材为立方米，根据仪器配套要求（个部件配个部件），部件数量应等于部件数量的倍，由此列方程即可． 【规范解答】解：用立方米做部件，则用立方米做部件， 由题意可得，． 故选：B． 题型2 工程问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 【变式】（25-26七年级上·河南开封·期中）(请必须用方程做答) 某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． (1)1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底．现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ (2)该工厂接到生产一批罐头盒的任务，由甲车间单独完成需要15天，由乙车间单独完成需要30天，现在甲乙两个车间合作4天后，剩下的任务由甲车间单独完成，那么甲车间还需要多少天才能完成？ 【答案】(1)120张做盒身，140张做盒底 (2)甲车间还需要9天 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列出方程求解即可； （2）甲车间还需要y天才能完成，根据题意列出方程求解即可． 根据题意找出等量关系，设未知数，列出方程，即可解答. 【规范解答】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意，得， 解得， 所以． 故用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． （2）解：甲车间还需要y天才能完成． 根据题意得：， 解得． 甲车间还需要9天才能完成． 题型3 销售盈亏（一元一次方程的应用） 【精讲】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 【答案】288元或316元 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．设第二次购物实际消费金额为元，先根据优惠方案可得第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或，再分两种情况：①，②，分别建立方程，解方程求出的值，然后根据优惠方案列式计算即可得． 【规范解答】解：设第二次购物实际消费金额为元， ∵（元），（元），（元），且，， ∴第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或， ①当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； ②当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； 综上，应付款288元或316元， 故答案为：288元或316元． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）（1）国家补贴政策持续推进，消费者家电换新需求得到充分激活．某商场购进甲、乙两款电视机，已知甲款电视机购进60台，比乙款电视机的少10台，求该商场购进乙款电视机多少台？ （2）十一期间，该商场推出“国家补贴+商场直降”双重优惠活动，国家补贴政策是购买甲、乙两款电视机均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买电视机的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买电视机原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知甲款电视机原价（高于4000元）比乙款电视机原价（低于4000元）的2倍少100元．若按此销售规则购买一台甲款电视机比购买一台乙款电视机多花1420元，求商场双重优惠下甲款电视机和乙款电视机每台各是多少元？ （3）在（1）和（2）的条件下，该商场购进的甲款电视机和乙款电视机全部销售一空，求该商场这批电视机的销售额（用科学记数法表示）． 【答案】（1）105台；（2）甲款电视机每台3420元，乙款电视机每台2000元；（3）元 【思路引导】本题考查的是一元一次方程的应用及科学记数法，掌握科学记数法的形式为（其中且为整数）和找出等量关系列方程是解题关键， （1）设该商场购进乙款电视机x台，根据甲款电视机购进60台，比乙款电视机的少10台，列方程解决即可； （2）设乙款电视机原价为y元，则甲款电视机原价为元，根据按此销售规则购买一台甲款电视机比购买一台乙款电视机多花1420元，列方程解决即可； （3）先计算出甲款电视机和乙款电视机的总销售额，再用科学记数法表示即可． 【规范解答】解：（1）设该商场购进乙款电视机x台，由题意得： ， 解得， 答：该商场购进乙款电视机105台； （2）设乙款电视机原价为y元，则甲款电视机原价为元，由题意得： ， 解得， ∴商场双重优惠下甲款电视机每台（元）； 乙款电视机每台（元）； 答：商场双重优惠下甲款电视机每台3420元，乙款电视机每台2000元； （3）该商场这批电视机的销售额为（元）， 答：该商场这批电视机的销售额为元． 题型4 比赛积分（一元一次方程的应用） 【精讲】24-25七年级上·浙江金华·期末）12月30日光明中学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 (1)这次竞赛中答对一题得________分； (2)参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题? (3)参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗?请说明理由． 【答案】(1)5 (2)小红答对了15道题 (3)小明得分为60分是不可能的，见解析 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用答对一题的得分参赛者的得分参赛者答对题目数，即可求出结论； （2）利用答错一题的得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答错一题的得分，设小红答对了道题，则答错了道题，根据小红的得分是70分，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）假设小明的得分能是60分，设小明答对了道题，则答错了道题，根据小明的得分是60分，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合需为整数，可得出不符合题意，舍去，进而可得出假设不成立，即小明的得分不可能是60分． 【规范解答】（1）解：根据题意得：这次竞赛中答对一题得（分． 故答案为：5； （2）解：这次竞赛中答错一题得（分， 设小红答对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：． 答：小红答对了15道题； （3）解：不可能，理由如下： 假设小明的得分能是60分，设小明答对了道题，则答错了道题， 根据题意得得：， 解得：， 又需为整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立， 即小明的得分不可能是60分． 【变式】（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）周末，数学老师带同学们去某市博物馆参观． 【基础设问】 （1）坐车途中，数学老师和大家玩游戏．数学老师根据方程编写了一道应用题，请你帮他们把空缺的部分补充完整． 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个； ，请问手工小组有几人．（设手工小组有x人） 【开放设问】 （2）请你结合生活实例根据方程编写一道应用题． 【能力设问】 （3）小明想起来之前和爸爸一共下了8盘围棋，爸爸赢一盘记2分，自己赢一盘记6分，每盘都分出了胜负，比赛结束后，爸爸说：“我的得分比你的得分多2分．”请你帮小明判断爸爸的说法是否正确，并给出理由． （4）参观结束后，小明打算给朋友带一些文创用品，现博物馆有以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费（元）． 假如小明消费了元． ①若使用代金券，实际花费 元（用含x的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【拓展设问】 （5）买完文创用品后，所有人员乘客车返回相距的酒店，客车的行驶速度为，同时，酒店工作人员小王开车以的速度从酒店出发，前去迎接，数学老师在两车相遇后换乘小王的车，和小王立刻返回酒店先为大家办理入住手续（车辆掉头、数学老师下车和上车的时间忽略不计），求客车行驶多长时间时两车相距． 【答案】（1）如果每人做6个，那么就比计划多8个；（2）班主任奖励一个小组学生棒棒糖，如果每人奖励5个，那么就还剩2个棒棒糖；如果每人奖励6个，那么就差8个棒棒糖．请问这个小组有几个学生？（3）爸爸的说法不正确，见解析；（4）①；②当时，选择方案一更省钱；当时，费用一样；当时，选择方案二更省钱；（5），或 【思路引导】（1）根据方程得出答案即可； （2）根据生活实例编写应用题即可； （3）设小明赢x盘，则爸爸赢盘，根据爸爸的得分比你的得分多2分列出方程，解方程即可； （4）①根据题干提供的信息，列出代数式即可； ②分情况进行讨论即可； （5）分三种情况讨论：在两车相遇之前，两车相遇之后，小王回到酒店，分别列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得：某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；如果每人做6个，那么就比计划多8个，请问手工小组有几人． （2）班主任奖励一个小组学生棒棒糖，如果每人奖励5个，那么就还剩2个棒棒糖；如果每人奖励6个，那么就差8个棒棒糖．请问这个小组有几个学生？．（答案不唯一） （3）设小明赢x盘，则爸爸赢盘，根据题意得： ， 解得：， ∵不是正整数， ∴爸爸的说法不正确． （4）①由题意得，若使用代金券，实际花费元． ②使用方案二的实际花费为元， 当时， 解得：， ∴当时，选择方案一更省钱； 当时，费用一样； 当时，选择方案二更省钱． （5）①在两车相遇之前，设客车从出发到两车相距行驶的时间为． 根据题意，得， ∴； ②设两车相遇所需时间为， 根据题意，得， ∴， 设在两车相遇之后到两车相距时所需时间为， 根据题意，得， ∴， 所以此时客车行驶的时间为． ③小王回到酒店共需要， 客车行驶了， 离酒店还有． 设当小王到达酒店后到两车相距时所需时间为． 根据题意，得60d＝5， ∴， 所以此时客车行驶的时间为． 综上所述：客车行驶、或时两车相距． 【考点剖析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是根据等量关系列出方程． 题型5 方案选择（一元一次方程的应用） 【精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·月考）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【答案】(1)双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元 (2)应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元，根据买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要元列出方程解出x的值可得答案； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，分两种情况：若购买球珠直径的三色笔，与购买球珠直径的三色笔，列出方程，解方程并检验可得答案． 【规范解答】（1）解：设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元， 根据题意得：， 解得：， ， 双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，则购买双色圆珠笔数量为支， 若购买球珠直径的三色笔， 则， 解得， ∴这种情况不符合题意； 若购买球珠直径的三色笔， 则， 解得， ， 应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支． 【变式】（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）我校第31届校运会即将举行，七年级1班和2班联合组成一个方阵进行开幕式节目表演．现有两种排列方案，方案一：每排站10人，则多出4人；方案二：每排站11人，则最后一排缺6人．已知两种方案的方阵排数相同，均为排． (1)方案一可得总人数为________人，方案二可得总人数为________人（用含的式子表示）； (2)求两种站法的排数是多少排？ (3)表演时每名学生需要一个4元的道具，问七年级1班和2班一共需要花费多少元购买道具？ 【答案】(1)； (2)10排 (3)416元 【思路引导】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用及费用计算，解题的关键是根据两种方案总人数相等的等量关系列出方程，求出排数后再计算总费用． （1）根据"每排人数 排数 剩余人数"和"每排人数排数缺少人数”列出总人数的代数式． （2）利用总人数相等建立一元一次方程，求解得出排数． （3）将排数代入总人数表达式求出总人数，再乘以道具单价得到总费用． 【规范解答】（1）方案一：每排站 10 人，共x 排，多出 4 人，总人数为 人． 方案二：每排站 11人，共x排，最后一排缺6人，总人数为人． 故答案为：； （2）解：∵两种方案的总人数相等， ∴可列方程： 移项得： 化简得： 答：两种站法的排数是10排． （3）解：由（2）可知排数，代入方案一的总人数表达式： 总人数为（人） 每名学生需要4元道具，总费用为：（元） 答：七年级 1 班和 2 班一共需要花费 416 元购买道具． 题型6 数字问题（元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． 【初步探究】 （1）数表中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ 【深入探究】 （2）在数表中将平行四边形框上下左右移动，可框住另外九个数，这九个数之和还有（1）中这种规律吗？请说出理由． 【拓展应用】 （3）平行四边形框内的九个数之和能等于1998吗？能等于2005吗？能等于2025吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能．请说出理由． 【答案】（1）平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍；（2）还有这种规律，理由见解析；（3）不能等于1998，不能等于2005，能等于2025，最小的数为207 【思路引导】本题考查了整式的规律问题. （1）根据数表作答即可； （2）设框中间的数为n，列出这九个数，进而推导即可； （3）根据已知规律逐一判断即可. 【规范解答】（1）， 则， 即平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； （2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，规律仍然成立． 设框中间的数为n，这九个数按大小顺序依次为 ，，，，，，，，． ； （3）若和为1998，则， 解得，是偶数，显然不在数表中． 这九个数之和不能为1998． 不能被9整除． 这九个数之和也不能为2005． ，而225不在数表的边上， 这九个数之和能为2025． 则， 若和为2025，则中间数为225，最小的数为207． 【变式】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____， _____， ____； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则_____， ____； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12 这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的 四个顶点处“○”中的和都为2．试求m，n的值． 【答案】（1）6；5；4；（2）7；0；（3）3或． 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出幻方中的数字规律． （1）根据图2先确定，每行、列和对角线上的数字和都相等列出方程，求解即可； （2）设底边两角的数分别为，再根据广义的三阶幻方可得和，再解方程即可； （3）根据使每个正方形的4个顶点处“”中的数的和都为2求出m、n的值，然后求出结果即可． 【规范解答】（1）解：根据图2中的幻方可知，图中填的是到9这9个数，根据幻方规律可知，中间一个数应该为5， ∴， ∴， 解得：， ， 解得：， 2 7 6 9 5 1 4 3 8 故答案为：6；5；4； （2）解：设如图两个数分别为， 根据广义的三阶幻方定义， ，解得， ，解得， 故答案为：7；0； （3）解：如图，设另外两个圆圈中的数分别为、q， 根据题意得：， 解得：， ， 解得：， ， ∴， ∵圆圈中的12个数为：、、2、4、6、8、10、12， ∴，或，， ∴或． 题型7 几何问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了列一元一次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据纸条的剪法结合正方形的边长为，即可得出两次剪下的长条的长和宽，再根据两次剪下的长条面积相等列出关于的一元一次方程即可． 【规范解答】解：由题意可得：第一次剪下长条的长为，宽为，即面积为； 第二次剪下长条的长为，宽为，即面积为； ∵两次剪去的长方形纸条面积相等， ∴． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）某校开展书法方面的知识宣传活动，如图，书法社的同学需要在长方形的宣纸上书写“书法传承美”五个宇，已知宣纸的长为，每个小方框一样大，且宣纸边缘之间的边空宽相等，若边空宽、字宽、字距的比为，求这张宣纸的面积． 【答案】这张宣传纸的面积为 【思路引导】本题重点考查比例关系的实际应用与几何建模能力，准确理解题意并将实际问题转化为数学模型（特别是通过比例关系设未知数，并建立方程求解）是解题的关键． 设边空宽、字宽、字距分别为，，，根据宣纸的长为，列出方程求出的值，进而求出宣纸的宽，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【规范解答】解：设边空宽为，则字宽为，字距为， 根据题意得：，解得：， 所以． 答：这张宣纸的面积为． 题型8 动点问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图1，已知点O为数轴上的原点，点A在数轴上表示的数是3，点B在数轴上原点的左侧，且．（特别说明：我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，在数轴上点A与点B之间的距离，我们直接记作）． (1)设B点表示的数是m，则m的值是 ．（直接写出结果） (2)若动点P从原点O点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动（注：点P在点O、点B之间运动，不与点B重合），在运动过程中，设经过t秒钟后满足：，求t 的值及此时P 点在数轴上对应的数？ (3)如图2，在数轴上的原点O处放一挡板，一小球甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向右运动；同时另一小球乙从B点出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向右运动，在碰到档板后（忽略球的大小，可看作一点），乙球立即以每秒4个单位长度的速度匀速向相反方向运动，设甲球运动的时间为t秒（其中），用含t的代数式表示： ①甲球到原点的距离是 单位长度．（直接写出结果） ②求乙球到原点的距离？ 【答案】(1) (2)，点对应的数为 (3)①；②，乙球到原点的距离为个单位长度；时，乙球到原点的距离为个单位长度； 【思路引导】本题考查了数轴上数的表示，线段的和差，列一元一次方程方程解决问题，熟练应用一元一次方程，结合数轴，进行分类讨论解决数轴问题是解题的关键． （1），，得出点表示的数； （2）根据题意列方程解答即可； （3）根据题意列代数式解答即可． 【规范解答】（1）解：∵点A在数轴上表示的数是3，点B在数轴上原点的左侧，且． ， ∵点B在数轴上原点的左侧，B点表示的数是m， ， 故答案为：； （2）由题意得，点P表示的数是， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点P表示的数是； （3）①∵甲球运动的时间为t秒，小球甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向右运动， ∴甲球运动路程为个单位长度， ∴甲球到原点的距离是个单位长度； ②∵小球乙从B点出发，碰到挡板前以每秒3个单位长度的速度匀速向右运动，运动的时间为t秒， ∴小球乙运动路程为个单位长度，运动到原点的时间为秒， 在碰到挡板前，即，乙球到原点的距离为个单位长度， 在碰到档板后，即，乙球立即以每秒4个单位长度的速度匀速向相反方向运动，到原点的距离为个单位长度 【变式】（25-26七年级上·广东深圳·期中）综合探究 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： 【问题情境】 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． A．            B． C．           D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2026（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是 ，B点表示的数是 ． (3)在（2）的条件下，若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设它们的运动时间为t秒，现将数轴向右对折，以为折点，若点P对应的点落在数轴上，求当t为何值时，长度为6． 【答案】(1)①D，② (2)①，②， (3) 【思路引导】本题考查了数轴上点的平移，数轴的折叠，数轴上两点之间的距离，一元一次方程；能找到折痕点表示的数，利用数轴上两点之间的距离得到方程是解题的关键． （1）①根据向左平移为减，向右平移为加，即可求解；②根据机器人所跳跃的方式得，即可求解； （2）①因为表示的点与表示3的点重合，所以折痕点表示的数是，设表示2024的点与表示的点重合，得，即可求解； ②因为A、B两点之间的距离为2026，折痕点表示的数是，所以A、B到折痕点的距离均为，由数轴上两点之间的距离得到方程，即可求解； （3）t秒后表示的数为，表示的数为，设表示的数为，求出后，由数轴上由数轴上两点之间的距离得到方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：①先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为， 故选：D． ②由题意得 ， 故答案为：； （2）解：①因为表示的点与表示3的点重合， 所以折痕点表示的数是， 设表示2024的点与表示的点重合， 所以， 解得：， 故答案为：； ②因为A、B两点之间的距离为2026，折痕点表示的数是， 所以A、B到折痕点的距离均为， 所以表示的数是， 表示的数是， 故答案为：，； （3）解：t秒后表示的数为， 表示的数为， 设表示的数为， 因为以为折点， 所以， 解得， 因为长度为6， 所以， 整理得 解得或（舍去）， 故当t为时，长度为6． 题型9 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）“甲桶油是乙桶的倍，甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等，乙桶油有多少千克？”为解决这个问题，可以“设乙桶油有x千克”，那么根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据原来甲、乙桶油质量间的关系，可得出甲桶油有千克，根据“甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等”，即可列出关于x的一元一次方程． 【规范解答】解：∵甲桶油是乙桶的倍，且乙桶油有x千克， ∴甲桶油有千克． 根据题意得：，即． 故选：C． 【变式】．（22-23七年级上·北京昌平·期中）【概念学习】 点A，B，C为数轴上的三点，如果点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么我们就称点C是的偶点． 如图1，点A表示的数为，点B表示的数为1，表示0的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的偶点；表示的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的偶点，但点D是的偶点． 【初步探究】 已知如图2，M，N为数轴上两点，点M表示的数为，点N表示的数为5，若点F是的偶点，回答下列问题： (1)当F在点M，N之间，点F表示的数为__________； (2)当F为数轴上一点，点F表示的数为____________； 【深入思考】 (3)如图3，P、Q为数轴上两点，点P表示的数为，点Q表示的数为40，现有一个动点E从点Q出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点P停止，若运动时间为t，求当t为何值时，P，Q，E中恰有一个点为其余两点的偶点？ 【答案】(1)3； (2)3或11； (3)10秒、15秒或20秒． 【思路引导】（１）根据偶点的定义，列方程求解即可； （２）根据题意，分两种情况，分别列方程求解即可； （３）根据题意，分四种情况分类讨论：①当点E是的偶点时，；②当点E是的偶点时，；③当点Q是的偶点时，；④点P是的偶点时，；然后分别列方程求解得解． 【规范解答】（1）解： 设点F表示的数是x， 点F是的偶点，F在点M，N之间， 即， 即点F表示的数是3； 故答案为：3． （2）解：设点F表示的数是x，依题，得 或 解得：或11； 故答案为：3或11． （3）解：点E从点Q出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点P停止，若运动时间为t，则动点E的表示的数为， ，． 分四种情况讨论： ①当点E是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ②当点E是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ③当点Q是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ④点P是的偶点时，， ， 解得：（秒） 综上所述，当为10秒、15秒或20秒时，E、P、Q中恰有一个点为其余两点的偶点． 【考点剖析】此题考查了数轴上的动点问题与一元一次方程的应用，准确读懂题意、理解偶点的定义、找出正确的等量关系是解此题的关键． 题型10 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（24-25七年级上·江苏南通·月考）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12立方米的部分 元/立方米 超过12立方米但不超过20立方米的部分 元/立方米 超过20立方米的部分 元/立方米 (1)某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） (2)设某户月用水量为立方米，当时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立方米（列方程求解）？ (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含的式子表示） 【答案】(1)元； (2)30立方米 (3)当时，甲乙共缴纳72元；当时，甲乙共缴纳元 【思路引导】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的生活实际应用，正确理解分段的界点是解题的关键． （1）根据缴费标准解答即可求解； （2）设该用户这个月的用水量是m立方米，根据题意可得，然后列出方程，即可求解； （3）分两种情况：当时，当时，根据题意，列出代数式，即可求解． 【规范解答】（1）解：元， 即该户4月份应缴纳的水费为元； （2）解：设该用户这个月的用水量是m立方米， ∵，且， ∴， 根据题意得：， 解得：， 答：该用户这个月的用水量是30立方米； （3）解：当时，且元， 根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元， 设甲户这个月用水立方米，则， 当时，甲户用水量超过但不超过，乙户用水量不少于但少于， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元， 综上所述，当时，甲乙共缴纳72元；当时，甲乙共缴纳元． 【变式】（24-25六年级下·山东泰安·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 20吨及以下 a 0.95 超过20吨但不超过30吨的部分 b 0.95 超过30吨的部分 5.8 0.95 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费．） 已知小王家2024年7月用水18吨，交水费56.7元；8月份用水24吨，交水79.2元． (1)求a、b的值； (2)如果小王家9月份用水35吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【答案】(1)，； (2)应上交水费137.25元． 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键 （1）基本关系：费用=单价数量，其中单价=水价+污水处理价，据此建立方程求解； （2）分三段计算即可； 【规范解答】（1）当用水18吨时，水费为元，根据题意得， ），解得：； 当用水24吨时，20吨水的费用为，根据题意得 ）；解得：； （2）（元） 答：小王家9月份用水35吨，应上交水费137.25元． 题型11 行程问题（元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． (1)如果代数式的值为，那么代数式的值为_______． (2)如图，若，求长方形与的面积差． (3)两地相距千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距千米的时间． 【答案】(1) (2) (3)小时或小时 【思路引导】本题主要考查列代数式，求解代数式的值，正确理解题意是做题的关键． （1）利用整体思想，将原式化为，即可求值； （2）先根据图形列出代数式，再整体代入即可； （3）根据题意列方程，再整体代入解方程即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由图可得长方形与的面积差为： 答：长方形与的面积差为． （3）解：由题意得，， ． 设经过小时甲、乙两人相距千米， 则或， 即或， 解得，或． 答：甲、乙两人相距千米的时间为小时或小时． 【变式】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是，点B表示的数是5． (1)A、B之间的距离为________； (2)若点C是数轴上一点且到A、B两点的距离相等，则点C对应的数是________； (3)若点D在数轴上，且点D到点B的距离为6，则点D对应的数是________； (4)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上以每秒3个单位长度的速度向右移动；同时一只毛毛虫从点B出发，在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左移动，它们经过几秒后相距4个单位长度？ 【答案】(1)20 (2) (3)11或 (4)6秒或4秒 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、一元一次方程的应用等知识点，理解数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离公式求解即可． （2）设点对应的数是，然后根据数轴上两点间的距离公式列一元一次方程求解即可； （3）设点对应的数是，然后根据数轴上两点间的距离公式列绝对值方程求解即可； （4）设经过t秒后相距4个单位长度，根据题意列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：， 故A、B之间的距离为20． （2）解：设点对应的数是， 由题意可得：， 解得：， 所以点对应的数是． 故答案为：． （3）解：设点对应的数是， 由题意可得：， 解得：或 所以点对应的数为11或． （4）解：设经过t秒后相距4个单位长度， ， 解得：或4． 即经过6秒或4秒后 蚂蚁和毛毛虫相距4个单位长度． 题型12 比例分配（一元一次方程的应用） 38．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点所对应的数依次为，3，21，乙数轴上的三点所对应的数依次为．当点与点上下对齐时，点恰好分别与点上下对齐，则的值为（） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上点的对应关系以及一元一次方程的应用的知识点，解题的关键是根据上下对齐的点之间的距离比例关系列出等式． 根据点与点上下对齐，点与点上下对齐，点与点上下对齐，利用甲，乙数轴上对应点之间的距离关系列出关于的方程求解． 【规范解答】因为点与点上下对齐，点与点上下对齐，点与点上下对齐，所以甲，乙两条数轴上对应点之间的距离比例是相同的， 先计算甲数轴上A，B两点间的距离为：， 两点间的距离为：， 乙数轴上D，E两点间的距离为：， 两点间的距离为：， 根据距离比例相同可得： 解得． 故答案选：C． 【变式】（23-24七年级上·云南昭通·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2)①见解析；②采购员第一次购买甲种材料120千克 【思路引导】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 题型13 日历问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）将从1到1800的正整数按一定规律排列如图： (1)探究如图“+”框中的5个数： ①设这5个数中间的数为，这5个数的和是240，求是多少？； ②这5个数的和可能是2005吗？___________（填能或不能） (2)数1240排在第___________行，第___________列； (3)若“+”形框中框住的五个数的和记为“S”，则的最大值与最小值的差等于___________． 【答案】(1)①48②能 (2)138；7 (3)8895 【思路引导】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚各数之间的规律． （1）①用含a的式子表示各个数，再求和，从而可求解； ②结合①列方程进行求解即可； （2）不难看出，第n行的最后一个数为，再有，从而可判断1240的位置； （3）根据“+”形框的形状，不难得到“+”形框中最小的数为11，最大的数为1790，从而可求相应的S的值，再求差即可． 【规范解答】（1）解：观察“+”形框中框住的五个数，中间数为时，上下左右的数分别为， 这5个数的和为， 当这5个数的和为240时，， 解得：， 故答案为：； ②， 解得， 所以，这5个数的和能为2005， 故答案为：能； （2）解：由数表知，每一行都有9个数，则第n行的最后一个数为， 又， 所以，数1240排在第138行，第7列； 故答案为：138；7； （3）解：根据“+”形框的形状，可得“+”形框中最小的数在第二行第二列为11， 最大的数在第199行第8列，为， ∴当最小的数为11时，则这5个数的和； 当最大的数为1790时，则这5个数的和， ∴S的最大值与最小值的差为：， 故答案为：8895． 【变式】（2025七年级上·全国·专题练习）将连续的奇数按如下图所示的规律排列． (1)十字框中的五个数的平均数与27有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的平均数与27相等 (2)能， 【思路引导】（1）先算出十字框中的五个数的平均数，然后判断与的关系； （2）设中间的数是，表示出其余个数，然后列出方程并求解，再根据是奇数且前后都有奇数解答． 【规范解答】（1）解：相等. ． 故十字框中的五个数的平均数与相等． （2）解：能． 设中间的数是，则其余个数分别为，，，， 则五个数的和为， ， 则其上面的数为， 其下面的数为， 其左边的数为， 其右边的数为， 故这五个数为：，，，，． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程的应用．仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． 题型14 古代问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（24-25七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为尺，所列方程为 B．设绳子的长为尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程求解，逐项判断即可． 【规范解答】解：设井深尺， 根据题意得， 故选项A错误，不符合题意； 解得：， 井深8尺， 故选项D正确，符合题意； ， 绳子的长是尺， 故选项C错误，不符合题意； 设绳子的长为尺，根据题意得， 故选项B错误，不符合题意； 故选：D． 【变式】（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【答案】624个 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设寺里有x个和尚，根据“每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，可列出关于x的一元一次方程求解即可． 【规范解答】解：设寺里有x个和尚， 根据题意得：，解得：． 答：寺里有624个和尚． 题型15 其他问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·山东青岛·期中）用长度相同的小棒按图所示的方式拼摆正五边形． (1)拼摆5个这样的正五边形需要______根小棒，拼摆8个这样的正五边形需要______根小棒； (2)拼摆n个这样的正五边形需要______根小棒（用含n的式子表示）； (3)用2026根小棒可以拼摆多少个这样的正五边形？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)用2026根小棒可以拼摆个这样的正五边形，且剩余1个木棒，理由见解析 【思路引导】本题考查找规律，一元一次方程的应用，根据图形找出规律是解题的关键． （1）观察图形可得规律，每增加一个正五边形，当摆出的正五边形个数大于或等于2个时，就需要增加4根小棒，据此即可解答； （2）根据题干图形得到需要的小棒规律，即可解题； （3）设用2026根小棒可以拼摆（为正整数）个这样的正五边形，根据（2）中规律列出一元一次方程求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：观察图形可得规律，摆1个这样的正五边形，需要5根小棒，当摆出的正五边形个数大于或等于2个时，每增加一个正五边形，就需要增加4根小棒， 则拼摆5个这样的正五边形需要根小棒， 拼摆8个这样的正五边形需要根小棒， 故答案为：，； （2）解：根据图形可知，摆1个五边形，需要根小棒， 摆2个五边形，需要根小棒， 摆3个五边形，需要根小棒， 依次类推， 摆个五边形，需要根小棒， 故答案为：． （3）解：用2026根小棒可以拼摆个这样的正五边形，且剩余1个木棒，理由如下： 设用2026根小棒可以拼摆（为正整数）个这样的正五边形， 由题知，， 解得， 为正整数， ∴用2026根小棒可以拼摆个这样的正五边形，且剩余根木棒． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满元送元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过元的部分 九折优惠 超过元但不超过元的部分 七折优惠 超过元但不超过元的部分 六折优惠 超过元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 【答案】小依与小钟各自所购物品的原总价分别是元、元或元、元 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键．设小依所购物品的原总价是元，则小钟所购物品的原总价是元，分，，三种情况进行讨论求解． 【规范解答】解：设小依所购物品的原总价是元，则小钟所购物品的原总价是元， 两人组合，一次性购买所有物品，按照方案一实际付款为：（元）； 按照方案二实际付款为：（元）． ， 两人各自购物实际付款总额为：（元）， 小钟所购物品的原总价高于小依， ， ， ①当时， ， 解得：，与矛盾，故舍去； ②当时， ， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； ③当时， ， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； 答：小依与小钟各自所购物品的原总价分别是元、元或元、元． 1．（2024七年级上·云南·专题练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则表中△处的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用． 先求出三个数字之和为，再根据各条对角线上的三个数字之和相等求出，进而根据第一行的数字之和可求出△处的值． 【规范解答】解：由图得，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和为：， 又∵各条对角线上的三个数字之和相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用．根据树苗总数不变，分别列出两种情况下树苗总数的表达式，并令其相等． 【规范解答】解：每人植2棵树，树苗余下21棵，即共棵树苗， ∵每人植3棵树，树苗还差24棵，即共棵树苗， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为，可求出这五个数的和，再令这五个数的和分别为四个选项中的数，解方程求出的值，看是否满足日历的特点即可得到答案． 【规范解答】解：设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为， ∴这五个数的和为， 当，解得，而25不能作为最中间的数，故A符合题意； 当，解得，而22能作为最中间的数，故B不符合题意； 当，解得，而15能作为最中间的数，故C不符合题意； 当，解得，而12能作为最中间的数，故D不符合题意； 故选：A． 4．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某校组织师生春游，若租用45座客车若干辆，刚好坐满，若租用60座客车，可比45座客车少租一辆且空余30个座位，则该校去参加春游的有（    ） A．90人 B．200人 C．220人 D．270人 【答案】D 【思路引导】本题考查一元一次方程解决实际问题，设租用45座客车x辆，则参加春游的人数可表示为人，或人，据此即可列出方程，求解得到x的值，进而可得参加春游的人数． 【规范解答】解：设租用45座客车x辆，根据题意，得 ， 解得， ∴参加春游的有（人）． 故选：D． 5．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值、整式的加减、有理数的乘法、一元一次方程的应用、数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据绝对值的性质即可判断①错误；分五种情况：、、、和，根据有理数的加减法与乘法法则即可判断②正确；根据有理数的乘法即可判断③错误；分三种情况：当点在点的左侧时、当点在点的中间时、当点在点的右侧时，利用数轴的性质建立方程，解方程即可判断④错误；分三种情况：、、，化简绝对值，计算整式的加减，由此即可判断⑤错误． 【规范解答】解：若，则，则说法①错误； 若， 当，且时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，所以， 综上，若，则是正数，则说法②正确； 如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中至少有一个数为0，则说法③错误； ∵、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，且相邻两点的距离相等， ∴当点在点的左侧时，则，解得， 当点在点的中间时，则，解得， 当点在点的右侧时，，解得， 综上，或或，则说法④错误； 当时，则， 当时，则， 当时，则， 所以的最小值为2013，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是②， 故选：B． 6．（25-26七年级上·全国·期末）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，先表示两种购买方式得到的利润，再根据获得同样多的利润，进行列方程，即可作答． 【规范解答】解：∵原订购60套，每套100元，设每套课桌椅的成本为x元， ∴利润； ∵校方购了72套，每套减价3元， ∴利润； 则． 故答案为： 7．某测试卷只有25道选择题，做对1道得4分，做错1道扣1分．某同学做了全部试题，得了70分，他一共做对了 道． 【答案】19 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用．根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设某同学做对了道，那么他做错了道，他的得分应该是，据此可列出方程． 【规范解答】解：设某同学做对了道，则做错了道， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【答案】26或 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【规范解答】解：在点P运动过程中，，即， 分两种情况： ①当点P运动到点A右侧时，， 此时点P表示的数是； ②当点P运动到点A左侧时，设，则， ∵， ∴， 则，则， ∴点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或， 故答案为：26或． 9．依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定，从2011年9月1日起，公民全月各种收入总额不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按右表分段累进计算．陶老师2012年11月份缴纳个人所得税税金75元，那么陶老师该月的税前收入总额是 元． 全月应纳税所得税额 税率 不超过1500元的部分 3% 超过1500元至4500元的部分 10% …… …… 【答案】5300 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用-分段计费问题﹒先根据题意估算陶老师月税前收入总额大于5000元，小于8000元，设为x元，根据题意列出方程，解方程即可﹒ 【规范解答】解：当月收入为元时，应纳税为元， 当月收入为元时，应纳税为元， 所以陶老师的税前收入总额大于5000元，小于8000元， 设陶老师该月的税前收入总额是x元﹒ 由题意得， 解得﹒ 答：陶老师该月的税前收入总额是5300元﹒ 故答案为：5300 10．（21-22七年级上·四川绵阳·期末）如示意图，两地间有一条河，两地间路程共米（包括旱路与水路），且两地到河岸均有一定距离，甲、乙二人从地出发到地，乙先于甲出发，当乙走到岸边处登船渡河时，甲从地出发；当小船将乙送过河后再空船原路返回到达地岸边处时，甲刚好到达处登船；当小船将甲送到对岸处时，乙恰好到达地，现已知甲、乙二人步行速度均为米／分钟，小船在水中行驶的平均速度为米／分钟（不考虑水流速度影响），则两地间水路的长度为 米． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，设两地水路的长度为米，则乙从A到C的时间为船渡河的往返时间：分钟，甲从D到B的时间为船从D到C的时间加上乙乘船C到D的时间：分钟，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设两地水路的长度为米，则乙从A到C的时间为船渡河的往返时间：分钟，甲从D到B的时间为船从D到C的时间加上乙乘船C到D的时间：分钟，由题意得， ， 解得， ∴两地间水路的长度为米， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 【答案】这列火车的长为400米 【思路引导】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度：或者，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设这列火车的长为x米，由题意得： ， 解得：； 答：这列火车的长为400米． 12．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）甲骑车以12千米/时的速度从A地前往B地，同时乙步行以4千米/时的速度从B地前往A地，乙出发后小时遇到甲，相遇后二人继续前进，甲到达B地后休息了半小时立即返回A地，问甲离开B地多少小时后才能追上乙？ 【答案】甲离开B地小时后才能追上乙 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设甲离开B地x小时后才能追上乙，根据题意列出方程，再解方程即可． 【规范解答】解：设甲离开B地x小时后才能追上乙，依题意，得 ， 解得 答：甲离开B地小时后才能追上乙． 13．（25-26七年级上·北京·期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【答案】(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【规范解答】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 14．（25-26七年级上·湖南·期末）将连续的奇数，，，，，…，排列成如图所示数表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 … (1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系？ (2)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和； (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，十字框中的五个数之和能等于吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数的倍 (2) (3)能，，，，， 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化，根据十字框中个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的倍是解题的关键． （1）将十字框中的五个数相加即可得出结论； （2）设中间数为，则其他四个数字分别为，，，，将五个数相加可得出结论； （3）设中间的数为，其他个数分别为、、、，令其相加等于，算出的值，结合数阵数的特点即可得出结论． 【规范解答】（1）解：十字框中的五个数的和为：， ， 十字框中的五个数的和是中间数的倍； （2）解：设中间数为，则其他四个数字分别为，，，， 这五个数的和为； （3）解：设中间的数为，其他个数分别为、、、， 个数之和为， 令， 解得：， 是奇数，， 是第行第个数，符合题意， 十字框中的五个数之和能等于， 这五个数分别为：，，，，． 15．已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点运动到原点时，此时点 关于的“好点”（填是或者不是）； 若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)①不是；②秒或秒 (3)，，，，， 【思路引导】本题考查了数轴，好点的定义，熟练掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键：即若点表示，点表示时，． （1）根据点到点的距离等于点到点的距离即可得到结论； （2）①先根据数轴上两点的距离表示出和的长，再根据好点的定义即可求解； ②根据题意可得，，再根据好点的定义即可求解； （3）分五种情况进行讨论：当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时，分别代入计算即可； 【规范解答】（1）解：， 点到点、点的距离相等， ， 点表示的数是； （2）解：当点运动到原点时，，， ， 点不是关于的“好点”； 故答案为：不是； 根据题意可知：设点运动的时间为秒， ，， ， 解得或， 所以点的运动时间为秒或秒； （3）解：根据题意可知：设点表示的数为， 或，，， 分五种情况进行讨论： 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即或，解得或 不符合题意，舍去； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得． 综上所述：所有符合条件的点表示的数是：，，，，，． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $