第18讲 立体几何中的最值和范围-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

该高中数学讲义聚焦立体几何最值范围高考难点，涵盖空间角、长度、体积等九类题型，按“思维导图-高考分析-解题策略-题型归纳”逻辑架构，通过考点梳理、参数化方法指导、真题分类训练，帮助学生构建从几何直观到代数转化的解题体系。 讲义以“几何问题代数化”为主线，创新设计参数化建模（如棱上动点用λ分点表示）和几何直观预判（如中点端点验证）策略，培养直观想象与数学建模能力。题型分类含选择填空解答题，配合评分关键点解析，助力教师精准突破难点，提升学生应考效率。

第18讲 立体几何最值范围问题 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：空间角最值范围问题 6 题型02：长度有关最值范围 11 题型03：与距离有关最值范围 15 题型04：线段的和最值范围 17 题型05：周长最值范围 20 题型06：面积最值范围 22 题型07：体积最值范围 26 题型08：与求有关最值范围 32 题型09：其它最值范围 34 立体几何最值范围问题是高考立体几何的压轴难点，多以选择题、填空题最后一题（分值5分）或解答题最后一问（分值4-5分）形式出现，融合空间几何、函数、不等式、三角函数等知识，侧重考查直观想象、转化与化归、数学建模能力，以下从命题特点、核心考点、考查趋势三方面展开分析： 一、命题特点 1. 载体特征： ◦ 以规则几何体（正方体、长方体、直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥）为主要背景，偶尔结合不规则几何体（补形为规则几何体）或折叠、截面、轨迹问题拓展，如“正方体中动点P的线面角范围”“圆锥侧面上线段之和的最值”“折叠后几何体的体积最值”。 ◦ 动点约束类型多样：① 动点在棱、面、截面或轨迹上运动；② 动点满足线面平行/垂直、距离定值、角度定值等条件。 2. 题型分类： ◦ 空间角的最值/范围：异面直线所成角、线面角、二面角的最值或取值范围； ◦ 空间距离的最值/范围：点到平面的距离、异面直线间的距离、线段长度的最值或取值范围； ◦ 几何体体积的最值/范围：由动点构成的三棱锥、四棱锥的体积最值或取值范围； ◦ 线段之和/积的最值：如PA+PB、PA·PB的最值（P为动点，A、B为定点）。 3. 解法特征： ◦ 核心逻辑是“几何问题代数化”——通过参数化动点坐标，将最值/范围问题转化为函数（二次函数、三角函数、分式函数）最值或不等式求解问题； ◦ 辅助方法为“几何直观法”——利用几何体的对称性、边界特征直接预判最值位置（如中点、端点）。 二、考查趋势 1. 综合化深度提升： ◦ 单一最值问题减少，多融合多个考点（如“线面角最值+体积最值”“轨迹上动点的距离最值+角度范围”）； ◦ 与新考点结合（如截面问题中的面积最值、存在性问题中的参数范围），如“是否存在点P使三棱锥体积最大且线面角为30°”。 2. 动态化与开放性增强： ◦ 从静态动点转向动态变化（如“几何体绕某轴旋转时，线面角的范围变化”“圆锥高变化时，侧面最短路径的最值变化”）； ◦ 出现开放性问题（如“求线段PA的取值范围，并说明理由”），要求兼具计算与论证能力。 3. 数学思想与核心素养并重： ◦ 侧重考查转化与化归思想（空间→平面、几何→代数）、数形结合思想（函数图像与几何最值对应）、分类讨论思想（参数在不同区间的最值差异）； ◦ 强调直观想象素养（无直观图时通过文字描述还原几何体）、数学运算素养（复杂函数的化简与计算）。 四、高考评分关键点 1. 参数化过程需明确标注参数的几何意义（如“设λ为动点P在棱AB上的分比，λ∈[0,1]”），无说明会扣分； 2. 函数表达式推导需展示关键步骤（如线面角公式的代入、体积公式的应用），直接写结果会扣分； 3. 最值求解需验证参数是否在几何约束范围内（如λ=0.5是否在[0,1]内），未验证会扣分； 4. 范围问题需写出完整的取值区间（如“线面角的取值范围为[π/6, π/3]”），仅写最值不写范围会扣分。 结合高考对立体几何最值范围问题的考查要求，从基础认知、能力突破、综合应用三个维度制定学习目标，覆盖“建模转化、计算求解、思想应用”全环节： 一、基础认知目标 1. 掌握核心题型与转化逻辑： ◦ 明确立体几何最值范围问题的四大类型（空间角、空间距离、几何体体积、线段和/积），理解“几何问题代数化”的核心思路（将几何最值转化为函数最值/不等式求解）； ◦ 熟记关键公式：空间两点间距离公式、线面角/二面角的向量计算公式、三棱锥体积公式（V=\frac{1}{3}Sh），以及二次函数、三角函数的最值判定条件。 2. 理解参数化的几何意义： ◦ 掌握动点参数化的常用方式（如棱上动点用λ分点表示、旋转运动用角度θ表示），明确参数的取值范围（如λ∈[0,1]、θ∈[0,π]）对应几何体的边界约束； ◦ 区分“几何约束”与“代数约束”（如线面平行转化为向量垂直的代数条件，几何体边界转化为参数的区间约束）。 3. 识别直观预判的依据： ◦ 掌握常见最值的几何特征（如异面直线线段最小值为公垂线段长度、体积最大值对应动点到平面距离最大）； ◦ 理解几何体对称性对最值的影响（如正方体中对称位置的距离相等，最值常出现在中点/端点）。 二、能力突破目标 1. 参数化建模能力： ◦ 能根据动点的运动轨迹（棱、面、截面、轨迹）选择合适的参数，将空间角、距离、体积表示为关于参数的函数（如二次函数f(λ)=aλ²+bλ+c、三角函数f(θ)=A\sinθ+B\cosθ）； ◦ 能将几何约束条件（如线面垂直、距离定值）转化为参数的代数不等式，缩小参数范围。 2. 函数最值求解能力： ◦ 熟练掌握二次函数在闭区间上的最值求法（根据对称轴与区间的位置关系分类讨论）； ◦ 能利用三角函数的有界性（|sinθ|≤1、|cosθ|≤1）或辅助角公式求最值； ◦ 会用均值不等式、导数法求解分式函数、根式函数的最值（针对复杂场景）。 3. 几何直观预判能力： ◦ 能通过几何体特征直接预判最值位置（如正方体中棱的中点、端点常为距离/角度最值点），快速验证代数求解结果的合理性； ◦ 能利用空间想象还原动点的运动范围，避免因参数范围遗漏导致的最值错误（如忽略动点在几何体内部的约束）。 三、综合应用目标 1. 跨考点融合解题能力： ◦ 能处理复合约束的最值范围问题（如“线面角定值+体积最值”“轨迹上动点的距离范围”），联立多个几何条件转化为代数方程组/不等式组求解； ◦ 能结合折叠、截面、轨迹问题求解最值（如折叠后几何体的二面角范围、截面内动点的线段和最值）。 2. 规范解题与易错规避能力： ◦ 书写时明确参数设定、函数推导、范围验证的完整步骤（如“设λ为动点P在棱AB上的分比，λ∈[0,1]，则P点坐标为……”）； ◦ 规避核心易错点：参数范围遗漏、函数表达式推导错误（如线面角公式混淆正弦/余弦）、最值位置未验证几何合理性。 3. 数学思想应用能力： ◦ 熟练运用转化与化归思想（空间→平面、几何→代数、折线→直线）； ◦ 运用分类讨论思想解决参数在不同区间的最值差异（如二次函数对称轴在区间内/外的不同最值）； ◦ 运用数形结合思想，通过函数图像辅助分析最值（如三角函数图像的峰值对应几何最值）。 立体几何最值范围问题的核心解题逻辑是“几何问题代数化+代数结果几何验证”，即通过参数化动点、转化几何条件为函数/不等式，结合函数最值、不等式边界求解，再验证结果是否符合几何体约束，以下分步骤梳理策略： 一、核心解题步骤（通用框架） 1. 第一步：分析动点约束，参数化表示动点 • 确定动点轨迹：明确动点在棱、面、截面还是曲面上运动（如“P在正方体棱AB上”“P在圆锥侧面上”）； • 选择参数类型： ◦ 棱上动点：用分比参数λ（λ∈[0,1]），转化为坐标（如A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，则P(x₁+λ(x₂-x₁), y₁+λ(y₂-y₁), z₁+λ(z₂-z₁))）； ◦ 旋转运动动点：用角度参数θ（如圆锥侧面上动点，用θ表示母线旋转角度）； ◦ 平面内动点：用直角坐标(x,y)（结合平面方程消元为单参数）； • 标注参数范围：根据几何体边界确定参数区间（如λ∈[0,1]、θ∈[0,2π)），避免超出范围。 2. 第二步：转化几何目标为参数函数 将“空间角、距离、体积”等最值目标转化为关于参数的函数表达式： 几何目标 转化方法 线段长度 空间两点间距离公式： 线面角 $\sinθ=\frac{ 二面角 $\cosθ=\pm\frac{ 三棱锥体积 （S为底面面积，h为动点到底面的距离，用点到平面距离公式表示h） 线段之和（PA+PB） 先对称转化为直线段（如作A的对称点A'，则PA+PB=PA'+PB≥A'B），再参数化A'B长度 3. 第三步：求解函数最值/不等式边界 根据函数类型选择对应方法，结合参数范围求解： 由几何条件（如“点P在正方体内部”）列出不等式，求参数边界，进而确定目标范围。 4. 第四步：几何验证，确定最终结果 • 检查最值点是否在几何体上（如λ=0.5对应棱中点，是否在棱上）； • 验证范围是否符合直观（如线面角范围必在[0,π/2]内，体积必非负）； • 动态问题需分析参数变化时的几何意义（如λ从0到1，动点从A到B，目标值的增减趋势）。 二、高频易错点规避 1. 参数范围遗漏：如棱上动点λ默认∈[0,1]，若忽略则会得到超出几何体的错误最值； 2. 几何公式混淆：如线面角用余弦值计算（正确应为正弦值）、二面角符号判断错误； 3. 最值点验证缺失：如二次函数对称轴对应的参数值超出几何体边界，仍直接取该值为最值； 4. 对称转化错误：如作对称点时选错对称轴（应为动点轨迹所在直线/平面），导致转化后的线段非最短。 三、通用解题技巧 1. 优先几何直观预判：先通过几何体对称性、边界特征判断最值位置（如中点、端点），再用代数方法验证，节省计算时间； 2. 简化参数数量：尽量用单参数表示动点（如平面内动点结合平面方程消元为单参数），避免多参数复杂计算； 3. 分类讨论动态变化：当参数跨区间时（如二次函数对称轴在区间内/外），分类计算各区间最值，再综合比较； 4. 结合向量工具：空间角、距离的计算优先用向量法，避免作辅助线的空间构造难点。 题型01：空间角最值范围问题 1．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．如图，平面是上的两个点，在内，，在平面上有一动点使得与所成的角相等，设二面角的平面角为，则（    ） A．仅有最大值 B．仅有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．无最值 3．（多选）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有（ ） A．当向运动时，总成立 B．当向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为 D．三棱锥的体积为定值 4.（多选） 已知点 为正方体的棱的中点,过的平面截正方体,,下列说法正确的是（ ） A. 若与地面所成角的正切值为,则截面为正六边形或正三角形 B. 与地面所成角为则截面不可能为六边形 C. 若截面为正三角形 时,三棱锥的外接球的半径为 D. 若截面为四边形,则截面与平面所成角的余弦值的最小值为 5．（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积不变 6．（多选）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的有（    ） A．直线AB与P互相垂直 B．直线⊥平面 C．异面直线AP与所成角的取值范围是 D．三棱锥体积为定值 7．（多选题）已知点A为圆台下底面圆上的一点，S为上底面圆上一点，且，，，则下列说法正确的有（    ） A．直线SA与直线所成角最小值为 B．直线SA与直线所成角最大值为 C．圆台存在内切球，且半径为 D．直线与平面所成角正切值的最大值为 8．（多选）在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的是( ) A．平面 B．与平面所成角的正切值的最大值是 C．的最小值为 D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 9．(多选)已知正方体的棱长为1，为棱(包含端点)上的动点，下列命题正确的是(    ) A． B．二面角的大小为 C．点到平面距离的取值范围是 D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 10．（多选）已知正方体的棱长为，点在底面上（含边界），且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹的长度为 B．直线与平面所成角的正切值最大为 C．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 D．若动点在线段上，为的中点，则的最小值为 11.如图，在长方体中，是的中点，点是上一点，，，，动点在上底面上，且满足三棱锥的体积等于，则直线与所成角的正切值的最小值为 . 12．棱长为2的正方体中，E是棱上的动点，F是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为 . 13．如图，在矩形中，是边的中点，将沿直线折成，使得二面角的平面角为锐角，点在线段上运动(包括端点)，当直线与平面所成角最大时，在底面内的射影面积为___________. 14．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点． (1)证明：； (2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 15．如图，设与为两个正三棱锥，底面的边长为，且平面. (1)当多面体体积最小时，求棱的长； (2)若平面与平面的夹角为，求的最大值. 16．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 17.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 题型02：长度有关最值范围 1.已知三棱锥的所有棱长均为2，点M为边上一动点，若且垂足为N，则线段长的最小值为(     ) A． B． C． D．1 2.在棱长为的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 3.已知底面边长为的正四棱锥的侧棱长为，，分别为，的中点，点，在底面内，且在线段上，过顶点平行于底面的平面为，在平面内的射影为，长度为，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 4.已知正四面体内接于球，D为棱AB上点，满足．若存在过D点且面积为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.如图，在长方体中，，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点（含边界），且直线，EF与平面所成角的大小相等，则下列说法错误的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为4 C．存在点F，使得 D．线段的长度的取值范围为 6.已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是(       ) ①点的轨迹长度为； ②线段的轨迹与平面的交线为圆弧； ③的最小值为； ④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为 A． B． C． D． 8.我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥.现有一正三棱锥放置在平而上，已知它的底面边长为2，高，该正三棱锥绕边在平面上转动（翻转），某个时刻它在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.如图所示，P是正三棱柱表面上的一个动点，且，若三棱锥的体积为3，则AP长度的最大值､最小值分别为（    ） A．4，1 B．，1.5 C．4.5， D．，2 11.（多选）已知正方体的棱长为2，点E、F分别是棱、的中点，点P在四边形内（包含边界）运动，则下列说法正确的是（ ） A．若P是线段的中点，则平面平面 B．若P在线段上，则异面直线与所成角的范围是 C．若平面，则点P的轨迹长度为 D．若平面，则长度的取值范围是 12.（多选）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（    ） A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为 C．正四面体的外接球的体积为 D．线段的最大值为 13.(多选)正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是(    ) A．若，则到直线的距离的最小值为 B．若，则，且直线平面 C．若，则与平面所成角正弦的最小值为 D．若，，则，两点之间距离的最小值为 14.（多选）如图，已知正方体的棱长为，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（ ） A.到直线的最大距离为 B.点的轨迹是一个圆 C.的最小值为 D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为 16.半正多面体（）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为，则该半正多面体外接球的表面积为 ；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 . 17. 在棱长为的正方体中，为棱的中点，点在面上，且，则线段长度的取值范围为______． 18.在四棱锥中，底面，底面为正方形，且.若与底面所成的角大于，则的长度的取值范围为__________. 19.如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为2，则此圆锥的表面积为________． 20．在棱长为的正方体中，动点在平面上运动，且，三棱锥外接球球面上任意一点到点到的距离记为，当平面与平面夹角的正切值为时，则的最大值为_________. 21．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，平面，，点为线段上的动点.    (1)求三棱锥的体积； (2)当最小时，求平面与平面所成角的余弦值. 题型03：与距离有关最值范围 1．已知圆锥，底面的面积为，母线与底面所成角的余弦值为，点在底面圆周上，当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为(     )    A．2 B． C． D． 2．已知菱形边长为1，，对角线与交于点O，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点O到直线距离的最值为（    ） A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为 3．将，边长为1的菱形沿对角线折成二面角，若，则折后两条对角线之间的距离的最值为 A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为 4．中国古代雕刻艺术中“鬼工球”工艺精妙绝伦，其层层嵌套的结构展现了极高的技艺水准.在现代数学与雕刻艺术的融合探索中，有雕刻师以棱长为6的正方体玉石为材料进行创意雕刻.在正方体内部雕琢出一个可以任意转动的球，在该球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）.假设雕刻过程不计各层厚度与材料损失，那么最内层正四面体的棱长最长为（    ） A． B．4 C． D． 5.如图，棱长为正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是（ ） A. B. C. D. 6.已知球的半径为1，球面上有三点A，B，C且，则球面上的点到平面的距离的最大值为__． 7．在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 . 8.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 ． 题型04：线段的和最值范围 1.已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 2．在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3.（多选题）在直三棱柱中，，点P在线段上，则的（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 4.（多选题）棱长为2的正方体中，是线段上的动点，下列正确的是（    ） A．的最大值为90° B． C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为4 5.（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点，下列命题正确的是（    ） A．异面直线与所成角的大小为定值 B．二面角的大小为定值 C．若是对角线上一点，则长度的最小值为 D．若是线段上一动点，则直线与直线不可能平行 6.（多选题）如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（　　） A．直三棱柱的体积是1 B．直三棱柱的外接球表面积是 C．三棱锥的体积与点的位置有关 D．的最小值为 7．(多选题)如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则(    ) A．球与圆柱的体积之比为 B．四面体CDEF的体积的取值范围为 C．平面DEF截得球的截面面积最小值为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 8．(多选题)如图，在直棱柱中，各棱长均为2，，则下列说法正确的是(       ) A．三棱锥外接球的体积为 B．异面直线与所成角的正弦值为 C．当点M在棱上运动时，最小值为 D．N是所在平面上一动点，若N到直线与的距离相等，则N的轨迹为抛物线 9．(多选题)在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是(    ) A．当平面时，可能垂直 B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C．当时，的最小值为 D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，] 10．(多选题)如图，圆锥内有一个内切球，球与母线分别切于点.若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径(与不重合)，则下列说法正确的是(     ) A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为 B．平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体的体积的取值范围是 D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为 11．(多选题)如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是(     ) A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 12．(多选题)在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是(     ) A．当平面时，与所成夹角可能为 B．当时，的最小值为 C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为 13.如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2，点C在圆O上，且，E为线段上异于P，B的点，则的最小值为___________． 14.如图，正方体的棱长为1，点P是线段上的动点，给出以下四个结论： ①； ②三棱锥体积为定值； ③当时，过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线长度之和为3； ④若Q是对角线上一点，则PQ＋QC长度的最小值为． 其中正确的序号是______． 15．已知正四面体ABCD的棱长为2，P为AC的中点，E为AB中点，M是DP的动点，N是平面ECD内的动点，则的最小值是 . 16．如图，在直角梯形中，，，，，、分别是、的中点，沿将梯形翻折至，使得平面平面． （1）求证：； （2）设为上的动点，当取最小值时，求异面直线与所成角的大小； （3）求多面体的体积． 题型05：周长最值范围 1．已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论： ①线段的长度为；②点到面的距离范围为； ③周长的最小值为；④的余弦值的取值范围为． 其中正确结论的个数为(       ) A． B． C． D． 2．在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点(点与不重合)，有以下四个结论： ①存在点，使得平面平面； ②存在点，使得平面； ③若的周长为L，则L的最小值为； ④若的面积为，则． 则正确的结论为(       ) A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 3．已知四面体的所有棱长均为，、分别为棱、的中点，为棱上异于、的动点．有下列结论： ①线段的长度为； ②存在点，满足平面； ③的余弦值的取值范围为； ④周长的最小值为． 其中所有正确结论的编号为(       ) A．①③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 4．(多选题)如图，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中点．Q是棱上一动点(不包含端点)，则(    ) A． 与平面BPQ有可能平行 B．与平面BPQ有可能平行 C．三角形BPQ周长的最小值为 D．三棱锥的体积为定值 5．(多选题)已知为等腰直角三角形，，其高，为线段的中点，将沿折成大小为的二面角，连接，形成四面体，动点在内(含边界)，且平面，则在变化的过程中(    ) A． B．点到平面的距离的最大值为 C．点在内(含边界)的轨迹长度为 D．当时，与平面所成角的正切值的取值范围为 6．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为__. 题型06：面积最值范围 1.如图，已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面（含边界）内，若，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 2．已知正方体的校长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为(　　) A． B． C． D． 3、如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为6，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥，则当△ABC的边长变化时，三棱锥的表面积S的取值范围是(　 ) A．(0,36π) B．(0,27) C．(0,45－9) D．(0,54)　　 4.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体（如图2）．设这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为，若半球的体积不小于圆柱体积，则S的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.如图所示，在边长为1的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过直线EF的平面分别与棱，交于M，N，则四边形EMFN的面积最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 6.在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 7.已知底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若底面正方形的边长为2，则四棱锥的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 8.四面体的四个顶点都在球的球面上，，，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．过点，，作四面体的截面，则该截面的面积为2 B．四面体的体积为 C．与的公垂线段的长为（注：公垂线段指与异面直线垂直且相交的线段） D．过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5∶4 9.（多选)如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则(    ) A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为 10．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为________． 11.已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，点为内（包括边界）的一个动点，则三棱锥为外接球的表面积最大值为 . 12、在四面体ABCD中，若AD＝DC＝AC＝CB＝1，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________． 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AB，垂足为E.现将△ABC沿AD折起，使得BC⊥BD，若三棱锥A-BCD外接球的球心为O，半径为1，则△DOE面积的最大值为________． 14.如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是__． 15.在正三棱锥中，，，点在棱上，且，设正三棱锥的外接球为球，过顶点作球的截面，则所得截面面积的最小值为______. 16.如图，正方体的棱长为1，P为的中点，为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，当时，S与的交点为R，则_______；当S为四边形时，的取值范围为_______________． 17.如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 18．如图，平行四边形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，是线段上的一个动点. (1)证明：平面； (2)当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 19.如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 题型07：体积最值范围 1. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 2．设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 (　　) A． B． C． D． 3.在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部(包含边界)，且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为(     ) A． B． C． D． 4.在中，，点分别在边上移动，且，沿将折起来得到棱锥，则该棱锥的体积的最大值是(    ) A． B． C． D． 5．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点．过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 6．某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是(    ) A． B． C． D． 7．如图，将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接(球心O在圆柱内部)，已知球O的半径为3，，则圆柱体积的最大值为(     ) A． B． C． D． 8．、为两条直线，为两个平面，满足：与的夹角为与之间的距离为2．以为轴将旋转一周，并用截取得到两个同顶点(点在平面与之间)的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 9．已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是(    ) A． B．18 C． D．27 10.(多选题)如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是(     ) A．面积的最大值为 B．存在某个位置，使得 C．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 D．三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为. 11.（多选题）（如图，正方形的边长为2，为的中点，将沿向上翻折到，连接，，为的中点，在翻折过程中（    ） A．四棱锥的体积最大值为 B．平面 C．三棱锥的外接球半径的最大值是 D．直线，与平面所成角的正弦值之比为 12．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______． 13．正方体的棱长为2，底面内(含边界)的动点到直线的距离与到平面的距离相等，则三棱锥体积的取值范围为 . 14．等边△ABC的边长为6，直线l交边AC，AB分别于点D，E(异于△ABC的顶点)，将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，则四棱锥A－BCDE体积的最大值为________． 15．在三棱锥中，且.记直线与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，的长为 . 16.如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 . 17.．已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内切于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱的体积最大时该正四棱柱的底面边长为(　　) A. B. C. D．2 18．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝3，若体对角线长为5，则长方体的体积的最大值是________． 19. 如图，在矩形中，，，将沿折叠，在折叠过程中三棱锥体积的最大值为____ __，此时异面直线与所成角的余弦值为_ _____． 20．如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的中心为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥。当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_______。 21、已知四棱锥P­ABCD的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥M­ABCD体积的最大值为________． 22. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为8 cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________cm2.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________． 23．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为________． 24．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________． 25.如图，一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是______． 26.中，，过点A的直线在平面上，且在直线的同一侧，将绕直线旋转一周所得的几何体的体积的最大值为______． 27.如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点.给出下列四个结论： ①三棱锥体积的最大值为； ② ③三角形的面积不变； ④四棱锥是正四棱锥. 其中，所有正确结论的序号为___________. 28．如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是. (1)当落在何处时，平面平面，并说明理由； (2)在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (3)设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围. 29.如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，．现将彩纸沿向内进行折叠． (1)求线段的长度； (2)若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的所成角的大小； (3)将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 30.如图1，有一个边长为4的正六边形，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，形成的多面体如图2所示. (1)证明：. (2)设二面角的大小为，是线段上的一个动点（与不重合），四棱锥与四棱锥的体积之和为，试写出关于的函数表达式，并探究为何值时，有最大值，求出最大值. 31.如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过AC，BC，的中点D，E，，现将底面ABC水平放置. (1)求水面的高度； (2)打开上底面的盖子，从上底面放入半径为2的小铁球，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值. 32．等腰的底边，高，点E是线段BD上异于点B，D的动点点F在BC边上，且现沿EF将折起到的位置，使． Ⅰ证明平面PAE； Ⅱ记，表示四棱锥的体积，求的最值． 题型08：与求有关最值范围 1、已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的半径为______；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______． 2、如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________． 3．三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3.若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为________． 4.已知菱形，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，若点是的中点，的面积为，三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为，则的最小值为________. 5．已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为(　　) A． B． C． D． 6.如图所示，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后将余下的四个全等的等腰三角形组成一个正四棱锥､若正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面边长为单位：，且，则该球的半径（单位：）的取值范围是__________. 7.已知正方体的棱长为2（如图所示），点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是（    ） A．平面截正方体的截面始终为四边形 B．点运动过程中，三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体的截面面积的最大值为 D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为 题型9：其它最值范围 1．已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（   ） A． B． C．2 D．1 12. 如图,在四棱台中,,,则的最小值是__________． 10．已知正三棱柱底边长为1，侧棱长为2，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为d，则________． ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 立体几何最值范围问题 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：空间角最值范围问题 6 题型02：长度有关最值范围 29 题型03：与距离有关最值范围 51 题型04：线段的和最值范围 57 题型05：周长最值范围 79 题型06：面积最值范围 89 题型07：体积最值范围 106 题型08：与求有关最值范围 136 题型09：其它最值范围 141 立体几何最值范围问题是高考立体几何的压轴难点，多以选择题、填空题最后一题（分值5分）或解答题最后一问（分值4-5分）形式出现，融合空间几何、函数、不等式、三角函数等知识，侧重考查直观想象、转化与化归、数学建模能力，以下从命题特点、核心考点、考查趋势三方面展开分析： 一、命题特点 1. 载体特征： ◦ 以规则几何体（正方体、长方体、直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥）为主要背景，偶尔结合不规则几何体（补形为规则几何体）或折叠、截面、轨迹问题拓展，如“正方体中动点P的线面角范围”“圆锥侧面上线段之和的最值”“折叠后几何体的体积最值”。 ◦ 动点约束类型多样：① 动点在棱、面、截面或轨迹上运动；② 动点满足线面平行/垂直、距离定值、角度定值等条件。 2. 题型分类： ◦ 空间角的最值/范围：异面直线所成角、线面角、二面角的最值或取值范围； ◦ 空间距离的最值/范围：点到平面的距离、异面直线间的距离、线段长度的最值或取值范围； ◦ 几何体体积的最值/范围：由动点构成的三棱锥、四棱锥的体积最值或取值范围； ◦ 线段之和/积的最值：如PA+PB、PA·PB的最值（P为动点，A、B为定点）。 3. 解法特征： ◦ 核心逻辑是“几何问题代数化”——通过参数化动点坐标，将最值/范围问题转化为函数（二次函数、三角函数、分式函数）最值或不等式求解问题； ◦ 辅助方法为“几何直观法”——利用几何体的对称性、边界特征直接预判最值位置（如中点、端点）。 二、考查趋势 1. 综合化深度提升： ◦ 单一最值问题减少，多融合多个考点（如“线面角最值+体积最值”“轨迹上动点的距离最值+角度范围”）； ◦ 与新考点结合（如截面问题中的面积最值、存在性问题中的参数范围），如“是否存在点P使三棱锥体积最大且线面角为30°”。 2. 动态化与开放性增强： ◦ 从静态动点转向动态变化（如“几何体绕某轴旋转时，线面角的范围变化”“圆锥高变化时，侧面最短路径的最值变化”）； ◦ 出现开放性问题（如“求线段PA的取值范围，并说明理由”），要求兼具计算与论证能力。 3. 数学思想与核心素养并重： ◦ 侧重考查转化与化归思想（空间→平面、几何→代数）、数形结合思想（函数图像与几何最值对应）、分类讨论思想（参数在不同区间的最值差异）； ◦ 强调直观想象素养（无直观图时通过文字描述还原几何体）、数学运算素养（复杂函数的化简与计算）。 四、高考评分关键点 1. 参数化过程需明确标注参数的几何意义（如“设λ为动点P在棱AB上的分比，λ∈[0,1]”），无说明会扣分； 2. 函数表达式推导需展示关键步骤（如线面角公式的代入、体积公式的应用），直接写结果会扣分； 3. 最值求解需验证参数是否在几何约束范围内（如λ=0.5是否在[0,1]内），未验证会扣分； 4. 范围问题需写出完整的取值区间（如“线面角的取值范围为[π/6, π/3]”），仅写最值不写范围会扣分。 结合高考对立体几何最值范围问题的考查要求，从基础认知、能力突破、综合应用三个维度制定学习目标，覆盖“建模转化、计算求解、思想应用”全环节： 一、基础认知目标 1. 掌握核心题型与转化逻辑： ◦ 明确立体几何最值范围问题的四大类型（空间角、空间距离、几何体体积、线段和/积），理解“几何问题代数化”的核心思路（将几何最值转化为函数最值/不等式求解）； ◦ 熟记关键公式：空间两点间距离公式、线面角/二面角的向量计算公式、三棱锥体积公式（V=\frac{1}{3}Sh），以及二次函数、三角函数的最值判定条件。 2. 理解参数化的几何意义： ◦ 掌握动点参数化的常用方式（如棱上动点用λ分点表示、旋转运动用角度θ表示），明确参数的取值范围（如λ∈[0,1]、θ∈[0,π]）对应几何体的边界约束； ◦ 区分“几何约束”与“代数约束”（如线面平行转化为向量垂直的代数条件，几何体边界转化为参数的区间约束）。 3. 识别直观预判的依据： ◦ 掌握常见最值的几何特征（如异面直线线段最小值为公垂线段长度、体积最大值对应动点到平面距离最大）； ◦ 理解几何体对称性对最值的影响（如正方体中对称位置的距离相等，最值常出现在中点/端点）。 二、能力突破目标 1. 参数化建模能力： ◦ 能根据动点的运动轨迹（棱、面、截面、轨迹）选择合适的参数，将空间角、距离、体积表示为关于参数的函数（如二次函数f(λ)=aλ²+bλ+c、三角函数f(θ)=A\sinθ+B\cosθ）； ◦ 能将几何约束条件（如线面垂直、距离定值）转化为参数的代数不等式，缩小参数范围。 2. 函数最值求解能力： ◦ 熟练掌握二次函数在闭区间上的最值求法（根据对称轴与区间的位置关系分类讨论）； ◦ 能利用三角函数的有界性（|sinθ|≤1、|cosθ|≤1）或辅助角公式求最值； ◦ 会用均值不等式、导数法求解分式函数、根式函数的最值（针对复杂场景）。 3. 几何直观预判能力： ◦ 能通过几何体特征直接预判最值位置（如正方体中棱的中点、端点常为距离/角度最值点），快速验证代数求解结果的合理性； ◦ 能利用空间想象还原动点的运动范围，避免因参数范围遗漏导致的最值错误（如忽略动点在几何体内部的约束）。 三、综合应用目标 1. 跨考点融合解题能力： ◦ 能处理复合约束的最值范围问题（如“线面角定值+体积最值”“轨迹上动点的距离范围”），联立多个几何条件转化为代数方程组/不等式组求解； ◦ 能结合折叠、截面、轨迹问题求解最值（如折叠后几何体的二面角范围、截面内动点的线段和最值）。 2. 规范解题与易错规避能力： ◦ 书写时明确参数设定、函数推导、范围验证的完整步骤（如“设λ为动点P在棱AB上的分比，λ∈[0,1]，则P点坐标为……”）； ◦ 规避核心易错点：参数范围遗漏、函数表达式推导错误（如线面角公式混淆正弦/余弦）、最值位置未验证几何合理性。 3. 数学思想应用能力： ◦ 熟练运用转化与化归思想（空间→平面、几何→代数、折线→直线）； ◦ 运用分类讨论思想解决参数在不同区间的最值差异（如二次函数对称轴在区间内/外的不同最值）； ◦ 运用数形结合思想，通过函数图像辅助分析最值（如三角函数图像的峰值对应几何最值）。 立体几何最值范围问题的核心解题逻辑是“几何问题代数化+代数结果几何验证”，即通过参数化动点、转化几何条件为函数/不等式，结合函数最值、不等式边界求解，再验证结果是否符合几何体约束，以下分步骤梳理策略： 一、核心解题步骤（通用框架） 1. 第一步：分析动点约束，参数化表示动点 • 确定动点轨迹：明确动点在棱、面、截面还是曲面上运动（如“P在正方体棱AB上”“P在圆锥侧面上”）； • 选择参数类型： ◦ 棱上动点：用分比参数λ（λ∈[0,1]），转化为坐标（如A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，则P(x₁+λ(x₂-x₁), y₁+λ(y₂-y₁), z₁+λ(z₂-z₁))）； ◦ 旋转运动动点：用角度参数θ（如圆锥侧面上动点，用θ表示母线旋转角度）； ◦ 平面内动点：用直角坐标(x,y)（结合平面方程消元为单参数）； • 标注参数范围：根据几何体边界确定参数区间（如λ∈[0,1]、θ∈[0,2π)），避免超出范围。 2. 第二步：转化几何目标为参数函数 将“空间角、距离、体积”等最值目标转化为关于参数的函数表达式： 几何目标 转化方法 线段长度 空间两点间距离公式： 线面角 $\sinθ=\frac{ 二面角 $\cosθ=\pm\frac{ 三棱锥体积 （S为底面面积，h为动点到底面的距离，用点到平面距离公式表示h） 线段之和（PA+PB） 先对称转化为直线段（如作A的对称点A'，则PA+PB=PA'+PB≥A'B），再参数化A'B长度 3. 第三步：求解函数最值/不等式边界 根据函数类型选择对应方法，结合参数范围求解： 由几何条件（如“点P在正方体内部”）列出不等式，求参数边界，进而确定目标范围。 4. 第四步：几何验证，确定最终结果 • 检查最值点是否在几何体上（如λ=0.5对应棱中点，是否在棱上）； • 验证范围是否符合直观（如线面角范围必在[0,π/2]内，体积必非负）； • 动态问题需分析参数变化时的几何意义（如λ从0到1，动点从A到B，目标值的增减趋势）。 二、高频易错点规避 1. 参数范围遗漏：如棱上动点λ默认∈[0,1]，若忽略则会得到超出几何体的错误最值； 2. 几何公式混淆：如线面角用余弦值计算（正确应为正弦值）、二面角符号判断错误； 3. 最值点验证缺失：如二次函数对称轴对应的参数值超出几何体边界，仍直接取该值为最值； 4. 对称转化错误：如作对称点时选错对称轴（应为动点轨迹所在直线/平面），导致转化后的线段非最短。 三、通用解题技巧 1. 优先几何直观预判：先通过几何体对称性、边界特征判断最值位置（如中点、端点），再用代数方法验证，节省计算时间； 2. 简化参数数量：尽量用单参数表示动点（如平面内动点结合平面方程消元为单参数），避免多参数复杂计算； 3. 分类讨论动态变化：当参数跨区间时（如二次函数对称轴在区间内/外），分类计算各区间最值，再综合比较； 4. 结合向量工具：空间角、距离的计算优先用向量法，避免作辅助线的空间构造难点。 题型01：空间角最值范围问题 1．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），设平面ABB1A1的法向量， 则，取x＝1，得，设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ， 则,所以∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为． 2．如图，平面是上的两个点，在内，，在平面上有一动点使得与所成的角相等，设二面角的平面角为，则（    ） A．仅有最大值 B．仅有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．无最值 【答案】D 【解析】通过作辅助线找到为二面角的平面角，利用， 然后，设，则可以把函数化，利用函数的单调性判断选项. 如图，延长交于点，在线段上取点，使得，因为与所成的角相等，则，即知点在内的轨迹是以线段为直径的圆，其半径为4．过点作于点，过点作于点，连接，则为二面角的平面角，设，则或，且，当时，在上单调递增，故，当时，在上单调递减，故，综上可知，， 3．（多选）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有（ ） A．当向运动时，总成立 B．当向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为 D．三棱锥的体积为定值 【答案】CD 【解析】建立如图所示的空间几何体， 则，，因为在上，且，故可设， ， 所以，故不恒为零，故A错.平面即为平面，而平面即为平面，故当向运动时，二面角不变，故B错. 设平面的法向量为，又， 所以，取，则， 平面的法向量为，所以，设二面角的平面角为，则为锐角，故，当，故，所以，当且仅当时取最大值即取最小值，故C正确.因为为定值，故为定值，为平面的距离即为到平面的距离，故三棱锥的体积为定值，故D正确. 4.（多选） 已知点 为正方体的棱的中点,过的平面截正方体,,下列说法正确的是（ ） A. 若与地面所成角的正切值为,则截面为正六边形或正三角形 B. 与地面所成角为则截面不可能为六边形 C. 若截面为正三角形 时,三棱锥的外接球的半径为 D. 若截面为四边形,则截面与平面所成角的余弦值的最小值为 【答案】A、D 【解析】取的中点,做底面,则为的四等分点,且,分别取的中点,连接、交于点,则点为的四等分点,连接,在正方体中,,,此时平面, 即平面与底面所成的角为,且,因为平面平面,所以平面与底面所成的角的正切值为,再分别取的中点,连接,即过的平面截正方体的截面为正六边形；取的中点,连接,则为等边三角形,,所以即为平面与平面所成的二面角的平面角, 且,,,所以平面与平面所成的二面角的平面角的正切值为,此时为等边三角形,故A正确； 当时,,所以,所以,由于,所以为等腰直角三角形,,由于,所以四边形为等腰梯形,必与有交点,则截面为六边形,故B错误； 若截面为正三角形 时,则为的中点,所以三棱锥为正三棱锥,且,,设正三角形的外接圆的圆心为,外接球的球心为,连接,则,, 因为, 所以,在中,因为,所以,解得,故C错误； , 若截面为四边形,则截面与底面棱的交点必在上,且截面为时与平面所成角的最大,此时的余弦值最小,连接,取的中点,连接,,则,,四边形为等腰梯形,,则即为截面为时与平面所成平面角,,,,在中, 由余弦定理得,故D正确. 5．（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积不变 【答案】ABD 【解析】对于A，连接，如图， 因为在正方体中，平面， 又平面，所以， 因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为与为平面内两条相交直线，可得平面， 又平面，从而平面平面，故A正确； 对于B，连接，，如图， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又、为平面内两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角， 因为，所以为等边三角形， 当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值； 当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值； 所以与所成角的范围是，故C错误； 对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等， 即点到面平面的距离不变，不妨设为，则， 所以三棱锥的体积不变，故D正确． 故选：ABD. 6．（多选）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的有（    ） A．直线AB与P互相垂直 B．直线⊥平面 C．异面直线AP与所成角的取值范围是 D．三棱锥体积为定值 【答案】ABD 【解析】 选项A：正方体中，平面，平面 则直线AB与P互相垂直.判断正确； 选项B：正方体中， ，则平面 又平面，则 同理，则平面 又平面，则 又，则直线⊥平面.判断正确； 选项C：连接， 正方体中，，为等边三角形， 则直线AP与所成角范围是 则异面直线AP与所成角的取值范围是.判断错误； 选项D：正方体中，， 又平面，平面，则平面， 又点P在线段上运动，则点P到平面的距离为定值， 则三棱锥体积为定值.判断正确. 故选：ABD 7．（多选题）已知点A为圆台下底面圆上的一点，S为上底面圆上一点，且，，，则下列说法正确的有（    ） A．直线SA与直线所成角最小值为 B．直线SA与直线所成角最大值为 C．圆台存在内切球，且半径为 D．直线与平面所成角正切值的最大值为 【答案】AB 【解析】由题意，设上下底面半径分别为，其中， 如图1，过S作SD垂直于下底面于D，则， 所以直线SA与直线所成角即为直线SA与直线所成角， 即为所求，而， 由圆的性质，， 所以，所以，则A，B选项正确. 对于C选项，若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图2， 梯形的上底和下底分别为2，4，高为，易得等腰梯形的腰为，假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质可得腰长为，所以圆台不存在内切球； 对于D选项，如图3， 平面SBC即平面，过点A做交于点H，因为SD垂直于下底面，而AH包含于下底面，所以SD⊥AH，又，所以AH⊥平面SBC， 所以直线与平面所成角即为，， 设，则， 所以， 其中，所以，当x=0时，， 当时，，根据复合函数的单调性，可知函数在上单调递增，所以当时，的 最大值为，所以D选项错误. 故选：AB. 8．（多选）在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的是( ) A．平面 B．与平面所成角的正切值的最大值是 C．的最小值为 D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 【答案】ACD 【解析】对于A，在长方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面 平面，同理可证平面， ，所以，平面平面， 平面，所以，平面，A选项正确； 对于B，平面，所以，与平面所成角为， ，所以，当时，与平面所成角的正切值的最大， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，的最大值为，B选项错误； 对于C，将沿翻折与在同一平面，如下图所示： 在中，为直角，，， 在中，，， 由余弦定理可得，则为锐角， 可得， ， 由余弦定理可得，此时， 因此，的最小值为，C选项正确； 对于D，设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点， 由于平面，平面，， ， 所以交线为以为圆心，为半径的四分之一圆周，所以交线长是，D选项正确. 故选：ACD. 9．(多选)已知正方体的棱长为1，为棱(包含端点)上的动点，下列命题正确的是(    ) A． B．二面角的大小为 C．点到平面距离的取值范围是 D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】  由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，其中， 对于A：，故即， 故A正确. 对于B：，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 故. 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 故. 故，而二面角为锐二面角， 故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故B错误. 对于C：，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 故. 而， 故到平面的距离为， 故C正确. 对于D：设直线与平面所成的角为. 因为平面，故为平面的法向量， 而，故， 而，故D正确 10．（多选）已知正方体的棱长为，点在底面上（含边界），且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹的长度为 B．直线与平面所成角的正切值最大为 C．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 D．若动点在线段上，为的中点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】由正方体性质可得点的轨迹是四分之一圆，可判断A正确；易知直线相对于平面的倾斜程度越大，所成角的正切值越大，计算可知B错误；求出内切球球心到平面的距离可判断C正确，利用线面垂直关系可知当三点共线时，满足题意，可得D正确. 对于A，根据正方体性质可得，可知， 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的四分之一圆，如下图所示： 则其轨迹的长度为，故A正确； 对于B，易知当点位于棱上时，直线与平面所成的角最大，此时，即直线与平面所成角的正切值最大为，故B错误； 对于C，易知内切球的半径为，球心位于正方体的中心，其到平面的距离为， 易知，，点平面的距离为；可得球心到平面的距离为，故截面圆的半径满足，则所得截面的面积为，故C正确； 对于D，如下图： 先固定点，当点在上时，最小，再让点移动，当三点共线时，最小， 此时，故D正确. 故选：ACD 11.如图，在长方体中，是的中点，点是上一点，，，，动点在上底面上，且满足三棱锥的体积等于，则直线与所成角的正切值的最小值为 . 【答案】 【解析】建立空间直角坐标系，设，通过向量法算出点到平面的距离，结合三棱锥的体积等于可得到，再通过向量法计算直线与所成角的余弦值的范围，继而算出答案. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ，则，，，设平面的法向量为， 则，令，则，所以平面的一个法向量， 因为，所以点到平面BFE的距离， 因为， 所以在等腰中，到的高为，所以， 因为，所以，所以或（舍去），设直线与所成的角为，则，所以 ，所以的最大值为， 此时最小，此时最小，因为，且，所以， 所以，即直线CP与所成角的正切值的最小值为. 12．棱长为2的正方体中，E是棱上的动点，F是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为 . 【答案】 【解析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用空间向量求两直线的夹角的余弦值，当两直线所成的角最小时，余弦值最大，结合对勾函数的性质可求出此时的值，进而可求三角形的面积. 建立如图所示的空间直角生标系， 则 ，设 ()，则 ，设直线与 所成的角为 ， 则 ，由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，所以当时，，此时最大，即角最小，此时与点重合，此时是以为直角的直角三角形，易求得,所以的面积为 故答案为： 13．如图，在矩形中，是边的中点，将沿直线折成，使得二面角的平面角为锐角，点在线段上运动(包括端点)，当直线与平面所成角最大时，在底面内的射影面积为___________. 【答案】见解析 【解析】解：如图所示，取的中点，连接交于，连接，则由题意可知，则是二面角的平面角， 因为，所以在平面上的投影在上，记为 设二面角的平面角，则 ， 所以，即， 所以为钝角，所以，即直线与平面所成角最大时，点与点重合， 因为在矩形中，是边的中点， 所以均为等腰直角三角形，, 所以,即， 所以到平面的距离为， 所以此时直线与平面所成角的正弦值为 ， 令，则 ，当且仅当，即时取等号，即，此时， 所以在底面内的射影面积为， 故答案为： 14．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点． (1)证明：； (2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以，因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 所以，． 由题设（）． （1）因为， 所以，所以． （2）设平面的法向量为，因为， 所以，即．令，则 因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为，此时取最大值为． 所以，此时． 15．如图，设与为两个正三棱锥，底面的边长为，且平面. (1)当多面体体积最小时，求棱的长； (2)若平面与平面的夹角为，求的最大值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用平面平面得，在中，由射影定理可得，设，则，利用基本不等式求最小值即可； （2）建立空间直角坐标系，由（1）知是平面的一个法向量，设平面的法向量，利用面面角的向量坐标公式，结合基本不等式可求最大值. （1） 如图所示，连接交平面于点，取的中点，连接， 在正三棱锥和中，和是等腰三角形，所以，， 因为平面平面，平面平面，所以， 在直角中，由射影定理可得， 由等边的边长为，易得，设，则， 所以，当且仅当时，等号成立； 此时多面体体积最小，在直角中，解得. （2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过点作平面的垂线记为轴，建立如图所示的空间直角坐标系； 则，，，所以，， 由（1）可知平面，则是平面的一个法向量，设平面的法向量， 则，即，取，则，，则， 所以，当且仅当，即时，等号成立； 所以的最大值为. 16．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3). 【解析】（1）取的中点，证明，然后得线面垂直，再得面面垂直； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）由向量的数量积为0，确定的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，然后由空间向量法求线面角． （1）取的中点，连结，由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形，则，故, 故平面平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，设平面的法向量为， 则，即， 取，则，设平面的一个法向量为， 由，取，得， 所以，因为，， 故平面与平面所成角的正弦值为. （3）点是内一动点且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时， ，设直线与直线所成角为， 所以，所以直线与直线所成角得余弦值为. 17.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； （1）[方法一]：几何法 因为，所以．又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面．又因为平面，所以． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，．由题设（）．因为，所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以 ，所以． （2）[方法一]【最优解】：向量法设平面的法向量为， 因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．设，过作交于点G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以． 则，所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结，在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．设，在中，．在中，，过D作的平行线交于点Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 题型02：长度有关最值范围 1.已知三棱锥的所有棱长均为2，点M为边上一动点，若且垂足为N，则线段长的最小值为(     ) A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】解：取中点，，点在以为球心，半径为1的球面上， 又点在平面上，故的轨迹为一段圆弧， 设点在平面的投影点为， 且点为中点)， 则点在以为圆心的圆弧上， ，设到的距离为，则， 即，得，， 由在上时，求得，求解△，得， 则当点在上时，取最小值， 故选：． 2.在棱长为的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，运用向量的数量积的夹角公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最小值. 解：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，可设，，，由，，，，，，设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，可得，，，，由，可得，则，当时，线段长度的最小值为. 3.已知底面边长为的正四棱锥的侧棱长为，，分别为，的中点，点，在底面内，且在线段上，过顶点平行于底面的平面为，在平面内的射影为，长度为，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先求得点的轨迹，然后结合等面积法求得长度的最小值. 由题可得正四棱锥的高为2，故可将正四棱锥放置在棱长为2的正方体中，如图所示，易得线段的中点即为点，连接，则， 进而，，所以在平面内，点的轨迹是以为圆心､以1为半径的圆，作，垂足为.，，所以，所以长度的最小值为.故选：D. 4.已知正四面体内接于球，D为棱AB上点，满足．若存在过D点且面积为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正四面体棱长为，球半径为，截面圆的半径为，则，则， 设平面于，则是中心，且球心在上， 连接并延长与交于点，连接， 平面，平面，故， ，，平面，故平面， 平面，则， ，， 则，解得， 当截面过球心时，，此时棱长最短，故，； 当截面时，棱长最长，此时 ，即， 故，解得； 综上所述：.故选：B. 5.如图，在长方体中，，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点（含边界），且直线，EF与平面所成角的大小相等，则下列说法错误的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为4 C．存在点F，使得 D．线段的长度的取值范围为 【答案】B 【解析】选项A，因为平面平面，平面，所以平面，该选项正确； 选项B，，该选项错误； 选项C，如图1，连接，作交AD于G，连接FG． 因为平面，所以为与平面所成的角． 因为EG⊥平面，所以∠EFG为EF与平面所成的角． 因为，EF与平面所成角的大小相等，所以，则，又因为，所以，则点F在的中垂线上，即点F在线段HⅠ上运动，如图2．当点F与点K重合时，，该选项正确； 选项D，因为，E为棱BC上靠近C的三等分点，所以，AG＝4，则．因为，所以．当点F在点Ⅰ或点H处时，线段的长度取到最大值，最大值为；当点F在点K处时，线段的长度取到最小值，最小值为．所以线段的长度的取值范围为，该选项正确． 故选：B. 6.已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】（1）当即与重合时，过点，，的截面为正方形，不合题设 （2）当，即为中点时，，，则， 所以过点，，的截面为梯形，不合题设 （3）当即与重合时，取中点，中点，连接，，， 因为，所以四边形为平行四边形，所以 因为，所以四边形为平行四边形，所以 所以 所以过点，，的截面为平行四边形，不合题设 （4）当时，过作交线段于，过作交线段于，连接 因为，所以四边形为平行四边形，所以 又，所以 所以过点，，的截面为梯形，不合题设 （5）当时，取中点，在线段上截取，连接，，过作交线段的延长线于点，交线段于点，连接交于点，连接 因为，所以四边形为平行四边形，所以 又，所以 所以过点，，的截面为五边形，符合题设 此时，， 所以的取值范围为故选：D 7．已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是(       ) ①点的轨迹长度为； ②线段的轨迹与平面的交线为圆弧； ③的最小值为； ④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的中点为，则点的轨迹是平面上以为圆心，以2为半径的圆，所以点的轨迹长度为，故①错误； 连接，易知线段的轨迹是圆锥的侧面，而平面与轴不垂直，所以线段的轨迹与平面的交线不是圆弧，故②错误； 以的中点为原点，分别以水平向右、垂直平分为轴、轴建立平面直角坐标系，则所在的直线方程为，则点到直线的距离为，所以的最小值为，故③正确； 如下图，过作正方体的截面，为五边形，其中为的靠近的三等分点，为的靠近的四等分点． 可计算得， ， 所以该截面的周长为，故④错误． 故选：D． 8.我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥.现有一正三棱锥放置在平而上，已知它的底面边长为2，高，该正三棱锥绕边在平面上转动（翻转），某个时刻它在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先在中，设其中心为，中点为，则，， 当为等腰直角三角形时，， 若底面在上的射影为等腰直角三角形时，如图1，只需， 易知，又，所以，此时； 若侧面在上的射影为等腰直角三角形时，易知， 如图2和图3，可求得，，所以， 综上，的取值范围是. 故选：B. 9.已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体中，平面平面，而平面，平面， 平面平面，则平面与平面的交线过点B，且与直线EF平行，与直线相交，令交点为G，如图， 而平面，平面，即分别为与平面所成的角， 而，则，且有， 当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，，即G为棱中点M， 当点F由点C向点D移动过程中，逐渐增大，点G由M向点方向移动， 当点G为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形， 当点G在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点， 而点F与D不重合，此时，平面与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图， 因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段（除点M外）上，即, 显然，，则， 所以线段的CF的取值范围是.故选：D 10.如图所示，P是正三棱柱表面上的一个动点，且，若三棱锥的体积为3，则AP长度的最大值､最小值分别为（    ） A．4，1 B．，1.5 C．4.5， D．，2 【答案】B 【解析】设点P到平面的距离为h，则，∴.点A到BC的距离为3，如图，取的中点D，AB的中点E，AC的中点F，的中点G，连接DE，EF，FG，GD，则点P在矩形DEFG的边上自由移动，点A到EF的距离为，，∴. 故选：B 11.（多选）已知正方体的棱长为2，点E、F分别是棱、的中点，点P在四边形内（包含边界）运动，则下列说法正确的是（ ） A．若P是线段的中点，则平面平面 B．若P在线段上，则异面直线与所成角的范围是 C．若平面，则点P的轨迹长度为 D．若平面，则长度的取值范围是 【答案】AD 【解析】对于A：因为、分别是线段、的中点， 所以，则，则，所以， 如图，连接 又由平面，平面，所以，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面，即选项A正确； 对于B：在正方体中，， 所以与所成的角为与所成的角， 连接、，，则为正三角形， 所以与所成角的取值范围为，即选项B错误； 对于C：设平面与直线交于点， 连接、，则为的中点， 分别取、的中点，， 连接、、，由， 所以平面， 同理可得平面， 又因为， 所以平面平面， 又由平面，所以直线平面， 故点的轨迹是线段，易得，即选项C错误； 对于D：取的中点，的中点，的中点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面， 连接、，则，又因为， 所以，所以平面， 连接、，由，且， 得，故、、、四点共面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段， 由知，连接，， 在中，， 所以，所以， 则，故线段长度的最小值为， 线段长度的最大值为， 所以长度的取值范围是，即选项D正确． 故选：AD． 12.（多选）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（    ） A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为 C．正四面体的外接球的体积为 D．线段的最大值为 【答案】ABD 【解析】设这个四面体的棱长为，则此四面体可看作棱长为的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长， 设外接球的半径为，内切球的半径为，则 ，所以， 四面体的高为，则等体积法可得 ， 所以， 由题意得， 所以，解得 所以A正确， 所以，所以外接球的体积为，所以C错误， 因为内切球半径为，所以内切球的表面积为，所以B正确， 线段的最大值为，所以D正确， 故选：ABD 13.(多选)正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是(    ) A．若，则到直线的距离的最小值为 B．若，则，且直线平面 C．若，则与平面所成角正弦的最小值为 D．若，，则，两点之间距离的最小值为 【答案】BD 【解析】对于A项，因为，所以在以为球心，为半径的球上. 又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上. 因为，平面，，，所以， 所以，为以点为圆心，为半径的圆上. 如图1，，则，到直线的距离的最小值为，故A项错误； 对于B项，如图2，连结. 因为平面，平面，所以. 又，平面，平面，， 所以，平面. 又平面，所以. 同理可得，. 又平面，平面，， 所以，平面. 又，平面，所以直线平面，故B项正确； 对于C项，以点为坐标原点，分别以为轴的正方向， 如图3建立空间直角坐标系，则，，，，，，. 因为，设，，. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取，则，是平面的一个法向量. 则， 又，当时，有最小值1， 所以，，即， 所以，与平面所成角正弦的最大值为，故C项错误； 对于D项，由C项知，，. 当，，即为直线与的公垂线段时，最小. 设，且，， 则，即， 取，则. 在方向上的投影向量的模为， 所以，，两点之间距离的最小值为，故D项正确. 故选：BD. 14.（多选）如图，已知正方体的棱长为，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（ ） A.到直线的最大距离为 B.点的轨迹是一个圆 C.的最小值为 D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】C、D 【解析】对于A：，即，所以，即点为在面内，以为圆心、半径为的圆上，所以，当位于中点时，到直线的距离最大，为，故A错误；对于B：正方体中，，又，且，所以平面，所以点在上，即的轨迹为线段，故B错误；对于C：在平面内， 到直线的距离为，当点，落在上时，；故C正确； 对于D： 建立如图示的坐标系，则，由B选项的证明过程可知：的轨迹为线段，所以设，则， 则，而设平面的法向量，则有，不妨令，则，设与平面所成角为，则： ， 当时，有最大值，故D正确；故选：CD. 15.已知表面积为的正方体,中,,,分别是线段,,的中点,点在平面内,若平面,则线段的长度的最小值为___________. 【答案】 【解析】根据题意,找出点的轨迹,再结合几何关系,即可求得的最小值. 依题意,,故,分别取,,的中点,,,则平面即为平面,容易知：,且面, 面,故面面,故点在直线上运动时,满足平面；又是等边三角形,故当是的中点时，，线段的长度取得最小值. 16.半正多面体（）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为，则该半正多面体外接球的表面积为 ；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 . 【答案】 【解析】由题意知，该半正多面体外接球的半径为，其表面积为.若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.此时，设正四面体的棱长为，则正四面体的高为，则有，解得， . 17. 在棱长为的正方体中，为棱的中点，点在面上，且，则线段长度的取值范围为______． 【答案】 【解析】如图建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量求出动点的轨迹，即可求出的最值，即可得解； 如图建立空间直角坐标系，则、、，设，，则，，因为，所以，即，所以点的轨迹是侧面内，和的中点，连线的线段，所以，显然，所以的最小值为，最大值为．所以. 18.在四棱锥中，底面，底面为正方形，且.若与底面所成的角大于，则的长度的取值范围为__________. 【答案】 【解析】如图所示，连接， 因为底面，所以与底面所成的角，即为， 又因为底面为正方形，且，可得， 因为与底面所成的角大于，可得， 所以的长度的取值范围为. 故答案为：. 19.如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为2，则此圆锥的表面积为________． 【答案】5π 【解析】将圆锥侧面沿母线AB剪开，其侧面展开图为扇形，如图，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，最短距离即为线段BM的长，则有BM＝2，而M是线段AB′的中点，又母线长为4，于是得AM2＋AB2＝20＝BM2，即∠BAB′＝，设圆锥底面圆半径为r，从而有2πr＝4·，解得r＝1，所以圆锥的表面积为S＝πr2＋πr·AB＝5π. 20．在棱长为的正方体中，动点在平面上运动，且，三棱锥外接球球面上任意一点到点到的距离记为，当平面与平面夹角的正切值为时，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】设，连接，，且， 在正方体中，，， 平面，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理，， 所以平面，设正方体的棱长为， 则可知为棱长为的正四面体， 所以为等边三角形的中心， 由题可得，得， 因为，所以，所以，因为， 所以， 因为平面，即平面，且， 又与平面所成角的正弦为，所以与平面所成角为， 则， 可求得，即在以为圆心，半径的圆上，且圆在平面内， 由平面，又平面，所以平面平面，且两个平面的交线为，把两个平面抽象出来，如图： 作于点，过点作交于点，连接， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 又，与为平面中两相交直线， 故平面，平面， 所以，所以为二面角的平面角，即为角， 设，当与点不重合时，在中，可得 ， 若与点重合时，即当时，可求得，也符合上式， 故，因为，， 所以，所以，所以， 所以 解得，， 再取的中点， 因为三棱锥外接球即是正方体外接球，则点为外接球球心， 连接，在中，，，所以， 所以的最大值为. 故答案为： 21．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，平面，，点为线段上的动点.    (1)求三棱锥的体积； (2)当最小时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）求出底面积和高，根据棱锥体积公式计算即可； （2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助二次函数性质，确定点的位置，再求出各平面的法向量，借助向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】（1）容易求得.因为平面，所以是三棱锥的高. 在中，，所以三棱锥的体积. （2）取的中点O，连接，以，所在直线分别为x轴、y轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，所以. 设，则，， 则， 所以当时，有最小值.此时，，. 设平面的法向量为，则，所以，令，则，，所以.平面的一个法向量为，设平面与平面所成的角为， 则， 所以当最小时，平面与平面所成角的余弦值为. 题型03：与距离有关最值范围 1．已知圆锥，底面的面积为，母线与底面所成角的余弦值为，点在底面圆周上，当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为(     )    A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得要使三棱锥的体积最大，则点到的距离最大，由余弦定理可得，再由正弦定理可得的外接圆半径，再由勾股定理即可得到结果.    因为圆的面积为，所以圆的半径，因为母线与底面所成角的余弦值为，所以，所以圆锥的高， 因为点在底面圆周上，所以，要使三棱锥的体积最大，则点到的距离最大，即，此时. 在中，由余弦定理得，所以， 由正弦定理得的外接圆半径，设的外接圆的圆心为，即，设圆锥的外接球的球心为，半径为，连接，依题意，在上，在中，，解得，即， 在中，，所以，所以当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为. 2．已知菱形边长为1，，对角线与交于点O，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点O到直线距离的最值为（    ） A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为 【答案】B 【解析】首先由二面角的定义可知，，再在中解决点到直线的距离的最值. ，， 菱形边长为1，，，点到的距离 当时，取得最大值,当，取得最小值, 故选：B 3．将，边长为1的菱形沿对角线折成二面角，若，则折后两条对角线之间的距离的最值为 A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为 【答案】B 【解析】折后两条对角线之间的距离的最值可以根据二面角的范围求得，故先找出二面角的平面角，取的中点为，连接，，则，且，取的中点为，连接，，，则且，，即折后两条对角线之间的距离，当时取最小值；当时取最大值. 取的中点为，的中点为，连接，，，，， 四边形是边长为1且的菱形，与是两个边长为1的等边三角形 ，，，为二面角的平面角，即，. 又，，即，为折后两条对角线的公垂线段，则折后两条对角线之间的距离为，在中，，，当时，取最小值，，当时，取最大值，。 故选：B 【点睛】本题考查异面直线间的距离，确定两条异面直线的公垂线段，是解决本题的关键，属于较难的题. 4．中国古代雕刻艺术中“鬼工球”工艺精妙绝伦，其层层嵌套的结构展现了极高的技艺水准.在现代数学与雕刻艺术的融合探索中，有雕刻师以棱长为6的正方体玉石为材料进行创意雕刻.在正方体内部雕琢出一个可以任意转动的球，在该球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）.假设雕刻过程不计各层厚度与材料损失，那么最内层正四面体的棱长最长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可求得棱长． 由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大， 则该球半径，如图所示： 设为正四面体的外接球球心，则，平面，为底面等边的中心， 设正四面体的棱长为，则，， 在中，，即，解得，即. 故选：A. 5.如图，棱长为正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】取中点，连接，，，，，由，，可知，则， ∴由知，即.∵平面， 平面A，∴，又，，∴平面， ∵平面，∴，∵，∴平面， ∵，∴平面，平面， ∵在侧面内，∴平面平面，即在上； ∵平面平面，且交线为，∴到平面的距离即为到的距离， 将平面沿翻折到与平面共面，如图：将关于对称到，过作与， 则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.以为原点，建立如图所示坐标系，则，，，直线方程为，即， 设，则，∴. 故选：A 6.已知球的半径为1，球面上有三点A，B，C且，则球面上的点到平面的距离的最大值为__． 【答案】 【解析】显然三角形为等边三角形，设点E为三角形ABC的中心， 则OE⊥平面ABC，连接BO，，则，为三角形ABC的外接圆半径， 因为，由正弦定理得：， 由勾股定理得：， 延长EO交球与点D，则点D到平面的距离最大，最大距离为. 故答案为：. 7．在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 . 【答案】5 【解析】作出三棱锥的侧面展开图，进行求解即可． 解：作出三棱锥的侧面展开图，如图， 则A、B两点间的最短绳长就是线段AB的长度. 在中，， 由，得 即此绳在A、B之间的最短绳长为5．故答案为：5 8.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 ． 【答案】 【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则.， ， 三棱锥的体积.设，则，令，即，得，易知在处取得最大值. ∴.    点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决. 题型04：线段的和最值范围 1.已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，解得， 由是正三角形可知：其外接圆半径为， 设点S到平面ABC的距离为h，故， 解得或， 则或(舍去)， 故，则，而，故为等腰直角三角形，， 故为等腰直角三角形，，则， 又，故平面SCM， 取CB中点F，连接NF交CM于点O，则，则平面SCM， 故平面SCM，则， 要求最小，首先需PQ最小，此时可得平面SCM，则； 再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中位置， 当共线且时，的最小值即为的长， 由为等腰直角三角形， 故，， ∴，即，∴， 可得，， 故选：B． 2．在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将立体图形展开为平面图形可确定最小时，点E的位置，然后可得体积. 将侧面如图展开，由平面几何性质可得，当为AD的中点时，满足题意. 又如图，过A向平面BCD作垂线，垂足为O，则O为中心， 连接OC，则OC为外接圆半径，由正弦定理，. 则正四面体的高为，又E为AD中点，所以．故选：A． 3.（多选题）在直三棱柱中，，点P在线段上，则的（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】BD 【解析】如图展开，其中是斜边为的等腰直角三角形， 是斜边为6的等腰直角三角形． 当三点共线时，取得最小值． 当P位于C点位置时，取得最大值． 故选：BD. 4.（多选题）棱长为2的正方体中，是线段上的动点，下列正确的是（    ） A．的最大值为90° B． C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为4 【答案】BC 【解析】对A，在正方体中，连接，如图，而，则，令， 在中，，由余弦定理得， 根据线面垂直的性质有，则，中，，，当时，，即是钝角，A不正确； 对B，因平面，平面，则，正方形中，，，平面，于是得平面，又平面，因此，，B正确； 对C，由题意，到平面的距离为定值，故为定值，C正确； 对D，把与矩形展开在同一平面内，连接交于点，如图， 在中，，由余弦定理得：， 因点M在线段上，，当且仅当点M与重合时取“=”，所以的最小值为，D错误； 故选：BC 5.（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点，下列命题正确的是（    ） A．异面直线与所成角的大小为定值 B．二面角的大小为定值 C．若是对角线上一点，则长度的最小值为 D．若是线段上一动点，则直线与直线不可能平行 【答案】ABC 【解析】如图1，由平面，平面，得，又， ，平面，所以平面， 平面，所以，即异面直线与所成角是为定值，A正确； 如图1，二面角即为二面角，为定值，B正确； 　　　　　　图1 把和沿摊平，得平面四边形，如图2． 作于，，此时最小， 四边形中，，，， 由对称性知，，， ， ，所以的最小值是，C正确； 　　 图2 取中点，连接交于，连接交于，连接，如图3， 则，所以，D错． 故选：ABC． 　　　　　　图3 6.（多选题）如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（　　） A．直三棱柱的体积是1 B．直三棱柱的外接球表面积是 C．三棱锥的体积与点的位置有关 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】在直三棱柱中，，，， 所以其体积，故A正确； 对于B，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得， 其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球， 所以其外接球半径为， 所以其外接球的表面积为， 故B错误； 由平面，且点E是侧棱上的一个动点， ， 三棱锥的高为定值， ， ， 故三棱锥的体积为定值，故C错误； 将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内， 此时，连接与相交于点E，此时最小， 即，故D正确．故选：AD. 7．(多选题)如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则(    ) A．球与圆柱的体积之比为 B．四面体CDEF的体积的取值范围为 C．平面DEF截得球的截面面积最小值为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确； 对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点， 四面体CDEF的体积，B错误； 对于C，过作于，如图，而，则， 又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则， 又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误； 对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接， 当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立， 因此，， 则， 令，则，而，即， 因此，解得，所以的取值范围为，D正确. 故选：AD 8．(多选题)如图，在直棱柱中，各棱长均为2，，则下列说法正确的是(       ) A．三棱锥外接球的体积为 B．异面直线与所成角的正弦值为 C．当点M在棱上运动时，最小值为 D．N是所在平面上一动点，若N到直线与的距离相等，则N的轨迹为抛物线 【答案】ACD 【解析】因为在直棱柱中，各棱长均为2，， 所以△ABC为等边三角形， 设三棱锥外接球球心为O，则O在底面ABC的投影为△ABC的中心H， 设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理得：， 所以△ABC外接圆半径为， 设三棱锥外接球的半径为r，则， 故三棱锥外接球的体积为，A正确； 连接，，则，且从图中可以看出为锐角，所以异面直线与所成角即为， 由勾股定理得：， 由余弦定理得：， 故在△中，由余弦定理得：， 所以，B错误； 将平面与平面沿着公共边折叠到同一平面内，如图 连接，与的交点即为取得最小值的M，此时的长度即为最小值， 其中，， 由勾股定理得：，C正确； 因为平面ABCD，故点N到直线的距离即为的长， 又因为平面ABCD， 故在平面ABCD上，到一点N的距离等于到直线BC的距离， 由抛物线的定义可知：N的轨迹为抛物线，D正确． 故选：ACD 9．(多选题)在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是(    ) A．当平面时，可能垂直 B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C．当时，的最小值为 D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，] 【答案】ABD 【解析】对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的一个法向量为， 若平面，则， 即，则当时，，即P为中点时， 有平面，且，故A正确； B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确； C选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值， 利用余弦定理可知 所以，故C错误； D选项：正方体经过点､P､C的截面为平行四边形，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，，， 所以点P到直线的距离为 ， 于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为； 当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确． 故选：ABD 10．(多选题)如图，圆锥内有一个内切球，球与母线分别切于点.若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径(与不重合)，则下列说法正确的是(     ) A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为 B．平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体的体积的取值范围是 D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为 【答案】ABD 【解析】对选项A，设圆锥的底面半径为，球的半径为，圆锥的母线长为， 因为是边长为2的等边三角形，则，， 连接，，，由条件可知，，，且， 则，所以， 则，即， 所以球的表面积，圆锥的侧面积， 所以球的表面积与圆锥的侧面积之比为，故选项A正确； 因为平面与母线VB平行，所以截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故选项B正确； 对选项C，由题意是的中点，所以四面体的体积等于， 设点到平面的距离为，当，处于，时，， 当，处于弧中点时，最大，为1，所以， 如图作交于，由对选项A可知，， 则，，所以，从而， 所以的面积， 所以， 因为，所以，故， 所以四面体的体积的取值范围是，故选项C不正确； 对选项D，由题意得球面和圆锥侧面的交线为以为直径的圆， 以为坐标原点，所在直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，设， 则， ， 所以， 所以 即， 所以当时，有最大值，故选项D正确. 故选：ABD. 11．(多选题)如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是(     ) A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A,连接,如图: 平面,平面, , 又平面,平面, 平面, 平面, , 连接,同理可得, 平面,平面, 平面, 平面, ,故A正确; 对于B,连接,如图: , 四边形为平行四边形, , 平面,平面, 平面, 同理四边形为平行四边形, , 平面,平面, 平面, ,平面,平面, 平面平面, 平面, 平面,故B正确; 对于C,如图: 由B知, 平面,平面, 平面, 点到平面的距离等于点到平面的距离, ,故C错误; 对于D,将平面和平面沿直线展开为一个平面,如图: , , , , , 即 的最小值为,故D正确. 12．(多选题)在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是(     ) A．当平面时，与所成夹角可能为 B．当时，的最小值为 C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为 【答案】AC 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 则，设平面的一个法向量为， 所以， 令，则，即平面的一个法向量为， 若平面，则，即， 故，故，其中， 令， 解得：或1， 故与可能是，A正确； B选项，因为，故点在棱上， 如图，将平面与平面沿着展成平面图形， 线段即为的最小值， 利用余弦定理可得： ， 所以，B错误； C选项，因为⊥平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆， 于是点的轨迹长度为，C正确； D选项，当时，点在上，过点作交于点，连接， 则，所以平行四边形即为正方体过点､P､C的截面， 设， 所以，则，， 所以点到直线的距离为， 于是当时，，的面积取得最小值，此时截面面积最小为， 当或1时，，的面积取得最大值，此时截面面积最大为， 故截面面积的取值范围为，D错误. 故选：AC 13.如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2，点C在圆O上，且，E为线段上异于P，B的点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】将沿翻折，使得在平面上为如图所示，易得取最小值，此时三点共线. 由题意可得，故，又，故正.根据对称性易得，且垂足为.故 故答案为： 14.如图，正方体的棱长为1，点P是线段上的动点，给出以下四个结论： ①； ②三棱锥体积为定值； ③当时，过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线长度之和为3； ④若Q是对角线上一点，则PQ＋QC长度的最小值为． 其中正确的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】由平面，平面，得， 又．，平面， 所以平面，平面，所以，①正确； 正方体中，平面平面，平面，因此到平面的距离不变，的面积不变，所以三棱锥的体积不变，即三棱锥体积为定值，②正确； 由于正方体的对面平行，因此截面与正方体的表面的交线相互平行， 连结延长交于，过在交于，连结， 则，四边形是过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线， 正方体棱长为1，，， 因此四边形周长为，③错误； 正方体中，易知与是两个全等的直角三角形，，，， 把这两个三角形沿摊平形成一个平面四边形，如下图， 当，是与的交点时，最小． ， ，， 所以，④正确．故答案为：①②④． 15．已知正四面体ABCD的棱长为2，P为AC的中点，E为AB中点，M是DP的动点，N是平面ECD内的动点，则的最小值是 . 【答案】 【解析】 取中点，连接，由正四面体可知，又，面， 又，面，当最小时，面，故在线段上. 由面可得，又，，， 将沿翻折到平面上，如图所示： 易知， 则， 故的最小值即到的距离，即. 16．如图，在直角梯形中，，，，，、分别是、的中点，沿将梯形翻折至，使得平面平面． （1）求证：； （2）设为上的动点，当取最小值时，求异面直线与所成角的大小； （3）求多面体的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6． 【解析】（1）利用平面平面，是直二面角的平面角，得出； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）利用分割求和法求多面体的体积 （1）证明：因为平面平面，，所以是二面角的平面角，所以，所以 （2）设为上的动点，当取得最小值时，,以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，设异面直线与所成角为，则 ，因为所以， （3）过作∥交于点,过作∥交于，则多面体被分成一个三棱柱和一个三棱锥，由题意得,,所以多面体的体积为： ， 题型05：周长最值范围 1．已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论： ①线段的长度为；②点到面的距离范围为； ③周长的最小值为；④的余弦值的取值范围为． 其中正确结论的个数为(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】四面体所有棱长均为，四面体为正四面体； 对于①，作平面，垂足为， 四面体为正四面体，为的中心，且； 取中点，连接，则，且平面； ，，； 平面，平面，，，①正确； 对于②，在上取点，使得，则，， 则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设，， ，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ， 点到平面的距离， 令，则，， ，，即点到平面的距离的取值范围为，②正确； 对于③，将等边三角形与沿展开，可得展开图如下图所示， 则(当且仅当为中点时取等号)， 四边形为菱形，分别为中点，， ， 则在四面体中，周长的最小值为，③正确； 对于④，设为中点，若点在线段上，设，则，其中， 在中，； 在中，同理可得：， ； 当时，； 当时，，， ，； 的取值范围为； 同理可得：当在线段上时，的取值范围为； 综上所述：的余弦值的取值范围为，④正确． 故选：D． 2．在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点(点与不重合)，有以下四个结论： ①存在点，使得平面平面； ②存在点，使得平面； ③若的周长为L，则L的最小值为； ④若的面积为，则． 则正确的结论为(       ) A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【解析】 连接，设平面与体对角线交于点， 由，，， 平面，即平面， 平面，平面平面， 存在点，使得平面平面，故①对； 由，平面，平面， 所以平面，同理由可得平面， 又，所以平面平面， 设平面与交于点M，则平面， 所以平面，故②对； 将平面与平面展开到同一平面，如图所示 则， 所以的周长为L的最小值为，故③对； 连接交于点O，过O作， 在正方体中，平面， 平面，， 由， 则，即， 此时面积为， 故④错； 故选：B． 3．已知四面体的所有棱长均为，、分别为棱、的中点，为棱上异于、的动点．有下列结论： ①线段的长度为； ②存在点，满足平面； ③的余弦值的取值范围为； ④周长的最小值为． 其中所有正确结论的编号为(       ) A．①③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【解析】对于①，取的中点，取的中点，连接、， ，为的中点，则，同理可得， ，平面，平面，， 、分别为、的中点，则且， 同理可知，且， ，由勾股定理可得，①正确； 对于②，假设平面，由于平面，则． 事实上，由①可知，且是以为直角的等腰直角三角形， 所以，与所成的角为，故假设不成立，即与平面不垂直，②错误； 对于③，取线段的中点，则，设，则． 当时，，则，此时， 则； 当点在线段上(不包括端点、)上运动时，则，，， 由余弦定理可得 ， 同理可得． ，则， 由余弦定理可得 ； 当点在线段上(不包括端点、)上运动时，同理可知． 综上所述，的余弦值的取值范围是，③错误； 对于④，将侧面和侧面延展为同一平面，如下图所示： 当、、三点共线时，取得最小值， 如上图所示，由于四边形是边长为的菱形，则且， 、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则， 即的最小值为， 所以，在正四面体中，的周长为最小值为，④正确． 故选：B． 4．(多选题)如图，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中点．Q是棱上一动点(不包含端点)，则(    ) A． 与平面BPQ有可能平行 B．与平面BPQ有可能平行 C．三角形BPQ周长的最小值为 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】对于A，当Q为的中点时，可证得四边形为平行四边形，则与互相平分于点，连接可证得∥，再由线面平行的判定定理可得结论，对于B，由题意可得与平面BPQ相交，对于C，把沿展开与在同一平面(如图)，则当B，P，Q共线时，有最小值，从而可求得结果，对于D，， 为定值，可得结论. 对于A，连接，当Q为的中点时，， 因为，∥，∥，， 所以，∥， 所以四边形为平行四边形， 所以与互相平分，设与交于点，连接， 因为P是棱的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面BPQ，故A正确；    对于B，，又平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交，所以与平面BPQ只能相交，故B错； 对于C，，把沿展开与在同一平面(如图)， 则当B，P，Q共线时，有最小值， 在直角梯形中，，，，， 则， 所以， 所以， 所以三角形BPQ周长的最小值为，故C正确；     对于D，，因为定值，因为∥，∥，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以为定值．所以D正确 5．(多选题)已知为等腰直角三角形，，其高，为线段的中点，将沿折成大小为的二面角，连接，形成四面体，动点在内(含边界)，且平面，则在变化的过程中(    ) A． B．点到平面的距离的最大值为 C．点在内(含边界)的轨迹长度为 D．当时，与平面所成角的正切值的取值范围为 【答案】AD 【解析】如图，，，，平面， 所以平面，又平面，所以，A正确， 因为，，所以为二面角的平面角，故，， 过点作，垂足为，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以为点到平面的距离，在中，,，，所以，又，所以点到平面的距离的最大值为，B错误； 连接，为的中点，因为为的中点，所以，平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面，平面平面，平面平面，所以，记的中点为，因为为的中点，所以，故点的轨迹为线段，，C错误； 过点作，垂足为，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以为与平面所成角的平面角， 因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以， 在中，，，，所以， 所以， 在中，，，，所以， 在中，，所以， 所以与平面所成角的正切值为， 设，其中，则，所以函数在上单调递减，所以，故与平面所成角的正切值的取值范围为． 故选：AD． 6．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为__. 【答案】 【解析】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在上， 在平面上，设E关于的对称点为N，关于的对称点为M，连接，交于点，交于点，则即为周长的最小值， 则， 由勾股定理得：. 故答案为：. 题型06：面积最值范围 1.如图，已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面（含边界）内，若，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设（），利用向量法确定的轨迹满足，求出的最小值，直接求出面积的最小值. 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设（），则，，因为，所以，得，所以，所以， 当时，取最小值，易知，所以的最小值为. 2．已知正方体的校长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，平面与正方体对角线垂直，记正方体为不妨设平面与垂直，且交于点．平面与平面与分别交于．正方体中心为,则容易证明当从运动到时，截面为三角形且周长逐渐增大:当从运动到时，截面为六边形且周长不变;当从运动到时，截面为三角形且周长还渐减小。我们熟知周长一定的多边形中，正多边形的面积最大，因此当运动到点时，截面为边长为的正大边形，此时截面面积最大，为 由题意可知，该平面与在正方体的截面为对边平行的六边形，如图所示，则截面面积为 所以当时， 3、如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为6，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥，则当△ABC的边长变化时，三棱锥的表面积S的取值范围是(　 ) A．(0,36π) B．(0,27) C．(0,45－9) D．(0,54)　　 【答案】D 【解析】设三棱锥底面边长为a，则0<a<6.如图所示，连接OD交BC于点G， 则OD＝6，OG＝a，DG＝6－a，故三棱锥的底面积为a2， 侧面积为3×a×＝9a－a2.因而表面积为S＝9a，故0<S<54. 4.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体（如图2）．设这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为，若半球的体积不小于圆柱体积，则S的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆柱的高为， 因为半球的体积不小于圆柱体积， 所以， 解得，即． 所以．故选：D. 5.如图所示，在边长为1的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过直线EF的平面分别与棱，交于M，N，则四边形EMFN的面积最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可证， 所以四边形为平行四边形， 设，则，， 故，所以四边形为菱形， 所以四边形的面积， 又，， 所以，， 当时，.故选：B. 6.在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设底面的外接圆的半径为r，， 则在中，，可得，所以， 设底面三角形的外心为，过作底面的垂线， 由于平面BCD，故所作垂线与的中垂线的交点即为三棱锥外接球的球心， 设外接球的半径为R，而， 则外接球的半径为， 即当即时，三棱锥的外接球的半径取得最小值， 此时三棱锥的外接球表面积取得最小值：, 故选：B 7.已知底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若底面正方形的边长为2，则四棱锥的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若四棱锥的体积最大， 则四棱锥的高最大，即球心在高线上， 设四棱锥的高为，可得，则， 故四棱锥的体积最大值为. 故选：D 8.四面体的四个顶点都在球的球面上，，，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．过点，，作四面体的截面，则该截面的面积为2 B．四面体的体积为 C．与的公垂线段的长为（注：公垂线段指与异面直线垂直且相交的线段） D．过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5∶4 【答案】B 【解析】对于A选项：取中点为，连接, 因为点，，分别为棱，，的中点， 所以,故四边形为平行四边形. 所以过点，，作四面体的截面为平行四边形. 取中点为，连接. 因为. 所以,又因,平面. 所以平面.又平面. 所以.即. 又因为，所以. 所以四边形为正方形. 面积为：.正确. 对于B选项：在中：,同理. 取中点为,连接.又. 所以. 在中：, 所以. 所以.错误. 对于C选项：由B选项可知：为与的公垂线段. .正确. 对于D选项：取中点为，因为,. 所以,同理可得：. 所以点为四面体外接球的球心.且外接球半径为. 因为,所以过点作面积最小的截面是以为圆心，为半径的圆，面积最大的截面是以为圆心为半径且过点的大圆. 所以，. 所以过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5∶4.正确. 故选：B. 9.（多选)如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则(    ) A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为 【答案】AB 【解析】选项A，连接，，正方体中易知， 分别是中点，则，所以，即四点共面，当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，A正确； 选项B，如图，取中点为，连接， 因为分别是中点，则与平行且相等，是平行四边形， 所以，又是中点，所以，所以， 平面，平面，所以平面，B正确； 选项C，正方体中，分别是中点，则， 在上，如图，作交于，连接，延长交延长线于点，连接延长交延长线于点，连接交于点，交于点，为所过三点的截面， 由正方体的对称性可知梯形与梯形全等， 由面面平行的性质定理，，从而有，由正方体性质， 设，，则，， 是中点，，则，所以，同理， ，，， 梯形是等腰梯形，高为， 截面面积， 设，，， 在上递增，，， 所以，C错； 选项D， 取中点，中点，连接，则是正四棱柱（也是长方体），它的外接球就是过四点的球，所以球直径为，半径为，表面积为，D错． 故选：AB． 10．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为________． 【答案】2 【解析】如图所示，△ABC是圆锥的轴截面．OC＝OB＝，AC＝AB＝2， OA＝＝1，所以∠OAC＝，∠BAC＝， 所以任意截面△ABD的面积为×2×2×sin∠BAD＝2×sin∠BAD， 当∠BAD＝时，截面面积最大为2×1＝2. 11.已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，点为内（包括边界）的一个动点，则三棱锥为外接球的表面积最大值为 . 【答案】 【解析】如图所示，连接，因为，，分别为棱，，的中点，根据正方体的结 构特征，可得平面，且平面，设与和的交点分别为，，且，为和中心，又由点为内（包括边界）的一个动点，可得三棱锥为外接球的球心必在直线，其中的外接圆为球的一个小圆，且为定圆，当过点，，球与所在的平面相切于的中心时，此时球的半径最小，根据运动的思想，可得当点与或或重合时，此时外接球的半径最大，设此时外接球的半径为，由正方体的棱长为，可得，则，分别连接，，在等边中，由，可得，在等边中，由，可得，设，则，在直角，可得，在直角，可得，所以，解得，所以，所以最大外接球的表面积为. 12、在四面体ABCD中，若AD＝DC＝AC＝CB＝1，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________． 【答案】. 【解析】因为AD＝DC＝AC＝1，所以底面ACD的面积为定值， 因此当CB⊥平面ACD时，四面体ABCD的体积最大． 此时，将四面体ABCD补形成直三棱柱ACD­EBF，如图所示，可得直三棱柱ACD­EBF与四面体ABCD的外接球相同．设△ACD外接圆圆心为O1，△EBF外接圆圆心为O2，连接O1O2，则四面体ABCD的外接球的球心O为O1O2的中点， 易得OO1＝，连接CO1，则CO1＝×＝.因此外接球的半径R满足R2＝2＋2＝. 所以外接球的表面积S＝4πR2＝. 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AB，垂足为E.现将△ABC沿AD折起，使得BC⊥BD，若三棱锥A-BCD外接球的球心为O，半径为1，则△DOE面积的最大值为________． 【答案】. 【解析】如图所示，取AC中点为F，DC中点为G，连接FD，FE，FG，∴FG∥AD，∵BC⊥BD，∴G到B，C，D的距离相等．同理，F到A，C，D的距离相等．∵在原图中AD⊥BC，∴折叠后AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，且FD＝FB＝FC＝FA，∴F即为三棱锥A-BCD外接球的球心为O，∵BC⊥BD, AD⊥平面BCD，∴AD⊥BC，又AD∩BD＝D, ∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥DE，∵DE⊥AB，AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EF，∴DE2＋EF2＝DF2，又DF＝1， ∴DE2＋EF2＝1，∴DE×EF≤＝，当且仅当DE＝EF＝时取等号， ∴S＝DE×EF≤×＝，∴Smax＝. 14.如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】因为，由余弦定理得： ， 因为，由勾股定理逆定理得：， 直四棱柱中，底面为平行四边形， 故⊥CD， 点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故BC为直径， 取BC的中点E，则E为三棱锥的外接球球心在平面的投影， 设与AD相交于点M，与相交于点N，连接EM，ED， 则EM=ED 因为，故，， 故三角形DEM为等边三角形，， 即为AD的中点，同理可得：N为的中点， 连接EN，则EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上， 显然，当点与点N重合时，三棱锥的外接球半径最小， 假如点P与或重合，此时最长，故三棱锥的外接球半径最大， 如图1，点P与点N重合，连接OC，设，则OE=2-R，， 由勾股定理得：，即，解得：， 此时外接球表面积为； 如图2，当点P与或重合时，连接， 其中， 设，则， 由勾股定理得：，， 故，解得：， 此时外接球半径为，故外接球表面积为， 但因为点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故最大值取不到， 综上：的取值范围是.故答案为： 15.在正三棱锥中，，，点在棱上，且，设正三棱锥的外接球为球，过顶点作球的截面，则所得截面面积的最小值为______. 【答案】 【解析】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线， 因为，，， 所以，，， 设外接球的半径为，则，在中由勾股定理可得，解得， 所以，又，，所以， 所以， 所以过点作球的最小的截面为与垂直的圆面，所以最小截面圆的半径， 所以. 故答案为： 16.如图，正方体的棱长为1，P为的中点，为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，当时，S与的交点为R，则_______；当S为四边形时，的取值范围为_______________． 【答案】 / 【解析】如图所示，设与的交点为，根据截面的性质可得，故，即，从而得到，故. 再根据可得，即，解得，故 当S为四边形时，易得与平面的交线经过，此时，故，即，易得，故 故答案为：； 17.如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）与平面所成的角的正弦值为 【解析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. （1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以，当时，最小，即的面积最小. 因为，所以，又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，，因为，所以, 在中，，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 又因为，所以，所以，设与平面所成的角的正弦值为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为. 18．如图，平行四边形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，是线段上的一个动点. (1)证明：平面； (2)当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）借助折叠性质及等腰三角形性质可得，再借助面面垂直的性质定理可得线面垂直从而可得线线垂直，借助相似三角形的性质亦可得到线线垂直，最后利用线面垂直判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量可计算点到直线的距离，取使最小的点，再求出平面与平面的法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得. （1）由，为的中点，则，则， 又平面平面，平面平面，平面，故平面， 又平面，故，由，，则， ，，由，则，则， 又，故与相似，故， 则， 故，又，，、平面，故平面； （2）由（1）可得、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、， 则、、 ， 设，，则， 点到直线的距离 ， 由，故则当点到直线的距离最小时，的面积最小， 此时，则，设平面的法向量为， 则有，取，则，，即， 由轴平面，故平面的法向量可为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 19.如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)与平面所成的角的正弦值为 【解析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. （1）因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，， 因为，所以,在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 又因为，所以，所以， 设与平面所成的角为，所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 题型07：体积最值范围 1. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又，则，当且仅当即时等号成立， 2．设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的边长为，则，此时外接圆的半径为，故球心到面的距离为，故点到面的最大距离为，此时． 3.在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部(包含边界)，且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设内接圆柱的底面半径为r，高为h，由轴截面中相似三角形把用表示，求出体积后利用导数求最大值及取最值时高的条件．    设内接圆柱的底面半径为r，圆柱体的高为h. 是圆柱上底面与三棱锥侧面的切点,是连接直线与棱锥下底面的交点， 是圆柱上底面所在平面与的交点， ，，    则由与相似，可得,可得，可得. 内接圆柱体积. 因为， 单调递增,单调递减, 所以有最大值，此时. 4.在中，，点分别在边上移动，且，沿将折起来得到棱锥，则该棱锥的体积的最大值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，由余弦定理得， 则是直角三角形，为直角，对的任何位置，当面面时，此时的点到底面的距离最大，此时即为与底面所成的角， 设， 在中，， 点到底面的距离， 则， ， 令，解得，可得下表： 故当时，该棱锥的体积最大，为. 5．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点．过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面．由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为．故选：A． 6．某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正六棱锥和球的几何性质，结合球的表面积公式、棱锥的体积公式、导数的性质进行求解即可. 如图所示： 设该正六棱锥的高，侧棱长为，设该正六棱锥外接球的半径为， 因为正六棱锥外接球的表面积为，所以有， 因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上， 所以， 设， 在正六边形，因为正六边形边长为，所以， 在中，由余弦定理可知， 在直角三角形中，，所以有， 由勾股定理可知， 因为，所以，因此有， 而，所以， 该正六棱锥的体积， ， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，因为，， 所以，因此该正六棱锥的体积的取值范围是 7．如图，将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接(球心O在圆柱内部)，已知球O的半径为3，，则圆柱体积的最大值为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设R为圆上任意一点，过R作圆柱的轴截面，过O作交圆柱轴截面的边于M，N，设与圆柱的下底面所成的角为，则，所以，即，当点P，Q均在球面上时，角取得最小值，此时，所以，所以， 令，所以， 所以，另，解得两根 所以， 所以在时单调递减， 所以．故选：B． 8．、为两条直线，为两个平面，满足：与的夹角为与之间的距离为2．以为轴将旋转一周，并用截取得到两个同顶点(点在平面与之间)的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】两个圆锥的轴截面如下图所示，分别为两圆锥的底面圆的圆心，设半径分别为， ，直线分别为两圆锥与的交线， 因为与之间的距离为2，所以设， 因为与的夹角为，所以，由圆锥的性质知，， 所以为等边三角形，所以, 所以，同理， 所以 ，， 令， 解得：， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以. 所以的最小值为. 故选：D. 9．已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是(    ) A． B．18 C． D．27 【答案】C 【解析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得，进而由体积公式转化为关于的函数，利用导数求函数的最值.. 如图，设正四棱锥的底面边长 ，高为h，外接球的球心为, 则， ∵球的体积为，所以球的半径， 在中，， 所以正四棱锥的体积， 整理为， ， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，. 10.(多选题)如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是(     ) A．面积的最大值为 B．存在某个位置，使得 C．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 D．三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为. 【答案】ACD 【解析】对于A，由，，则， 所以当时，最大，且最大值为，故A正确；      对于B，取的中点，连接，显然，且， 又，所以四边形为平行四边形， 所以，又，且，为的中点， 则与不垂直， 所以与不垂直，故B错；    对于C，易知三棱锥体积最大时，平面平面，交线为， 作，因为平面，则平面， 取中点，连接，，，则， 由勾股定理可得， 又，故点为三棱锥的外接球的球心， 所以其外接球的半径为，表面积为，故C正确； 对于D，由选项C可知，， 点在以为球心，1为半径的球面上，设点到平面的距离为， 因为，所以， 易知，，， ，，， 所以点到平面的距离的最小值为，选项D正确. 11.（多选题）（如图，正方形的边长为2，为的中点，将沿向上翻折到，连接，，为的中点，在翻折过程中（    ） A．四棱锥的体积最大值为 B．平面 C．三棱锥的外接球半径的最大值是 D．直线，与平面所成角的正弦值之比为 【答案】ABD 【解析】若，如下图示，， 所以翻折过程中，当面时四棱锥的体积最大，为，A正确； 若为中点，连接，又为的中点，则且， 又且，即且， 所以为平行四边形，则， 面，面，故平面，B正确； 由题意△为直角三角形，若为中点，则其外接圆圆心为且半径为， 而△中，故，则其外接圆半径为，若圆心为，则，所以， 令外接球球心为，则外接球半径为， 又，故外接球半径最小值为，无最大值，C错误. 由，面，面，故平面， 所以到面的距离相等，令距离为， 所以，与平面所成角正弦值分别为，而， 则，D正确.故选：ABD 12．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______． 【答案】 【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则． ， ， 三棱锥的体积． 设，x>0，则， 令，即，得，易知在处取得最大值． ∴． 13．正方体的棱长为2，底面内(含边界)的动点到直线的距离与到平面的距离相等，则三棱锥体积的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据题意可知，连接，在底面内作于点，如下图所示：    由正方体性质可知即为到直线的距离，为到平面的距离， 所以； 在底面内，由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线的一部分， 截取底面，分别以向量为轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：    又正方形边长为2，易知抛物线过点，，且对称轴为轴， 设抛物线方程为，代入两点坐标可得，解得 所以的轨迹抛物线方程为， 以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：    则，所以， 设，平面的一个法向量为， 则，令，解得，即； ， 则点到平面的距离为， 令，易得， 所以， 易知在三棱锥中，底面是边长为的正三角形， 所以， 所以三棱锥的体积； 即三棱锥体积的取值范围为. 14．等边△ABC的边长为6，直线l交边AC，AB分别于点D，E(异于△ABC的顶点)，将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，则四棱锥A－BCDE体积的最大值为________． 【答案】见解析 【解析】令 ， 过作，垂足为， 令 令 在上单调递增，在上单调递减 ， 故答案为： 15．在三棱锥中，且.记直线与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，的长为 . 【答案】 【解析】设点在平面内的投影为，根据线面角定义，结合，得到 ，建立直角坐标系，可以得到点的轨迹是圆，根据圆的几何性质进行求解即可.    设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且， 则，于是，以为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，令，由，得， 则，化简得，因此点在以为圆心，为半径的圆上，当最小时，最小，即三棱锥的体积最小，    此时 16.如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 . 【答案】 【解析】中，因为，所以. 由余弦定理可得，所以. 设，则，.在中，由余弦定理可得 .故.在中，，.由余弦定理可得，所以. 过作直线的垂线，垂足为.设则， 即，解得.而的面积.设与平面所成角为，则点到平面的距离.故四面体的体积. 设，因为，所以.则. （1）当时，有，故. 此时，.，因为，所以，函数在上单调递减，故. （2）当时，有，故. 此时，.由（1）可知，函数在单调递减，故.综上，四面体的体积的最大值为. 17.．已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内切于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱的体积最大时该正四棱柱的底面边长为(　　) A. B. C. D．2 【答案】A 【解析】如图，圆锥的高PN分别交正四棱柱上下底面于M，N两点，NE＝1，PN＝2.令正四棱柱的底面边长为a，则BM＝a.易知＝，∴PM＝·MB＝a，∴MN＝2－a，∴V正四棱柱＝a2(2－a)，其中a∈(0，)．求导令y＝4a－3a2，当0<a<时，y>0，当<a<时，y<0，∴V(a)在上单调递增，在上单调递减，故当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为. 18．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝3，若体对角线长为5，则长方体的体积的最大值是________． 【答案】48 【解析】由已知得，a2＋b2＋(3)2＝(5)2，所以a2＋b2＝32，所以32≥2ab，所以ab≤16(当且仅当a＝b＝4时等号成立)，由题得长方体的体积V＝3ab≤3×16＝48.所以长方体的体积的最大值是48. 19. 如图，在矩形中，，，将沿折叠，在折叠过程中三棱锥体积的最大值为____ __，此时异面直线与所成角的余弦值为_ _____． 【答案】①. ②. 【解析】若三棱锥体积的最大，则点到底面的距离最大，即平面平面， 从而可得体积的最大值；过点在平面内，引，得到异面直线所成角，结合最小角定理可得结果. 三棱锥的底面积，若三棱锥体积的最大，则点到底面的距离最大，即平面平面，此时，点到直线的距离即三棱锥的高，，∴三棱锥体积的最大值为；过点在平面内，引，则(或其补角）为异面直线与所成角，又平面平面，根据最小角定理可得. 20．如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的中心为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥。当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_______。 【答案】 【解析】如图连接交于，由题意，设等边三角形的边长为（），则，． 由题意可知三棱锥的高，底面， 三棱锥的体积为，设， 则（），令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以是取得最大值 ，所以． 21、已知四棱锥P­ABCD的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥M­ABCD体积的最大值为________． 【答案】.. 【解析】将四棱锥P­ABCD补成长方体，如图所示． 可知四棱锥P­ABCD的外接球的直径为长方体的体对角线． 设四棱锥P­ABCD的外接球的半径为R，依题意有πR3＝36π，解得R＝3. 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则c＝3. 由于a2＋b2＋c2＝62，所以a2＋b2＝27，又a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＝时等号成立， 所以底面ABCD面积的最大值为(ab)max＝.此时，要使得四棱锥M­ABCD的体积最大， 只需点M到底面ABCD的距离h最大．连接AC，BD，交于点O′，连接OO′， 因为OO′＝ ＝ ＝，所以hmax＝OO′＋R＝＋3＝， 故四棱锥M­ABCD体积的最大值为VM­ABCD＝××＝. 22. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为8 cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________cm2.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________． 【答案】64(＋1)　 【解析】如图，正四棱锥P-ABCD的表面积SP-ABCD＝4S△PAB＋S正方形ABCD＝4××8×8＋8×8＝64(＋1)(cm2)．设该正四棱锥的高为h，体积为V，内切球半径为r，则由r＝，h＝，得＝＝＝. 23．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为________． 【答案】18 【解析】由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为×9×6＝18. 24．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________． 【答案】(2－)a 【解析】由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的半径最大．作出其侧视图，如图所示．易知球的半径r＝(2－)a. 25.如图，一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是______． 【答案】 【解析】如图，在正方体中， 若要使液面形状不可能为三角形， 则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC, 若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形， 设正方体内水的体积为V，而， 而（升）， （升） 所以V的取值范围是. 故答案为： 26.中，，过点A的直线在平面上，且在直线的同一侧，将绕直线旋转一周所得的几何体的体积的最大值为______． 【答案】 【解析】因为，所以， 将绕直线旋转一周所得的几何体体积为台体的体积减去上下两个圆锥的体积， 设，则， ， ， 所以台体的体积为 ， 圆锥的体积为， 圆锥的体积为， 故旋转一周所得的几何体的体积为 ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值， 最大值为. 故答案为：. 27.如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点.给出下列四个结论： ①三棱锥体积的最大值为； ② ③三角形的面积不变； ④四棱锥是正四棱锥. 其中，所有正确结论的序号为___________. 【答案】②③④ 【解析】因为三棱锥体积为， 所以三棱锥体积的最大值为，故①错误； 连接，，则，又平面，平面， 所以，， 所以平面，，故②正确； 设，连接，则，所以，即和到的距离相等且不变，所以三角形的面积不变，故③正确； 由，可知平面，又为正方形，为其中心，故四棱锥是正四棱锥，故④正确. 故答案为：②③④. 28．如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是. (1)当落在何处时，平面平面，并说明理由； (2)在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (3)设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）当落上时，平面平面. 因为，所以平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. （2）直线与平面平行. 证明如下：取的中点，连结. 因为平面， 所以， 在Rt和Rt中，， 所以， 所以， 因为为的中点， 所以，又在矩形中，， 所以，因为平面平面， 所以平面， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面，又在平面中，， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. （3）在矩形中，作交于， 已知，由题意知 在中，作，交于， 沿将折起成后， 又， 所以平面. 因为平面， 所以，又， 在平面中，， 所以平面， 因此，当时，满足题意的的集合组成的图形为线段， 因为在Rt中， 所以，当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为， 因为四面体的体积为， ①当取得最大值时，即与重合时， 四面体的体积取得最大值； ②当取得最小值时，即与重合时， 四面体的体积取得最小值. 综上，当时，四面体的体积的取值范围是. 29.如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，．现将彩纸沿向内进行折叠． (1)求线段的长度； (2)若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的所成角的大小； (3)将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1）延长BC，ED相交于点F， 因为，所以， 故为等边三角形，所以， 因为，， 所以，， 在中，由余弦定理得：， 所以； （2）由（1）知：，，， 所以， 由勾股定理逆定理得：⊥BE， 因为⊥，，平面ABE， 所以BC⊥平面ABE， 取BE的中点Q，连接AQ，CQ， 因为AQ平面ABE， 所以BC⊥AQ， 因为是等边三角形， 由三线合一得：AQ⊥BE， 因为BE，BC平面BCDE，， 所以AQ⊥平面BCDE， 所以即为直线与平面的所成角，显然， 故直线与平面的所成角大小为. （3）延长BC，ED相交于点F， 由（1）（2）得：BF⊥BE，且为等边三角形， 故，， 故四边形的面积为， 要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大， 故要使平面⊥平面BCDE，且需要△ABE边BE上的高最大， 因为，，故只需使△ABE的面积最大， 由余弦定理得：， 故， 由基本不等式得：，即， 所以，当且仅当时，等号成立， △ABE的面积最大值为， 故四棱锥的高最大为， 该四棱锥的体积的最大值为. 30.如图1，有一个边长为4的正六边形，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，形成的多面体如图2所示. (1)证明：. (2)设二面角的大小为，是线段上的一个动点（与不重合），四棱锥与四棱锥的体积之和为，试写出关于的函数表达式，并探究为何值时，有最大值，求出最大值. 【答案】见解析 【解析】（1）证明：如图，连接交于，则为的中点． ∵，∴，即，． ∵，平面， ∴平面． 又∵平面， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即 ∴ （2）如图1，连接交于，则为的中点． 由正六边形的性质，可知，∴． ∵，∴，即，． ∵，平面， ∴平面． ∴就是二面角的平面角，即． 过作，垂足为点，过作，垂足为点，如图3. ∵平面，平面 ∴，， ∵，平面，平面 ∴平面，平面， ∵ ∴． 在中，，，，如图4 ∴， ∴，， ， ∴． ∴． ∴当时，，取得最大值. 31.如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过AC，BC，的中点D，E，，现将底面ABC水平放置. (1)求水面的高度； (2)打开上底面的盖子，从上底面放入半径为2的小铁球，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意，水的体积， 将底面ABC水平放置，若水面的高度为，则，所以. （2）由题意，只需放入小铁球的总体积大于即可， 而小铁球的体积，若放入n个小铁球水从上底面溢出， 所以，则，而，故最小为3. 32．等腰的底边，高，点E是线段BD上异于点B，D的动点点F在BC边上，且现沿EF将折起到的位置，使． Ⅰ证明平面PAE； Ⅱ记，表示四棱锥的体积，求的最值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）利用直线垂直于平面内两条相交直线证得直线垂直于平面即可； （Ⅱ）利用题意求得体积的函数 ，对体积函数进行求导，讨论函数的单调性即可求得体积的最大值. （Ⅰ）证明：∵，∴， 故，而，所以平面．　 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，又∵，，∴平面，即为四棱锥的高. 由高线及得，∴，由题意知，∴， ∴．而，∴（），，当单调递增，当单调递减，所以时，取得极大值，也是最大值，． 题型08：与求有关最值范围 1、已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的半径为______；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______． 【答案】 【解析】 如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径，过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，连接，设外接球的半径为，所以，解得．若是的中点，，重合，过点作球的截面， 则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，而三角形的外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为． 2、如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________． 【答案】 【解析】（1）因为，所以该六面体的表面积为. （2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，每个三角形面积是，六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是.由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为，所以，所以球的体积. 3．三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3.若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为________． 【答案】4π 【解析】如图，∵三棱柱ABC­A1B1C1为正三棱柱，∴设A1C1＝a，BB1＝h， ∴三棱柱的侧面积为3a·h＝3，∴ah＝. 又球O的半径R＝≥＝1， 当且仅当＝，且ah＝，即a＝，h＝时，等号成立．∴球O的表面积S＝4πR2≥4π. 4.已知菱形，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，若点是的中点，的面积为，三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为，则的最小值为________. 【答案】 【解析】如图，取的中点，连接，，，，，因为，是中点，所以，设，所以，；由，得平面，由球心到点的距离相等，知球心在平面上，又球心到点的距离相等，得球心在直线上，则三棱锥的外接球被平面截得的截面圆的半径等于球的半径，设为，且， 所以，得，所以， 所以，故， 当时等号成立，故的最小值等于. 5．已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为． 6.如图所示，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后将余下的四个全等的等腰三角形组成一个正四棱锥､若正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面边长为单位：，且，则该球的半径（单位：）的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由题意，作出正四棱锥，如图所示，记为的中点，连结， 可知，，四边形为正方形. 记为正方形的中心，连结，则平面， ，，， 记正四棱锥的外接球的球心为，， 在直角中，，即， 设，，则， 整理得，因为在区间上单调递减， 所以，即，. 故答案为：. 7.已知正方体的棱长为2（如图所示），点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是（    ） A．平面截正方体的截面始终为四边形 B．点运动过程中，三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体的截面面积的最大值为 D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对A选项，当与点重合时，平面截正方体的截面为，错误； 对B选项，∵，又平面，平面， ∴平面，又点为线段（含端点）上的动点， ∴到平面的距离为定值，又的面积也为定值， ∴三棱锥的体积为定值，正确； 对C选项，当由移动到的过程中，利用平面的基本性质，延长交于，连接交于， 所以，从到之间，平面截正方体的截面为为等腰梯形，且， 当与重合时，截面为矩形，此时面积最大为，正确； 对D选项，如图，分别取左右侧面的中心，，则垂直于左右侧面， 根据对称性易知：三棱锥的外接球的球心在线段上， 设到的距离为，则， 设，则，又易知，外接球的半径， 在与中，由勾股定理可得：，两式相减得：， ∴，令，又，则， ∴，， 设函数，，则的对称轴为，的开口向上， ∴在上单调递增，最小值为，最大值为，即， ∴三棱锥的外接球表面积，正确. 故选：BCD. 题型9：其它最值范围 1．已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】根据垂直时距离最小，即可根据向量的线性运算求解,即可求解. 当最小时，此时平面，故为等边三角形的中心，记的中点为，则， 故 ，故，因此，故选：C      12. 如图,在四棱台中,,,则的最小值是__________． 【答案】 【解析】先判断出的最小值为四棱台的高,添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高,从而可得所求的最小值. 如图,设,则平面,故, 的最小值即为四棱台的高.如下图,过作,垂足为,过作,垂足为, 过作平面,垂足为,连接,则,, 因为,,故,故,而, 故,所以,因为平面, 故,而,故平面,因平面,故, 故,故即的最小值为, 10．已知正三棱柱底边长为1，侧棱长为2，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为d，则________． 【答案】 【解析】把正三棱柱中和，摊平到平面上，则线段的长度最小．由余弦定理求之可得． 在正三棱柱中把和，摊平到平面上，如下右图， 则的最小值为右图中的线段， 由已知得，， 因为是三角形内角，所以， ，则，所以， 在右图中，， ， 故答案为：． ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $