第19讲 立体几何装液体问题-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

第19讲 立体几何装液体问题 目 录 高考分析 1 学习目标 3 一.单选题 5 二.多选题 27 三.填空题 42 立体几何装液体问题（本质是几何体的“部分体积/液面形状”问题）是高考立体几何的应用型考点，多以选择题、填空题（分值5分）或解答题小问形式出现，融合几何体体积计算、截面分析、函数最值等知识，侧重考查直观想象、数学建模与实际问题转化能力，以下从命题特点、核心考点、考查趋势三方面展开分析： 一、命题特点 1. 载体特征： ◦ 以规则旋转体（圆柱、圆锥、圆台）或多面体（长方体、三棱柱、棱锥）为核心载体，其中圆柱、长方体是高频考点（如“圆柱形容器倾斜后液面形状与液体体积”“长方体水箱装水后的液面高度计算”）； ◦ 常结合“倾斜角度”“液面高度”“容器放置方式”等实际约束命题，如“圆锥形容器绕母线倾斜θ角后，求液体体积”“长方体水箱底面一边抬高后，液面形成的截面形状”。 2. 设问方向： ◦ 基础层：判断液面形状（如倾斜圆柱的液面为椭圆、倾斜长方体的液面为平行四边形/矩形）； ◦ 进阶层：计算液体体积（如已知液面高度/倾斜角度，求容器内液体体积）； ◦ 压轴层：探究液体体积的最值/范围（如圆柱形容器倾斜过程中，液体体积的最大值）、液面与几何体交点的轨迹（如倾斜圆柱中液面与侧面的交线形状）。 3. 核心逻辑： ◦ 装液体问题的本质是“几何体被平面（液面）截取后的部分体积计算”，关键在于确定液面平面与几何体的截面形状（截面是计算体积的基础）； ◦ 液体体积=几何体总体积ד液面截取的部分占比”（规则几何体可通过高度、角度等比例计算占比）。 二、核心考点 1. 液面截面的判断能力： ◦ 旋转体（圆柱/圆锥）：倾斜时液面为平面，与侧面的交线为曲线（圆柱中为椭圆、圆锥中为抛物线/椭圆），与底面的交线为直线； ◦ 多面体（长方体/三棱柱）：倾斜时液面为平面，截面为多边形（平行四边形、三角形、五边形等），需根据倾斜方向确定边数。 2. 部分体积的计算能力： ◦ 规则旋转体： ◦ 圆柱：液体体积=底面积×有效液面高度（倾斜时有效高度为液面到底面的垂直高度）；若完全倾斜，可通过扇形/弓形面积计算底面截取部分，再乘高度； ◦ 圆锥：液体体积=圆锥体积×（液面高度/圆锥总高度）³（正放时），倾斜时需结合截面三角形的相似比计算； ◦ 多面体： ◦ 长方体：液体体积=底面积×液面高度（正放）；倾斜时通过截面多边形面积×棱长计算（或用总体积减去空的部分体积）。 3. 实际约束的转化能力： ◦ 能将“倾斜角度θ”转化为几何量（如圆柱倾斜θ角后，液面到轴线的垂直距离=半径×sinθ）； ◦ 能将“液面高度h”转化为截面的边长/半径（如长方体液面高度h对应截面矩形的一边长为h）。 三、考查趋势 1. 实际应用性增强： ◦ 结合生活场景命题（如饮水机水桶、汽车油箱、粮仓的装液体问题），如“圆柱形油箱水平放置时，已知油面高度求油量”，需将实际问题转化为几何模型； ◦ 引入“不完全装满”“溢出判断”等约束，如“长方体水箱装水后倾斜，判断是否会溢出，若溢出求溢出体积”。 2. 与动态问题融合： ◦ 从静态装液转向动态倾斜过程分析，如“圆柱形容器绕底面直径旋转θ角（θ从0°到90°），求液体体积随θ的变化规律”； ◦ 探究液面轨迹与最值（如倾斜过程中液面面积的最大值、液体体积的取值范围）。 3. 对直观想象要求更高： ◦ 考题逐渐减少配图，要求考生仅通过文字描述还原容器倾斜后的空间结构、液面截面形状，考验抽象空间想象能力； ◦ 融合截面、轨迹、最值等考点，如“倾斜圆柱中液面与侧面交线的轨迹长度计算”。 四、高考评分关键点 1. 液面截面形状的判断需说明依据（如“圆柱倾斜时，液面为平面，与圆柱侧面的交线为椭圆，因平面与圆柱轴线不垂直”），无依据直接判断会扣分； 2. 体积计算需展示“截面面积/有效高度→体积”的推导过程（如长方体倾斜时，液体体积=截面平行四边形面积×棱宽），直接套用公式会扣分； 3. 动态问题需标注参数范围（如倾斜角度θ∈[0°,60°]，超出后液体溢出），遗漏范围会导致结果错误。 结合高考对立体几何装液体问题的考查要求，从基础认知、核心能力、综合应用三个维度制定学习目标，覆盖“模型转化、截面分析、体积计算”全环节： 一、基础认知目标 1. 理解装液体问题的核心本质： ◦ 明确装液体问题的本质是“几何体被液面（平面）截取后的部分体积计算”，液面始终为平面，液体形状为几何体的“截体”（如圆柱的截圆柱、长方体的截长方体）； ◦ 熟记常见容器（圆柱、长方体、圆锥）的结构特征，以及不同放置/倾斜方式下液面的截面类型（如圆柱正放时液面为圆形、倾斜时为椭圆；长方体倾斜时液面为平行四边形/三角形）。 2. 掌握核心计算公式与比例关系： ◦ 规则几何体总体积公式； ◦ 正放时液体体积与液面高度的比例关系（如圆柱正放时，液体体积占比=液面高度/圆柱总高度）； ◦ 相似几何体的体积比规律 二、核心能力目标 1. 液面截面的分析与判断能力： ◦ 能根据容器的倾斜方向、角度，确定液面（平面）与几何体的交线形状，判断截面类型（如圆柱倾斜时，截面为椭圆；长方体绕一边倾斜时，截面为平行四边形）； ◦ 能画出截面示意图，标注截面的关键边长、角度（如倾斜圆柱的截面椭圆的长轴、短轴长度）。 2. 液体体积的计算能力： ◦ 正放/平放容器：能通过“底面积×液面高度”直接计算液体体积，或通过“总体积×占比”求解； ◦ 倾斜容器：能通过“截面面积×棱长/母线长”（多面体）、“截体体积公式”（旋转体）或“总体积减去空体体积”的方法计算液体体积； ◦ 含倾斜角度的问题：能将角度转化为几何量（如圆柱倾斜θ角后，液面到底面的垂直高度h=r\sinθ），进而代入体积公式。 3. 动态装液问题的分析能力： ◦ 能设倾斜角度θ、液面高度h为参数，将液体体积表示为参数的函数（如二次函数、三角函数）； ◦ 能分析参数变化时液体体积的最值、范围（如圆柱倾斜过程中，液体体积的最大值为总体积），判断是否存在溢出情况（对比液体体积与容器总体积）。 三、综合应用目标 1. 实际问题的建模转化能力： ◦ 能将生活中的装液场景（如油箱、水桶、粮仓）转化为立体几何模型，提取关键参数（底面半径、高度、倾斜角度）； ◦ 能解决含“溢出判断”“剩余液体体积”的实际问题（如长方体水箱倾斜后，判断是否溢出，若溢出求剩余液体体积）。 2. 跨考点融合解题能力： ◦ 能结合轨迹问题，分析倾斜过程中液面与容器交点的轨迹形状、长度； ◦ 能结合最值问题，求解装液过程中液面面积的最大值、液体体积的取值范围。 3. 规范解题与易错规避能力： ◦ 解题时明确标注截面类型、体积计算的依据（如“由圆柱正放时液体体积与高度成正比，得液体体积V=πr²h_液”）； ◦ 规避核心易错点：混淆倾斜容器的液面高度与垂直高度、错误判断截面形状、动态问题中遗漏参数范围（如倾斜角度的上限）。 一、单选题 1．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，正方体，若要使液面形状不可能为三角形，则当平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面.若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形.设液体的体积为，则，而，，所以液体的体积的取值范围为. 故选：B. 2.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意知，水的体积为，如图所示， 设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于， 由题意知，水的体积为， 所以，即，解得， 在平面内，过点作交于， 则四边形是平行四边形，且， 又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角， 即侧面与平面所成的角,其平面角为， 在直角三角形中，.故选：C. 3.如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，平面与水面的夹角为， 则平面与水平桌面的夹角为． 由题意可得三棱柱的体积为4， 所以，解得， 所以． 水面距离桌面的高度为． 故选：B. 4.如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】在正方体中，与平面所成的角是相等的， 所以水平面平行于平面，又水平面恰好经过的中点， 则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为， 如图，所以其面积. 故选：B 5.如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与地面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为DA，DB，DC三条棱与地面所成角均相等，所以三棱锥为正三棱锥，设正方体的棱长为2，则，所以，则图1中，则，所以.故选：D. 6.将水平放置，棱长为1的正方体容器（不计容器壁厚度）中注入一半的水，现将该正方体容器任意摆放，并保证水不溢出，则平行于水平面的水面面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】如图所示， 因为水的体积恰好是容器容积的一半， 所以①水面可以是以为边长的正六边形，此时水面面积为； ②水面可以是正方体的体对角面，此时水面面积为， 所以平行于水平面的水面面积的最大值为.故选：D. 7.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，若要使液面的形状都不可能为三角形，则液体的体积应大于三棱锥的体积，小于多面体的体积.求解即可.如图正方体，连接. 若要使液面的形状都不可能为三角形 则液体的体积应大于三棱锥的体积，小于多面体的体积. 设液体的体积为，则. 因为，. 所以液体的体积的取值范围为. 故选：D 8.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，若要使液面的形状都不可能为三角形，则液体的体积应大于三棱锥的体积，小于多面体的体积.求解即可. 如图正方体，连接. 若要使液面的形状都不可能为三角形 则液体的体积应大于三棱锥的体积，小于多面体的体积. 设液体的体积为，则. 因为，. 所以液体的体积的取值范围为. 故选：D 【点睛】本题考查求几何体体积问题.属于中档题. 9.如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（    ） A． B．向量在向量上的投影向量为 C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 【答案】C 【解析】对A：由正方体性质知：，， 且、面， 所以面，又面，则， 由，故与不垂直，故A错误； 对B：由题意且，若是交点，连接， 所以， 故为平行四边形，则，， 所以所成角，即为所成角， 由题设，易知， 在中， 即夹角为，所以夹角为， 故向量在向量上的投影向量为： ，故B错误； 对C：令放在桌面上的顶点为， 若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大， 根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大， 此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故C正确； 对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为， 且奇数层均为个，偶数层均为， 而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为， 假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数， 令，则，而，故小球总共有10层， 由上，相邻的两层小球共有个， 所以正方体一共可以放个小球，故D错误.故选：C. 10.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（   ）    A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【解析】由题意可知图1水的高度，几何体正四棱柱的高为，设底面正方形的边长为， 图1中水的体积为，图2中水的体积为， 所以，解得，故①正确， 对于②，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上， 又因为容器容积为，所以水的体积是容器容积的一半， 即水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过点，故②正确，故选：A 11.如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，.固定容器底而一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作于点，作于点，取的中点，连接，，作于点，利用边角关系以及线面位置关系结合余弦定理求出的值，证明面，即可得点到面的距离，从而得平面到平面的距离，进而可得的值. 如图：作于点，作于点， 因为，则， ， 又因为，所以为等边三角形，则， 取的中点，连接，，则，， ， 因为，所以面， 则， ， 由余弦定理可得：， 所以， 作于点，因为面，面， 所以，因为，所以面， 所以点到面的距离为， 故平面到平面的距离为， 由题意可知：所盛水的体积为平行六面体容器的一半， 所以，故选：B. 12.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题是（       ） A．水面所在四边形的面积为定值 B．随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行 C．没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形 D．当容器倾斜如图（3）所示时，为定值 【答案】D 【解析】根据倾斜度的不同逐项讨论后可得正确的选项． 对于A，在图（1）中，水面所在四边形的面积为棱柱底面的面积，在图（2）中，水面所在四边形的面积大于原棱柱底面的面积，故A错. 对于B，在图（1）中，与水面所在平面平行，在图（2），图（3）中，与水面所在平面均不平行，故B错. 对于C，因为棱柱在绕旋转的过程中，没有水的部分始终呈棱柱形，故C错. 对于D，因为在图（3），有水的部分形成一个直三棱柱，该三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值可得底面三角形的面积为定值，故为定值，故D正确.故选：D. 【点睛】本题考查空间几何体的判断，本题中注意分析有水部分几何体在变化过程哪些几何量是确定的，哪些位置关系是确定的，本题属于中档题. 13.已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（    ） ①液面刚好同时经过，，三点； ②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为； ③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①若液面刚好同时经过,,三点,则液体的体积为四棱锥, 因为,所以①正确； ②当平面与液面成直二面角时,即为图2的位置,设液面与直三棱柱的交点为,如图所示, 因为直三棱柱的体积为, 所以直棱柱的体积为, 所以,即,则在中边上的高为, 因为在中边上的高为,所以液面与水平桌面的距离为,所以②正确； ③当液面刚好同时经过,,三点时,如图所示, 此时,则, 易得,则中边上的高为, 所以, 设点到平面的距离为,则,即, 即液面与水平桌面的距离为, 由棱柱的对称性可得点到平面的距离为,设与液面所成角为, 则,所以③正确, 所以①②③正确,故选:D 14.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【解析】在图1中的几何体中，水的体积为， 在图2的几何体中，水的体积为， 因为，可得，解得.故选：B. 15.如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的中点分别为，如下图： 易知，则，由为的中点，则，可得， 设三棱柱与三棱柱的体积分别为，则， 设水的体积为，则， 在图1中，设水形成的三棱柱的高为，则，解得.故选：D. 16．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，正三棱柱容器中注入了一定量的水，若将侧面固定在地面上，如图2所示，水面恰好为（水面与，，，分别相交于，，，），若将点固定在地面上，如图3所示，当容器倾斜到某一位置时，水面恰好为，则在图2中=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正三棱柱边长为，记水的容积为，该正三棱柱的容积为，则 ，， ， 故该正三棱柱去掉水后的剩余体积为， 即，由,得，又，所以有.故选：D. 17.如图所示，三棱柱容器的棱长为8，且到侧面的距离为，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】设三棱柱中底面上的高为，中边上的高， 则当以平面为底时，水的体积， 当以侧面水平放置时，水呈现为四棱柱，此时底面作图如下： 其中，由题意可知，则， 设其底面四边形的面积为（阴影面积），水的体积可表示为，可得， 即，则，即， 则水面高度为，故选：C. 18.已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（    ） ①液面刚好同时经过，，三点； ②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为； ③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①若液面刚好同时经过,,三点,则液体的体积为四棱锥, 因为,所以①正确； ②当平面与液面成直二面角时,即为图2的位置,设液面与直三棱柱的交点为,如图所示, 因为直三棱柱的体积为, 所以直棱柱的体积为, 所以,即,则在中边上的高为, 因为在中边上的高为,所以液面与水平桌面的距离为,所以②正确； ③当液面刚好同时经过,,三点时,如图所示, 此时,则, 易得,则中边上的高为, 所以, 设点到平面的距离为,则,即, 即液面与水平桌面的距离为, 由棱柱的对称性可得点到平面的距离为,设与液面所成角为, 则,所以③正确, 所以①②③正确,故选:D 19.一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案． 解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下： 观察可知截面不可能出现直角三角形. 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力． 20.祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），然后将球取出，则这时容器中水的深度约为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等， 根据祖暅原理，半球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，球柱的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆台的体积. 下面证明如图1中阴影截面面积相等： 证明：设半球中阴影截面圆的半径为，球体半径为， 则，截面圆面积； 因为，所以圆柱中截面小圆半径，而大圆半径为， 则截面圆环的面积， 所以，又高度相等，所以球柱的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆台的体积. 如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为， 小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积. 已知球体半径为，为等边三角形，，，， 根据祖暅原理   ， 设图2中轴截面为梯形的圆台体积为， 设将球取出时容器中水的深度为，底面圆的半径为，则，. ，即，.故选：B 21.如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体， 因为水面过的中点，则， 则弓形的面积为， 当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为， 则由水的体积不变可得：，即， 解的：.故选：. 22.已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】小球恰好与圆柱侧面和底面同时相切时，容器中所余液体最小，求出圆柱的体积及小球的体积，相减可求出答案. 圆柱的轴截面是边长为2的正方形，可知圆柱底面半径为1，母线长为2，故圆柱体积为， 当小球与圆柱的侧面、上下底面都相切时所余液体容量最小，此时，小球的体积为，所余液体容量为.故选：B. 【点睛】本题考查圆柱的性质，考查圆柱的内切球问题，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题. 23.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径， 则， 解得， 由球的截面性质得： ， 解得， 所以球的体积为，故选：D 24.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（    ）（保温带厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题,作于. 根据题意可知宽为带宽的四分之一即,又水管直径为4 cm. 故.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是 .故选：D 二、多选题 1.透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为注入体积为的液体.如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ） A．液面始终与地面平行 B．时，液面始终是平行四边形 C．当时，有液体的部分可呈正三棱锥 D．当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为 【答案】ACD 【解析】液面始终是水平面，与场面平行，A正确； 时，体积是正方体的一半，如液面正好过棱的中点，此时液面是正六边形，不是平行四边形，B错； 液面过的中点时，此时，有液体的部分是正三棱锥，C正确； 当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积的液面面积最大时就是B中所列举的正六边形（此时液体体积是正方体体积的一半），面积为， D正确． 故选：ACD． 2.如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（    ） A．平面平面 B．点到平面的距离为8 C．当时，水面的形状是四边形 D．当时，所装的水的体积为 【答案】ABD 【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则, 因为静止时水面与表面的交线与的夹角为0，所以平面， 设平面的法向量为，， 点到平面的距离为，， ，而， 令，所以平面的法向量为， 对A，，，，， 故平面， 所以平面的法向量为，又， 所以平面平面，故A正确； 对B，，所以到平面的距离为，故B正确； 对C，因为，所以，当时，截面为六边形，故C错误； 对D，当时，设水面与的交点分别为，设，则， 则，，故， 设水面与交点为，所以， ，此时过作交于点，连接， 设的面积为,的面积为，则，， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD 3.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度为2，水槽侧面上有一个小孔E，点E到直线CD的距离为3，将该水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）至恰有水从小孔流出，则在倾斜过程中，下列说法正确的有（   ） A．没水的部分始终呈四棱柱形 B．水面始终经过水槽的外接球的球心 C．水面的面积为定值 D．E到桌面的最小距离为 【答案】AB 【解析】设水面与棱交于点，与棱交于点，与棱交于点，与棱交于点， 由四棱柱的定义，几何体为直四棱柱，故A正确； 水槽绕CD倾斜至恰有水从小孔流出过程中， 水的体积不变，， 所以线段分别恒过正方形的中心，即水面恒过正方体体心，又因为正方体体心为其外接球球心，B显然正确； 对于C选项：水面的面积，由于不为定值，所以水面面积不为定值，故C错误；对于D选项；易知水槽绕CD倾斜至恰有水从小孔流出时E到桌面的距离最小，如图，桌面，到桌面的距离等于到桌面的距离，，故D错误. 故选：AB. 4.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为的液体，旋转容器，下列说法正确的是（    ） A．当时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 B．，液面都可以成正三角形形状 C．当液面与正方体的某条体对角线垂直时，液面面积的最大值为 D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】当时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分，根据对称性知两部分完全相同，A正确； 取，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，故B错误； 当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，， C正确； 当液面过时，截面为四边形，将绕旋转，如图所示： 则，当共线时等号成立，故周长最小值为，故D正确. 故选：ACD. 5.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（       ） A．有水的部分始终呈棱柱形 B．水面所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 【答案】ACD 【解析】根据棱柱的特征，结合图形对四个选项逐一进行分析判断即可． 对A，由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故A正确； 对B，因为水面EFGH所在四边形的面积，从图2，图3可以发现，有条边长不变，而另外一条长随着倾斜度变化而变化，所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错误； 对C，因为棱A1D1始终与BC是平行的，BC与平面始终平行，故C正确； 对D，因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，则底面也不变，即BE•BF是定值，故D正确． 故选：ACD． 6.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（       ） A．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B．水面四边形EFGH的面积不改变 C．棱始终与水面EFGH平行 D．当时，是定值 【答案】ACD 【解析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形EFGH的面积是改变的可判断B； 由，水面EFGH，水面EFGH，可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D. 根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有， 且平面平面DHGC，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确； 水面四边形EFGH的面积是改变的，故B错误； 因为，水面EFGH，水面EFGH， 所以水面EFGH正确，故C正确； 由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积不变， 即当E在时，是定值.故D正确. 故选：ACD. 7.透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为64，注入体积为的液体．如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（    ） A．液面始终与地面平行 B．时，液面始终呈平行四边形 C．当时，有液体的部分可呈正三棱锥 D．当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为 【答案】ACD 【解析】液面始终是水平面，与地面平行，所以A正确 当时，体积是正方体的一半，液面正好经过的中点，此时液面是正六边形，不是平行四边形，故B错误 正方体边长为4，液面经过的中点时，有液体部分是正三棱锥，此时，，所以C正确 当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大时就是选项B中所列举的正六边形面积，面积为，所以D正确 故选：ACD 8.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（    ） A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 【答案】AC 【解析】设图1中水的高度，几何体的高为，底面正方形的边长为； 则图2中水的体积为，即，解得， 所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误． 对于A，往容器内再注入升水，水面将升高，则，容器恰好能装满，A正确； 对于C，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，占容器内空间的一半， 所以水面也恰好经过点，C正确； 对于D，任意摆放该容器，当水面静止时，点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面都恰好经过点，D正确． 对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得，由，可得，可得， 所以的体积为， 可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确. 故选：AC． 9.如图，透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（    ） A．当底面水平放置后，固定容器底面一边于水平地面上，将容器绕着转动，则没有水的部分一定是棱柱 B．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点 C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥 D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为 【答案】AD 【解析】A：当平面水平放置时（始终保持水平），则平面平面， 所以有水的部分是棱柱，由图可知，没有水的部分也是棱柱，故A正确； B：当平面水平放置时，假设都为所在棱的中点， 设水面到底面的的距离为，， 所以水的体积为， 又转动前水的体积为， 所以不为所在棱的中点，故B错误； C：在翻滚､转动容器的过程中， 当平面水平放置时，三棱锥的体积取到最大值，如图， 此时， 而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误； D：取的中点，连接，取的中点O，连接OA， 则D为的外接圆圆心，O为三棱柱外接球的球心， 所以为外接球的半径，且， 所以直三棱柱外接球体积. 由选项B可知，容器中水的体积为， 又，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为， 即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故D正确. 故选：AD. 10.在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（   ）    A．水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形 B．当时，水面的面积为 C．当时，水面与地面的距离为 D．当侧面与地面重合时，水面的面积为12 【答案】ABC 【解析】由题知，正三棱柱的体积， 对于选项A，当容器按题设方向倾斜至时，水面形状是三角形，再倾斜时，水面形状是梯形，直到侧面与地面重合时，水面形状是矩形，所以选项A正确， 对于选项B，如图1，当容器按题设方向倾斜至时，设水面与棱的交点为， 设，又三棱柱为正三棱柱，取中点，连接， 易知，又，面， 所以面，所以到平面的距离为， 所以，解得， 此时水面图形为，又，， 取中点，则，且，所以，故选项B正确， 对于选项C，如图2，当容器按题设方向倾斜至时，设水面与棱的交点为， 易知，设，由，得到， 因为水面始终与地面平行，始终与水面平行，且始终在地面上， 所以水面与地面的距离，即到平面的距离， 取中点，连接，设交于，连接， 易知，又，面，所以面， 又，所以面，过作于，连接， 因为面，所以，又，面， 所以，即为水平面到地面的距离， 如图3，过作于，易知，所以， 得到，又，所以， 故选项C正确 对于选项D，如图4，当侧面与地面重合时，水面为矩形，设， 则由，解得，所以， 故，所以选项D错误， 11.如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水，容器的底面半径，为容器下底面的直径．如图②，将该容器绕点倾斜后，当且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容器下底面距离的最大值与最小值分别为，；当时，水的最大深度为，则下列说法正确的是（    ）    A．若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2 B．若水面形状为椭圆，则该椭圆的离心率为 C．若容器的高为4，，则 D．若容器的高为4，，则 【答案】BD 【解析】对于A，当容器倾斜时，水面形成一个椭圆．椭圆的短轴长等于圆柱底面的直径， 即．因此，该椭圆的短轴长为4，而不是．故A是错误的． 对于B，当容器倾斜时，短半轴长，长半轴长， 所以，故B正确； 对于C， 当时，水的体积， 当时，水的体积保持不变，此时水的体积可以看作是一个底面为弓形的柱体， 设容器高为，根据水的体积不变可得： ， (该式是根据水的体积的两种表示方法列出的，左边是竖直放置时水的体积，右边是倾斜放置时水的体积，由一个矩形和一个半圆柱组成)， 若容器的高为4，，， 代入上式可得：， 设，则，此方程无解，故C错误. 对于D，若容器的高为4，，， 代入上式可得：， 设，则，解方程可得：， 所以，故D正确； 故选：BD. 12.如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（   ） A．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为 B．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为 C．当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为 D．当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为 【答案】BCD 【解析】作圆锥的轴截面如图： 设， 由相似三角形可得： 所以 对于A：由于液体高度与圆锥高度之比为， 所以容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A错误． 对于B：设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确． 对于C：因为，， 所以当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为，C正确． 对于D:当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时， 设容器内液体的高度为，体积， 则，，D正确． 故选: BCD 3． 填空题 1.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为 ． 【答案】 【解析】设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示； 则h2+2a2＝（2×2）2， 所以a2＝8h2， 所以正四棱柱容器的容积为 V＝a2h＝（8h2）hh3+8h，h∈（0，4）； 求导数得V′h2+8， 令V′＝0，解得h， 所以h∈（0，）时，V′＞0，V（h）单调递增； h∈（，4）时，V′＜0，V（h）单调递减； 所以h时，V取得最大值． 所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：． 2.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 如图，正方体ABCD-EFGH，若要使液面形状不可能为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转到正方体，液面形状都不可能为三角形．设液体的体积为，则 ，而，，所以液体的体积的范围为． 3.如图，桌面上的无盖正方体容器内装有高度为的水，．现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，当容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形玻璃瓶时，容器内水面交棱于，且．若不考虑容器厚度及其他因素影响，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知当旋转且水溢出后，剩余的水在正方体容器中形成一个三棱柱， 故由长方体、棱柱与球的体积公式可知， 解得．故答案为： 4.如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值： .      【答案】37（答案不唯一） 【解析】如图，在正方体中， 若要使液面形状不可能为三角形， 则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC, 若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形， 设正方体内水的体积为V，而， 而（升）， （升） 所以V的取值范围是.故答案为： 5.如图，一个水平放置在桌面上的无盖正方体容器，，容器内装有高度为的水，现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转45°，容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形容器，不考虑容器厚度以及其它因素影响，则 .   【答案】/2.25 【解析】由题意可知当旋转后，此时水面溢出，则此时水在正方体容器中形成一个三棱柱（正方体的一半），故由长方体、球的体积公式可知：.故答案为： 6.如图，一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图，在正方体中， 若要使液面形状不可能为三角形， 则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC, 若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形， 设正方体内水的体积为V，而， 而（升）， （升） 所以V的取值范围是.故答案为： 7.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积，并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积 考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法 8.如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为 ．    【答案】 【解析】如图，平面与水面的夹角为， 则平面与水平桌面的夹角为． 由题意可得三棱柱的体积为， 所以，解得， 所以． 水面距离桌面的高度为． 故答案为：. 9.如图，桌面上的无盖正方体容器内装有高度为的水，．现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，当容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形玻璃瓶时，容器内水面交棱于，且．若不考虑容器厚度及其他因素影响，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知当旋转且水溢出后，剩余的水在正方体容器中形成一个三棱柱， 故由长方体、棱柱与球的体积公式可知， 解得．故答案为： 10.如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值： .     【答案】37（答案不唯一） 【解析】如图，在正方体中， 若要使液面形状不可能为三角形， 则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC, 若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形， 设正方体内水的体积为V，而， 而（升）， （升） 所以V的取值范围是.故答案为： 11.如图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，小孔(孔的大小不计)到的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为 平方米． 【答案】 【解析】如图，过作于，易知， 则，因为水平面与桌面平行， 所以，平面和平面分别与桌面所成角的余弦值分别为 ， 水槽的投影为：正方形和正方形在桌面上的投影. 所以投影面积为. 故答案为： 12.在棱长为的透明密闭的正方形容器中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】设点在上，点在上，满足，则原问题等价于求解四边形的最大值.建立空间直角坐标系，结合二次函数的性质可得旋转过程中容器中水的水面面积的最大值. 如图所示，在棱长为的正方体中， 点在上，点在上，满足， 则原问题等价于求解四边形的最大值. 作于点，当最大时，四边形有最大值. 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，设， 由于，由可得： ，则：，故, 故：， 由可得：. 故： ， 结合二次函数的性质可知：当或时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为：. 【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，空间向量的应用，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 如图，正方体ABCD-EFGH，若要使液面形状不可能为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转到正方体，液面形状都不可能为三角形．设液体的体积为，则 ，而，，所以液体的体积的范围为． 点睛：本题主要考查正方体的结构特征，正方体、棱锥的体积求法，考查空间想象力，属于中档题． 14.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 【答案】 【解析】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积，并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积 考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法 15.如图直线相交于点，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器，.设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，且液体能流入下面的三棱锥，则液体流下去后液面高度为______. 【答案】. 【解析】运用体积比是高之比的三次方，即可求得溶液的体积是三棱锥体积的，流下去后液体上部分的体积是三棱锥体积的，再结合体积比和高的比值之间的关系，即可求解. 液体部分的体积为三棱锥体积的，流下去后，液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的.设空出三棱锥的高为，则，所以，所以液面高度为. 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了三棱锥体积的计算与应用，其中体积比是高之比的三次方是解题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16.一个透明密闭的立方体容器，恰好盛有该容器一半容积的水任意转动这一立方体，则水面在容器中的形状可能是________.（从正方形，三角形，菱形，矩形，等腰梯形，正六边形，正五边形中选取正确的都填上） 【答案】正方形、菱形、矩形、正六边形 【解析】根据已知，任意转动这个正方体，水面总是过正方体的中心，分别讨论水面过一条棱，过对角线上的两个顶点，过六条棱的中点，水面与底面平行等情况，即可得到答案. ∵正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心.故： 正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图； 过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图； 过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图； 过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，如图； 至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形， 故答案为：正方形、菱形、矩形、正六边形 17.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：    （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面EFGH所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是______，为什么？ 【答案】（1）（2）（4）（5） 【解析】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以（1）和（2）正确； 因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误； 因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确； 因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值， 所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确， 故答案为：（1）（2）（4）（5）. 18.一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 . 【答案】 【解析】长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形， 则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC； 而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形； 所以液体体积必须大于三棱锥G﹣EHD的体积，该棱锥的体积为长方体的故体积为1. 并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积，该几何体的体积为长方体的，即为5. 故答案为 ． 19.如图甲，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器慢慢倾斜．给出下面几个结论： ①水面EFGH所在四边形的面积为定值； ②图乙中四边形ADHE的面积为定值； ③图丙中为定值； ④若，，记、分别是将四边形ABCD和水平放在地面上时的水面高度，则； 其中正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】①②③注意到水的体积和EF保持不变即可判断；④根据棱柱的体积计算公式即可计算． ①由题图可知水面的边的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知①错误； ②当容器倾斜如图乙所示时，∵水的体积是不变的，∴棱柱的体积为定值，又，高不变，∴也不变，即四边形ADHE的面积为定值，故②正确； ③当容器倾斜如图丙所示时，∵水的体积是不变的，∴棱柱的体积为定值，又，高不变，∴也不变，即为定值，故③正确； ④当将四边形ABCD水平放在地面上时，即图甲所示时，设水的体积为V，则，∴； 当将四边形水平放在地面上时，水的体积仍然为V，则，∴； ∴，故④正确．故答案为：②③④． 20.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列五个说法：①有水的部分和没水部分始终都呈棱柱形；②水面四边形的面积不改变；③棱始终与水面平行；④当时，是定值；⑤当点E∈AB，点F∈BB1时，是定值，其中正确说法是__________. 【答案】①③④⑤ 【解析】①由平面平行平面判断；②由四边形为矩形，变化而不变判断；③由始终与EH平行判断；根据水的体积是定值，高不变，底面面积不变判断④⑤. ①由平面平面，以及长方体的结构特征，可得①正确； ②因为四边形是矩形，的长度变化，长度不变，所以面积是改变的，故错误； ③因为，平面EFGH，平面EFGH，所以平面EFGH，故正确； ④因为水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以时，是定值．故正确． ⑤因为水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以当点E∈AB，点F∈BB1时，是定值，故正确； 故答案为：①③④⑤ 21.如图，在水平放置的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），小球分别与上底面、下底面相切，小球与圆柱壁相切，且在轴截面中，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为 ，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为 ．    【答案】 ； . 【解析】根据题意，作出圆柱的轴截面图，连接，则为等边三角形， 设圆柱底面半径为，高为，小球的半径为，则， 故，故，所以， 故，故球的体积为， 圆柱的侧面积为， 球的表面积为，故圆柱的侧面积与球的表面积的比值为. 故答案为：，. 22.若干毫升水倒入底面半径为8cm的圆柱形器皿中，若恰好倒满，量得水面高度为9cm，若将这些水倒入轴截面是等腰直角三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是______． 【答案】cm 【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高度为，求出圆锥的底面半径，由圆柱与圆锥的体积相等列式求解． 设倒圆锥形器皿中水面的高度为，水在圆锥形容器中也成一个倒圆锥形状， 则其底面圆的半径为． 则由，得．故答案为：． 23.如图，在透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为 . 【答案】 【解析】 如图，取的中点，连接，取的中点，连接，则为外接圆的圆心，为三棱柱外接球的球心， 所以为外接圆半径，且， 所以直三棱柱的外接球的体积为， 又水的体积，且，当且仅当时取等号， 则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为，故答案为：. 24.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面所在四边形的面积为定值；③棱始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，是定值.其中正确的命题是 . 【答案】①③④ 【解析】根据棱柱的定义即可判断①；注入的水构成三棱柱时，水面面积可能变大，也可能变小，即可判断②；由，，所以，即可判断③；因为水是定量的(定体积)利用棱柱的体积公式即可判断④.对于①：由题图，由于固定，所以在容器倾斜的过程中始终有，且平面平面，显然没有水的部分是棱柱（四棱柱，三棱柱，五棱柱），且为一条侧棱，故①是正确的， 对于②：当注入的水构成四棱柱时，水面面积等于上下地面面积，当注入的水构成三棱柱时，水面面积可能变大，也可能变小，故②是错误的； 对于③，因为，，所以且平面， 所以平面(水面).所以③是正确的； 对于④，因为水是定量的(定体积)， 所以，即， 所以 (定值)，故④是正确的.故答案为：①③④ 25.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的角正切值为______. 【答案】2 【解析】由题意知，水的体积为32，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱，，，交于，，，，则，此时水的体积为，从而求得；在平面内，过点作，交于，侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角，故即为所求，再在△中，由 即可得解． 解：由题意知，水的体积为， 如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱，，，交于，，，，则， 水的体积为， ，即，． 在平面内，过点作，交于，则四边形是平行四边形，， ， 侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角， 即为所求，而， 在△中，， 侧面与桌面所成角的正切值为2．故答案为：2． 【点睛】本题考查二面角的求法，将所求的角逐步转化为边长已知的直角三角形中的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力． 26.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形的面积不改变； ③棱始终与水面平行； ④当时，是定值． 其中正确说法是__________． 【答案】①③④ 【解析】随着倾斜度的不同， 水面四边形的面积改变， 但水的部分始终呈棱柱状， 且棱平面， ∵棱， ∴平面， ∵体积是定值，高为定值， 则底面积为定值， 则底面积为定值， 即为定值， 综上①③④正确． 27.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为_____． 【答案】 【解析】设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值． 设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示； 则h2+2a2＝（2×2）2， 所以a2＝8h2， 所以正四棱柱容器的容积为 V＝a2h＝（8h2）hh3+8h，h∈（0，4）； 求导数得V′h2+8， 令V′＝0，解得h， 所以h∈（0，）时，V′＞0，V（h）单调递增； h∈（，4）时，V′＜0，V（h）单调递减； 所以h时，V取得最大值． 所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：． 【点睛】本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题． 第46页，共63页 第89页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 立体几何装液体问题 目 录 高考分析 1 学习目标 3 一.单选题 5 二.多选题 13 三.填空题 18 立体几何装液体问题（本质是几何体的“部分体积/液面形状”问题）是高考立体几何的应用型考点，多以选择题、填空题（分值5分）或解答题小问形式出现，融合几何体体积计算、截面分析、函数最值等知识，侧重考查直观想象、数学建模与实际问题转化能力，以下从命题特点、核心考点、考查趋势三方面展开分析： 一、命题特点 1. 载体特征： ◦ 以规则旋转体（圆柱、圆锥、圆台）或多面体（长方体、三棱柱、棱锥）为核心载体，其中圆柱、长方体是高频考点（如“圆柱形容器倾斜后液面形状与液体体积”“长方体水箱装水后的液面高度计算”）； ◦ 常结合“倾斜角度”“液面高度”“容器放置方式”等实际约束命题，如“圆锥形容器绕母线倾斜θ角后，求液体体积”“长方体水箱底面一边抬高后，液面形成的截面形状”。 2. 设问方向： ◦ 基础层：判断液面形状（如倾斜圆柱的液面为椭圆、倾斜长方体的液面为平行四边形/矩形）； ◦ 进阶层：计算液体体积（如已知液面高度/倾斜角度，求容器内液体体积）； ◦ 压轴层：探究液体体积的最值/范围（如圆柱形容器倾斜过程中，液体体积的最大值）、液面与几何体交点的轨迹（如倾斜圆柱中液面与侧面的交线形状）。 3. 核心逻辑： ◦ 装液体问题的本质是“几何体被平面（液面）截取后的部分体积计算”，关键在于确定液面平面与几何体的截面形状（截面是计算体积的基础）； ◦ 液体体积=几何体总体积ד液面截取的部分占比”（规则几何体可通过高度、角度等比例计算占比）。 二、核心考点 1. 液面截面的判断能力： ◦ 旋转体（圆柱/圆锥）：倾斜时液面为平面，与侧面的交线为曲线（圆柱中为椭圆、圆锥中为抛物线/椭圆），与底面的交线为直线； ◦ 多面体（长方体/三棱柱）：倾斜时液面为平面，截面为多边形（平行四边形、三角形、五边形等），需根据倾斜方向确定边数。 2. 部分体积的计算能力： ◦ 规则旋转体： ◦ 圆柱：液体体积=底面积×有效液面高度（倾斜时有效高度为液面到底面的垂直高度）；若完全倾斜，可通过扇形/弓形面积计算底面截取部分，再乘高度； ◦ 圆锥：液体体积=圆锥体积×（液面高度/圆锥总高度）³（正放时），倾斜时需结合截面三角形的相似比计算； ◦ 多面体： ◦ 长方体：液体体积=底面积×液面高度（正放）；倾斜时通过截面多边形面积×棱长计算（或用总体积减去空的部分体积）。 3. 实际约束的转化能力： ◦ 能将“倾斜角度θ”转化为几何量（如圆柱倾斜θ角后，液面到轴线的垂直距离=半径×sinθ）； ◦ 能将“液面高度h”转化为截面的边长/半径（如长方体液面高度h对应截面矩形的一边长为h）。 三、考查趋势 1. 实际应用性增强： ◦ 结合生活场景命题（如饮水机水桶、汽车油箱、粮仓的装液体问题），如“圆柱形油箱水平放置时，已知油面高度求油量”，需将实际问题转化为几何模型； ◦ 引入“不完全装满”“溢出判断”等约束，如“长方体水箱装水后倾斜，判断是否会溢出，若溢出求溢出体积”。 2. 与动态问题融合： ◦ 从静态装液转向动态倾斜过程分析，如“圆柱形容器绕底面直径旋转θ角（θ从0°到90°），求液体体积随θ的变化规律”； ◦ 探究液面轨迹与最值（如倾斜过程中液面面积的最大值、液体体积的取值范围）。 3. 对直观想象要求更高： ◦ 考题逐渐减少配图，要求考生仅通过文字描述还原容器倾斜后的空间结构、液面截面形状，考验抽象空间想象能力； ◦ 融合截面、轨迹、最值等考点，如“倾斜圆柱中液面与侧面交线的轨迹长度计算”。 四、高考评分关键点 1. 液面截面形状的判断需说明依据（如“圆柱倾斜时，液面为平面，与圆柱侧面的交线为椭圆，因平面与圆柱轴线不垂直”），无依据直接判断会扣分； 2. 体积计算需展示“截面面积/有效高度→体积”的推导过程（如长方体倾斜时，液体体积=截面平行四边形面积×棱宽），直接套用公式会扣分； 3. 动态问题需标注参数范围（如倾斜角度θ∈[0°,60°]，超出后液体溢出），遗漏范围会导致结果错误。 结合高考对立体几何装液体问题的考查要求，从基础认知、核心能力、综合应用三个维度制定学习目标，覆盖“模型转化、截面分析、体积计算”全环节： 一、基础认知目标 1. 理解装液体问题的核心本质： ◦ 明确装液体问题的本质是“几何体被液面（平面）截取后的部分体积计算”，液面始终为平面，液体形状为几何体的“截体”（如圆柱的截圆柱、长方体的截长方体）； ◦ 熟记常见容器（圆柱、长方体、圆锥）的结构特征，以及不同放置/倾斜方式下液面的截面类型（如圆柱正放时液面为圆形、倾斜时为椭圆；长方体倾斜时液面为平行四边形/三角形）。 2. 掌握核心计算公式与比例关系： ◦ 规则几何体总体积公式； ◦ 正放时液体体积与液面高度的比例关系（如圆柱正放时，液体体积占比=液面高度/圆柱总高度）； ◦ 相似几何体的体积比规律 二、核心能力目标 1. 液面截面的分析与判断能力： ◦ 能根据容器的倾斜方向、角度，确定液面（平面）与几何体的交线形状，判断截面类型（如圆柱倾斜时，截面为椭圆；长方体绕一边倾斜时，截面为平行四边形）； ◦ 能画出截面示意图，标注截面的关键边长、角度（如倾斜圆柱的截面椭圆的长轴、短轴长度）。 2. 液体体积的计算能力： ◦ 正放/平放容器：能通过“底面积×液面高度”直接计算液体体积，或通过“总体积×占比”求解； ◦ 倾斜容器：能通过“截面面积×棱长/母线长”（多面体）、“截体体积公式”（旋转体）或“总体积减去空体体积”的方法计算液体体积； ◦ 含倾斜角度的问题：能将角度转化为几何量（如圆柱倾斜θ角后，液面到底面的垂直高度h=r\sinθ），进而代入体积公式。 3. 动态装液问题的分析能力： ◦ 能设倾斜角度θ、液面高度h为参数，将液体体积表示为参数的函数（如二次函数、三角函数）； ◦ 能分析参数变化时液体体积的最值、范围（如圆柱倾斜过程中，液体体积的最大值为总体积），判断是否存在溢出情况（对比液体体积与容器总体积）。 三、综合应用目标 1. 实际问题的建模转化能力： ◦ 能将生活中的装液场景（如油箱、水桶、粮仓）转化为立体几何模型，提取关键参数（底面半径、高度、倾斜角度）； ◦ 能解决含“溢出判断”“剩余液体体积”的实际问题（如长方体水箱倾斜后，判断是否溢出，若溢出求剩余液体体积）。 2. 跨考点融合解题能力： ◦ 能结合轨迹问题，分析倾斜过程中液面与容器交点的轨迹形状、长度； ◦ 能结合最值问题，求解装液过程中液面面积的最大值、液体体积的取值范围。 3. 规范解题与易错规避能力： ◦ 解题时明确标注截面类型、体积计算的依据（如“由圆柱正放时液体体积与高度成正比，得液体体积V=πr²h_液”）； ◦ 规避核心易错点：混淆倾斜容器的液面高度与垂直高度、错误判断截面形状、动态问题中遗漏参数范围（如倾斜角度的上限）。 一、单选题 1．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（    ） A． B． C．2 D． 3.如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为（    ）    A． B． C． D． 4.如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 5.如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与地面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（    ） A． B． C． D． 6.将水平放置，棱长为1的正方体容器（不计容器壁厚度）中注入一半的水，现将该正方体容器任意摆放，并保证水不溢出，则平行于水平面的水面面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 7.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（       ） A． B． C． D． 9.如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（    ） A． B．向量在向量上的投影向量为 C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 10.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（   ）    A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题 11.如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，.固定容器底而一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（       ） A． B． C． D． 12.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题是（       ） A．水面所在四边形的面积为定值 B．随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行 C．没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形 D．当容器倾斜如图（3）所示时，为定值 13.已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（    ） ①液面刚好同时经过，，三点； ②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为； ③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为. A．0 B．1 C．2 D．3 14.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（    ） A．3 B．4 C． D．6 15.如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 16．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，正三棱柱容器中注入了一定量的水，若将侧面固定在地面上，如图2所示，水面恰好为（水面与，，，分别相交于，，，），若将点固定在地面上，如图3所示，当容器倾斜到某一位置时，水面恰好为，则在图2中=（    ） A． B． C． D． 17.如图所示，三棱柱容器的棱长为8，且到侧面的距离为，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为（    ） A．4 B． C． D． 18.已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（    ） ①液面刚好同时经过，，三点； ②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为； ③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为. A．0 B．1 C．2 D．3 19.一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20.祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），然后将球取出，则这时容器中水的深度约为（    ）      A． B． C． D． 21.如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（   ） A． B． C． D． 22.已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（       ） A． B． C． D． 23.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 24.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（    ）（保温带厚度忽略不计） A． B． C． D． 二、多选题 1.透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为注入体积为的液体.如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ） A．液面始终与地面平行 B．时，液面始终是平行四边形 C．当时，有液体的部分可呈正三棱锥 D．当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为 2.如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（    ） A．平面平面 B．点到平面的距离为8 C．当时，水面的形状是四边形 D．当时，所装的水的体积为 3.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度为2，水槽侧面上有一个小孔E，点E到直线CD的距离为3，将该水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）至恰有水从小孔流出，则在倾斜过程中，下列说法正确的有（   ） A．没水的部分始终呈四棱柱形 B．水面始终经过水槽的外接球的球心 C．水面的面积为定值 D．E到桌面的最小距离为 4.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为的液体，旋转容器，下列说法正确的是（    ） A．当时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 B．，液面都可以成正三角形形状 C．当液面与正方体的某条体对角线垂直时，液面面积的最大值为 D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为 5.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（       ） A．有水的部分始终呈棱柱形 B．水面所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 6.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（       ） A．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B．水面四边形EFGH的面积不改变 C．棱始终与水面EFGH平行 D．当时，是定值 7.透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为64，注入体积为的液体．如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（    ） A．液面始终与地面平行 B．时，液面始终呈平行四边形 C．当时，有液体的部分可呈正三棱锥 D．当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为 8.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（    ） A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 9.如图，透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（    ） A．当底面水平放置后，固定容器底面一边于水平地面上，将容器绕着转动，则没有水的部分一定是棱柱 B．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点 C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥 D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为 10.在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（   ）    A．水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形 B．当时，水面的面积为 C．当时，水面与地面的距离为 D．当侧面与地面重合时，水面的面积为12 11.如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水，容器的底面半径，为容器下底面的直径．如图②，将该容器绕点倾斜后，当且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容器下底面距离的最大值与最小值分别为，；当时，水的最大深度为，则下列说法正确的是（    ）    A．若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2 B．若水面形状为椭圆，则该椭圆的离心率为 C．若容器的高为4，，则 D．若容器的高为4，，则 12.如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（   ） A．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为 B．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为 C．当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为 D．当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为 3． 填空题 1.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为 ． 2.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为 ． 3.如图，桌面上的无盖正方体容器内装有高度为的水，．现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，当容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形玻璃瓶时，容器内水面交棱于，且．若不考虑容器厚度及其他因素影响，则 ． 4.如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值： .      5.如图，一个水平放置在桌面上的无盖正方体容器，，容器内装有高度为的水，现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转45°，容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形容器，不考虑容器厚度以及其它因素影响，则 .   6.如图，一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是 ． 7.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 8.如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为 ．    9.如图，桌面上的无盖正方体容器内装有高度为的水，．现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，当容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形玻璃瓶时，容器内水面交棱于，且．若不考虑容器厚度及其他因素影响，则 ． 10.如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值： .     11.如图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，小孔(孔的大小不计)到的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为 平方米． 12.在棱长为的透明密闭的正方形容器中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________． 13.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为__________． 14.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 15.如图直线相交于点，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器，.设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，且液体能流入下面的三棱锥，则液体流下去后液面高度为______. 16.一个透明密闭的立方体容器，恰好盛有该容器一半容积的水任意转动这一立方体，则水面在容器中的形状可能是________.（从正方形，三角形，菱形，矩形，等腰梯形，正六边形，正五边形中选取正确的都填上） 17.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：    （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面EFGH所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是______，为什么？ 18.一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 . 19.如图甲，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器慢慢倾斜．给出下面几个结论： ①水面EFGH所在四边形的面积为定值； ②图乙中四边形ADHE的面积为定值； ③图丙中为定值； ④若，，记、分别是将四边形ABCD和水平放在地面上时的水面高度，则； 其中正确结论的序号是______． 20.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列五个说法：①有水的部分和没水部分始终都呈棱柱形；②水面四边形的面积不改变；③棱始终与水面平行；④当时，是定值；⑤当点E∈AB，点F∈BB1时，是定值，其中正确说法是__________. 21.如图，在水平放置的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），小球分别与上底面、下底面相切，小球与圆柱壁相切，且在轴截面中，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为 ，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为 ．    22.若干毫升水倒入底面半径为8cm的圆柱形器皿中，若恰好倒满，量得水面高度为9cm，若将这些水倒入轴截面是等腰直角三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是______． 23.如图，在透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为 . 24.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面所在四边形的面积为定值；③棱始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，是定值.其中正确的命题是 . 25.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的角正切值为______. 26.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形的面积不改变； ③棱始终与水面平行； ④当时，是定值． 其中正确说法是__________． 27.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为_____． 第46页，共63页 第89页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $