第8单元数与形（综合训练）-2025-2026学年数学六年级上册人教版

（期末单元复习）第8单元数与形-2025-2026学年数学六年级上册人教版 一、选择题 1．如图是用火柴棍摆成的3个不同的正方形，按照这个规律，摆第5个图形需要（    ）根火柴棍。 A．25 B．55 C．50 D．60 2．名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，第三天截取的长度是最初木棒总长度的（    ）。 A． B． C． D． 3．按照如图所示的规律，图6中小三角形共有（    ）个。 A．53 B．51 C．49 D．47 4．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 5．用小棒搭成下面的图形。按以下方式，搭第n个图形需要（    ）根小棒。 A．5n B．5n＋1 C．6n D．6n＋1 6．如图，把小正方形摆成一层、两层、三层……，如果按此规律摆成的图形共有59层，则小正方形的个数为（    ）。 A．1800 B．1770 C．60 D．59 二、填空题 7．( )。 8．，，，，…这一列数中的第15个数应该是( )。 9．仔细观察下图的排列规律。 第10个图形有( )个顶点。 10．如图： (1)按这样拼摆下去，6张桌子拼摆在一起可坐( )人。 (2)n张长条桌拼摆在一起可坐( )人，如果有98人，需要( )张长条桌拼摆在一起。 11．观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第10幅图中有( )个点，第( )幅图中有2025个点。 12．小圆片按照下图规律排列，第5堆有( )个小圆片，第n堆有( )个小圆片。 三、判断题 13．同一平面内的6条直线，最多有15个交点。( ) 14．◯△◎□◯△◎□……，第103个图形是□。( ) 15．照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 16．找规律：、、、、、、、（    ），括号里应填。( ) 17．如图，像这样摆下去，摆n个正方形需要多少根小棒，用式子表示是4n。( ) …… 四、计算题 18．直接写得数。                                   0.32－0.22＝     19．脱式计算。（第（1）、（2）小题要求用简便计算） （1）                   （2） （3）           （4） 20．解方程。 （1）30%x＝60           （2） 五、解答题 21．数一数，填一填，做一做。 （1）图中各有多少个和？填一填。 序号 ① ② ③ ④ （2）照这样接着画下去，第6个图形中有多少个？请你试着算一算。 22．如下图，用完全一样的火柴棍按照一定的规律拼图形。 （1）拼第4个图形需要 根火柴棍；拼第n个图形需要 根火柴棍。 （2）拼第几个图形时，需要2026根火柴棍？ 23．现将连续自然数1至2009按下图中的方式排列成一个长方形队列，用正方形方框可以任意框出这个队列中的16个数，如图所示。 （1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请求出这16个数的和。（用n的代数式表示） （2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于832、2000、2010是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 24．下面是用牙签拼成的图形，观察下图的规律，按要求回答问题。 （1）看图填写下表中的相关数据。 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 … 正方形的个数 3 5 … 所用牙签总根数 12 20 … （2）根据（1）中信息，你发现了什么规律？ （3）按这种拼图方法拼出的第10个图中三角形和正方形各有多少个？共需要牙签多少根？ 25．如图，观察下面图与算式的规律并解决问题。 （1）根据前几幅图与算式的规律，第五幅图的等式（    ）。 （2）根据以上观察，n2－（n－1）2＝（    ）。 （3）利用上面发现的规律计算下面算式的结果。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝（    ）。 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《（期末单元复习）第8单元数与形-2025-2026学年数学六年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B A C B B 1．D 【分析】根据图示可知：第1幅图火柴棍根数：4根 第2幅图火柴棍根数：12根，12＝4＋8＝2×2×（2＋1） 第3幅图火柴棍根数：24根，24＝4＋8＋12＝2×3×（3＋1） … 第n幅图火柴棍根数：2n（n＋1），据此解答。 【详解】第n幅图火柴棍根数：2n（n＋1）。 当n＝5时， 2n（n＋1） ＝2×5×（5＋1） ＝2×5×6 ＝10×6 ＝60（根） 摆第五个图形需要60根火柴棍。 故答案为：D 【点睛】此题主要考查了图形变化类问题，找到第n幅图火柴棍根数的规律2n（n＋1）是解题的关键。 2．B 【分析】把一尺长的木棒看作单位“1”，第一天截取它的一半，即截取了，还剩下1－；第二天截取的一半，即×＝，还剩下－；第三天取（－）的一半，即（－）×。 【详解】（1－）× ＝× ＝ （－）× ＝（－）× ＝× ＝ 所以第三天截取的长度是最初木棒总长度的。 故答案为：B 3．A 【分析】通过观察图1、图2、图3中小三角形的个数，找出其数量变化规律，进而推导出第n个图中小三角形个数的公式，最后计算图6的情况。 【详解】观察图形可知，小三角形个数由两部分组成：顶部固定有4个小三角形；底部小三角形个数与图的序号相关，第n个图底部小三角形个数为（n＋1）2个。那么第n个图中小三角形的总个数为4＋（n＋1）2。当n＝6时，代入可得：4＋（6＋1）2＝4＋49＝53。 【点睛】解决此类找规律问题，关键是要细致观察图形的组成，将复杂的数量分解为几个有规律的部分，分别找出各部分的规律，再综合起来得到总的规律，最后代入计算即可。 4．C 【分析】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【详解】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 5．B 【分析】由图观察规律可知：第1个图形用（1＋5）根小棒搭成，第2个图形用（1＋5×2）根小棒搭成，第3个图形用（1＋5×3）根小棒搭成，第4个图形用（1＋5×4）根小棒搭成，据此规律解答。 【详解】由题，第一个图形用（1＋5）根小棒搭成， 第2个图形用（1＋5×2）根小棒搭成， 第3个图形用（1＋5×3）根小棒搭成， 第4个图形用（1＋5×4）根小棒搭成， 以此类推，第n个图形需要小棒： 1＋5×n＝（5n＋1）根 故答案为：B 6．B 【分析】一层有1个小正方形，可以写成：（1＋1）×1÷2； 二层有3个小正方形，可以写成：（1＋2）×2÷2； 三层有6个小正方形，可以写成：（1＋3）×3÷2； 四层有10个小正方形，可以写成：（1＋4）×4÷2； …… 由此可知，n层有（1＋n）×n÷2个小正方形，据此求出n＝59时，小正方形的个数。 【详解】根据分析可知，n层有（1＋n）×n÷2个小正方形。 n＝59时： （1＋59）×59÷2 ＝60×59÷2 ＝3540÷2 ＝1770（个） 把小正方形摆成一层、两层、三层……，如果按此规律摆成的图形共有59层，则小正方形的个数为1770。 故答案为：B 7．1 【分析】分数部分的分母最小公倍数是16，先把分数部分通分成分母为16的分数，利用加法结合律把分数部分相加，最后把整数1加上。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 因此，＝ 8． 【分析】观察可知，分母依次是2、4、6、8…，即分母是从2开始的连续偶数，第n个数的分母应该是2n；分子依次是1、3、5、7…，即分子是从1开始的连续奇数，第n个数的分子是2n－1，据此解答。 【详解】分母：2×15＝30 分子：2×15－1 ＝30－1 ＝29 所以，，，，，…这一列数中的第15个数应该是。 9．31 【分析】由图可知，第1个图形有4个顶点，第2个图形有（4＋3）个顶点，第3个图形有（4＋3×2）个顶点，第4个图形有（4＋3×3）个顶点……以此类推，每次增加3个顶点，那么第n个图形有[4＋3（n－1）]个顶点，最后求出n＝10时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】4＋3（n－1） ＝4＋3n－1×3 ＝4＋3n－3 ＝3n＋4－3 ＝（3n＋1）个 当n＝10时，3n＋1 ＝3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 所以，第10个图形有31个顶点。 10．(1)26 (2) 4n＋2/2＋4n 24 【分析】从图中可知：第一张餐桌上可以坐2＋4×1＝6人，第二张图增加一个桌子人数增加了4人，即2＋4×2＝10，第三图比第二张图增加一张桌子，人数也比第二张图人数增加4人，即2＋4×3＝14，由此发现：n张长条桌拼摆在一起可坐2＋4×n人。据此解答即可。 【详解】（1）第一张餐桌上可以坐6人：2＋4人，即2＋4×1 第二张餐桌上可以坐：2＋4＋4人，即2＋4×2 第三张餐桌上可以坐：2＋4＋4＋4人，即2＋4×3 6张桌子拼摆在一起可坐： 2＋4×6 ＝2＋24 ＝26（人） 所以6张桌子拼摆在一起可坐26人。 （2）由（1）规律可知n张长条桌拼摆在一起可坐2＋4×n人，即4n＋2 如果有98人，即4n＋2＝98 4n＋2＝98 解：4n＋2－2＝98－2 4n÷4＝96÷4 n＝24 所以n张长条桌拼摆在一起可坐4n＋2，如果有98人，需要24张长条桌拼摆在一起。 11． 33 674 【分析】观察图形可知，第1幅图中有6个点，第2幅图中有（6＋3）个点，第3幅图中有（6＋3×2）个点，依此类推....第n幅图中有[6＋3×（n－1） ]个点，据此规律解答。 【详解】由分析可知，第n幅图中有： 6＋3×（n－1） ＝6＋3n－3 ＝（3n＋3）（个） 当n＝10时，3n＋3＝3×10＋3＝33（个） 3n＋3＝2025 解：3n＋3－3＝2025－3 3n＝2022 3n÷3＝2022÷3 n＝674 第10幅图中有33个点，第674幅图中有2025个点。 12． 22 （4n＋2） 【分析】观察图形可知，每一堆都比上一堆增加4个小圆片，则： 第1堆：有6个小圆片，可将6拆分成6＝4＋2； 第2堆：有10个小圆片，可将10拆分成10＝8＋2＝4×2＋2； 第3堆：有14个小圆片，可将14拆分成14＝12＋2＝4×3＋2； 由此可知规律为：小圆片的数量＝4×第几堆的序号数几＋2； 据此可计算第5堆的小圆片数量和第n堆小圆片数量。 【详解】根据分析可知： 4×5＋2 ＝20＋2 ＝22（个） 即第5堆有22个小圆片。 4×n＋2＝（4n＋2）个 即第n堆有（4n＋2）个小圆片。 第5堆有22个小圆片，第n堆有（4n＋2）个小圆片。 13．√ 【分析】2条直线相交，最多有1个交点。3条直线两两相交，最多增加2个交点，最多有3个交点。1＋2＝3个。4条直线两两相交，最多增加3个交点，最多有6个交点。1＋2＋3＝6个。5条直线两两相交，最多增加4个交点，最多有10个交点。1＋2＋3＋4＝10个。6条直线两两相交，最多增加5个交点，最多有15个交点。1＋2＋3＋4＋5＝15个。根据以上规律可知，n条直线两两相交，最多有1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）个交点。 【详解】由分析可知： 1＋2＋3＋4＋5 ＝3＋3＋4＋5 ＝6＋4＋5 ＝10＋5 ＝15（个） 则同一平面内的6条直线，最多有15个交点。原题干说法正确。 故答案为：√ 14．× 【分析】观察图形可知，◯△◎□每4个图形循环一次，即一个周期，确定周期后，用103除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个，据此判断即可。 【详解】103÷4＝25（组）⋯⋯3（个） 则第103个图形是◎。原题干说法错误。 故答案为：× 15．√ 【分析】由图可知，第1个图形一共有9个方块，可以写成：3×[3＋2×（1－1）]个方块； 第2个图形一共有15个方块，可以写成：3×[3＋2×（2－1）]个方块； 第3个图形一共有21个方块，可以写成：3×[3＋2×（3－1）]个方块； … 第n个图形一共有3×[3＋2×（n－1）]个方块； 第1个图形一共有1个黑色方块，第2个图形一共有2个黑色方块，第3个图形一共有3个黑色方块……则第n个图形有n个黑色方块； 白色方块的数量＝方块的总数量－黑色方块的数量，据此求出第10个图形中黑色方块和白色方块，再进行比较，即可解答。 【详解】根据分析可知，第10个图形方块有： 3×[3＋2×（10－1）] ＝3×[3＋2×9] ＝3×[3＋18] ＝3×21 ＝63（个） 黑色方块有10个； 白色方块有：63－10＝53（个） 照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。 原题干说法正确。 故答案为：√ 16．√ 【分析】观察可知，分子从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，分母加1后，分子继续从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，据此规律进行分析。 【详解】1＋1＝2 找规律：、、、、、、、，括号里应填，原题说法正确。 故答案为：√ 17．× 【分析】由图可知，一个正方形需要4根小棒，两个小正方形需要（4＋3）根小棒，三个小正方形需要（4＋3＋3）根小棒，由此可以推断，除了第一个正方形需要4根小棒，之后每增加一个正方形只需要3根小棒，那么摆n个正方形只需要4＋3（n－1）根小棒，化简即可验证。 【详解】4＋3（n－1） =4＋3n－3 =3n＋1（根） 摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。 故答案为：× 【点睛】此题考查学生的归纳总结能力以及含有字母的式子的化简，找到题干中的排列规律是解题的关键。 18．；1.2；27；1；3； ；1；6；0.05； 【详解】略 19．（1）29；（2）11； （3）0.15；（4） 【分析】（1），根据乘法分配律，小括号里的数分别与24相乘，再相加； （2），将除法改写成乘法，逆用乘法分配律，先算（），再与11相乘； （3），先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括号外的除法； （4），先算加法，再算减法，最后算除法。 【详解】（1） ＝ ＝20＋9 ＝29 （2） ＝ ＝（）×11 ＝1×11 ＝11 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0.15 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 20．（1）x＝200 （2）x 【分析】（1）先把30%转化成小数0.3，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.3求解。 （2）先根据等式的性质1，方程两边同时减去；再根据等式的性质2，方程两边同时除以求解。 【详解】（1）30%x＝60 解：0.3x＝60 0.3x÷0.3＝60÷0.3 x＝200 （2） 解： 21．（1）表见详解 （2）21个 【分析】 ①图有1个， ②图有1＋2＝3（个）， ③图有1＋2＋3＝6（个）， ④图有1＋2＋3＋4＝10（个），…… 由此发现规律：第n图有（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 ①图有1＋2＝3（个）△， ②图有1＋2＋3＝6（个）△， ③图有1＋2＋3＋4＝10（个）△， ④图有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）△，…… 由此发现规律：第n图有[1＋2＋3＋4＋…＋（n＋1）]个△。 据此解答。 【详解】 （1）的个数： ①图：1个； ②图：1＋2＝3（个）； ③图：1＋2＋3＝6（个）； ④图：1＋2＋3＋4＝10（个）； △的个数： ①图：1＋2＝3（个）； ②图：1＋2＋3＝6（个）； ③图：1＋2＋3＋4＝10（个）； ④图：1＋2＋3＋4＋5＝15（个）； 序号 ① ② ③ ④ 3 6 10 15 1 3 6 10 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个） 答：第6个图形中有21个。 22．（1）34；8n＋2 （2）253个 【分析】（1）根据已知的三个图形，第一个图形有8×1＋2＝10根火柴棍，第二个图形有8×2＋2＝18根火柴棍，第三个图形有8×3＋2＝26根火柴棍，据此可发现规律：第n个图形需要（8n＋2）根火柴棍，代入数据n＝4进行计算，即可得出答案。 （2）根据火柴棍的规律建立方程，解出n的值即可。 【详解】（1）8×4＋2 ＝32＋2 ＝34（根） 所以，拼第4个图形需要34根火柴棍；拼第n个图形需要（8n＋2）根火柴棍。 （2）解：设拼第n个图形时，需要2026根火柴棍。 8n＋2＝2026   8n＋2－2＝2026－2 8n＝2024 8n÷8＝2024÷8 n＝253 答：拼第253个图形时，需要2026根火柴棍。 23．（1）16n＋192 （2）832是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是40，最大数是64。 2000是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是113，最大数是137。 由于n应为自然数，2010不可能是正方形框内16个数的和。 【分析】（1）正方形框中的16个数构成一个4×4的矩阵，横向的数从左向右依次加1，纵向的数从上向下依次加7，据此找出框中16个数的和与最小数n的关系； （2）框中最小数是n，最大数是框中第四列第四行位置上的数，是n＋3＋7×3＝n＋24，通过给定的和值，反向求解出n的值，根据n是自然数的特征判断和的可能值，求出16个数中的最小数和最大数。 【详解】（1）假设左上角的数为n，那么框中的16个数依次为 n n＋1 n＋2 n＋3 n＋7   n＋8 n＋9 n＋10 n＋14 n＋15   n＋16 n＋17 n＋21 n＋22   n＋23 n＋24 [n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）]＋[（n＋7）＋（n＋8）＋（n＋9）＋（n＋10）]＋[（n＋14）＋（n＋15）＋（n＋16）＋（n＋17）]＋[（n＋21）＋（n＋22）＋（n＋23）＋（n＋24）] ＝[n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）]＋[n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋7×4] ＋[n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋14×4] ＋[n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋21×4] ＝（4n＋6）＋[（4n＋6）＋28]＋[（4n＋6）＋56]＋[（4n＋6）＋84] ＝16n＋192 故16个数的和是16n＋192。 （2）16n＋192＝832 16n＋192－192＝832－192 16n＝640 16n÷16＝640÷16 n＝40 n＋24＝40＋24＝64 所以832是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是40，最大数是64。 16n＋192＝2000 16n＋192－192＝2000－192 16n＝1808 16n÷16＝1808÷16 n＝113 n＋24＝113＋24＝137 所以2000是正方形框内16个数的和，这16个数中的最小数是113，最大数是137。 16n＋192＝2010 16n＋192－192＝2010－192 16n＝1818 16n÷16＝1818÷16 n＝113.625 由于n应为自然数，所以2010不可能是正方形框内16个数的和。 【点睛】本题考查观察数阵数字排列规律，用含有字母的代数式表示框内16个数的和；并通过列方程求解n，判断能否框出满足条件的16个数。 24．（1）见详解 （2）第个图中，三角形有个，正方形有个，所用牙签总根数为根。 （3）三角形有10个，正方形有21个；牙签84根 【分析】（1）观察图形，三角形的个数：图①有1个三角形，图②有2个三角形，图③有3个三角形，图④有4个三角形，因此图序为时，三角形个数为；正方形的个数：图①有3个正方形，图②有5个正方形，图③有7个正方形，图④有9个正方形，通过观察可知正方形的个数比三角形个数的2倍还多1，因此图序为时，正方形个数为；牙签总数：图①有12根牙签，图②有20根牙签，图③有28根牙签，图④有36根牙签； （2）通过观察可知牙签的总数比三角形个数的8倍还多4，因此图序为时，牙签的总数为； （3）根据规律可以求出对应值。 【详解】（1） 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 3 4 … 正方形的个数 3 5 7 9 … 所用牙签总根数 12 20 28 36 … （2）第个图中，三角形有个，正方形有个，所用牙签总根数为根。 （3）； 答：第10个图中三角形有10个，正方形有21个，共需要牙签84根。 【点睛】本题考查了图形规律的探索，需要通过观察图形的变化，分析三角形的个数、正方形的个数、牙签总数随图序变化的规律，再用代数式表示规律并应用规律解决问题。 25．（1）62－52＝6＋5 （2）2n－1 （3）55 【分析】（1）观察前面的等式：第一幅图：22－12＝2＋1，是（1＋1）2－12＝（1＋1）＋1；第二幅图：32－22＝3＋2，是（2＋1）2－22＝（2＋1）＋2；第三幅图：42－32＝4＋3，是（3＋1）2－32＝（3＋1）＋3。则第四幅图：52－42＝5＋4。 由此可总结规律：第n幅图的等式为（n＋1）2－n2＝（n＋1）＋n。那么第五幅图，n＝5，对应的等式为62－52＝6＋5。 （2）根据前面的规律，（n）2－（n－1）2＝n＋（n－1），即2n－1。 （3）根据前面发现的规律a2－b2＝a＋b（其中a＝b＋1），对原式进行拆分计算：原式变为：（10＋9）＋（8＋7）＋（6＋5）＋（4＋3）＋（2＋1），然后计算即可。 【详解】 （1）由分析可知：第n幅图：（n＋1）2－n2＝（n＋1）＋n n＝5时： （5＋1）2－52 ＝62－52 ＝6＋5 第五幅图的等式是：62－52＝6＋5。 （2）（n）2－（n－1）2 ＝n＋（n－1） ＝2n－1 所以n2－（n－1）2＝2n－1 （3）102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12 ＝（10＋9）＋（8＋7）＋（6＋5）＋（4＋3）＋（2＋1） ＝19＋15＋11＋7＋3 ＝（19＋3）＋（15＋7）＋11 ＝22＋22＋11 ＝55 所以102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝55。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $