第12讲 立体几何截面（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何截面问题，涵盖截面形状判断、面积周长计算、最值求解等高考核心考点，按定义理解、方法技巧、综合应用的逻辑层次架构知识体系。通过考点梳理明确正方体、锥体等几何体截面规律，方法指导教授交线法和平行线法构造截面，真题训练结合典型例题与变式练习，帮助学生系统突破截面问题难点。 讲义创新采用补全截面动态分析策略，如利用交线法延长线段确定正方体截面交点，培养学生的空间观念和推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合截面最值问题参数化求解等技巧，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生几何直观与解题效率，为高考立体几何板块复习提供实战支撑。

第12讲 立体几何截面问题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 8 题型归纳 11 一．补全基截面方法 8 题型01：截面形状判断 11 题型02：利用相交线法做截面 21 题型03：利用平行线法做截面 28 题型04：平行关系确定截面 32 题型05：垂直关系确定的截面 34 题型06：综合应用补全截面方法 38 二．截面在几何体中的应用 42 题型01：柱体截面周长与面积 42 题型02：锥体中截面周长与面积 51 题型03：台体中截面周长与面积 54 题型04：圆柱、圆锥截面 57 题型05：球截面 59 题型06：截面分体积 72 题型07：不规则截面（曲线形截面） 78 三．截面最值 82 题型01: 球截面最值 82 题型02：柱体最值 88 题型03：锥体最值 93 题型04：综合型最值 97 四．恒平行型求截面 109 五．恒垂直型求截面 116 六．动点型截面 126 七．截面与角度 138 巩固提升 142 立体几何截面问题在高考中多穿插于立体几何解答题或多选题中，虽较少单独成题，但综合性强、创新性突出，下面从命题特点、核心考点和备考建议三方面展开分析： 1. 命题特点：该题型常融入动态元素，打破立体几何静态考查模式，能很好地考查直观想象、逻辑推理等核心素养。命题载体以正方体、长方体等常见规则几何体为主，偶尔涉及圆柱、棱锥等。题目设问逐步递进，解法上需结合平面几何（如解三角形）和空间向量等知识，既需几何法构建图形关系，也需向量法精准计算，对综合能力要求高。 2. 核心考点：一是判断截面形状，比如判断平面截正方体所得截面是三角形、四边形还是其他多边形，还会考查截面不可能的形状，像正方体截面不会出现直角梯形、正五边形等；二是计算截面相关量，计算截面图形的周长、面积，或结合截面求几何体体积、与截面相关的线段长度、角度等；三是截面相关的综合拓展，比如结合翻折、动点问题，分析截面的动态变化，或求解截面面积的最值等。 3. 备考建议：基础层面要牢记常见几何体的截面规律，熟练掌握平面基本事实与线面平行、垂直等定理；解题方法上，既要会用几何法通过作辅助线、利用面面平行性质找截面轮廓，也要掌握向量法，通过建立坐标系求解截面相关计算问题；同时需针对性练习不同几何体的截面题型，总结截面构造的常见技巧，规避截面形状判断的易错点，提升快速拆解图形、推理计算的能力。 结合立体几何截面问题的高考考查特点，从基础认知、能力掌握、综合应用三个维度制定学习目标，确保覆盖核心考点与解题需求： 一、基础认知目标 1. 掌握截面的定义与平面基本事实：明确“截面是平面与几何体表面的交线围成的平面图形”，能复述平面基本事实（如“不共线三点确定一个平面”“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”），理解截面形成的底层逻辑。 2. 熟记常见几何体的截面规律： ◦ 正方体/长方体：能列举所有可能的截面形状（三角形、四边形、五边形、六边形），明确不可能的截面（如直角三角形、正五边形）及原因； ◦ 圆柱/圆锥：掌握平行于底面、垂直于底面、斜截时的截面形状（圆、矩形、椭圆、三角形等）； ◦ 棱锥/棱柱：能判断不同截法下的截面多边形边数与形状特征。 3. 识别截面的关键元素：能快速找到截面与几何体棱的交点、截面的边（平面与几何体面的交线），明确截面图形的顶点、边长、内角等基本属性。 二、能力掌握目标 1. 截面构造能力： ◦ 能根据题目条件（如“过某三点作截面”“过某直线与某点作截面”），通过作辅助线（延长线、平行线）确定截面与几何体各棱的交点，完整画出截面图形； ◦ 掌握“面面交线法”构造截面：利用两个平面的公共点确定交线，逐步勾勒截面轮廓（如正方体中过棱上三点的截面构造）。 2. 截面相关计算能力： ◦ 能结合平面几何知识（勾股定理、余弦定理、三角形面积公式、多边形面积分割法）计算截面的边长、周长、面积； ◦ 能结合几何体体积公式、等体积法，计算截面分割几何体后的部分体积，或与截面相关的点到截面的距离。 3. 动态截面分析能力：能分析动点、动直线形成的截面的形状变化、面积最值，结合函数思想（如设参数表示截面边长）求解最值问题。 三、综合应用目标 1. 跨考点融合能力：能将截面问题与空间位置关系（线面平行/垂直）、空间角（截面与某平面的二面角）结合，综合运用几何法或向量法解决复杂问题； 2. 易错点突破： ◦ 避免截面形状判断错误（如误认为正方体可截出直角三角形）； ◦ 杜绝截面构造时遗漏交点（如未延长线段找到截面与几何体棱的交点）； ◦ 防止截面计算时忽略几何体的棱长关系、角度特征。 3. 规范解题能力：能清晰书写截面构造的推理过程（如“延长AB交CD于点E，连接EF交GH于点F，故截面为四边形AEFG”），计算时步骤完整、公式准确。 知识点1 截面定义 在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 知识点2 正六面体的基本斜截面 知识点3 圆柱体的基本截面 正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 知识点4补全截面的方法 交线法 基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面 特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。 以“第三点”所在的表面中，，剔除掉与EF所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线 如下图，符合的有c1的表面有三个，红色的和EF平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的）， 先用上表面（红色的）来做： 1、 所以，先补出扩展EF直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长EF交A1B1于G 2、 此时G也在上表面了，连接GP，出来与棱A1D1交点H. 3、 连接HB，则的如右图的截面。 再用右表面绿色的来做： 1、 则发现，右边面和EF相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长EF交C1C于I 2、 此时I也在右表面了，连IC1交棱CB于J. 3、 连接FJ，则出右图的截面。 最终，两个合在一起，就是如图的截面。以上过程，与EF是否中点，几何体是否正方体无挂具体的G,H,I,J都可以通过对应的E、F几等分点以及几何体长宽高的不同变化来计算出来，这个几何体也不一定是长方体，还可以是斜棱柱，都不影响这个作图。 平行线法 平行线法特征： 有两点连线在表面：EF，在前侧面 方法如下： 1、 寻找C1点所在的与线EF的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的） 2、 在这个面内，过C1做EF平行线，显然必须扩展这个面了。如第三图。 3、 注意！，E与F分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了） 4、 注意这仨面的相交棱， 5、 下边过C1做EF平行线，交这俩棱于K,L第二排图 6、 分别连FK与EL，交点为J与H。出截面，与第一种方法一致。 立体几何截面问题的解题核心是“确定截面轮廓+精准计算相关量”，需结合平面基本事实、几何体特征和平面几何知识，以下分核心题型梳理具体解题策略： 一、截面构造类问题（核心：找交点、连交线） 1. 基本方法：面面交线法（万能构造法） 核心逻辑：截面是平面（截平面）与几何体各面的交线围成的图形，需利用“两个平面有公共点则必有公共交线（过公共点）”的平面基本事实，逐步确定截平面与几何体各棱的交点，再依次连接交点得到截面。 步骤拆解（以正方体中过三点的截面为例）： ① 确定已知点所在的几何体表面，找到截平面与第一个面的交线（若两点在同一面上，直接连接即为交线）； ② 延长已确定的交线，与几何体的棱相交，得到新的公共点（截平面与该棱的交点）； ③ 重复“找公共点→连交线”，直到所有交点闭合，形成完整截面； ④ 验证：所有交点均在几何体的棱上（或面上），交线均在截平面内。 2. 辅助技巧： • 平行线法：若截平面与几何体的两个面平行，利用线面平行性质（线面平行→线线平行）找交线（如正方体中过点P作截面平行于面ABCD，直接作各边平行线）； • 中点定位法：若已知点为棱的中点，优先连接中点形成中位线，利用中位线平行于底边的性质快速确定交线。 二、截面形状判断类问题 1. 核心思路： • 根据几何体特征+截平面位置判断： ◦ 正方体/长方体：截面边数≤6（最多六边形，因正方体有6个面，截平面最多与6个面相交）；三角形截面必为锐角三角形（不可能是直角/钝角三角形，可通过余弦定理验证）；四边形截面可为平行四边形、梯形、菱形等（无直角梯形，因正方体棱两两垂直，若有直角则为矩形）。 ◦ 圆柱：截平面垂直于轴→圆；平行于轴→矩形；斜截→椭圆（或部分椭圆）。 ◦ 棱锥：截平面平行于底面→与底面相似的多边形；过顶点→三角形。 • 反证法排除不可能形状：假设截面为某形状，结合几何体棱长、角度关系推导矛盾（如假设正方体截面为直角三角形，推导后发现与正方体棱长垂直关系矛盾）。 2. 快速判断技巧： • 截面边数=截平面与几何体的面的相交个数； • 规则几何体中，截面为正多边形的条件：截平面过几何体的中心/对称轴，且与各棱成等角。 三、截面相关计算类问题（面积、周长、体积等） 1. 截面图形计算（面积/周长）： • 三角形截面： • 四边形截面： ◦ 平行四边形/矩形： ◦ 梯形： ◦ 不规则四边形：分割为两个三角形，分别计算面积再求和； • 六边形截面（正方体）： 2. 截面分割几何体的体积计算： • 核心方法：分割法/补形法+等体积法； • 示例：正方体中截面将正方体分为两部分，求其中一部分体积→ ◦ 若截面为三角形，可将该部分视为三棱锥，用“×底面积×高”计算（底为截面三角形，高为正方体棱长）； ◦ 若截面为四边形，将其分割为两个三棱锥，分别计算体积再求和。 3. 截面相关距离/角度计算： • 点到截面的距离：用等体积法（如三棱锥体积=×截面面积×点到截面的距离）； • 截面与某平面的二面角：建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，再用向量夹角公式计算。 四、动态截面问题（截面面积最值、动点轨迹） 1. 截面面积最值： • 步骤：① 设参数（如设动点为棱上的λ分点，0≤λ≤1）；② 用参数表示截面的边长、高；③ 建立截面面积关于参数的函数（如二次函数、三角函数）；④ 求函数最值（结合参数范围）； • 示例：正方体中过棱上动点P的截面为三角形，设AP=λa（a为正方体棱长），表示出三角形三边，用海伦公式建立面积函数，求λ∈[0,1]时的最值。 2. 动点轨迹问题： • 核心：分析动点在截平面内的约束条件，结合平面几何轨迹类型（直线、圆、椭圆）判断； • 示例：截平面平行于某定直线，动点在截平面内且到定点距离为定值→轨迹为圆。 五、易错规避策略 1. 构造截面时，避免遗漏“延长交线找交点”（如仅连接面上的点，未延长交线与几何体其他棱相交，导致截面不完整）； 2. 计算截面面积时，避免误判图形形状（如将正方体的梯形截面当作平行四边形）； 3. 动态截面问题中，忽略参数的取值范围（如λ∈[0,1]，超出则动点不在棱上）。 通用解题步骤 1. 审题：明确截平面的已知条件（过哪些点/线、与哪些面平行/垂直）； 2. 构造：用面面交线法/平行线法确定截面所有交点，连接成截面图形； 3. 判断：确定截面形状（三角形/四边形/六边形等）； 4. 计算：结合平面几何、空间向量知识计算相关量（面积、体积、量（面积、体积、距离等）； 5. 验证：检查交点是否在几何体棱上、计算过程是否符合公式/定理。 一．补全基截面方法 题型01： 截面形状判断 一般地，立体几何中的截面问题，有两种处理方法： 1.是利用平行关系找交线， 2.是利用共面直线延长相交得交点. 基本规律 一些容易出错误的地方 1.截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。 2.不会与同一个表面有两条交线。 3.与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长） 4.截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系 【典型例题1】用平面截正方体，截面不可能是（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【解析】举例即可说明A、B、D正确；假设截面是正五边形，经分析得出必有两条截线平行，这与正五边形的性质相矛盾，即可判断C项. 对于A项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，故A项正确； 对于B项，如图1，当时，有，且，此时截面为等腰梯形，故B项正确； 对于C项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误； 对于D项，如图2，分别为各边的中心，易证共面，且为正六边形，故D项正确. 故选：C. 解题方略： 作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理． 注：1.截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。 2.不会与同一个表面有两条交线。 3.与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长） 4.截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系 【典型例题2】图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【答案】D 【解析】分截面经过圆柱上下底面的圆心和截面不经过圆柱上下底面的圆心两种情况，分别讨论，进而可得出答案. 当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确； 当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为一条曲线，所以⑤正确； 故选:D. 【典型例题3】圆锥内接一个正方体，现有一个平面截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】作圆锥的截面，依次判断截面图形即可得到结果. 对于A，沿图中所示位置作竖直截面，则截面图形如A所示，A正确； 对于B，按图中阴影所示作截面，则截面图形如B所示，B正确； 对于C，沿正方体面对角线（如图中位置）作轴截面，则截面图形中四边形应为矩形，如图所示，C错误； 对于D，正方体侧棱为，为底面弦的中点，按照平面作如图所示的截面，则截面图形如D所示，D正确. 故选：C 【变式训练1-1】用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是（       ） ①等边三角形       ②直角梯形       ③菱形       ④五边形 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】如图，用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形， 故选：C 【变式训练1-2】在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（       ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】如图，把截面补形为四边形， 连接，， 因为，分别为，的中点，则， 又在正方体中， 所以，则四点共面. 则平面截正方体所得的截面多边形的形状为四边形. 故选：B. 【变式训练1-3】在正方体中，、分别在和上（异于端点），则过三点、、的平面被正方体截得的图形不可能是（       ） A．正方形 B．不是正方形的菱形 C．不是正方形的矩形 D．梯形 【答案】A 【解析】对于A选项，设正方体的棱长为，如下图所示：     设，平面平面，平面平面，平面平面，，同理， 若截面为正方形，则， 过点作交于点，易知，，则， ，，， 由勾股定理得，即，解得， 所以，截面不可能是正方形； 对于B选项，由A选项可知，当时，截面是不为正方形的菱形； 对于C选项，如下图所示，当时，由于平面，，平面，平面，， 平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理可得， ，，， 此时，四边形为矩形但不是正方形； 对于D选项，如下图所示， 平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理可得， 当时，过点作交于点，易知且， 此时，截面图形为梯形. 故选：A. 【变式训练1-4】【多选】在正方体中，点分别是棱的中点，则下列说法正确的是（       ） A．过三点的平面截正方体的截面图形是矩形 B．过三点的平面截正方体的截面图形是等腰梯形 C．平面 D．若，则平面平面 【答案】AD 【解析】对于A：如图（1）所示，因为线段在棱上，过作棱的平行线，交于点，显然为的中点，因为，所以，所以平行四边形即为截面，因为，所以截面图形是矩形，故正确； 对于B：如图（2）所示，作中点，连接，可知，作中点，连接，在中，由三角形中位线定理可知，所以，所以即为截面，由面面平行的性质定理可知平行，且，所以是梯形，但不等腰，故B错误； 对于C：如图（3）所示，延长交延长线于点，连接，交于点，交于点，连接，交于点，五边形为过三点的平面截正方体的截面，其中为的四等分点，且靠近点，其中为的三等分点，且靠近点，由于直线与相交，而，所以不平行平面，故C错误； 对于D：如图（4）所示，当时，由E为AB中点，其中为靠近的的三等分点，所以,所以,所以.因为，所以，所以.在正方体中，面，所以.因为,所以面.由面面垂直的判定定理，所以平面平面.故D正确. 故选：AD 【变式训练1-5】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B正确． 如图所示： 因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心， 即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是 ． 故选：B． 【变式训练1-6】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【答案】D 【解析】根据截面的位置，可判断截面图形的形状. 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边， 当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确； 当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确； 故选:D 【变式训练1-7】在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（       ） ①矩形   ②圆   ③椭圆   ④部分抛物线   ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 【答案】C 【解析】当圆柱桶竖直放置时，截口曲线为圆； 当圆柱桶水平放置时，截口曲线为矩形； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则截口曲线为椭圆的一部分； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面不经过底面，则截口曲线为椭圆； 故选：C 【变式训练1-8】如图，正四棱锥的高为12，，，分别为，的中点，过点，，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【解析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知点投影位置，即可得出答案. 研究平面DPB，设AC与BD的交点为O，BM与EF交点为N, 为的中点，为的中点，，，又因为,过点作，设，，，又，， ,,为4个格，为8个格，故选：C 【变式训练1-9】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】ABC 【解析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项． 当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形； 截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 当截面为五边形时，不可能出现正五边形； 截面为六边形时，可能出现正六边形， 故选：ABC． 【变式训练1-10】在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______． ①当P为中点时，截面为六边形；②当时，截面为五边形； ③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形； 【答案】①③. 【解析】①延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接，结合图形即可判断； ②延长交于，交于，连接交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断； ③当截面为四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可. 解：如图①，延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接，因为M为AB中点，N为BC中点，所以，同理，又因， 所以，同理，所以共面，此时六边形为截面， 所以截面为六边形；故①正确； 如图②，延长交于，交于，连接交于，连接交于，此时截面为五边形 因为，所以，所以，即， 所以当时，截面为五边形；故②错误； 当截面为四边形时，点与点重合，如图，由①得，，所以四边形即为截面， 设正方体的棱长为1，则，，所以， 所以四边形是等腰梯形；故③正确.故答案为：①③. 题型02：利用相交线法做截面 【典型例题1】已知正方体的棱长为2，若，分別是的中点，作出过，，三点的截面. 【答案】图象见解析 【解析】 【典型例题2】如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，过点，，的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可. 作直线，分别交于两点，连接分别交于两点， 如图所示， 过点，，的截面即为五边形 ， 设正方体的棱长为， 因为点，，分别是，的中点。所以，即， 因为，所以 则过点，，的截面下方体积为：， ∴另一部分体积为，∴.故选：C. 【典型例题3】在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解析】先作出截面图形，易知截面为菱形，再结合菱形面积公式求解即可 设平面交棱AD于F， 由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得，， 由勾股定理可得四边形所有边长的长度为， 所以是菱形，且为的中点， 取的中点，连接，则 ， 故．故选：C． 【变式训练2-1】如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面多边形记为S，则下列命题正确的是（ ） A．当时，S为等腰梯形 B．当时，S与的交点R满足 C．当时，S为六边形 D．当时，S的面积为 【答案】ABD 【解析】分，，三种情况讨论截面的形状，再逐一分析各个选项即可得出答案. 解：过点A，P，Q的平面截正方体，当时，其截面形状为梯形如图1，特别地当时，截面形状为等腰梯形， 当时，其截面形状为五边形如图2． 若，则，所以． 当时，与重合，其截面形状为四边形如图3， 此时， 因为P为的中点，且，所以为的中点，所以， 同理，所以四边形为平行四边形， 所以四边形为菱形，其面积为．故ABD正确． 故选：ABD. 【变式训练2-2】如图，在正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ） A．点、到平面的距离相等； B．与为异面直线 C．； D．平面截该正方体的截面为正六边形 【答案】B 【解析】利用中点的性质可判断A选项的正误；利用三角形全等可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；确定截面与各棱的交点以及截面多边形边长与各角的大小，可判断D选项的正误. 对于A选项，为的中点，故点、到平面的距离相等，A对； 对于B选项，延长、交于点，延长、交于点， 因为，为的中点，则，，， 所以，，则，同理可知，则， 即点、重合，故、相交，B错； 对于C选项，设正方体的棱长为， 则，同理，所以，为等边三角形， 因为， 由余弦定理可得， 所以，，故，则，C对； 对于D选项，设平面分别交棱、于点、， 因为平面平面，平面平面，平面平面，则， 因为、分别为、的中点，则， 因为，，故四边形为平行四边形，则，， 为的中点，则为的中点，同理可知为的中点， 所以，、、、、、分别为棱、、、、、的中点， 由勾股定理可知六边形的边长为，且， 同理易知， 故六边形为正六边形，D对. 故选：B. 【变式训练2-3】如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用作延长线找交点法，得出截面图形为梯形，求出梯形周长即为所求. 连接 与的延长线交于点, 连 接与交于点, 因为 , 所以为的中点, 则为的中点, 所以截面为梯形 ,因为所有棱长均为2,，所以,, , ,故梯形 的周长为 .故选：D. 【变式训练2-4】在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可. 延长交于点，连接交于点，如图， 在正方体中，面面， 面面，面面 ，又 四边形是梯形，且为平面截正方体的截面. 又，在等腰梯形中，过作， .故选：C. 【变式训练2-5】在棱长为3的正方体A1B1C1D1-ABCD中，M是棱B1C1上靠近B1的三等分点，过A、D1、M作正方体的截面，则这个截面将正方体分成两部分的体积之比（体积较小的与体积较大的之比）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出截面图形，利用割补法求两部分体积即可. 如图所示，正方体的截面为，将体积较小的部分补成一个三棱锥， 设，由，，， 较小部分体积为， 较大部分体积为，故选：D 题型03：利用平行线法做截面 【典型例题1】如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（ ） A．AB中点 B．BC中点 C．CD中点 D．BB1中点 【答案】B 【解析】根据截面特点结合正方形结构性质求解. 取的中点，连接，，如图，则， 所以在截面上,故选：B 【典型例题2】已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【解析】取，，的中点，，，可得，，，由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面，从而求出截面是六边形. 如图所示，分别取，，的中点，，，连接 ，，，，，，则，. ，. 同理可得，. 由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面， 所以平面截正方体所得的截面是六边形. 故选：D. 【典型例题3】在正方体中，点Q是棱上的动点，则过A，Q，三点的截面图形是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能 【答案】D 【解析】由点是棱上的动点，可考虑分别在的端点以及中点，故可得过、、三点的截面图形的形状. 所以当点与重合时，过、、三点的截面是等边三角形； 当点与重合时，过、、三点的截面是矩形； 当点与的中点重合时，取的中点,由于所以,又,故过、、三点的截面是等腰梯形，如图所示： 所以过，，三点的截面图形是可能是等边三角形、矩形或等腰梯形． 故选：D 【变式训练3-1】在棱长为3的正方体中，O为AC与BD的交点，P为上一点，且，则过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正方体的性质结合条件作出过A，P，O三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得. 因为，即， 取，连接，则， 又， 所以， 所以共面，即过 ， ，三点的正方体的截面为 ， 由题可知，，， 所以过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为. 故选：D. 【变式训练3-2】正方体棱长为4，M，N，P分别是棱的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，取正方体棱的中点，并连接起来，则此六边形即为所得截面，求出即可． 如图所示： 取正方体棱的中点，并连接起来，则此六边形即为所得截面， 由于该六边形为正六边形，其边长为， 故其面积为． 故选：A． 【变式训练3-3】已知正方体，平面和线段，，，分别交于点E，F，G，H，则截面EFGH的形状不可能是（ ） A．梯形 B．正方形 C．长方形 D．菱形 【答案】A 【解析】根据面面平行的性质定理，可以得出，，由此可推断四边形EFGH一定为平行四边形，从而可得出答案. 因为面面，面面，面面，所以， 同理可得，所以四边形EFGH为平行四边形，所以截面EFGH的形状不可能是梯形. 若面面，此时四边形EFGH是正方形，也是菱形； 当是所在棱的中点，分别与 重合时，四边形EFGH是长方形. 故选：A. 【变式训练3-4】在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，则过点B，P，Q的截面形状是______. 【答案】菱形 【解析】取中点，证明四边形是截面，确定其形状后可得． 连接，取中点，连接， 则在正方体中，，所以是平行四边形，与平行且相等， 同样由与平行且相等得是平行四边形，与平行且相等， 从而与平行且相等，所以是平行四边形，这就是过点B，P，Q的截面， 又， 因此四边形是菱形． 故答案为：菱形． 题型04：平行关系确定截面 【典型例题1】在正方体中，与平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________. 【答案】平面 平面 【解析】根据题意，结合图形，得出与平行，且过正方体三个顶点的截面是平面，平面． 解：在正方体中，与平行，且过正方体三个顶点的截面是平面，平面． ，，四边形是平行四边形； ，又平面，平面，平面； 同理平面．故答案为：平面，平面． 【典型例题2】若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．4条 【答案】C 【解析】由平行四边形的性质有两对边平行且相等，再应用线面平行的判定可确定线面平行，由线面平行的性质、判定即可知有几条棱与平面α平行. 如下图示，若平面α即为面为平行四边形，即且，且， 又面，面，则面，而面，面面， ∴，由线面平行判定易知：平面α；同理可得，易得平面α. ∴该三棱锥与平面α平行的棱有、，共2条.故选：C 【变式训练4-1】在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】由线面平行的性质定理确定截面的形状，再利用三角形相似的性质求截面的周长. 设，因为平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四边形为平行四边形，所以，. 因为，所以，， 所以四边形的周长为.故选：A. 【变式训练4-2】如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1. 【答案】存在 【解析】取AB的中点O，连接OC，可证明，即四边形ODC1C是平行四边形，所以OC∥C1D，由线线平行证明线面平行，即得证 存在，取AB的中点O，连接OC，作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D，则OD∥BB1∥CC1. 因为O是AB的中点，所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1，则四边形ODC1C是平行四边形，所以OC∥C1D.又C1D⊂平面C1B1A1，且OC平面C1B1A1，所以OC∥平面A1B1C1. 即在边AB上存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1. 题型05： 垂直关系确定的截面 【典型例题1】如图，为正方体，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ） A．为定值，不为定值 B．不为定值，为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 【答案】B 【解析】将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，将的侧面沿棱剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形，考查的位置，确定 解：将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，将的侧面沿棱剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形，如图所示 而多边形的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，，所以为定值， 当位于中点时，多边形为正六边形，而当称到时，为正三角形，则当周长这定值的正六边形与正三角形面积分别为，所以不是定值，故选：B 【典型例题2】正方体，的棱长为4，已知平面α，，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（ ） A．α截得的截面形状可能为正三角形 B．与截面α所成角的余弦值为 C．α截得的截面形状可能为正六边形 D．β截得的截面形状可能为正方形 【答案】ABC 【解析】首先根据已知条件确定截面，然后根据选项依次判断正误即可. 如图 因为正方体∴，，又∵∴平面 又∵平面∴同理：又∵∴平面 ∴平面可以是平面，又因为∴为等边三角形，故A正确 取的中点并依次连接 易知，因为平面，平面∴平面 同理：平面又因为且平面，平面 ∴平面平面∴平面可以是平面∵ ∴六边形是正六边形，故C正确以平面是平面为例计算：设A到平面的距离为 等体积法求距离∵，∴又因为，∴则与平面所成角的正弦值为 ∴余弦值等于，故B正确对于D选项：由于直线，在正方体上任取点但异于，与可构成平面，但是截面的形状都不是正方形，故D错误故选：ABC 【变式训练5-1】已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为 A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由正三棱柱的体积为，，可求得，由于，所以要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，设的中点为，作出截面如图所示，可得点在以为直径的圆上，从而可求出点到底面距离的最大值，进而可求得三棱锥的体积的最小值 如图所示， 因为正三棱柱的体积为，，所以，即， 因为，所以要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，设的中点为，作出截面如图所示， 因为，所以，所以点在以为直径的圆上， 所以点到底面距离的最大值为， 所以三棱锥的体积的最小值为.故选：A. 【变式训练5-2】已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（ ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】分析出面，可判断选项A；取AD的中点，由平面几何知识可知，，从而判断出面，即平面截正方体所得的截面为梯形，从而可判断剩余的三个选项. 连接，则，又因为，, 所以面，又因为面，所以，故选项A正确； 取AD的中点，的中点，连接，，，，, 在正方形中，由平面几何知识可知，， 又因为，，所以面，所以, 又因为，所以，又因为, 所以面，即平面截正方体所得的截面为梯形， 所以显然平面，选项B正确；平面与平面不平行，选项C错误； 在梯形中，，，,所以梯形的高为， 所以梯形的面积为，即平面截正方体所得的截面面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 题型06：综合应用补全截面方法 【典型例题1】如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，分如中点，则过点A，D，E的截面与三棱柱的侧面的交线的长为__________． 【答案】 【解析】首先根据平行线将平面进行扩展得到过点A，D，E的截面与三棱柱的侧面的交线为，确定点为线段的三等分点靠近的点，最后在直角三角形中求得线段的长度即可. 由题意将直三棱柱补成一个直四棱柱,取中点，连接,显然，取中点，连接，则，所以A，D，F，E四点共平面，连接与的交点为，连接.所以过点A，D，F，E的截面与三棱柱的侧面的交线为， 因为，且,所以点为线段的三等分点靠近的点， 因为，所以，又D为中点，所以，因为面,所以， 则.故答案为：. 【典型例题2】如图，正四棱锥的高为12，，，分别为，的中点，过点，，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知点投影位置，即可得出答案. 研究平面DPB，设AC与BD的交点为O，BM与EF交点为N, 为的中点， 为的中点，， ， 又因为, 过点作， 设， ，， 又，， , , 为4个格，为8个格， 故选：C 【变式训练6-1】如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ） A．三角形 B．平面四边形 C．平面五边形 D．平面六边形 【答案】D 【解析】分别取、、的中点，连接、、、、、、、、、，先证明四点共面，再证明平面， 平面可得答案. 如图，分别取、、的中点，连接、、、、、、、、、，且M、N、P分别是棱、、BC的中点，所以、，且，所以， 即四点共面，因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为，得，且平面，平面， 所以平面，得平面， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为，得，又平面，平面， 所以平面，得平面，所以六点共面， 平面六边形即为经过M、N、P与正方体相交形成的截面， 故选：D. 【变式训练6-2】如图，直三棱柱，，，侧棱长为，点是侧面内一点．当最大时，过、、三点的截面面积的最小值为______． 【答案】3 【解析】设由余弦定理结合均值不等式可得当且仅当时，取得最大值，得到此时三棱柱是正三棱柱，过点作,连接，可得过、、三点的截面即为平面，由，求出最小值，即可得到答案. 在中，设，,， 由余弦定理可得：， 即，即，由,则（当且仅当时等号成立）， 所以，所以即（当且仅当时等号成立）， 即当时，取得最大值4.此时三棱柱是正三棱柱， 过点作,则,连接，过、、三点的截面即为平面.， 由三棱柱为直三棱柱，则平面， 所以,由，则， 所以四边形为矩形，则，当最小时，最小. 当平面时，即，最小. 此时， 所以最小值为，故答案为：3. 二．截面在几何体中的应用 题型01：柱体截面周长与面积 【典型例题1】在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案． 如图， 延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1 于H， 延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1 于G， 可得截面五边形AHFEG． ∵ABCD﹣A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点， ∴EF＝3，AG＝AH，EG＝FH． ∴截面的周长为．故选D． 【典型例题2】在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长交于点，连接交于点，如图， 在正方体中，面面， 面面，面面 ，又 四边形是梯形，且为平面截正方体的截面. 又，在等腰梯形中，过作， . 故选：C. 【典型例题3】如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（    ） A．2 B．4 C．4 D． 【答案】B 【解析】根据题意作出截面图，结合几何关系即可求得其面积. 根据题意，作出正方体被平面所截得到的截面为四边形，如下所示： 根据正方体的几何特点，显然四边形为矩形，且，故其面积.故选：. 【典型例题4】在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（       ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解析】设平面交棱AD于F， 由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得，， 由勾股定理可得四边形所有边长的长度为， 所以是菱形，且为的中点， 取的中点，连接，则 ， 故． 故选：C． 【变式训练1-1】在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正方体的特征，作出过点，，的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可求得答案. 设为的三等分点，靠近B点，连接,并延长交延长线于P， 设为的三等分点，靠近点，连接,并延长交延长线于Q， 则∽，由于，故, 同理求得,故两点重合，则,故，而，故,同理可得,即四边形为平行四边形， 连接,则五边形即为过点，，所作的正方体的截面，由题意可知 故该截面的周长是 ，故选：C 【变式训练1-2】已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先证明截面四边形为平行四边形，再求出截面的边长相加即得解. 解：作出图形如图所示． 延长至Q，使得，连接MQ，NQ，则截面四边形为平行四边形；记MQ与BC交于点R，NQ与CD交于点P，则，，，，，故所得截面的周长为.故选：B． 【变式训练1-3】已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】确定平面与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长. 如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、， ，为的中点，则， 平面，平面，， ，平面， 、分别为、的中点，则且，平面， 平面，所以，平面平面， 所以，平面即为平面，设平面交于点， 在直棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 且，且，所以，四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面， 设平面平面，平面，所以，，， ，所以，四边形为平行四边形，可得， 所以，为的中点， 延长交于点，，所以，，， 又，所以，，，为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面平面，， ，，，，为的中点， ，，则， 为的中点，，则，同理， 因为直棱柱的棱长为，为的中点，， 由勾股定理可得，同理可得， 且，平面，平面， 平面，， 、分别为、的中点，则，， 由勾股定理可得，同理. 因此，截面的周长为. 故选：C. 【变式训练1-4】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，过E，F，C1三点的平面截正方体所得的截面的面积为（       ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【解析】画出所截得的封闭图形，根据正方体和等腰梯形的性质即可求出. 如图所示，经过点的平面截正方体所得的封闭图形为四边形. 分别是棱和的中点，，且. 正方体棱长为2，.四边形是一个等腰梯形. 在中，， 根据等腰梯形的性质可得，等腰梯形的高为. 所以梯形的面积为.故选：D. 【变式训练1-5】如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，，的中点，过，，三点的平而截正方体所得的截面面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意画出截面，得到截面为正六边形，从而可求出截面的面积 如图，分别取的中点，的中点,的中点，连接， 因为该几何体为正方体，所以∥,∥,∥,且 所以，，三点的平面截正方体所得的截面为正六边形， 所以该正六边形的面积为. 故选：D 【变式训练1-6】已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______. 【答案】 【解析】在上取点，使得，连接，则四边形是平行四边形， 由勾股定理可得，再结合余弦定理与面积公式即可求解 由题意，正四棱柱中，，， 可得，在上取点，使得，连接，则有， 所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得 ， 所以,所以，所以四边形是平行四边形的面积为，故答案为： 【变式训练1-7】在棱长为的正方体中，为的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取中点，连接、、、、，证明出，故四点、、、共面，所以过、、三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形，根据已知，即可求解. 取中点，连接、、、、， 因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，， 、分别为、的中点，所以，且， 所以，，故、、、四点共面， 所以过、、三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形， 其中，，， 过点、在平面内分别作的垂线，垂足点分别为、， 因为，，，所以，，故， 在平面内，因为，，， 所以，四边形为矩形，则，所以，， 所以，梯形的高， 梯形的面积.故选：B. 【变式训练1-8】已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面为___________，其面积为___________. 【答案】四边形 【解析】第一空，先画出所在平面，由平面平面得出，，四点共面，即为所求截面； 第二空由已知条件可求出，再求出的面积，再乘以2可得截面的面积. 如图所示： 确定一个平面，因为平面平面，所以，同理， 所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面. 因为，所以，即所以 由余弦定理得：，所以，所以 .故答案为：四边形。 题型02：锥体中截面周长与面积 【典型例题1】在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为_________. 【答案】8 【解析】如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F．过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．可得四点EFMN共面，进而得到，根据比例可求出截面各边的长度，进而得到周长． 解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F 过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N. 由作图可知：EN∥FM，∴四点EFMN共面。可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM.∴ 可得EF=MN=2.同理可得：EN=FM=2.∴截面的周长为8.故答案为：8. 【典型例题2】在正四面体中，，若以三角形为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作中点，作底面，则左视图的面积，由几何关系即可可求解 作中点，作底面，则左视图中底面将重合为线段，高为线段，左视图的面积即为，又四面体为正四面体，故， ，则， 故选：C 【变式训练2-1】如图，已知三棱锥，点P是的中点，且，过点P作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为_________. 【答案】6 【解析】设AB、BC、VC的中点分别为D、E、F，连接DE、EF、PF、PD，则可证明截面EFPD就是所求平面，根据中位线的性质，即可求得答案. 设AB、BC、VC的中点分别为D、E、F，连接DE、EF、PF、PD，如图所示 因为D、E分别为AB、BC的中点，所以，同理P、D分别为VA、AB的中点，所以，平面EFPD，平面EFPD，所以平面EFPD，平面EFPD， 所以截面EFPD就是所求平面，因为，所以,， 所以截面EFPD的周长为2+2+1+1=6，故答案为：6 【变式训练2-2】已知正四面体的内切球的表面积为36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为 A．27 B．27 C．54 D．54 【答案】C 【解析】先由内切球表面积求出其半径，结合图像，找出球心半径，用相似三角形列方程求出正四面体边长，再求出所需截面即可. 解：由内切球的表面积，得内切球半径。如图，过点作平面，则点为等边的中心。连接并延长交于点，且点为中点，连接。记内切球球心为，过作，设正四面体边长为。则，，， 又因为，所以。由，得，即，解得 因为过棱和球心，所以即为所求截面 且故选C . 【变式训练2-3】已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P-ABCD所得截面，求其面积，可得答案. 分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点， 连接, 因为, 所以,四边形是平行四边形，即四点共面， 设中点为,易得,故，所以五点共面， 则平面即为平面，如图， 在中，,可得, 所以，，， 在等腰三角形中，，，所以高为， 故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和，．故选：A 题型03：台体中截面周长与面积 【典型例题1】正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为___________． 【答案】## 【解析】根据棱台的几何特点，结合已知数据，作出辅助线，解三角形即可. 取的中点分别为，连接，取上靠近的三等分点分别为， 连接，过作，垂足为，作图如下： 根据题意可得：，即为所求斜高； 易知四边形为平行四边形，故可得， 在△中，，在△中，， 在△中，，故. 故答案为：. 【典型例题2】在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即可． 设，上底面和下底面的中心分别为，，过作, 该四棱台的高， 在上下底面由勾股定理可知，． 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，． 取,的中点，,连接,，显然有， 由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面． 显然， 在直角梯形中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设，， 则， ， 所以梯形的面积为， 故选：C． 【变式训练3-1】一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______. 【答案】 【解析】由正四棱台的几何特征知四边形为高为3的等腰梯形，进而结合梯形的面积公式即可求出结果. 由正四棱台的几何特征知，,,且四边形为高为3的等腰梯形， 所以, 所以, 因此经过相对两侧棱的截面的面积为， 故答案为：. 【变式训练3-2】如图，四棱台的底面为菱形，P、Q分别为的中点．若∥平面BPQD，则此棱台上下底面边长的比值为___________． 【答案】 【解析】连接AC，A′C′，则AC∥A′C′，可得A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，由线面垂直的性质定理可得：A A′∥MN， 则AA′NM为平行四边形，进而可得A′M＝AN，即AC，从而求出相似比． 连接AC，A′C′，则AC∥A′C′， 即A，C，A′，C′四点共面， 设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示： 若AA′∥平面BPQD，则AA′∥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN， 即AC，，即棱台上下底面边长的比值为．故答案为． 【变式训练3-3】如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么 A．2＝＋ B．S0＝ C．2S0＝S＋S′ D．S0＝2S′S 【答案】A 【解析】棱台不妨看做三棱台，利用相似的性质，面积之比是相似比的平方，化简即可． 不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a， 根据相似比的性质可得：可得消去r，可得2＝＋，故选A． 题型04：圆柱、圆锥截面 【典型例题】已知圆锥体积为，高为4，过顶点作截面，若平面与底面所成的锐二面角的余弦值为，圆锥被平面截得的两个几何体设为.若的体积为（其中），则___________. 【答案】 【解析】作出图形，由已知求得，求出以为底面的三棱锥的体积，即可求解 设平面与底面的交线为，底面圆心为点，设底面圆半径为. 由，即 于点，则余弦值为，则，， 又，则. 故答案为： 【变式训练4-1】已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可求圆锥的母线长为2，结合条件即求. 如图，由题可知，， 又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，∴，即， 在中，.故选：A. 【变式训练4-2】已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________ 【答案】 【解析】圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于时，母线夹角为时截面面积最大. 设圆锥的底面半径为r，则，，圆锥的高， 设轴截面中两母线夹角为，则，， 所以当两母线夹角为时，过此圆锥顶点的截面面积最大， 最大面积为.故答案为： 【变式训练4-3】“圆锥的两条母线所作的一切截面中，以轴截面的面积最大”是否成立？ 【答案】答案见解析 【解析】首先把命题作为真命题进行推理,求出轴截面面积以及截面三角形面积，根据命题为真，举反例即可得出结论. 首先把命题作为真命题进行推理．如图所示， 设圆锥的轴截面三角形顶角为，任意一截面三角形的顶角为，母线为l， 则轴截面面积为．而截面三角形面积为． 若命题为真，则，即，其中． 当时，成立， 但当时，对， 有，轴截面不是面积的最大值． 这时取便是一个反例． 故正确的结论应是 题型05：球截面 【典型例题1】某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出图形，可知四棱锥为正四棱锥，由勾股定理可得出，分析得出，可设，，其中，可得出，令，，利用导数求出取最大值时对应的的值，求出的值，可得出的长，进而可求得结果. 如下图所示，可知四棱锥为正四棱锥，设，则球心在直线上， 设，，则，由勾股定理可得，即， 当四棱锥的体积最大时，则点在线段上，则， 可设，，其中， ， 令，，则. 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，此时，，则， 因此，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是.故选：C. 【典型例题2】正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，将四面体放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径，当球心到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，当截面过球心O时，截面面积达最大值，再利用球的截面圆性质计算即可. 如图，将正四面体补为边长是的正方体，则正四面体ABCD的外接球为正方体 的外接球，球心O在体对角线的中点，且球的半径； 当OE垂直于截面时，截面面积最小，截面圆的半径为 面积为； 当截面过球心O时，截面面积最大，截面圆的半径为，面积为 故选:A 【典型例题3】三棱锥A-BCD的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面BCD的射影是线段BC的中点，，则平面BCD被球O截得的截面面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵球O的表面积为， ∴球O的半径为2， ∵点A在平面BCD的射影是线段的中点， ∴，平面平面， ∵， ∴为边长为的等边三角形， 设的外接圆的半径为，，， ∴的外接圆的圆心就是球心， ∴为的外接圆的直径， ∴平面BCD被球O截得的截面面积为. 故选：B. 【典型例题4】【多选】已知正四面体的棱长为．点E，F满足，用过A，E，F三点的平面截正四面体的外接球O，当时，截面的面积可能为（       ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】如图1, 在棱BC上取点R，在棱BD上取点S，使得，取CD的中点G，连接AR，AS，RS，BG，AG，记RS∩BG=M，连接AM. 过点A作AH平面BCD，垂足为H，则H为△BCD的中心，正四面体ABCD外接球的球心在AH上，AO为球的半径. 由题中数据可得. 设球的半径为R，则，解得. 当时，截面AEF从平面ARS转动到平面ACD，要求截面的面积只需考虑球心到截面的距离的取值范围即可. 由题意可知CD//RS且CD平面ABG，如图2， 过点作，垂足为N，则ON平面ARS. 因为，所以，即球心到截面的距离， 则截面圆的半径，故所求截面的面积. 故选：CD 【典型例题5】已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E在线段上，且.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径， 由勾股定理得棱锥的高， 设球O的半径为R，则，解得，所以， 在中，由余弦定理得，所以，所以在中，， 当截面垂直于时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为. 故选：C. 【变式训练5-1】已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平面截三棱锥所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解. 设平面截三棱锥所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则， 由正弦定理可得，，，故选：B 【变式训练5-2】某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出图形，可知四棱锥为正四棱锥，由勾股定理可得出，分析得出，可设，，其中，可得出，令，，利用导数求出取最大值时对应的的值，求出的值，可得出的长，进而可求得结果. 如下图所示，可知四棱锥为正四棱锥，设，则球心在直线上， 设，，则，由勾股定理可得，即， 当四棱锥的体积最大时，则点在线段上，则， 可设，，其中， ， 令，，则. 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，此时，，则， 因此，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是.故选：C. 【变式训练5-3】已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB=，点E在线段BD上，且BD=3BE．过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，O1是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出O1E=1，当截面垂直于OE时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解. 解：如图，O1是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圆半径； 由勾股定理得棱锥的高AO1；设球O的半径为R，则，解得，所以OO1=1；在△BO1E中，由余弦定理得 所以O1E=1；所以在△OEO1中，OE=； 当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为.故选：A 【变式训练5-4】已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（    ）． A．1 B． C． D．或 【答案】B 【解析】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，由球O截平面ABC所得的截面面积为，得截面圆的半径为，设球O的半径为R，得，过O作PA的垂线，垂足为D，得∽，可得，进而求得． 过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，则球心O在线段或其延长线上， 为正的中心，则，． 设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为，所以截面圆的半径为，所以，． 过O作PA的垂线，垂足为D，则，∽，所以． ①当点O在线段上时，，即， 则，且，解得； ②当点O在线段的延长线上时，，即， 则，且，解得或， 当时，点O，重合，此时点O不在线段的延长线上，故舍去；当时，切点D不在棱PA上，不符合题意． 综合①②可知，，故选：B． 【变式训练5-5】已知正四面体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则正四面体的外接球被平面所截的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先将正四面体放入相应的正方体中，根据题意可得球心在上，所以正四面体的外接球被平面所截的截面即大圆，进而可得其面积. 将正四面体放入正方体中，如图所示， 因为，分别为，的中点，所以，分别为左右侧面的中心， 所以正方体的外接球即正四面体的外接球球心为线段的中点， 所以正四面体的外接球被平面所截的截面即为大圆. 因为正四面体的棱长为2，所以正方体的棱长为， 所外接球半径，所以大圆面积为：.故选：C. 【变式训练5-6】已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是的中点，半径为2，平面截此球所得的截面面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求出球心到平面的距离，再求出截面圆的半径即得解. ∵正方体的棱长为6， ∴正方体对角线为， 所以球心到平面的距离 由题得平面截此球所得的截面是圆，又球半径，设截面圆半径为，则，∴．故选：A 【变式训练5-7】如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正方体和球的结构特征,判断出平面是正三角形,求出它的边长,再通过图求出它的内切圆的半径,最后求出内切圆的面积. 根据题意知，平面是边长为的正三角形, 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积, 则由图得, 三角形内切圆的半径是, 即，所以. 故选:C. 【变式训练5-8】已知正三棱柱的各棱长均为2，D为棱AB的中点，则过点D的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为___________. 【答案】 【解析】正三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接,，设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，，则， （1）当过点D的平面过球心时，截得的截面圆最大，截面圆的半径即为球的半径，所以截面圆的面积最大为； （2）当过点D的平面垂直OD时截面圆的面积最小，， 截面圆的半径为，所以截面圆的面积最小为， 综上，截面面积的取值范围为 故答案为： 【变式训练5-9】在正四棱锥中，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是__________. 【答案】 【解析】如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上， 取棱的中点，连接，作，垂足为. 由题中数据可得， 设四棱锥外接球的半径为， 则， 即， 解得. 由题意易证， 则， 故. 故所求截面圆的面积是. 故答案为： 【变式训练5-10】正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________. 【答案】 【解析】通过补体把正三棱锥补成正方体，则正方体的体对角线为外接球直径；可求出，当平面时，平面截球O的截面面积最小，此时截面为圆面，从而可计算截面的半径，从而推导出截面的面积. ，，，， 同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示）， 其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故， 设的中点为，连接，则且.所以， 当平面时，平面截球O的截面面积最小， 此时截面为圆面，其半径为，故截面的面积为. 故答案为： 【变式训练5-11】已知菱形ABCD，AB=BD=4，现将△ABD沿对角线BD向上翻折，得到三棱锥A-BCD.若点E是AC的中点，△BDE的面积为，三棱锥A-BCD的外接球被平面BDE截得的截面面积为，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】由题设，E是AC的中点，则， 又，故面， 所以三棱锥A-BCD的外接球球心在面上，即面所得截面为球体的最大截面， 若是中点，连接，球心在直线上，令， 而，故， 若球体半径，则， 故，可得，故， 所以 综上，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式训练5-12】正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________. 【答案】 【解析】通过补体把正三棱锥补成正方体，则正方体的体对角线为外接球直径；求出，当平面时，平面截球O的截面面积最小，此时截面为圆面，从而可计算截面的半径，从而推导出截面的面积. ，，，， 同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示）， 其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故， 设的中点为，连接，则且.所以， 当平面时，平面截球O的截面面积最小，此时截面为圆面 题型06： 截面分体积 【典型例题1】如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方体棱长为1，， 如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体， 由面面平行的性质可知：， 延长，相交于点，则平面，且平面， 又平面平面， 所以在直线上，即三线共点， 所以几何体为三棱台， 其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1， 所以，解得：， 所以. 故选：C 【典型例题2】如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，， 则台体的体积， 解之得， 所以,, 所以截面的周长为. 故选：D 【典型例题3】如图，在正方体中，M、N分别是棱、的中点，P是棱上靠近的四等分点，过M、N、P三点的平面交棱于Q，记，则________．若平面将正方体截成两部分体积分别为、，则_________． 【答案】；1 【解析】①过点P作，在平面内，延长和交于点G，设正方体棱长为4，则； 在平面内，延长和交于点J，则HD=DJ： 在底面内，连接交边于点Q： ， 在中，，， 根据余弦定理得， ， ∴，°， 是等腰直角三角形，∴， ∴； ②如图，在平面作NK∥PM交CD于K，则易知K为CD靠近C的四等分点； 由①知平面α于BC交点为Q，连接KQ，在平面作PL∥KQ，则易知L是靠近的四等分点，连接LN，则六边形即为平面α截正方体的面得到的多边形，根据对称性可知，故． 故答案为：；1． 【变式训练6-1】如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（ ） A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2 【答案】A 【解析】由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求及剩余部分的体积，进而求其比例即可. 【解析】由图知：，，而， ∴剩余部分的体积为， ∴棱锥的体积与剩余部分的体积之比为1：5. 故选：A 【变式训练6-2】三棱锥中，E、F、G、H分别是棱DA、DB、BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分成两个几何体：、，其体积分别为、，则（ ） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 【答案】A 【解析】如图，连接，设的面积为，到平面的距离为，故可计算几何体的体积为，从而可得两个几何体的体积之比. 如图，连接，设的面积为，到平面的距离为， 则，而， 又，故几何体的体积为，而三棱锥的体积为，故几何体的体积与棱锥的体积之比为， 故两个几何体、的体积之比为1:1.故选：A . 【变式训练6-3】已知正四棱柱中、的交点为，AC、BD的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______________. 【答案】3 【解析】当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大，根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积． 设正四棱柱的底面边长为a，高为h，由题知当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大， 因为过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和， 所以，解得，于是正四棱柱的体积为. 故答案为：3. 【变式训练6-4】正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________. 【答案】17：7或7：17 【解析】如图，正方体被截面所截的一部分为棱台，求出棱台的体积，然后用正方体的体积减去棱台的体积可得另一部分的体积，从而可求得结果 设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为E，F分别是棱，的中点， 所以棱台的体积为， 所以另一部分的体积为，所以正方体被截面分成两部分的体积之比为17：7或7：17，故答案为：17：7或7：17 题型07：不规则截面（曲线形截面） 【典型例题1】古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，是该曲线上的两点且，若经过点，则__________. 【答案】抛物线 【解析】根据圆锥曲线的定义直接判断即可，再根据抛物线通径的性质直接得出答案即可. 由已知底面半径和高均为，得，又为中点，，且， 所以平面，根据圆锥曲线的定义可知截面与圆锥母线平行时，曲线为抛物线， 又为中点，故，，又底面，故， 由，，故平面，， 又，故为抛物线的通径，. 【变式训练7-1】如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据几何关系用圆柱的地面半径表示椭圆的长轴和短轴，再计算椭圆的离心率即可. 设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c根据题意可知， 所以椭圆的离心率，选项A正确。故选：A. 【变式训练7-2】如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________. 【答案】 【解析】设两球的球心距离为，通过圆锥的轴截面进行分析，根据两球半径可求得；利用三角形相似可求得，进而得到；利用椭圆离心率可构造方程求得结果. 作出圆锥的轴截面如图所示， 圆锥面与两球相切于两点，则，， 过作，垂足为，连接，，设与交于点， 设两球的球心距离为， 在中，，，； ，，，，解得：，，； 由已知条件，知：，即轴截面中， 又，，解得：， 即两球的球心距离为.故答案为：. 【变式训练7-3】如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆． 如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，得出离心 率. 切于,切于E，，球半径为2，所以， ，，中，， ，故,,根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与 相切的切点为椭圆的一个焦点，且，,c=4，椭圆的离心率为.故答案为： 三．截面最值 解题方略： 截面有关的最值计算，多从这三方面 1. 极限法，可通过动点运动到两端，计算截面最值（要注意判断是否单调性） 2. 坐标法，可通过建系设坐标，构造对应的函数求最值。 3. 化归法，可以通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中最值计算 题型01:球截面最值 【典型例题1】若球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设是球心，是等边三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得过且垂直的截面圆最小即可. 如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心， 可得， ， 设球的半径为，在三角形中，由， 即，解得， 在三角形中，，， 由余弦定理得， 在三角形中，因为，故， 设过且垂直的截面圆的半径为，，故最小的截面面积为. 故选：B 【典型例题2】已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为O的球面上，点E在AB上，，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设出三棱锥外接球的半径及球心，构造直角三角形即可求得面积最小值. 如图，因为三棱锥的棱长均为6，所以点P在平面ABC内的射影H是的中心， 取BC的中点D，连接AD，则点H在AD上，且， 所以，，，则． 设三棱锥P-ABC的外接球半径为R，则OP＝OA＝R， 在中，，解得． 因为，所以AE＝2，取AB的中点F，则EF＝1，且， 所以． 当过点E的球O的截面与OE垂直时，截面面积最小， 设截面圆的半径为r，则， 所以截面面积为． 故选：A． 【典型例题3】一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先求出正四面体的高以及外接球的半径，再由勾股定理计算球心到截面的距离以及到面的距离，再由勾股定理即可求截面圆的半径，即可求截面圆的面积. 如图：取的中心为，连接、， 因为四面体是正四面体，所以面，且球心在上， 连接，因为，， 所以， 设，在中，， 由即解得：， 又因为为球心到截面的距离，所以， 所以截面圆的半径， 所以截面圆的面积为，故选：A. 【变式训练1-1】如图，在三棱锥中，平面平面CBD，，点M在AC上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用等边三角形的性质以及外接球的性质，作出外接球的球心，再根据线段的数量关系求出线段，最后即可得到截面圆的最小半径. 由题意知，和为等边三角形，如图所示： 取BD中点为E，连接AE，CE，则，由平面平面CBD， 平面平面，故平面CBD，， 易知球心O在平面BCD的投影为的外心，过作于H，易得，， 则在中，，所以外接球半径，连接OM， 因为，所以H，O，M三点共线， 所以，，当M为截面圆圆心时截面面积最小， 此时截面圆半径，面积为.故选：A. 【变式训练1-2】棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，分别为的中点，则平面截球所得圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正方体的外接球球心为对角线的中点，球半径，球心到平面的距离为，利用勾股定理求出小圆半径，再代入圆的面积公式； 解：由题意，正方体的外接球球心为对角线的中点，正方体对角线长为， 所以球半径，因为到平面的距离为，所以球心到平面的距离为， 所以小圆半径，故选：D． 【变式训练1-3】如图，DE是边长为6的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE，当三棱锥A1－CED的体积最大时，四棱锥A1－BCDE外接球O的表面积为_____；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________. 【答案】； 【解析】由题意可知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，如图所示， 取的中点，连接，则的外接圆的圆心位于且靠近点的三等分点处， 设的中点为，连接，，则， 所以为四边形的外接圆的圆心， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 则两垂线的交点即为四棱锥的外接球的球心， 连结，则四边形为矩形，， 连结，在中，， 所以四棱锥外接球的表面积为； 由题意可知，以为直径的球的截面圆的面积最小， 所以最小值为． 故答案为：；． 【变式训练1-4】在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______. 【答案】 【解析】分析出当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，分析出点为三棱锥的外接球的球心，求出球的半径，计算出截面圆半径为最小值，结合圆的面积公式可得结果. 如下图所示，连接，则， 则，故， 设二面角的平面角为，设三棱锥的高为，则， ， 当且仅当时，等号成立，即当平面平面时，三棱锥的体积最大， ，，，故为等腰直角三角形，且， 在梯形中，，则，所以，， 在中，，，， 由余弦定理可得，故，， 因为平面平面，平面平面，，平面，平面， 平面，则， 因为，，平面， 平面，所以，， 记中点为，由得为三棱锥的外接球的球心， 且球的半径为， 设与过点的平面所成的角为，设点到截面的距离为，则， 故截面圆的半径为， 当且仅当时，过点的平面截三棱锥外接球所得截面面积最小， 所以截面圆面积的最小值为.故答案为：. 题型02：柱体最值 【典型例题1】已知正方体的体积为，点在线段上(点异于两点)，点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正方体体积可求得其棱长为；在正方体中作出截面，可知为线段中点为截面为四边形和五边形的临界状态，从而得到结果. 由正方体的体积可知，其棱长为，如图所示 当点为线段的中点时，截面为四边形 当时，截面为四边形；当时，截面为五边形 故选： 【典型例题2】已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式求解即可. 如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形， 其中，高为， 故面积为.故选:D． 【变式训练2-1】已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求解 （1）当即与重合时，过点，，的截面为正方形，不合题设 （2）当，即为中点时，，，则， 所以过点，，的截面为梯形，不合题设 （3）当即与重合时，取中点，中点，连接，，， 因为，所以四边形为平行四边形，所以 因为，所以四边形为平行四边形，所以 所以 所以过点，，的截面为平行四边形，不合题设 （4）当时，过作交线段于，过作交线段于，连接 因为，所以四边形为平行四边形，所以 又，所以 所以过点，，的截面为梯形，不合题设 （5）当时，取中点，在线段上截取，连接，，过作交线段的延长线于点，交线段于点，连接交于点，连接 因为，所以四边形为平行四边形，所以 又，所以 所以过点，，的截面为五边形，符合题设 此时，， 所以的取值范围为故选：D 【变式训练2-2】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为． ①当时，为四边形； ②当时，与的交点满足； ③当时，为六边形； ④当时，的面积为． 则下列选项正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】根据点Q在线段上的变化，分别作出过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面S，并判断其正误即可． 对于①，因为正方体的棱长为1，当时，过A，P，Q三点的截面与正方体表面的交点在棱上，截面为四边形，如图（a）所示，故①正确； 对于②，如图（b）所示，当时，， 又为的中点，故，得，故②正确； 对于③，如图（c）所示，当时，过点，，的平面截正方体所得的截面为五边形，故③不正确； 对于④，如图（d）所示，当时，过点，，的截面为，其截面为菱形，对角线，， 所以的面积为，故④正确． 综上所述，正确的命题序号是①②④．故选：B 题型03：锥体最值 【典型例题1】如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面，则平面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，则即为截面周长的最小值，利用余弦定理代入求解即可. 如图所示：沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内， 则即为截面周长的最小值， 且， 在中，由余弦定理得： ， . 故选：B. 【变式训练3-1】正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出图形，求出，说明是矩形，结合图形，说明点在平面时，面积最小，求出即可得到范围 如图所示： 由正三棱锥的底面边长是2，因为、、、分别是、、、的中点，所以，则， 所以是平行四边形。因为正三棱锥，则对棱，的中点连线与 对棱，的中点连线相等，即，所以四边形是矩形，所以， 设的中心为，则，所以的面积 所以四边形EFGH面积的取值范围是：故选：B． 【变式训练3-2】如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】把正四面体补为正方体，根据基本不等式求出最大值即可. 解：把正四面体补为正方体，如图， 根据题意，，， ，， 所以，， 故， ，当且仅当时成立， 故选：C. 【变式训练3-3】如图，在四面体中，，，，、分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据对棱相等，可将四面体嵌入长方体中，进而发现与长方体的一个面平行，就利用这个面截取四面体，再求这个截面的最大值。 过作平面平行于，同理这六条棱每条棱都做平面平行于对棱.那么由对棱做的平面平行，可知这六个面围成一个平行六面体，又已知对棱相等，则这个平行六面体任何一个面的一对对角线都等长.故每个面都是矩形，即围成一个长方体.设长方体的长宽高分别为，那么四面体的六条棱长都是它的面对角线. 则有，解得：， 再由分别是，中点，即长方体两个底面的中心， 而截面与直线垂直，则平行于底面，故，.根据平行截比定理得到，且，而. 故有.设之间的夹角为. 那么该多边形截面面积. 而,， 故, 则. 故选：B 【变式训练3-4】在长方体中，，过点作平面与分别交于两点，若与平面所成的角为，则截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点A作，连接，首先证明平面平面，即可得为与平面所成的角，进而可得，，由基本不等式得，从而可求出截面面积的最小值. 如图，过点A作，连接 ∵平面， ∴， ∴平面， ∴，所以平面平面， ∴为与平面所成的角， ∴， 在中， ∵，∴， 在中，由射影定理得， 由基本不等式得， 当且仅当，即E为MN中点时等号成立， ∴截面面积的最小值为. 故选：B 题型04：综合型最值 【典型例题1】在三棱锥中， ，PC=2，AB=1，BC=3，，过BC中点D作四面体外接球的截面，则过点D的最大截面与最小截面的面积和为______． 【答案】 【解析】由，AB=1，BC=3得，, 由于 ,，则, 故 ,由此可将三棱锥中置于长宽高分别为的长方体中，如图示： 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，外接球半径为 , 过BC中点D作四面体外接球的截面，当截面过球心O时，截面圆面积最大， 最大值为 ； 当截面与OD垂直时，截面圆面积最小，而 , 故此时截面圆的半径为 ， 则截面面积最小值为， 故过点D的最大截面与最小截面的面积和为， 故答案为： 【典型例题2】用经过球O表面上两点A，B的平面去截球O，所得截面面积的最小值为，若为等边三角形，则球O的表面积为______． 【答案】 【解析】若过球O表面上两点A，B的平面去截球O，所得截面面积的最小， 则为截面圆的直径， 所以，解得， 因为为等边三角形，所以， 则球的表面积为， 故答案为： 【典型例题3】已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE，由已知得四边形是平行四边形，所以，随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，临界状态为点E为的中点，由此可得选项. 解：设，则，设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE， 若平面截长方体所得截面为平行四边形，即四边形是平行四边形，所以， 随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，则点G从的中点开始运动，此时点E与重合，直到点G运动到点D为止，此时点E为的中点，所以临界状态为点E为的中点，此时，所以， .故选：D 【典型例题4】在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立所示的空间直角坐标系，设点，分、、三种情况讨论，确定截面与各棱的交点，求出截面面积关于的表达式，由此可解得截面面积的最小值. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、， 设点，其中. ①当时，点与点重合，，，， 所以，，，则，， ，平面，此时平面即为平面， 截面面积为；②当时，同①可知截面面积为； ③当时，，，，，则， 设平面交棱于点，， ，可得，不合乎题意.设平面交棱于点，， ，可得，合乎题意，即，同理可知，平面交棱于点， ，且与不重合，故四边形为平行四边形， ，，， 则， 所以，截面面积为. 综上所述，截面面积的最小值为.故选：C. 【典型例题5】在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由等面积法可知，推导出平面，，从而，即可求解. 在中，由，，可得，， 设，在中，，由等面积法可知， 因为，，，，平面，所以平面， 又由平面，所以，所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，所以.故选：B. 【变式训练4-1】如图所示，在长方中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，则四棱锥的体积为___________，截面四边形的周长的最小值为___________. 【答案】20 【解析】根据锥体的体积计算，利用切割法可得四棱锥的体积；将几何体展开，根据两点之间直线最短，即可求出最短周长的截面，进而根据勾股定理即可求得结果. 由题意可得，利用切割法可得 ； 将长方体展开，如图所示， 当点为与的交点、点为与的交点时，截面周长最小，此时截面的周长为， 而在中，，所以截面周长的最小值为. 【变式训练4-2】如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________. 【答案】 【解析】依题意可得，，设，，求出、的关系式，再求四边形的周长的取值范围即可． 解：四边形为平行四边形，；平面，平面， 平面； 又平面，平面平面，，同理可得； 设，，，，； 又，，，，且； 四边形的周长为，； 四边形周长的取值范围是．故答案为： 【变式训练4-3】已知正四棱柱中、的交点为，AC、BD的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______________. 【答案】3 【解析】当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大，根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积． 设正四棱柱的底面边长为a，高为h，由题知当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大， 因为过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和， 所以，解得，于是正四棱柱的体积为. 故答案为：3. 【变式训练4-4】用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角.已知过圆锥的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥的轴截面，则圆锥的顶角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥的母线长为，三角形顶角为，求出过圆锥的两条母线的截面三角形面积，求出取得最大值时的值，即可求出的取值范围. 设圆锥的母线长为，三角形顶角为，则过圆锥的两条母线的截面三角形面积为，当时取得最大值，此时，所以圆锥的顶角的取值范围是.故选：B. 【变式训练4-5】已知正四面体的棱长为4，点在棱上，且，过作四面体外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，正四面体的外接球即正方体的外接球，球的截面是圆，要求所作截面面积的最小值，只需确定截面圆的半径，借助余弦定理和勾股定理即可． 如图，正四面体的棱长为4，则正方体的棱长为， 正四面体的外接球即正方体的外接球，其半径为， ∴， ∵， ∴， 则截面圆的半径， ∴截面面积的最小值为. 故选：B. 【变式训练4-6】正三棱锥，为中点， ，，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题中数据，结合正棱锥的结构特征，得到两两垂直，可将正三棱锥看作正方体的一角，设正方体的体对角线的中点为，得到点是正三棱锥外接球的球心，记外接球半径为，过球心的截面圆面积最大；再求出，根据球的结构特征可得，当垂直于过的截面时，截面圆面积最小，结合题中数据，即可求出结果. 因为正三棱锥，，， 所以，即，同理，， 因此正三棱锥可看作正方体的一角，如图， 记正方体的体对角线的中点为，由正方体结构特征可得，点即是正方体的外接球球心， 所以点也是正三棱锥外接球的球心，记外接球半径为， 则， 因为球的最大截面圆为过球心的圆， 所以过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最大为； 又为中点，由正方体结构特征可得； 由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，截面圆半径最小为， 所以. 因此，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为. 故选：D. 【变式训练4-7】正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是____________.（写出所有正确命题的编号） ①当时，为矩形，其面积最大为4；②当时，的面积为； ③当，时，设与棱的交点为，则； ④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值. 【答案】②③④ 【解析】①当时，点与点重合，证得，即可判断形状，分析出当点与点重合时面积最大即可求出最大面积；②当时, 为等腰梯形，进而求出面积即可；③当，时，由，可得，进而可以表示出；④ 当时,以为定点，为底面的棱锥为，求出四棱锥的体积即可判断. 当时，点与点重合，所以，此时为矩形，当点与点重合时面积最大，，故①错误； 当时, 为的中位线，所以，因为，所以，所以为等腰梯形，过点作于,，所以，因此，所以，故②正确； 设与交于点，得，所以，因此，因为，则，在取点，使得，在取点，使得，所以四边形为平行四边形，所以，所以，则，即，所以，因此， 所以，故③正确； 当时,以为定点，为底面的棱锥为， 所以，故④正确， 故答案为：②③④. 【变式训练4-8】在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．可能值为 D．当取值最大时， 【答案】C 【解析】对选项A，先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明与全等，然后根据直线垂直并平分线段即可判断；对选项B，找到角的关系和，然后分别运用正切的两角差公式解得即可；对选项C和D，均是先根据运用正切的两角差公式，然后通过换元得到一个一元二次方程，然后根据判别式即可判断. 如图所示，连接延长交与，连接延长交与，设平面平面 顶点P在底面的射影为的垂心，平面，平面平面。则有：直线与平行 又，则。平面，则又 则平面从而。故为与平面的二面角，即 同理可得：。对选项A，，又，则有： 可得：与全等，则又根据是的垂心，则， 综上可得：直线垂直并平分线段可得：，故选项A正确； 对选项B，易知有如下角关系：。 又，则有： 。 可得： 解得： 则，故选项B正确； 对选项C，若，则有：则有： 化简后可得：令，则有： 则有：，此时方程无解，故选项C错误； 对选项D，设（），则有：可化简为：令，则有：则有：解得： 故取得最大值时，，此时 同理可得：故，且则有：，故选项D正确； 故选：C 四.恒平行型求截面 【典型例题1】如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点O1为A1C1，B1D1的交点，点O2为AC，BD的交点，连接O1O2，点O为O1O2的中点．过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【解析】当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大. 根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积． 由题意知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，设正四棱柱的底面边长为a，高为h 因为过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和， 可知当截面平行于平面时，截面面积最小； 当截面为平面时，截面面积最大.。所以，解得， 于是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为2a2+4ah＝2+12＝14。故选：D 【典型例题2】如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则下列结论正确的是（ ） A．直线DB1与平面AEF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥A1−AEF的体积等于 【答案】BD 【解析】对于A，B，利用空间向量判断，对于C，由题意可得截面为梯形，利用梯形面积公式求解即可，对于D，利用空间向量求出到平面的距离，然后利用体积公式求解即可 如图建立空间直角坐标系，则，， 所以，，所以，所以与不垂直，所以直线DB1与平面AEF不垂直，所以A错误， 对于B，设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，所以，所以，因为A1G在平面AEF外，所以直线A1G与平面AEF平行，所以B正确， 对于C，由题意可得截面为梯形，则，梯形的高为，所以截面的面积为，所以C错误， 对于D，因为平面的法向量为，，所以到平面的距离为，因为，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥A1−AEF的体积为，所以D正确， 故选：BD 【典型例题3】在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是__________． 【答案】 【解析】根据题意，在平面内，过点作分别交于，在平面内，过作交于，在平面内，过作交于，连接，进而根据题意，∽，设其相似比为，则，再证明四边形是矩形，再结合相似比和二次函数性质求解即可. 根据题意，在平面内，过点作分别交于， 在平面内，过作交于， 在平面内，过作交于，连接，作图如下， 因为，则，所以∽，设其相似比为，则，因为，所以在中，， 因为，所以，即，因为，则， 所以，，即，因为，所以，即， 同理∽，即，因为，平面，平面， 所以平面，因为，所以平面，平面，因为平面， 所以，因为所以因为，所以∽，所以，因为，所以， 因为，所以， 所以四边形是矩形，即， 所以，由二次函数的性质知，当时，有最大值.故答案为：. 【变式训练1】一棱长为4的正四面体木块如图所示，P是棱的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱和，则截面的面积为（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】分析出截面为边长为2的正方形即可得到面积. P是棱的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱和， 平面，平面，平面平面，所以， 同理可得：， 所以，所以四边形是平行四边形，且均是中点， 又因为正四面体对棱互相垂直，所以，所以， 所以四边形是边长为2的正方形， 所以该四边形面积为4.故选：D 【变式训练2】某中学开展劳动实习，对棱长为3的正方体木块进行加工.如图，学生需要分别过顶点A和对角线BD对正方体木块进行平面切割，两个切割面与棱，，，分别交于点M，F，E，N，要求两次切割所得到的截面平行，且，则两个截面间的距离为_____________. 【答案】2 【解析】连接，分别交EF，MN于点H，Q，连接AQ.连接AC交BD于点G，连接HG，由面面平行的性质定理得线线平行，从而得平行四边形，可证得平面平面，知平面AMN与平面EFBD间的距离即为Q到平面BDE的距离，即为Q到GH的距离，利用面积法求出平行四边形的高即可得． 连接，分别交EF，MN于点H，Q，连接AQ.连接AC交BD于点G，连接HG. 因为平面平面，是分别是平面、平面与平面的交线，所以， 因为平面平面， 平面、平面，分别与平面交于直线、，与平面交于直线、， 所以，， 则四边形为平行四边形，. 又因为，所以点M，F，E，N分别为棱，，，的中点 在中，， 由平面平面得，又，，平面，所以平面， 平面，所以平面平面， 所以平面AMN与平面EFBD间的距离即为Q到平面BDE的距离，即为Q到GH的距离，设为h， 在平行四边形AGHQ中，，则， 即两个截面间的距离为2.故答案为：2． 【变式训练3】在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】由线面平行的性质定理确定截面的形状，再利用三角形相似的性质求截面的周长. 设，因为平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四边形为平行四边形，所以，.因为，所以，， 所以四边形的周长为.故选：A. 【变式训练4】若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．4条 【答案】C 【解析】由平行四边形的性质有两对边平行且相等，再应用线面平行的判定可确定线面平行，由线面平行的性质、判定即可知有几条棱与平面α平行. 如下图示，若平面α即为面为平行四边形，即且，且， 又面，面，则面，而面，面面， ∴，由线面平行判定易知：平面α；同理可得，易得平面α. ∴该三棱锥与平面α平行的棱有、，共2条.故选：C 【变式训练5】如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点O1为A1C1，B1D1的交点，点O2为AC，BD的交点，连接O1O2，点O为O1O2的中点．过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【解析】当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大. 根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积． 由题意知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，设正四棱柱的底面边长为a，高为h 因为过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和， 可知当截面平行于平面时，截面面积最小； 当截面为平面时，截面面积最大.。所以，解得， 于是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为2a2+4ah＝2+12＝14。故选：D 【变式训练6】如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（ ） A．不存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形 【答案】C 【解析】连接，可得平面，即可判断A，由平面可判断B，当截面为正六边形时（其中，，，，，都是中点），计算截面面积，然后可判断C、D. 如图，连接，可得平面，由与异面可知，不存在点，使得平面，故A正确； 又平面，所以动点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，当截面为正六边形时（其中，，，，，都是中点），易得该正六边形的边长为，所以其面积为，故C错误； 截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确， 故选：C. 五.恒垂直型求截面 证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理； 三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化； 另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等． 【典型例题1】如图，正三棱柱的高为4，底面边长为，D是的中点，P是线段上的动点，过BC作截面于E，则三棱锥体积的最小值为（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】C 【解析】因为则当取最大值时，三棱锥体积有最小值，建立坐标系求得当点的高为3时，问题得解. 以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设点，依题意得，则 ， 因为过BC作截面于E，所以则，故 所以，当时又 因为所以三棱锥体积的最小值 故选：C 【典型例题2】在下面四个正方体中，点、、均为所在棱的中点，过、、作正方体截面，则下列图形中，平面不与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD选项，利用假设法推出矛盾，可判断A选项. 对于A选项，连接，假设平面， 在正方体中，平面，平面，，所以，为直角三角形，且为锐角， 因为、分别为、的中点，则，所以，与不垂直， 这与平面矛盾，故假设不成立，即与平面不垂直； 对于B选项，连接、，如下图所示： 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面， 平面，， 、分别为、的中点，则，可得， 同理可证， ，平面； 对于C选项，连接、、、、，取的中点，连接、， 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面， 平面，， 、分别为、的中点，，， 在正方形中，、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 同理可证四边形为平行四边形，且， 所以，且，所以，四边形为平行四边形， 易得，所以，四边形为菱形，所以，， ，平面； 对于D选项，连接、， 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面， 平面，， 、分别为、的中点，则，，同理可证， ，平面.故选：A. 【典型例题3】已知正方体的边长为，为边上靠近的三等分点，过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接、、、、，证明出平面，设过点且与直线垂直的平面分别交、于点、，可得出平面平面，推导出是边长为的等边三角形，利用等边三角形的面积公式即可得解. 连接、、、、，如下图所示： 四边形为正方形，， 平面，平面，， ，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 设过点且与直线垂直的平面分别交、于点、， 平面，平面，所以，平面平面， 平面平面，平面平面，， ，，同理可得， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，是边长为的等边三角形，所以，.故选：A. 【变式训练1】已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】确定平面与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长. 如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、， ，为的中点，则， 平面，平面，， ，平面， 、分别为、的中点，则且，平面， 平面，所以，平面平面， 所以，平面即为平面，设平面交于点， 在直棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 且，且，所以，四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面， 设平面平面，平面，所以，，， ，所以，四边形为平行四边形，可得， 所以，为的中点， 延长交于点，，所以，，， 又，所以，，，为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面平面，， ，，，，为的中点， ，，则， 为的中点，，则，同理， 因为直棱柱的棱长为，为的中点，， 由勾股定理可得，同理可得， 且，平面，平面， 平面，， 、分别为、的中点，则，， 由勾股定理可得，同理. 因此，截面的周长为.故选：C. 【变式训练2】在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点．现有以下结论中正确的是（ ） A．与是异面直线； B．过、、三点的正方体的截面是等腰梯形； C．平面平面； D．平面． 【答案】BC 【解析】连接PC，证明PQ//CE，即可判断选项A；连接A1C1，过E作EF//A1C1交C1D1于点F，连接CF，证明EF//A1C1//AC，且EF<A1C1＝AC，即可判断选项B，利用面面垂直的判定定理即可判断选项C，假设PE//平面CDD1C1，推出E为A1D1的中点，与已知矛盾，即可判断选项D． 连接，因为为正方形的中心，所以是的中点， 又Q为线段AE的中点，所以PQ∥CE， 故点P，Q，E，C四点共面，即PE与QC共面， 故选项A错误； 连接A1C1，过E作EF∥A1C1交C1D1于点F， 连接CF，则四边形ACFE是正方体过A，P，E三点的截面， 因为EF∥A1C1∥AC，且EF＜A1C1＝AC，EA=CF, 故四边形ACFE为等腰梯形， 故选项B正确； 由正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得AP⊥平面BDD1B1，又平面APE， 所以平面APE⊥平面BDD1B1，故选项C正确； 假设PE∥平面CDD1C1，又平面ACEF，平面平面， 所以PE∥CF，又EF∥PC， 所以四边形PCFE为平行四边形， 故， 所以EF为的中位线，即E为A1D1的中点， 这与点E为线段A1D1上的动点矛盾，故选项D错误． 故答案为：BC． 【变式训练3】（多选）已知正方体，若平面，则关于平面截此正方体所得截面的判断正确的是（ ） A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六边形 D．截面形状可能为五边形 【答案】AC 【解析】根据平面得到平面与平面平行或重合，然后结合图形即可判断出答案. 如图，在正方体中，连接，，，则平面， 所以平面与平面平行或重合， 所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形，正六边形，但不可能是五边形和四边形，故A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 【变式训练4】已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】确定平面与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长. 如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、， ，为的中点，则， 平面，平面，， ，平面， 、分别为、的中点，则且，平面， 平面，所以，平面平面， 所以，平面即为平面，设平面交于点， 在直棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 且，且，所以，四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面， 设平面平面，平面，所以，，， ，所以，四边形为平行四边形，可得， 所以，为的中点， 延长交于点，，所以，，， 又，所以，，，为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面平面，， ，，，，为的中点， ，，则， 为的中点，，则，同理， 因为直棱柱的棱长为，为的中点，， 由勾股定理可得，同理可得， 且，平面，平面， 平面，， 、分别为、的中点，则，， 由勾股定理可得，同理. 因此，截面的周长为. 故选：C. 【变式训练5】已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，则截面图形的周长为______. 【答案】 【解析】由题可得平面，故截面与平面平行或在平面内，然后分类讨论，作出截面计算周长即得. 由正方体的性质可得，AC⊥BD，AC⊥，， ∴AC⊥平面，平面，∴AC⊥，同理，又， ∴平面，故截面与平面平行或在平面内，当点E与或重合时，截面为正或正，周长为； 一般地，设，则，∴，， ∴，同理可得：，， 故截面图形的周长为定值.故答案为：. 【变式训练6】已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为___． 【答案】 【解析】过作，设可得，根据得到关于的函数式，应用基本不等式求的最小值，注意等号成立的条件. 如图，依题意知：面，过作， 设，则，， ，而，则当且仅当时取等号， ， 当时，符合题意，此时三棱锥的体积取得最小值． 故答案为：． 六.动点型截面 【典型例题1】如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论，其中正确的是（    ）      A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为 D．对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面 【答案】C 【解析】对于A，由得平面，从而点到平面的距离为，再由，由此能求出三棱锥的体积；对于B，若存在点，使得平面，由平面，得，可得，与矛盾；当点与点重合时，利用线面垂直的判定定理可证得平面；对于C，推导出，由余弦定理、三角形面积公式，结合二次函数的最值求出结果；对于D，当与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交. 对于A，如图，在棱长为1的正方体中， 平面平面，平面， 点是棱上的一个动点，点到平面的距离为， 又， 三棱锥的体积，故A错误； 对于B，若存在点，使得平面，由平面，得， 则为正方形，，与矛盾，故B错误； 对于C，根据题意，过点的截面与棱分别交于，可得为平行四边形，如图， 正方体中，平面，平面，， 设，则，又， 则中，， ， 则该截面面积， ，当时，，故C正确； 对于D，当与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交，故D错误； 故选：C． 【典型例题2】如图，在棱长为1的正方体中，是截面上的一个动点（不包含边界），若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】找到的轨迹为，的最小值为到的距离，由垂直关系求出答案. 若，则在平面上的投影在上，所以的轨迹为，    的最小值为到的距离， 连接，过点作于点， 因为，且， 所以， 故的最小值为.故选：C 【变式训练1】如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点使得平面： ③的最小值为； ④对每一个点E，在棱上总存在一点P，使得平面； ⑤M是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为 其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】对于①，，底面积和高均为定值，可判断；对②，若存在点，使得平面，可得，易找出矛盾；对③，将侧面与侧面展开铺平可求解；对④，当点在点时，不存在点符合要求；对⑤，推导出，由余弦定理、三角形面积公式，结合二次函数的最值求出结果. 对于①，，显然是定值，因为平面，所以是定值， 所以三棱锥的体积是定值，①正确； 对于②，若存在点，使得平面，又平面，可得， 所以四边形为正方形，即，这与矛盾，②错误； 对于③，如图，将侧面与侧面展开铺平，则的最小值，③错误； 对于④，当点在点时，平面即是平面，此时与平面相交，故不存在点符合要求，④错误； 对于⑤，如图，在正方体中， 可得，，且，是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，， 因为是上的动点，且过点的截面垂直， 所以截面过点，截面交与，交于，设， 则，，在中，可得， ， 则该截面的面积为， 因为，所以当时，，此时，分别是和的中点，当是中点时，，即， 所以平面，满足题意，⑤正确. 故选：A. 【变式训练2】如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，M是截面上的一个动点（不包含边界），，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先判断出点的轨迹，然后根据平面中，两点的距离求得的最小值. 连接，如下图所示， 由于，所以在平面上的投影在上， 而在平面上的投影为，所以M的轨迹为， 将平面翻折到与平面重合，如图所示， ， ，， 所以，所以，（翻折后）， 所以的最小值为．故选：C 【变式训练3】如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，点在棱上，且，截面内的动点满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】设点在平面内的投影为、点在线段上且，根据题意和线面垂直的判定定理与性质可知点的轨迹是正方形的对角线，将与展开，如图，则的最小值是，结合余弦定理计算即可求解. 由题意知，，， 又平面，所以平面. 设点在平面内的投影为， 则点在线段上，且， 即，所以， 设点在线段上，且， 则四边形是一个正方形，点的轨迹是其对角线. 将与展开到一个面内，得到如图图形， 因此的最小值是， 由余弦定理，得， 所以. 故选：C. 【变式训练4】如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 【答案】C 【解析】根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可. 解：当时，如下图1，是四边形，故A正确； 当时，如下图2，为等腰梯形，B正确： 当时，如下图3，是五边形，C错误； 当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确. 故选：C 【变式训练5】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为． ①当时，为四边形； ②当时，与的交点满足； ③当时，为六边形； ④当时，的面积为． 则下列选项正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】根据点Q在线段上的变化，分别作出过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面S，并判断其正误即可． 对于①，因为正方体的棱长为1，当时，过A，P，Q三点的截面与正方体表面的交点在棱上，截面为四边形，如图（a）所示，故①正确； 对于②，如图（b）所示，当时，， 又为的中点，故，得，故②正确； 对于③，如图（c）所示，当时，过点，，的平面截正方体所得的截面为五边形，故③不正确； 对于④，如图（d）所示，当时，过点，，的截面为，其截面为菱形，对角线，， 所以的面积为，故④正确． 综上所述，正确的命题序号是①②④．故选：B 【变式训练6】如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（ ） ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】随着的移动，依题意分别移动到四个位置，逐项分析判断即可得解. 先确定临界值点，当，即为的中点时， 截面交于，则界面为等腰梯形，故②正确； 对①当时，即移动到位置时， 截面交线段于，所以截面为四边形，故①正确； 对③，当时，在的位置，截面交的延长线于， 延长交在的延长线于点， 则， 由，则，，又有， 所以，又，所以，故③正确； 对④，，点移动到位置，从图上看，截面为五边形，故④错误； 共个正确， 故选：C 【变式训练7】如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（ ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D．DP与平面所成角的正弦值最大为 【答案】D 【解析】A.通过平面进行说明；B.根据等体积法进行说明；C.分析点位置，作出截面图形后进行判断；D.先分析线面为，然后表示出，通过分析的长度确定出正弦值的最大值. 由题可知平面，所以，故A正确； 由等体积法得为定值，故B正确； 设的中点为，当时，如下图所示： 此时截面是三角形， 当时，如下图所示： 此时截面是梯形，故C正确； 选项D，在正方体中，连接，则为在平面上的射影，则为与平面所成的角， 设正方体的棱长为1，，则，， 当取得最小值时，的值最大，即时，的值最小为， 所以的值最大为，故D不正确. 故选：D. 七.截面与角度 【典型例题】如图所示，在正三棱柱中，，，过棱作一个与底面成（）角的截面，求截面的面积. 【答案】答案见详解． 【解析】由于截面与下底面所成的二面角在内变化，以截面为界，变动中的截面可以是等腰三角形（截面的顶点D在侧棱上）也可以是等腰梯形（截面等腰梯形的上底在上底面内且），故必须以此分类讨论． 解：在正三棱柱中，取的中点M，联结、， ，，∴就是平面与平面所成二面角的平面角， ∵，，∴，∴. ①当时，过棱的截面是等腰三角形，， 截面的面积为. ②当时，过棱的截面是等腰梯形，其中. 取的中点N，联结、，交于点O，联结. ∵是截面与底面所成的二面角的平面角， ∴，在正三棱柱中，，， ∴，. ∵，∴在中，，，， ∴截面的面积为． 【变式训练1】在正方体中，记直线与过，，三点的截面所成的角为，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】在正方体正作出截面，可证平面，找到线面角即可解三角形求解. 如图， 过，，三点的截面为：，连接交于，连接，可得平面， 所以，设，则，，所以， 故.故选：C 【变式训练2】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2，过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为__． 【答案】3 【解析】结合面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理和性质定理，以及三角形的中位线定理，作出平面α，运用勾股定理，计算可得所求值． 如图所示，取AC的中点D，连接BD，取A1C1的中点D1，连接B1D1， 取AD的中点G，连接EG，连接EF， 分别取C1D1，B1C1的中点M，N，连接MN，FN，GM， 可得EG∥BD，BD∥B1D1，MN∥B1D1，即有EG∥MN， 又由AB＝BC，可得BD⊥AC， 因为AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BD，所以BD⊥平面AA1C1C，可得EG⊥平面AA1C1C， 由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C，则平面EGMNF即为平面α， 由EGBD，GM，MNB1D1，NF，FE， 可得所得截面周长为. 故答案为：. 【变式训练3】如图所示，在棱长为的正四面体中，点，分别为，的中点，现用一个与垂直，且与正四面体的四个面都相交的平面去截该正四面体，当所得截面多边形面积的最大值为4时，该四面体的外接球的体积为________． 【答案】 【解析】将该四面体补成正方体，证得截面四边形为平行四边形，然后证得，设，进而表示出，从而结合均值不等式即可求出，然后即可求出四面体的外接球的体积. 将该四面体补成正方体，如图，设为与垂直且和正四面体各个面都相交的截面多边形（四边形）．因为，平面，所以平面，所以，由平面，同理可得，所以截面四边形为平行四边形．因为该四面体为正四面体，所以，，所以．由，，可得，所以四边形为矩形，所以（当且仅当时取等号），所以，所以四面体的外接球的体积为． 故答案为：. 考练场 1.．用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【解析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形. 3 如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，3 因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形， 不可能为七边形，故选:D. 2.棱长为6的正方体中，点E是线段的中点，点F在线段上，，则正方体被平面所截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长交直线AF于Q，连接EQ交于N，得N是的中点，延长直线EN于P，连接AP交于M，作出截面AFNEM，利用即可求解面积. 延长交直线AF于Q， 因为,所以, 连接EQ交于N，得N是的中点，延长直线EN于P， 连接AP交于M，作出截面AFNEM如下图所示， 则中，， 故的面积 =， 四边形ENFM中，，高为 四边形ENFM的面积。，故所求截面面积为.故选:B 3.已知正方体的棱长为1，点分别为的中点，则过点的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用线面平行的判定和性质作两面交线，由此能求出结果． 由EF∥BC1，知过点的截面为等腰梯形 ∵正方体的棱长为1，∴截面周长为： EF+FB+BC1+C1E＝故选：A． 4.在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】先作出平面截正方体的截面，再求出截面的高，由梯形面积公式得出截面面积. 取的中点为M，连接EM，，则，且，则．又正方体中，，所以，，因此，所以平面截正方体所的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为，所以该截面的面积为故选：D． 5.正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则( ) A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】对于A，利用线线平行，将与的位置关系转换为判断与的位置关系； 对于B，作出辅助线：取的中点，连接、，然后利用面面平行判断； 对于C，把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积判断； 对于D，利用反证法判断． 对于A，因为，若，则，从图中可以看出，与相交，但不垂直，所以A错误； 对于B，如图所示，取的中点，连接、，则有，， ∵，，∴平面∥平面． 又∵平面，∴∥平面，故选项B正确； 对于C，如图所示，连接，，延长，交于点， ∵，分别为，的中点，∴， ∴、、、四点共面，∴截面即为梯形． ∵，∴，即，∴ 又，∴即，， ∴等腰△的高，梯形的高为， ∴梯形的面积为，故选项C正确； 对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点， 连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错． 故选：BC﹒ 6.在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，为中点，平面过点且与平面垂直，，则被此直四棱柱截得的截面面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】分别取，，的中点，，，连接，，，，，可证得矩形即截面，求其面积可得答案. 分别取，，的中点，，， 连接，，，，， 由四边形为菱形，知， 再根据三角形的中位线定理，知，所以， 又因为，因此， 又，平面，平面， 故平面，且平面，所以平面， 又平面，则平面平面， 所以即截面，且为矩形， 由，，故截面面积为4.故选：C. 7.已知正三棱柱的底面边长，其外接球的表面积为，D是的中点，点P是线段上的动点，过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据外接球的表面积求解球半径，利用正三棱柱的外接球球心位置结合勾股定理可得棱柱的高，进而根据点的轨迹在以AF为直径的圆上,即可确定点到底面ABC距离的最大值,最后利用体积公式求解即可. 外接球的表面积为，可得外接球半径为. 因为正三棱柱的底面边长， 所以,所以的外接圆半径为， 设三棱柱的侧棱长为h，则有，即侧棱， 设BC的中点为F，作出截面如图所示， 因为，,所以，所以点E在以AF为直径的圆上， 当点E在的中点时，此时点到底面ABC距离的最大，且最大值为， 因为，所以此时点P在线段上，符合条件， 所以三棱锥的体积的最大值为． 故选：A． 8．如图，正方体的棱长为2，、、分别是棱、和的中点，过点、、作正方体的截面，则以该截面为底面，为顶点的几何体体积为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】如图所示，过点、、作正方体的截面为正六边形 以为顶点，过点、、作正方体的截面，构成的空间几何体为正棱锥， 因为正方体的棱长为，可得正六边形的底面边长为， 所以正六边形的面积为， 连接，在正方形中，可得， 且，平面，所以平面， 即平面，且， 所以正棱锥的体积为. 故选：B. 9．已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小, 设截面半径为,球的半径为,则, 因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则,令,,则, 在中,,即,则, 在中,,即,则, 解得,则, 在中,, 因为点在线段上,,设中点为,则, 所以, 在中,,即, 所以, 因为, 所以, 所以截面面积为, 故选：A 10．圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（       ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【解析】圆锥的高为1，体积为，则底面圆的半径为，母线长为2， 轴截面的顶角为， 当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大， 最大值为， 故选：A． 11．从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2， 则截面圆的面积为： 设正四棱锥的底面正方形边长为，则，所以 正四棱锥的底面正方形的面积为 由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似 设圆面中挖去一个正方形的面积为，正四棱锥的底面正方形为 则,从而 所以截面图形的面积为． 故选：C． 12．如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（       ） A．AB中点 B．BC中点 C．CD中点 D．BB1中点 【答案】B 【解析】取的中点，连接，，如图， 则， 所以在截面上, 故选：B 13.如图，棱锥的高，截面平行于底面，与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（    ） A．12 B．16 C．4 D．8 【答案】C 【解析】根据高的比可得四边形与四边形相似比,结合与面积比的关系即可得解. 由题意可知,四边形与四边形相似, 则四边形与四边形的相似比为 根据相似比与面积比关系可得四边形的面积为. 故选:C 14.棱台上下底面面积分别为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截面截的两棱台高的比为 A．1：1 B．1：1 C．2：3 D．3：4 【答案】C 【解析】试题分析：设出棱台扩展为棱锥的高分别a，b，c如图，利用几何体的面积比就是相似比的平方，即可求出结果． 解：棱台扩展为棱锥的几何体的经过高的截面如图，三部分分别为：a，b，c ， 所以2b=a，4c=3a b：c=2：3 截面截的两棱台高的比为 2：3 故选C 15.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为3，分别为侧棱的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍，则平面截球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正三棱锥，由题得，设球的半径为，在中，利用勾股定理可得，再求得，然后在中，利用勾股定理即可得截面的半径，即可得解. 如图，平面截球所得截面为圆面， 在正三棱锥，过点A作底面的垂线AH，垂足为H，与平面的交点记为K，连接OD、HD， 由题，. 设球的半径为，在中，，，，由勾股定理可得， 由于分别为侧棱的中点，平面平面， 平面，球心O到平面距离为KO， 则， 设平面截球所得截面半径为， 在中，， 平面截球所得截面的面积为. 故选：C. 16.棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，、、分别为、、的中点，则平面截球所得圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】计算出正方体的外接球的半径，并计算出球心到截面的距离，利用勾股定理可求得结果. 如图，正方体的外接球球心为对角线的中点， 球的半径为，连接、，四边形为正方形，则， 在正方体中，平面，平面，， ，平面，平面，， 、分别为、的中点，则，，同理，，平面， 三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，易知是边长为的等边三角形，，，解得， 所以，球心到平面的距离为， 因此，平面截球所得圆的半径为，故选：A. 17.如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（    ）                ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】随着的移动，依题意分别移动到四个位置，逐项分析判断即可得解. 先确定临界值点，当，即为的中点时， 截面交于，则界面为等腰梯形，故②正确； 对①当时，即移动到位置时， 截面交线段于，所以截面为四边形，故①正确； 对③，当时，在的位置，截面交的延长线于， 延长交在的延长线于点， 则， 由，则，，又有， 所以，又，所以，故③正确； 对④，，点移动到位置，从图上看，截面为五边形，故④错误； 共个正确，故选：C 18.如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为______. 【答案】 【解析】由题意易证四边形是平行四边形，（或），，则可得，，则可表示出，再由基本不等式即可求出其最大值. ∵∥平面，平面，平面平面， ∴，同理，∴，同理， ∴四边形是平行四边形. ∵与所成的角为，∴（或）， 设，∵，∴， 由，，得， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 即为的中点时，截面的面积最大，为. 故答案为：. 19.棱长均相等的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，D为PB中点，过点D作球O的截面，所得截面圆面积的最大值与最小值之比为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】设该三棱锥的外接球球心为，的外接圆圆心为，设三棱锥的棱长为2，根据勾股定理可求外接球的半径，从而可求截面圆面积的最值. 设该正四面体的外接球球心为，的外接圆圆心为， 则共线且平面， 设三棱锥的棱长为2，则，，. 设三棱锥的外接球半径为R， 在中，由，得，所以. 过D点的截面中，过球心的截面圆面积最大，此时截面圆的半径为； 当垂直于截面圆时，此时截面圆的面积最小， 设该圆半径为r，则，故面积之比为. 故选：B. 20．已知正方体的棱长为6，则过，，三点的平面与该正方体内切球截面的面积为（       ） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】见解析 【解析】如图正方体中，过，，三点的平面与正方体切于， 且分别是的中点，正方体内切球为，连接， 则互相垂直，且，所以， 则过，，三点的截面为球内过这三点的截面圆， 截面圆的半径为，其面积为. 故选：B. 21．已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】（1）当即与重合时，过点，，的截面为正方形，不合题设 （2）当，即为中点时，，，则， 所以过点，，的截面为梯形，不合题设 （3）当即与重合时，取中点，中点，连接，，， 因为，所以四边形为平行四边形，所以 因为，所以四边形为平行四边形，所以 所以 所以过点，，的截面为平行四边形，不合题设 （4）当时，过作交线段于，过作交线段于，连接 因为，所以四边形为平行四边形，所以 又，所以 所以过点，，的截面为梯形，不合题设 （5）当时，取中点，在线段上截取，连接，，过作交线段的延长线于点，交线段于点，连接交于点，连接 因为，所以四边形为平行四边形，所以 又，所以 所以过点，，的截面为五边形，符合题设 此时，， 所以的取值范围为 故选：D 22．如图所示，在边长为1的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过直线EF的平面分别与棱，交于M，N，则四边形EMFN的面积最小值为（       ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可证， 所以四边形为平行四边形， 设，则，， 故，所以四边形为菱形， 所以四边形的面积， 又，， 所以，， 当时，. 故选：B. 23．如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（点P与，不重合），则下列说法不正确的是（       ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．过，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D．过四点的球的半径为定值 【答案】D 【解析】对A：连接，如图1所示： 由题意，，因为平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面，所以，故选项A正确； 对B：三棱锥的体积为是定值，故选项B正确； 对C：连接、，交于点，如图2所示， 当点在上（包括点时，则过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形； 当点在上（不包括点时，则过，，三点作正方体的截面，截面图形为梯形，故选项C正确； 对D：连接、，交于点，设过四点的球的半径为， 当点与重合时，过四点的球的半径为正方体体对角线长的一半，即， 当点与O重合时，过四点的球的半径满足方程，解得， 因为，所以过四点的球的半径不为定值，故选项D错误. 故选：D． 24．已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（       ） A．6 B．10 C． D． 【答案】D 【解析】取的中点，连接,则,取的中点，连接，则 所以, 则直线平面 延长交于，连接交于点，连接,则为的中点. 则平面截该正方体所得的截面图形为 由条件可得,则, 则 , 取 的中点，连接，则，所以 所以,则 则 所以截面图形周长为 故选：D 25．在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（       ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】取的中点为M，连接EM，，则，且，则．又正方体中，，所以，，因此，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为，所以该截面的面积为． 故选：D． 26．正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（        ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【解析】建立如图所示空间直角坐标系， ，， ，所以①错误. ， 设平面的法向量为， 则，故可设. ，所以到平面的距离为， ，所以到平面的距离为，所以③错误. 根据正方体的性质可知，四点共面， ， 所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形， 根据正方体的性质可知，由于平面，平面， 所以平面，所以②正确. 等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为，④正确. 所以正确的为②④. 故选：C 27．如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（       ） A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形 【答案】C 【解析】 设正方体的棱长为a，AE=x，CF=y，建立如上图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ∵ 在同一个平面内，∴ , 即 ， 解得 ， 由上图可知， ， = ， 同理 ， ， 所以四边形 是平行四边形； 故选：C. 28．已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该正方体外接球的半径为R， 依题意，，解得，故，，故. 分别取棱，的中点F，G，连接，，，， 根据正方体的性质可知：四边形为等腰梯形， 建立如图所示空间直角坐标系，， ， ， 所以，由于， 所以平面，即截面为等腰梯形. 由题可知，， 所以等腰梯形的高为， 故截面图形的面积为 故选：D 29．如图所示，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，点P是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点G，的中点H，连结. 正方体的棱长为2.为中点，所以,所以且. 因为为分别为的中点，所以,且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为面，面，所以面. 同理可证：面. 又,面,面, 所以面面. 所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形. 因为正方体的棱长为2，所以, 所以三角形的周长为.故选：B 30．已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则下列结论中正确的是（       ） ①直线与直线垂直；                           ②直线与平面平行； ③点C与点G到平面的距离相等；            ④平面截正方体所得的截面面积为． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解析】对于①，由正方体得，则即为直线与直线所成的角， 连接AC，而平面ABCD，所以，所以在中，则不可能是直角，直线与直线不垂直，故①不正确； 对于②，连接，则，所以平面，平面，平面，所以∥平面，故②正确； 对于③，若点C与点G到平面的距离相等，则平面必过的中点，连接交于，且不是的中点， 则平面不过的中点，即点C与点G到平面的距离不相等，③不正确； 对于④，因为，，所以等腰梯形即为平面截正方体所得的截面， 则，之间的距离为， 则面积为，故④正确.故选：C. 31．已知正方体的表面积为96，点P为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得的截面周长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点M，的中点N，连结则 ∴平面PCD， ， 又平面，可得，又 ∴面， ，, 面，即平面为面， 由题可知，故， ， 截面的周长为，故选：D. 32．正方体的棱长为2，点分别是棱中点，则过点三点的截面面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设AB的中点为H，连接HR并延长，交DA延长线于E,交DC延长线于F，连接PE交 于G,连接QF交 于I，连接GH,RI,则六边形PQIRHG为过点三点的截面， 由题意可知， ,则 , 故,可知 ,即G为的中点， 同理可证I为的中点，故可知六边形PQIRHG为正六边形， 且边长为 ， 故其面积为 ，即过点三点的截面面积是 ，故选：D 33．在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一个半径为的球，则该球的球面与侧面的交线长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，取CD的中点为E，则有，， ，可得，，故， 为正三角形，球心O在平面PCD上的投影M即为的中心， ，球的半径， 在中，则截面圆半径， 在正三角形中，以点M为圆心，作半径为的圆，圆与三角形截得的三部分， 圆心角都为，故该球的球面与侧面的交线长度为截面圆周长的， 即为.故选：A. 34．侧棱长为2的正三棱锥V-ABC的侧棱间的夹角为40°，过顶点A作截面AEF，截面AEF的最小周长为（       ） A．a B．6a C．4a D．12a 【答案】B 【解析】 如图三棱锥以及侧面展开图，要使截面AEF的周长最小，就是侧面展开图中AG的距离. 因为正三棱锥V-ABC的侧棱间的夹角为40° 由余弦定理得 故选：B. 35．已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体中，平面平面，而平面，平面， 平面平面，则平面与平面的交线过点B，且与直线EF平行，与直线相交，令交点为G，如图， 而平面，平面，即分别为与平面所成的角， 而，则，且有， 当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，，即G为棱中点M， 当点F由点C向点D移动过程中，逐渐增大，点G由M向点方向移动， 当点G为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形， 当点G在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点， 而点F与D不重合，此时，平面与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图， 因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段（除点M外）上，即, 显然，，则， 所以线段的CF的取值范围是.故选：D 36．已知正方体，的棱长为2，点为线段（含端点）上的动点，平面，下列说法正确的是（     ） A．若点为中点，当最小时， B．当点与重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大 C．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 D．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为 【答案】D 【解析】对于A：将矩形与正方形展开到一个平面内（如图所示）， 若最小，则、、三点共线， 因为， 所以， 所以， 即，故A错误； 对于B：当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示）， 在正方体中，平面， 平面，所以， 又因为，且，所以平面， 又平面，所以， 同理可证， 因为，所以平面， 易知是边长为的等边三角形， 其面积为，周长为； 设、、、、、分别是、、、、、的中点， 易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面， 正六边形的周长为，面积为， 则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即B错误； 对于C：直线与平面所成角的正弦值，即为直线与平面的垂线所成角的余弦值，即，如图所示：连接 在正方体中，，，所以 在中，， 点为线段（含端点）上的动点，故，即 所以，所以直线与平面所成角的正弦的取值范围为，故C错误； 对于D，取中点为，连接,,则,设平面与侧面的交线为,为平面与的交点，由于平面，∴，∴,又∵平面，平面，∴,又∵,∴平面,∴,又∵在正方形中为的中点，∴为的中点； 设平面与侧面的交线为,为平面与的交点，同理可得为的中点，连接,于是截面为， 计算得,,, 所以截面为为等腰梯形， 底边上的高为, 截面为的面积为，故D正确； 37．在棱长为1的正方体A1B1C1D1－ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且，∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题： ①CN与QM共面； ②三棱锥A－DMN的体积跟的取值无关； ③当时，AM⊥QM； ④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为． 其中正确的是（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】在中，因为M，N为AC，AQ的中点， 所以，所以CN与QM共面，所以①正确； 由， 因为N到平面ABCD的距离为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以②正确； 当时，,可得，， 取的中点分别为，连接,则 在直角三角形中, 则，所以不成立，所以③不正确． 当时，取,连接,则,又所以 所以共面,即过A，Q，M三点的正方体的截面为ACHQ， 由,则ACHQ是等腰梯形,且 所以平面截正方体所得截面的周长为，所以④正确； 所以正确的命题是①②④， 故选：B． 38．已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、， ，为的中点，则， 平面，平面，， ，平面， 、分别为、的中点，则且，平面， 平面，所以，平面平面， 所以，平面即为平面，设平面交于点， 在直棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 且，且，所以，四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面， 设平面平面，平面，所以，，， ，所以，四边形为平行四边形，可得， 所以，为的中点， 延长交于点，，所以，，， 又，所以，，，为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面平面，， ，，，，为的中点， ，，则， 为的中点，，则，同理， 因为直棱柱的棱长为，为的中点，， 由勾股定理可得，同理可得， 且，平面，平面， 平面，， 、分别为、的中点，则，， 由勾股定理可得，同理. 因此，截面的周长为.故选：C. 二．多选题 1.【多选】正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点.则（       ） A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 【答案】BC 【解析】对于A，若，因为且，所以平面， 所以，所以，此时不成立，所以线与直线不垂直，故A错误； 对于B，如图所示，取的中点，连接，， 由条件可知：，，且，， 又平面，平面，平面，平面， ∴平面，平面，又， 所以平面平面，又因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，为，的中点，所以，所以，，，四点共面，所以截面即为梯形， 由题得该等腰梯形的上底，下底，腰长为，所以梯形面积为，故C正确； 对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点， 连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错误. 故选：BC. 2.【多选】已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说法正确的是（       ） A．平面截正方体的截面始终为四边形 B．点M运动过程中，三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体的截面面积的最大值为 D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为 【答案】BCD 【解析】正方体的棱长为2，点M为线段（含端点）上的动点， 对于A，当点M与点C重合时，平面只与正方体的共点D的三个面有公共点，所得截面为三角形，A不正确； 对于B，点M到平面的距离为2，而，B正确； 对于C，当点M与点C重合时，截面为正三角形，其边长为，截面面积为， 当点M与点C不重合时，平面平面，如图，， 当点M与点重合时，截面是正方体的对角面，其面积为， 令，截面是等腰梯形，则，， 等腰梯形的高， 截面面积， 令，显然在上递增，，则， 所以截面面积，最大值为，C正确； 对于D，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，设点，， 三棱锥的外接球截平面所得截面小圆是的外接圆，其圆心为中点， 三棱锥的外接球球心O在过点E垂直于平面的直线l上，设点， 由得：，即，有， 所以三棱锥的外接球表面积，D正确. 故选：BCD 3.【多选】在正方体ABCD—中，，点P在线段上运动，点Q在线段上运动，则下列说法中正确的有(       ) A．当P为中点时，三棱锥P-的外接球半径为 B．线段PQ长度的最小值为2 C．三棱锥-APC的体积为定值 D．平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形 【答案】ABC 【解析】对于A，当P为中点时， ∵是正方形，∴， ∵AB⊥平面，平面，∴AB⊥， ∵AB∩=B，AB、平面ABP，∴平面ABP， ∵平面AP，∴平面AP⊥平面ABP， 易知Rt△ABP外接圆圆心为AP中点，Rt△AP外接圆圆心为中点， 则过Rt△ABP外接圆圆心作平面ABP的垂线，过Rt△AP外接圆圆心作平面AP的垂线，易知两垂线交点为中点，则三棱锥P-的外接球球心即为中点，外接球半径即为，故A正确； 对于B，如图过P作PG⊥BC于G，过Q作QE⊥PG于E， 易知PQ≥QE=AG≥AB，故线段PQ长度的最小值为AB=2，故B正确； 对于C， ∵∥，平面，平面，∴∥平面， ∵P∈，故P到平面的距离为定值，又为定值，则为定值，故C正确； 对于D，易知，截面BPQ与平面的交线始终为，连接，易知∥，过Q作QF∥交于F，连接、QB，则即为截面，其最多为四边形： 当Q与重合，P与重合，此时截面BPQ为三角形： 平面BPQ截该正方体所得截面不可能为五边形，故D错误﹒ 故选：ABC﹒ 4.【多选】如下图，正方体中，M为上的动点，平面，则下面说法正确的是（       ） A．直线AB与平面所成角的正弦值范围为 B．点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点M为的中点时，平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知N为中点，当的和最小时，M为的三等分点 【答案】AC 【解析】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点， 平面，则为平面的一个法向量，且，， ， 所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确； 对于B选项，当与重合时，连接、、、， 在正方体中，平面，平面，， 四边形是正方形，则，，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为. 设、、、、、分别为棱、、、、、的中点， 易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面， 正六边形的周长为，面积为， 则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误； 对于C选项，设平面交棱于点，点，， 平面，平面，，即，得，， 所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，， 而，，且， 由空间中两点间的距离公式可得，，， 所以，四边形为等腰梯形，C选项正确； 对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示： 若最短，则、、三点共线， ，， ，所以，点不是棱的中点，D选项错误.故选：AC 5．已知正方体,过对角线作平面交棱于点,交棱于点,下列正确的是（       ） A．平面分正方体所得两部分的体积相等 B．四边形一定是平行四边形 C．平面与平面不可能垂直 D．四边形的面积有最大值 【答案】ABD 【解析】 对于A：由正方体的对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积相等,故A正确; 对于B：因为平面,平面平面, 平面平面,. 同理可证：,故四边形一定是平行四边形,故B正确; 对于C：当为棱中点时,平面,又因为平面, 所以平面平面,故C不正确; 对于D：当与重合,当与重合时的面积有最大值,故D正确. 故选:ABD 6．用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（       ） A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 【答案】ACD 【解析】对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确； 对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误； 对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确； 对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中， 取的中点，的中点，取的中点，的中点， 依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确； 故选：ACD 7．在棱长为1的正方体中，为底面的中心，，为线段的中点，则（       ） A．与共面 B．三棱锥的体积跟的取值无关 C．时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为 D． 【答案】ABC 【解析】在中，因为为的中点，所以， 所以与共面，所以A正确； 由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确； 当时，过三点的正方体的截面是等腰梯形， 所以平面截正方体所得截面的周长为， 所以C正确； 当时，可得， 则，所以不成，所以D不正确． 故选：ABC 8．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（       ） A．三棱锥的体积为2 B．平面 C．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为 D．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是 【答案】BD 【解析】对A，，故A错误； 对B，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，则，，，，，则平面，B正确； 对C，，，，故C错误； 对D，作中点，的中点，的中点，连接，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故D正确. 故选：BD 9．在棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱BC和中点，下列结论正确的是（       ） A． B．直线MN与平面平行 C．点N到面的距离为 D．平面AMN截正方体所得截面的面积为 【答案】AC 【解析】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标， 则 ， 对于A, , 则，故，即，故A正确； 对于B, ,设平面的法向量为， , 则 ，则可取， 而，故直线MN与平面不平行，故B错误； 对于C，设平面的的法向量为， , 则，可取， 而，故点N到面的距离为 ，故C正确； 对于D，平面AMN截正方体所得截面为如图等腰梯形 , 则,高为 ， 故其面积为 ，故D错误, 故选:AC. 10．在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（       ） A． B．三棱锥的体积为4 C．三棱锥外接球的表面积为 D．过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为 【答案】ACD 【解析】由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，如图所示： 对A：因为，，，所以平面，所以，故选项A正确； 对B：因为M为BE的中点，所以，故选项B错误； 对C：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径，所以三棱锥外接球的表面积为，故选项C正确； 对D：过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径，截面圆的面积为，所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，故选项D正确. 故选：ACD. 3． 填空题 1.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 【答案】. 【解析】如图： 取的中点为，的中点为，的中点为， 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以， 因为，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 因为，所以， 所以根据弧长公式可得. 故答案为：. 2.在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，则过点B，P，Q的截面形状是______. 【答案】菱形 【解析】取中点，证明四边形是截面，确定其形状后可得． 连接，取中点，连接， 则在正方体中，，所以是平行四边形，与平行且相等， 同样由与平行且相等得是平行四边形，与平行且相等， 从而与平行且相等，所以是平行四边形，这就是过点B，P，Q的截面， 又，因此四边形是菱形．故答案为：菱形． 3.正方体的棱长为，设为中点，为线段上的动点，，过点，，的平面截该正方体所得截面记为以下结论正确的有___________填上所有正确的说法的序号 ①不可能是菱形； ②可能是五边形； ③时，的面积为； ④时，将棱截成长度比为的两部分. 【答案】②③④ 【解析】①当时，与重合，取的中点，连接， 根据正方体的性质可知，且， 所以截面为菱形， 故①错误； 对于②④，当时， 延长，交的延长线于，连接并延长，交于， 设，连接， 由于，结合正方体的性质可知， 结合共面可知为截面， 如图所示， 点是的中点，可得，， 与的交点满足，此时是五边形，且将棱截成长度比为的两部分. 故②④正确； 对于③，当时，根据正方体的性质可知，且， 如图所示，为等腰梯形， 可得，，等腰梯形得高为， 则的面积为. 故③正确. 故答案为：②③④ 4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、BC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为______． 【答案】 【解析】取的中点，连接，，如图， 由正方体的几何特征可知： ，，且 所以四边形为矩形， 其面积 即为截面面积， 故答案为：. 5．如图，在棱长为的正方体中，点､､分别是棱､､的中点，则由点､､确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于___________. 【答案】 【解析】分别取中点，中点，中点， 可得出过，，三点的平面截正方体所得截而为正六边形， 则正六边形的边长， 故截面多边形的面积等于. 故答案为：. 6．在正方体中，，为线段上的动点，且与不重合，为线段的中点.给出下列三个结论： ①； ②三棱锥的体积不变； ③平面截正方体所得的截面图形一定是矩形. 其中，所有正确结论的序号为___________. 【答案】①②③ 【解析】对于①，连接， 因为平面，所以，又，所以平面，所以， 同理可证，又，所以平面，故平面，所以，故①正确； 对于②，因为，而为线段的中点，所以点F到平面ABC的距离是正方体的棱长的一半，是个定值，又是定值，所以三棱锥的体积不变，故②正确； 对于③，延长BE交CD于点G，过点G作交于点H，连接， 则四边形就是面截正方体所得的截面图形， 而平面，又平面，所以， 又，，所以，又，所以四边形一定是矩形. 同理可得延长BE交AD于点G时的情形如下图所示，仍得四边形一定是矩形.故③正确； 所以正确的命题为：①②③， 故答案为：①②③. 7．如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】①④ 【解析】对于①，如下图所示： 在边长为1的正方体中，易知平面， 因为点是棱上的一个动点，可设点到平面的距离为， 且，则三棱锥的体积， 故①正确； 对于②，连接，，因为在平行四边形中， ，所以不垂直，所以使得不垂直平面， 所以②不正确. 对于③，当点与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交， 故③错误； 对于④，根据题意，作图如下： 因为正方体中，易知平面，所以， 设，则，， 在中，， ， 则该截面面积， 由，当时，，故④正确； 故答案为：①④. 8．如图，在边长为2的正方体中，点在正方体的表面上移动，且满足，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是______. 【答案】 【解析】 因为平面，平面，所以，又，，所以平面，所以，同理可得， 因为，所以平面，因为点在正方体的表面上 故满足条件的所有点构成的平面图形为，由，可得构成平面图形的面积为：. 故答案为： 9．在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点，P是侧面四边形内(不含边界)一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是________. 【答案】 【解析】在正方体中，取的中点M，N，连，如图， 因点E、F分别是棱BC，的中点，则，平面，平面，则有平面， 显然为矩形，有，，即有为平行四边形， 则，而平面，平面，有平面， ，平面，因此，平面平面，因平面AEF， 则有平面，又点P在平面，平面平面， 从而得点P在线段MN上（不含端点），在中，，， 等腰底边MN上高，于是得， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 1．如图，在棱长为2的正方体中，设是的中点. (1)过点，且与平面平行的平面与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图中画出这个三角形（说明画法，不用说明理由）； (2)求四棱锥的体积. 【答案】见解析 【解析】(1)取的中点，连接，，易知为所作三角形. (2)因为且，四边形为平行四边形. ， 故四棱锥的体积为. 2．已知正方体中的棱长为2，是中点． （1）求证：平面平面； （2）设的中点为，过､､作一截面，交于点，求截面的面积． 【答案】见解析 【解析】 （1）如图，连接，，若，连接， 由，，可得四边形为平行四边形， ∴，又， ∴四边形为平行四边形，即，而平面，平面， 平面， 同理，是平行四边形，即，而平面，平面， ∴平面，而， ∴平面平面. （2）连接，，平面与平面交于， 由平面平面，且平面平面，平面平面， ，同理有，即四边形为平行四边形， 在与中，易知，即四边形为菱形，故为的中点． ∵正方体的棱长为2， ，． ∴截面面积． 3．如图，在长方体中，，，分别为与中点.                      （1）经过，作平面，平面与长方体六个表面所截的截面可能是边形，请根据的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹； （2）若为直线上的一点，且，求过截面图形的周长. 【答案】见解析 【解析】（1） （2）如图所示：分别为的中点，易知，确定平面， 易知，，，，，，故，. ，，故周长为. 4．已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面，并求出这截面的周长. 【答案】见解析 【解析】 连接，因为面面，所以截面与两平面的交线平行， 过点作交于点，连接， 同理过点作交于，连接， 则五边形即为所求截面， 因为，是的中点，所以，可得， 因为，所以，所以，可得，， ， 因为，所以，所以，， 所以，，， ，， 所以这截面五边形的周长为. 5．如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． （Ⅰ）求证：，，，四点共面； （Ⅱ）求证：平面∥平面； （Ⅲ）画出平面与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）因为分别是，的中点，所以为的中位线，所以∥， 又四边形是矩形，所以∥，所以∥，故，，，四点共面； （Ⅱ）由已知，为的中位线，所以∥，所以∥， 又平面，平面，所以∥平面， 同理∥∥，且，所以四边形为平行四边形， 所以∥，又平面，平面，所以∥平面， 又，所以平面∥平面. （Ⅲ）∴过作的平行线交分别于，连接分别交于，连接，如图， 理由如下：因为∥∥，∴∥平面，平面，设平面平面， 由线面平行的性质定理知∥，所以过作的平行线交分别于，连 接分别交于，连接，即可得到平面与正方体侧面的交 线. 6．如图，已知直三棱柱中，，，，，，分别为棱，的中点， 为线段的中点 （1）试在图中画出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长； （2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积. 【答案】见解析 【解析】（1）如图所示： 取中点，连接、、， 则，即四点共面， 则梯形为所求截面的多边形. 则， ， ， ， 所以该多边形的周长为. （2）连接，， ， ， 而， 所以其中较小那部分几何体的体积为 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 立体几何截面问题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 8 题型归纳 11 一．补全基截面方法 8 题型01：截面形状判断 11 题型02：利用相交线法做截面 15 题型03：利用平行线法做截面 18 题型04：平行关系确定截面 21 题型05：垂直关系确定的截面 22 题型06：综合应用补全截面方法 24 二．截面在几何体中的应用 27 题型01：柱体截面周长与面积 27 题型02：锥体中截面周长与面积 31 题型03：台体中截面周长与面积 32 题型04：圆柱、圆锥截面 34 题型05：球截面 35 题型06：截面分体积 40 题型07：不规则截面（曲线形截面） 45 三．截面最值 47 题型01: 球截面最值 47 题型02：柱体最值 50 题型03：锥体最值 52 题型04：综合型最值 53 四．恒平行型求截面 58 五．恒垂直型求截面 63 六．动点型截面 68 七．截面与角度 73 巩固提升 74 立体几何截面问题在高考中多穿插于立体几何解答题或多选题中，虽较少单独成题，但综合性强、创新性突出，下面从命题特点、核心考点和备考建议三方面展开分析： 1. 命题特点：该题型常融入动态元素，打破立体几何静态考查模式，能很好地考查直观想象、逻辑推理等核心素养。命题载体以正方体、长方体等常见规则几何体为主，偶尔涉及圆柱、棱锥等。题目设问逐步递进，解法上需结合平面几何（如解三角形）和空间向量等知识，既需几何法构建图形关系，也需向量法精准计算，对综合能力要求高。 2. 核心考点：一是判断截面形状，比如判断平面截正方体所得截面是三角形、四边形还是其他多边形，还会考查截面不可能的形状，像正方体截面不会出现直角梯形、正五边形等；二是计算截面相关量，计算截面图形的周长、面积，或结合截面求几何体体积、与截面相关的线段长度、角度等；三是截面相关的综合拓展，比如结合翻折、动点问题，分析截面的动态变化，或求解截面面积的最值等。 3. 备考建议：基础层面要牢记常见几何体的截面规律，熟练掌握平面基本事实与线面平行、垂直等定理；解题方法上，既要会用几何法通过作辅助线、利用面面平行性质找截面轮廓，也要掌握向量法，通过建立坐标系求解截面相关计算问题；同时需针对性练习不同几何体的截面题型，总结截面构造的常见技巧，规避截面形状判断的易错点，提升快速拆解图形、推理计算的能力。 结合立体几何截面问题的高考考查特点，从基础认知、能力掌握、综合应用三个维度制定学习目标，确保覆盖核心考点与解题需求： 一、基础认知目标 1. 掌握截面的定义与平面基本事实：明确“截面是平面与几何体表面的交线围成的平面图形”，能复述平面基本事实（如“不共线三点确定一个平面”“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”），理解截面形成的底层逻辑。 2. 熟记常见几何体的截面规律： ◦ 正方体/长方体：能列举所有可能的截面形状（三角形、四边形、五边形、六边形），明确不可能的截面（如直角三角形、正五边形）及原因； ◦ 圆柱/圆锥：掌握平行于底面、垂直于底面、斜截时的截面形状（圆、矩形、椭圆、三角形等）； ◦ 棱锥/棱柱：能判断不同截法下的截面多边形边数与形状特征。 3. 识别截面的关键元素：能快速找到截面与几何体棱的交点、截面的边（平面与几何体面的交线），明确截面图形的顶点、边长、内角等基本属性。 二、能力掌握目标 1. 截面构造能力： ◦ 能根据题目条件（如“过某三点作截面”“过某直线与某点作截面”），通过作辅助线（延长线、平行线）确定截面与几何体各棱的交点，完整画出截面图形； ◦ 掌握“面面交线法”构造截面：利用两个平面的公共点确定交线，逐步勾勒截面轮廓（如正方体中过棱上三点的截面构造）。 2. 截面相关计算能力： ◦ 能结合平面几何知识（勾股定理、余弦定理、三角形面积公式、多边形面积分割法）计算截面的边长、周长、面积； ◦ 能结合几何体体积公式、等体积法，计算截面分割几何体后的部分体积，或与截面相关的点到截面的距离。 3. 动态截面分析能力：能分析动点、动直线形成的截面的形状变化、面积最值，结合函数思想（如设参数表示截面边长）求解最值问题。 三、综合应用目标 1. 跨考点融合能力：能将截面问题与空间位置关系（线面平行/垂直）、空间角（截面与某平面的二面角）结合，综合运用几何法或向量法解决复杂问题； 2. 易错点突破： ◦ 避免截面形状判断错误（如误认为正方体可截出直角三角形）； ◦ 杜绝截面构造时遗漏交点（如未延长线段找到截面与几何体棱的交点）； ◦ 防止截面计算时忽略几何体的棱长关系、角度特征。 3. 规范解题能力：能清晰书写截面构造的推理过程（如“延长AB交CD于点E，连接EF交GH于点F，故截面为四边形AEFG”），计算时步骤完整、公式准确。 知识点1 截面定义 在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 知识点2 正六面体的基本斜截面 知识点3 圆柱体的基本截面 正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 知识点4补全截面的方法 交线法 基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面 特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。 以“第三点”所在的表面中，，剔除掉与EF所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线 如下图，符合的有c1的表面有三个，红色的和EF平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的）， 先用上表面（红色的）来做： 1、 所以，先补出扩展EF直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长EF交A1B1于G 2、 此时G也在上表面了，连接GP，出来与棱A1D1交点H. 3、 连接HB，则的如右图的截面。 再用右表面绿色的来做： 1、 则发现，右边面和EF相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长EF交C1C于I 2、 此时I也在右表面了，连IC1交棱CB于J. 3、 连接FJ，则出右图的截面。 最终，两个合在一起，就是如图的截面。以上过程，与EF是否中点，几何体是否正方体无挂具体的G,H,I,J都可以通过对应的E、F几等分点以及几何体长宽高的不同变化来计算出来，这个几何体也不一定是长方体，还可以是斜棱柱，都不影响这个作图。 平行线法 平行线法特征： 有两点连线在表面：EF，在前侧面 方法如下： 1、 寻找C1点所在的与线EF的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的） 2、 在这个面内，过C1做EF平行线，显然必须扩展这个面了。如第三图。 3、 注意！，E与F分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了） 4、 注意这仨面的相交棱， 5、 下边过C1做EF平行线，交这俩棱于K,L第二排图 6、 分别连FK与EL，交点为J与H。出截面，与第一种方法一致。 立体几何截面问题的解题核心是“确定截面轮廓+精准计算相关量”，需结合平面基本事实、几何体特征和平面几何知识，以下分核心题型梳理具体解题策略： 一、截面构造类问题（核心：找交点、连交线） 1. 基本方法：面面交线法（万能构造法） 核心逻辑：截面是平面（截平面）与几何体各面的交线围成的图形，需利用“两个平面有公共点则必有公共交线（过公共点）”的平面基本事实，逐步确定截平面与几何体各棱的交点，再依次连接交点得到截面。 步骤拆解（以正方体中过三点的截面为例）： ① 确定已知点所在的几何体表面，找到截平面与第一个面的交线（若两点在同一面上，直接连接即为交线）； ② 延长已确定的交线，与几何体的棱相交，得到新的公共点（截平面与该棱的交点）； ③ 重复“找公共点→连交线”，直到所有交点闭合，形成完整截面； ④ 验证：所有交点均在几何体的棱上（或面上），交线均在截平面内。 2. 辅助技巧： • 平行线法：若截平面与几何体的两个面平行，利用线面平行性质（线面平行→线线平行）找交线（如正方体中过点P作截面平行于面ABCD，直接作各边平行线）； • 中点定位法：若已知点为棱的中点，优先连接中点形成中位线，利用中位线平行于底边的性质快速确定交线。 二、截面形状判断类问题 1. 核心思路： • 根据几何体特征+截平面位置判断： ◦ 正方体/长方体：截面边数≤6（最多六边形，因正方体有6个面，截平面最多与6个面相交）；三角形截面必为锐角三角形（不可能是直角/钝角三角形，可通过余弦定理验证）；四边形截面可为平行四边形、梯形、菱形等（无直角梯形，因正方体棱两两垂直，若有直角则为矩形）。 ◦ 圆柱：截平面垂直于轴→圆；平行于轴→矩形；斜截→椭圆（或部分椭圆）。 ◦ 棱锥：截平面平行于底面→与底面相似的多边形；过顶点→三角形。 • 反证法排除不可能形状：假设截面为某形状，结合几何体棱长、角度关系推导矛盾（如假设正方体截面为直角三角形，推导后发现与正方体棱长垂直关系矛盾）。 2. 快速判断技巧： • 截面边数=截平面与几何体的面的相交个数； • 规则几何体中，截面为正多边形的条件：截平面过几何体的中心/对称轴，且与各棱成等角。 三、截面相关计算类问题（面积、周长、体积等） 1. 截面图形计算（面积/周长）： • 三角形截面： • 四边形截面： ◦ 平行四边形/矩形： ◦ 梯形： ◦ 不规则四边形：分割为两个三角形，分别计算面积再求和； • 六边形截面（正方体）： 2. 截面分割几何体的体积计算： • 核心方法：分割法/补形法+等体积法； • 示例：正方体中截面将正方体分为两部分，求其中一部分体积→ ◦ 若截面为三角形，可将该部分视为三棱锥，用“×底面积×高”计算（底为截面三角形，高为正方体棱长）； ◦ 若截面为四边形，将其分割为两个三棱锥，分别计算体积再求和。 3. 截面相关距离/角度计算： • 点到截面的距离：用等体积法（如三棱锥体积=×截面面积×点到截面的距离）； • 截面与某平面的二面角：建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，再用向量夹角公式计算。 四、动态截面问题（截面面积最值、动点轨迹） 1. 截面面积最值： • 步骤：① 设参数（如设动点为棱上的λ分点，0≤λ≤1）；② 用参数表示截面的边长、高；③ 建立截面面积关于参数的函数（如二次函数、三角函数）；④ 求函数最值（结合参数范围）； • 示例：正方体中过棱上动点P的截面为三角形，设AP=λa（a为正方体棱长），表示出三角形三边，用海伦公式建立面积函数，求λ∈[0,1]时的最值。 2. 动点轨迹问题： • 核心：分析动点在截平面内的约束条件，结合平面几何轨迹类型（直线、圆、椭圆）判断； • 示例：截平面平行于某定直线，动点在截平面内且到定点距离为定值→轨迹为圆。 五、易错规避策略 1. 构造截面时，避免遗漏“延长交线找交点”（如仅连接面上的点，未延长交线与几何体其他棱相交，导致截面不完整）； 2. 计算截面面积时，避免误判图形形状（如将正方体的梯形截面当作平行四边形）； 3. 动态截面问题中，忽略参数的取值范围（如λ∈[0,1]，超出则动点不在棱上）。 通用解题步骤 1. 审题：明确截平面的已知条件（过哪些点/线、与哪些面平行/垂直）； 2. 构造：用面面交线法/平行线法确定截面所有交点，连接成截面图形； 3. 判断：确定截面形状（三角形/四边形/六边形等）； 4. 计算：结合平面几何、空间向量知识计算相关量（面积、体积、量（面积、体积、距离等）； 5. 验证：检查交点是否在几何体棱上、计算过程是否符合公式/定理。 一．补全基截面方法 题型01： 截面形状判断 一般地，立体几何中的截面问题，有两种处理方法： 1.是利用平行关系找交线， 2.是利用共面直线延长相交得交点. 基本规律 一些容易出错误的地方 1.截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。 2.不会与同一个表面有两条交线。 3.与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长） 4.截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系 【典型例题1】用平面截正方体，截面不可能是（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【解析】举例即可说明A、B、D正确；假设截面是正五边形，经分析得出必有两条截线平行，这与正五边形的性质相矛盾，即可判断C项. 对于A项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，故A项正确； 对于B项，如图1，当时，有，且，此时截面为等腰梯形，故B项正确； 对于C项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误； 对于D项，如图2，分别为各边的中心，易证共面，且为正六边形，故D项正确. 故选：C. 解题方略： 作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理． 注：1.截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。 2.不会与同一个表面有两条交线。 3.与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长） 4.截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系 【典型例题2】图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【答案】D 【解析】分截面经过圆柱上下底面的圆心和截面不经过圆柱上下底面的圆心两种情况，分别讨论，进而可得出答案. 当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确； 当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为一条曲线，所以⑤正确； 故选:D. 【典型例题3】圆锥内接一个正方体，现有一个平面截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】作圆锥的截面，依次判断截面图形即可得到结果. 对于A，沿图中所示位置作竖直截面，则截面图形如A所示，A正确； 对于B，按图中阴影所示作截面，则截面图形如B所示，B正确； 对于C，沿正方体面对角线（如图中位置）作轴截面，则截面图形中四边形应为矩形，如图所示，C错误； 对于D，正方体侧棱为，为底面弦的中点，按照平面作如图所示的截面，则截面图形如D所示，D正确. 故选：C 【变式训练1-1】用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是（       ） ①等边三角形       ②直角梯形       ③菱形       ④五边形 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式训练1-2】在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（       ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式训练1-3】在正方体中，、分别在和上（异于端点），则过三点、、的平面被正方体截得的图形不可能是（       ） A．正方形 B．不是正方形的菱形 C．不是正方形的矩形 D．梯形 【变式训练1-4】【多选】在正方体中，点分别是棱的中点，则下列说法正确的是（       ） A．过三点的平面截正方体的截面图形是矩形 B．过三点的平面截正方体的截面图形是等腰梯形 C．平面 D．若，则平面平面 【变式训练1-5】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【变式训练1-7】在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（       ） ①矩形   ②圆   ③椭圆   ④部分抛物线   ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 【变式训练1-8】如图，正四棱锥的高为12，，，分别为，的中点，过点，，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（ ） A．B．C． D． 【变式训练1-9】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 【变式训练1-10】在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______． ①当P为中点时，截面为六边形；②当时，截面为五边形； ③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形； 题型02：利用相交线法做截面 【典型例题1】已知正方体的棱长为2，若，分別是的中点，作出过，，三点的截面. 【答案】图象见解析 【解析】 【典型例题2】如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，过点，，的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可. 作直线，分别交于两点，连接分别交于两点， 如图所示， 过点，，的截面即为五边形 ， 设正方体的棱长为， 因为点，，分别是，的中点。所以，即， 因为，所以 则过点，，的截面下方体积为：， ∴另一部分体积为，∴.故选：C. 【典型例题3】在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解析】先作出截面图形，易知截面为菱形，再结合菱形面积公式求解即可 设平面交棱AD于F， 由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得，， 由勾股定理可得四边形所有边长的长度为， 所以是菱形，且为的中点， 取的中点，连接，则 ， 故．故选：C． 【变式训练2-1】如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面多边形记为S，则下列命题正确的是（ ） A．当时，S为等腰梯形 B．当时，S与的交点R满足 C．当时，S为六边形 D．当时，S的面积为 【变式训练2-2】如图，在正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ） A．点、到平面的距离相等； B．与为异面直线 C．； D．平面截该正方体的截面为正六边形 【变式训练2-3】如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】在棱长为3的正方体A1B1C1D1-ABCD中，M是棱B1C1上靠近B1的三等分点，过A、D1、M作正方体的截面，则这个截面将正方体分成两部分的体积之比（体积较小的与体积较大的之比）为（   ） A． B． C． D． 题型03：利用平行线法做截面 【典型例题1】如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（ ） A．AB中点 B．BC中点 C．CD中点 D．BB1中点 【答案】B 【解析】根据截面特点结合正方形结构性质求解. 取的中点，连接，，如图，则， 所以在截面上,故选：B 【典型例题2】已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【解析】取，，的中点，，，可得，，，由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面，从而求出截面是六边形. 如图所示，分别取，，的中点，，，连接 ，，，，，，则，. ，. 同理可得，. 由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面， 所以平面截正方体所得的截面是六边形. 故选：D. 【典型例题3】在正方体中，点Q是棱上的动点，则过A，Q，三点的截面图形是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能 【答案】D 【解析】由点是棱上的动点，可考虑分别在的端点以及中点，故可得过、、三点的截面图形的形状. 所以当点与重合时，过、、三点的截面是等边三角形； 当点与重合时，过、、三点的截面是矩形； 当点与的中点重合时，取的中点,由于所以,又,故过、、三点的截面是等腰梯形，如图所示： 所以过，，三点的截面图形是可能是等边三角形、矩形或等腰梯形． 故选：D 【变式训练3-1】在棱长为3的正方体中，O为AC与BD的交点，P为上一点，且，则过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】正方体棱长为4，M，N，P分别是棱的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知正方体，平面和线段，，，分别交于点E，F，G，H，则截面EFGH的形状不可能是（ ） A．梯形 B．正方形 C．长方形 D．菱形 【变式训练3-4】在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，则过点B，P，Q的截面形状是______. 题型04：平行关系确定截面 【典型例题1】在正方体中，与平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________. 【答案】平面 平面 【解析】根据题意，结合图形，得出与平行，且过正方体三个顶点的截面是平面，平面． 解：在正方体中，与平行，且过正方体三个顶点的截面是平面，平面． ，，四边形是平行四边形； ，又平面，平面，平面； 同理平面．故答案为：平面，平面． 【典型例题2】若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．4条 【答案】C 【解析】由平行四边形的性质有两对边平行且相等，再应用线面平行的判定可确定线面平行，由线面平行的性质、判定即可知有几条棱与平面α平行. 如下图示，若平面α即为面为平行四边形，即且，且， 又面，面，则面，而面，面面， ∴，由线面平行判定易知：平面α；同理可得，易得平面α. ∴该三棱锥与平面α平行的棱有、，共2条.故选：C 【变式训练4-1】在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练4-2】如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1. 题型05： 垂直关系确定的截面 【典型例题1】如图，为正方体，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ） A．为定值，不为定值 B．不为定值，为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 【答案】B 【解析】将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，将的侧面沿棱剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形，考查的位置，确定 解：将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，将的侧面沿棱剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形，如图所示 而多边形的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，，所以为定值， 当位于中点时，多边形为正六边形，而当称到时，为正三角形，则当周长这定值的正六边形与正三角形面积分别为，所以不是定值，故选：B 【典型例题2】正方体，的棱长为4，已知平面α，，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（ ） A．α截得的截面形状可能为正三角形 B．与截面α所成角的余弦值为 C．α截得的截面形状可能为正六边形 D．β截得的截面形状可能为正方形 【答案】ABC 【解析】首先根据已知条件确定截面，然后根据选项依次判断正误即可. 如图 因为正方体∴，，又∵∴平面 又∵平面∴同理：又∵∴平面 ∴平面可以是平面，又因为∴为等边三角形，故A正确 取的中点并依次连接 易知，因为平面，平面∴平面 同理：平面又因为且平面，平面 ∴平面平面∴平面可以是平面∵ ∴六边形是正六边形，故C正确以平面是平面为例计算：设A到平面的距离为 等体积法求距离∵，∴又因为，∴则与平面所成角的正弦值为 ∴余弦值等于，故B正确对于D选项：由于直线，在正方体上任取点但异于，与可构成平面，但是截面的形状都不是正方形，故D错误故选：ABC 【变式训练5-1】已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为 A． B． C．2 D． 【变式训练5-2】已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（ ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面截正方体所得的截面面积为 题型06：综合应用补全截面方法 【典型例题1】如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，分如中点，则过点A，D，E的截面与三棱柱的侧面的交线的长为__________． 【答案】 【解析】首先根据平行线将平面进行扩展得到过点A，D，E的截面与三棱柱的侧面的交线为，确定点为线段的三等分点靠近的点，最后在直角三角形中求得线段的长度即可. 由题意将直三棱柱补成一个直四棱柱,取中点，连接,显然，取中点，连接，则，所以A，D，F，E四点共平面，连接与的交点为，连接.所以过点A，D，F，E的截面与三棱柱的侧面的交线为， 因为，且,所以点为线段的三等分点靠近的点， 因为，所以，又D为中点，所以，因为面,所以， 则.故答案为：. 【典型例题2】如图，正四棱锥的高为12，，，分别为，的中点，过点，，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知点投影位置，即可得出答案. 研究平面DPB，设AC与BD的交点为O，BM与EF交点为N, 为的中点， 为的中点，， ， 又因为, 过点作， 设， ，， 又，， , , 为4个格，为8个格， 故选：C 【变式训练6-1】如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ） A．三角形 B．平面四边形 C．平面五边形 D．平面六边形 【变式训练6-2】如图，直三棱柱，，，侧棱长为，点是侧面内一点．当最大时，过、、三点的截面面积的最小值为______． 二．截面在几何体中的应用 题型01：柱体截面周长与面积 【典型例题1】在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案． 如图， 延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1 于H， 延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1 于G， 可得截面五边形AHFEG． ∵ABCD﹣A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点， ∴EF＝3，AG＝AH，EG＝FH． ∴截面的周长为．故选D． 【典型例题2】在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长交于点，连接交于点，如图， 在正方体中，面面， 面面，面面 ，又 四边形是梯形，且为平面截正方体的截面. 又，在等腰梯形中，过作， . 故选：C. 【典型例题3】如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（    ） A．2 B．4 C．4 D． 【答案】B 【解析】根据题意作出截面图，结合几何关系即可求得其面积. 根据题意，作出正方体被平面所截得到的截面为四边形，如下所示： 根据正方体的几何特点，显然四边形为矩形，且，故其面积.故选：. 【典型例题4】在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（       ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解析】设平面交棱AD于F， 由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得，， 由勾股定理可得四边形所有边长的长度为， 所以是菱形，且为的中点， 取的中点，连接，则 ， 故． 故选：C． 【变式训练1-1】在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，过E，F，C1三点的平面截正方体所得的截面的面积为（       ） A．9 B． C． D． 【变式训练1-5】如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，，的中点，过，，三点的平而截正方体所得的截面面积为（    ） A．4 B． C． D． 【变式训练1-6】已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______. 【变式训练1-7】在棱长为的正方体中，为的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-8】已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面为___________，其面积为___________. 题型02：锥体中截面周长与面积 【典型例题1】在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为_________. 【答案】8 【解析】如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F．过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．可得四点EFMN共面，进而得到，根据比例可求出截面各边的长度，进而得到周长． 解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F 过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N. 由作图可知：EN∥FM，∴四点EFMN共面。可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM.∴ 可得EF=MN=2.同理可得：EN=FM=2.∴截面的周长为8.故答案为：8. 【典型例题2】在正四面体中，，若以三角形为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作中点，作底面，则左视图的面积，由几何关系即可可求解 作中点，作底面，则左视图中底面将重合为线段，高为线段，左视图的面积即为，又四面体为正四面体，故， ，则， 故选：C 【变式训练2-1】如图，已知三棱锥，点P是的中点，且，过点P作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为_________. 【变式训练2-2】已知正四面体的内切球的表面积为36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为 A．27 B．27 C．54 D．54 【变式训练2-3】已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 题型03：台体中截面周长与面积 【典型例题1】正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为___________． 【答案】## 【解析】根据棱台的几何特点，结合已知数据，作出辅助线，解三角形即可. 取的中点分别为，连接，取上靠近的三等分点分别为， 连接，过作，垂足为，作图如下： 根据题意可得：，即为所求斜高； 易知四边形为平行四边形，故可得， 在△中，，在△中，， 在△中，，故. 故答案为：. 【典型例题2】在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即可． 设，上底面和下底面的中心分别为，，过作, 该四棱台的高， 在上下底面由勾股定理可知，． 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，． 取,的中点，,连接,，显然有， 由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面． 显然， 在直角梯形中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设，， 则， ， 所以梯形的面积为， 故选：C． 【变式训练3-1】一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______. 【变式训练3-2】如图，四棱台的底面为菱形，P、Q分别为的中点．若∥平面BPQD，则此棱台上下底面边长的比值为___________． 【变式训练3-3】如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么 A．2＝＋ B．S0＝ C．2S0＝S＋S′ D．S0＝2S′S 题型04：圆柱、圆锥截面 【典型例题】已知圆锥体积为，高为4，过顶点作截面，若平面与底面所成的锐二面角的余弦值为，圆锥被平面截得的两个几何体设为.若的体积为（其中），则___________. 【答案】 【解析】作出图形，由已知求得，求出以为底面的三棱锥的体积，即可求解 设平面与底面的交线为，底面圆心为点，设底面圆半径为. 由，即 于点，则余弦值为，则，， 又，则. 故答案为： 【变式训练4-1】已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________ 【变式训练4-3】“圆锥的两条母线所作的一切截面中，以轴截面的面积最大”是否成立？ 题型05：球截面 【典型例题1】某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出图形，可知四棱锥为正四棱锥，由勾股定理可得出，分析得出，可设，，其中，可得出，令，，利用导数求出取最大值时对应的的值，求出的值，可得出的长，进而可求得结果. 如下图所示，可知四棱锥为正四棱锥，设，则球心在直线上， 设，，则，由勾股定理可得，即， 当四棱锥的体积最大时，则点在线段上，则， 可设，，其中， ， 令，，则. 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，此时，，则， 因此，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是.故选：C. 【典型例题2】正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，将四面体放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径，当球心到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，当截面过球心O时，截面面积达最大值，再利用球的截面圆性质计算即可. 如图，将正四面体补为边长是的正方体，则正四面体ABCD的外接球为正方体 的外接球，球心O在体对角线的中点，且球的半径； 当OE垂直于截面时，截面面积最小，截面圆的半径为 面积为； 当截面过球心O时，截面面积最大，截面圆的半径为，面积为 故选:A 【典型例题3】三棱锥A-BCD的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面BCD的射影是线段BC的中点，，则平面BCD被球O截得的截面面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵球O的表面积为， ∴球O的半径为2， ∵点A在平面BCD的射影是线段的中点， ∴，平面平面， ∵， ∴为边长为的等边三角形， 设的外接圆的半径为，，， ∴的外接圆的圆心就是球心， ∴为的外接圆的直径， ∴平面BCD被球O截得的截面面积为. 故选：B. 【典型例题4】【多选】已知正四面体的棱长为．点E，F满足，用过A，E，F三点的平面截正四面体的外接球O，当时，截面的面积可能为（       ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】如图1, 在棱BC上取点R，在棱BD上取点S，使得，取CD的中点G，连接AR，AS，RS，BG，AG，记RS∩BG=M，连接AM. 过点A作AH平面BCD，垂足为H，则H为△BCD的中心，正四面体ABCD外接球的球心在AH上，AO为球的半径. 由题中数据可得. 设球的半径为R，则，解得. 当时，截面AEF从平面ARS转动到平面ACD，要求截面的面积只需考虑球心到截面的距离的取值范围即可. 由题意可知CD//RS且CD平面ABG，如图2， 过点作，垂足为N，则ON平面ARS. 因为，所以，即球心到截面的距离， 则截面圆的半径，故所求截面的面积. 故选：CD 【典型例题5】已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E在线段上，且.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径， 由勾股定理得棱锥的高， 设球O的半径为R，则，解得，所以， 在中，由余弦定理得，所以，所以在中，， 当截面垂直于时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为. 故选：C. 【变式训练5-1】已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB=，点E在线段BD上，且BD=3BE．过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（    ）． A．1 B． C． D．或 【变式训练5-5】已知正四面体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则正四面体的外接球被平面所截的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是的中点，半径为2，平面截此球所得的截面面积是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练5-7】如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-8】已知正三棱柱的各棱长均为2，D为棱AB的中点，则过点D的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为___________. 【变式训练5-9】在正四棱锥中，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是__________. 【变式训练5-10】正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________. 【变式训练5-11】已知菱形ABCD，AB=BD=4，现将△ABD沿对角线BD向上翻折，得到三棱锥A-BCD.若点E是AC的中点，△BDE的面积为，三棱锥A-BCD的外接球被平面BDE截得的截面面积为，则的最小值为___________． 【变式训练5-12】正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________. 题型06： 截面分体积 【典型例题1】如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方体棱长为1，， 如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体， 由面面平行的性质可知：， 延长，相交于点，则平面，且平面， 又平面平面， 所以在直线上，即三线共点， 所以几何体为三棱台， 其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1， 所以，解得：， 所以. 故选：C 【典型例题2】如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，， 则台体的体积， 解之得， 所以,, 所以截面的周长为. 故选：D 【典型例题3】如图，在正方体中，M、N分别是棱、的中点，P是棱上靠近的四等分点，过M、N、P三点的平面交棱于Q，记，则________．若平面将正方体截成两部分体积分别为、，则_________． 【答案】；1 【解析】①过点P作，在平面内，延长和交于点G，设正方体棱长为4，则； 在平面内，延长和交于点J，则HD=DJ： 在底面内，连接交边于点Q： ， 在中，，， 根据余弦定理得， ， ∴，°， 是等腰直角三角形，∴， ∴； ②如图，在平面作NK∥PM交CD于K，则易知K为CD靠近C的四等分点； 由①知平面α于BC交点为Q，连接KQ，在平面作PL∥KQ，则易知L是靠近的四等分点，连接LN，则六边形即为平面α截正方体的面得到的多边形，根据对称性可知，故． 故答案为：；1． 【变式训练6-1】如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（ ） A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2 【变式训练6-2】三棱锥中，E、F、G、H分别是棱DA、DB、BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分成两个几何体：、，其体积分别为、，则（ ） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 【变式训练6-3】已知正四棱柱中、的交点为，AC、BD的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______________. 【变式训练6-4】正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________. 题型07：不规则截面（曲线形截面） 【典型例题1】古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，是该曲线上的两点且，若经过点，则__________. 【答案】抛物线 【解析】根据圆锥曲线的定义直接判断即可，再根据抛物线通径的性质直接得出答案即可. 由已知底面半径和高均为，得，又为中点，，且， 所以平面，根据圆锥曲线的定义可知截面与圆锥母线平行时，曲线为抛物线， 又为中点，故，，又底面，故， 由，，故平面，， 又，故为抛物线的通径，. 【变式训练7-1】如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________. 【变式训练7-3】如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆． 如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为__________． 三．截面最值 解题方略： 截面有关的最值计算，多从这三方面 1. 极限法，可通过动点运动到两端，计算截面最值（要注意判断是否单调性） 2. 坐标法，可通过建系设坐标，构造对应的函数求最值。 3. 化归法，可以通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中最值计算 题型01:球截面最值 【典型例题1】若球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设是球心，是等边三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得过且垂直的截面圆最小即可. 如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心， 可得， ， 设球的半径为，在三角形中，由， 即，解得， 在三角形中，，， 由余弦定理得， 在三角形中，因为，故， 设过且垂直的截面圆的半径为，，故最小的截面面积为. 故选：B 【典型例题2】已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为O的球面上，点E在AB上，，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设出三棱锥外接球的半径及球心，构造直角三角形即可求得面积最小值. 如图，因为三棱锥的棱长均为6，所以点P在平面ABC内的射影H是的中心， 取BC的中点D，连接AD，则点H在AD上，且， 所以，，，则． 设三棱锥P-ABC的外接球半径为R，则OP＝OA＝R， 在中，，解得． 因为，所以AE＝2，取AB的中点F，则EF＝1，且， 所以． 当过点E的球O的截面与OE垂直时，截面面积最小， 设截面圆的半径为r，则， 所以截面面积为． 故选：A． 【典型例题3】一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先求出正四面体的高以及外接球的半径，再由勾股定理计算球心到截面的距离以及到面的距离，再由勾股定理即可求截面圆的半径，即可求截面圆的面积. 如图：取的中心为，连接、， 因为四面体是正四面体，所以面，且球心在上， 连接，因为，， 所以， 设，在中，， 由即解得：， 又因为为球心到截面的距离，所以， 所以截面圆的半径， 所以截面圆的面积为，故选：A. 【变式训练1-1】如图，在三棱锥中，平面平面CBD，，点M在AC上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，分别为的中点，则平面截球所得圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】如图，DE是边长为6的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE，当三棱锥A1－CED的体积最大时，四棱锥A1－BCDE外接球O的表面积为_____；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________. 【变式训练1-4】在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______. 题型02：柱体最值 【典型例题1】已知正方体的体积为，点在线段上(点异于两点)，点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正方体体积可求得其棱长为；在正方体中作出截面，可知为线段中点为截面为四边形和五边形的临界状态，从而得到结果. 由正方体的体积可知，其棱长为，如图所示 当点为线段的中点时，截面为四边形 当时，截面为四边形；当时，截面为五边形 故选： 【典型例题2】已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式求解即可. 如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形， 其中，高为， 故面积为.故选:D． 【变式训练2-1】已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为． ①当时，为四边形； ②当时，与的交点满足； ③当时，为六边形； ④当时，的面积为． 则下列选项正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 题型03：锥体最值 【典型例题1】如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面，则平面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，则即为截面周长的最小值，利用余弦定理代入求解即可. 如图所示：沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内， 则即为截面周长的最小值， 且， 在中，由余弦定理得： ， . 故选：B. 【变式训练3-1】正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练3-3】如图，在四面体中，，，，、分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】在长方体中，，过点作平面与分别交于两点，若与平面所成的角为，则截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型04：综合型最值 【典型例题1】在三棱锥中， ，PC=2，AB=1，BC=3，，过BC中点D作四面体外接球的截面，则过点D的最大截面与最小截面的面积和为______． 【答案】 【解析】由，AB=1，BC=3得，, 由于 ,，则, 故 ,由此可将三棱锥中置于长宽高分别为的长方体中，如图示： 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，外接球半径为 , 过BC中点D作四面体外接球的截面，当截面过球心O时，截面圆面积最大， 最大值为 ； 当截面与OD垂直时，截面圆面积最小，而 , 故此时截面圆的半径为 ， 则截面面积最小值为， 故过点D的最大截面与最小截面的面积和为， 故答案为： 【典型例题2】用经过球O表面上两点A，B的平面去截球O，所得截面面积的最小值为，若为等边三角形，则球O的表面积为______． 【答案】 【解析】若过球O表面上两点A，B的平面去截球O，所得截面面积的最小， 则为截面圆的直径， 所以，解得， 因为为等边三角形，所以， 则球的表面积为， 故答案为： 【典型例题3】已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE，由已知得四边形是平行四边形，所以，随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，临界状态为点E为的中点，由此可得选项. 解：设，则，设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE， 若平面截长方体所得截面为平行四边形，即四边形是平行四边形，所以， 随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，则点G从的中点开始运动，此时点E与重合，直到点G运动到点D为止，此时点E为的中点，所以临界状态为点E为的中点，此时，所以， .故选：D 【典型例题4】在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立所示的空间直角坐标系，设点，分、、三种情况讨论，确定截面与各棱的交点，求出截面面积关于的表达式，由此可解得截面面积的最小值. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、， 设点，其中. ①当时，点与点重合，，，， 所以，，，则，， ，平面，此时平面即为平面， 截面面积为；②当时，同①可知截面面积为； ③当时，，，，，则， 设平面交棱于点，， ，可得，不合乎题意.设平面交棱于点，， ，可得，合乎题意，即，同理可知，平面交棱于点， ，且与不重合，故四边形为平行四边形， ，，， 则， 所以，截面面积为. 综上所述，截面面积的最小值为.故选：C. 【典型例题5】在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由等面积法可知，推导出平面，，从而，即可求解. 在中，由，，可得，， 设，在中，，由等面积法可知， 因为，，，，平面，所以平面， 又由平面，所以，所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，所以.故选：B. 【变式训练4-1】如图所示，在长方中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，则四棱锥的体积为___________，截面四边形的周长的最小值为___________. 【变式训练4-2】如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________. 【变式训练4-3】已知正四棱柱中、的交点为，AC、BD的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______________. 【变式训练4-4】用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角.已知过圆锥的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥的轴截面，则圆锥的顶角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知正四面体的棱长为4，点在棱上，且，过作四面体外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】正三棱锥，为中点， ，，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为（  ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是____________.（写出所有正确命题的编号） ①当时，为矩形，其面积最大为4；②当时，的面积为； ③当，时，设与棱的交点为，则； ④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值. 【变式训练4-8】在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．可能值为 D．当取值最大时， 四.恒平行型求截面 【典型例题1】如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点O1为A1C1，B1D1的交点，点O2为AC，BD的交点，连接O1O2，点O为O1O2的中点．过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【解析】当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大. 根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积． 由题意知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，设正四棱柱的底面边长为a，高为h 因为过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和， 可知当截面平行于平面时，截面面积最小； 当截面为平面时，截面面积最大.。所以，解得， 于是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为2a2+4ah＝2+12＝14。故选：D 【典型例题2】如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则下列结论正确的是（ ） A．直线DB1与平面AEF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥A1−AEF的体积等于 【答案】BD 【解析】对于A，B，利用空间向量判断，对于C，由题意可得截面为梯形，利用梯形面积公式求解即可，对于D，利用空间向量求出到平面的距离，然后利用体积公式求解即可 如图建立空间直角坐标系，则，， 所以，，所以，所以与不垂直，所以直线DB1与平面AEF不垂直，所以A错误， 对于B，设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，所以，所以，因为A1G在平面AEF外，所以直线A1G与平面AEF平行，所以B正确， 对于C，由题意可得截面为梯形，则，梯形的高为，所以截面的面积为，所以C错误， 对于D，因为平面的法向量为，，所以到平面的距离为，因为，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥A1−AEF的体积为，所以D正确， 故选：BD 【典型例题3】在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是__________． 【答案】 【解析】根据题意，在平面内，过点作分别交于，在平面内，过作交于，在平面内，过作交于，连接，进而根据题意，∽，设其相似比为，则，再证明四边形是矩形，再结合相似比和二次函数性质求解即可. 根据题意，在平面内，过点作分别交于， 在平面内，过作交于， 在平面内，过作交于，连接，作图如下， 因为，则，所以∽，设其相似比为，则，因为，所以在中，， 因为，所以，即，因为，则， 所以，，即，因为，所以，即， 同理∽，即，因为，平面，平面， 所以平面，因为，所以平面，平面，因为平面， 所以，因为所以因为，所以∽，所以，因为，所以， 因为，所以， 所以四边形是矩形，即， 所以，由二次函数的性质知，当时，有最大值.故答案为：. 【变式训练1】一棱长为4的正四面体木块如图所示，P是棱的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱和，则截面的面积为（ ） A．2 B． C． D．4 【变式训练2】某中学开展劳动实习，对棱长为3的正方体木块进行加工.如图，学生需要分别过顶点A和对角线BD对正方体木块进行平面切割，两个切割面与棱，，，分别交于点M，F，E，N，要求两次切割所得到的截面平行，且，则两个截面间的距离为_____________. 【变式训练3】在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练4】若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．4条 【变式训练5】如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点O1为A1C1，B1D1的交点，点O2为AC，BD的交点，连接O1O2，点O为O1O2的中点．过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 【变式训练6】如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（ ） A．不存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形 五.恒垂直型求截面 证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理； 三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化； 另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等． 【典型例题1】如图，正三棱柱的高为4，底面边长为，D是的中点，P是线段上的动点，过BC作截面于E，则三棱锥体积的最小值为（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】C 【解析】因为则当取最大值时，三棱锥体积有最小值，建立坐标系求得当点的高为3时，问题得解. 以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设点，依题意得，则 ， 因为过BC作截面于E，所以则，故 所以，当时又 因为所以三棱锥体积的最小值 故选：C 【典型例题2】在下面四个正方体中，点、、均为所在棱的中点，过、、作正方体截面，则下列图形中，平面不与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD选项，利用假设法推出矛盾，可判断A选项. 对于A选项，连接，假设平面， 在正方体中，平面，平面，，所以，为直角三角形，且为锐角， 因为、分别为、的中点，则，所以，与不垂直， 这与平面矛盾，故假设不成立，即与平面不垂直； 对于B选项，连接、，如下图所示： 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面， 平面，， 、分别为、的中点，则，可得， 同理可证， ，平面； 对于C选项，连接、、、、，取的中点，连接、， 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面， 平面，， 、分别为、的中点，，， 在正方形中，、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 同理可证四边形为平行四边形，且， 所以，且，所以，四边形为平行四边形， 易得，所以，四边形为菱形，所以，， ，平面； 对于D选项，连接、， 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面， 平面，， 、分别为、的中点，则，，同理可证， ，平面.故选：A. 【典型例题3】已知正方体的边长为，为边上靠近的三等分点，过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接、、、、，证明出平面，设过点且与直线垂直的平面分别交、于点、，可得出平面平面，推导出是边长为的等边三角形，利用等边三角形的面积公式即可得解. 连接、、、、，如下图所示： 四边形为正方形，， 平面，平面，， ，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 设过点且与直线垂直的平面分别交、于点、， 平面，平面，所以，平面平面， 平面平面，平面平面，， ，，同理可得， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，是边长为的等边三角形，所以，.故选：A. 【变式训练1】已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点．现有以下结论中正确的是（ ） A．与是异面直线； B．过、、三点的正方体的截面是等腰梯形； C．平面平面； D．平面． 【变式训练3】（多选）已知正方体，若平面，则关于平面截此正方体所得截面的判断正确的是（ ） A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六边形 D．截面形状可能为五边形 【变式训练4】已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5】已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，则截面图形的周长为______. 【变式训练6】已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为___． 六.动点型截面 【典型例题1】如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论，其中正确的是（    ）      A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为 D．对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面 【答案】C 【解析】对于A，由得平面，从而点到平面的距离为，再由，由此能求出三棱锥的体积；对于B，若存在点，使得平面，由平面，得，可得，与矛盾；当点与点重合时，利用线面垂直的判定定理可证得平面；对于C，推导出，由余弦定理、三角形面积公式，结合二次函数的最值求出结果；对于D，当与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交. 对于A，如图，在棱长为1的正方体中， 平面平面，平面， 点是棱上的一个动点，点到平面的距离为， 又， 三棱锥的体积，故A错误； 对于B，若存在点，使得平面，由平面，得， 则为正方形，，与矛盾，故B错误； 对于C，根据题意，过点的截面与棱分别交于，可得为平行四边形，如图， 正方体中，平面，平面，， 设，则，又， 则中，， ， 则该截面面积， ，当时，，故C正确； 对于D，当与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交，故D错误； 故选：C． 【典型例题2】如图，在棱长为1的正方体中，是截面上的一个动点（不包含边界），若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】找到的轨迹为，的最小值为到的距离，由垂直关系求出答案. 若，则在平面上的投影在上，所以的轨迹为，    的最小值为到的距离， 连接，过点作于点， 因为，且， 所以， 故的最小值为.故选：C 【变式训练1】如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点使得平面： ③的最小值为； ④对每一个点E，在棱上总存在一点P，使得平面； ⑤M是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为 其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2】如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，M是截面上的一个动点（不包含边界），，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，点在棱上，且，截面内的动点满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【变式训练4】如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 【变式训练5】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为． ①当时，为四边形； ②当时，与的交点满足； ③当时，为六边形； ④当时，的面积为． 则下列选项正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式训练6】如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（ ） ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形； A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练7】如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（ ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D．DP与平面所成角的正弦值最大为 七.截面与角度 【典型例题】如图所示，在正三棱柱中，，，过棱作一个与底面成（）角的截面，求截面的面积. 【答案】答案见详解． 【解析】由于截面与下底面所成的二面角在内变化，以截面为界，变动中的截面可以是等腰三角形（截面的顶点D在侧棱上）也可以是等腰梯形（截面等腰梯形的上底在上底面内且），故必须以此分类讨论． 解：在正三棱柱中，取的中点M，联结、， ，，∴就是平面与平面所成二面角的平面角， ∵，，∴，∴. ①当时，过棱的截面是等腰三角形，， 截面的面积为. ②当时，过棱的截面是等腰梯形，其中. 取的中点N，联结、，交于点O，联结. ∵是截面与底面所成的二面角的平面角， ∴，在正三棱柱中，，， ∴，. ∵，∴在中，，，， ∴截面的面积为． 【变式训练1】在正方体中，记直线与过，，三点的截面所成的角为，则（ ） A． B． C． D．1 【变式训练2】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2，过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为__． 【变式训练3】如图所示，在棱长为的正四面体中，点，分别为，的中点，现用一个与垂直，且与正四面体的四个面都相交的平面去截该正四面体，当所得截面多边形面积的最大值为4时，该四面体的外接球的体积为________． 考练场 1.．用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2.棱长为6的正方体中，点E是线段的中点，点F在线段上，，则正方体被平面所截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 3.已知正方体的棱长为1，点分别为的中点，则过点的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 4.在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C．4 D． 5.正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则( ) A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 6.在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，为中点，平面过点且与平面垂直，，则被此直四棱柱截得的截面面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 7.已知正三棱柱的底面边长，其外接球的表面积为，D是的中点，点P是线段上的动点，过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为2，、、分别是棱、和的中点，过点、、作正方体的截面，则以该截面为底面，为顶点的几何体体积为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（       ） A． B． C． D． 10．圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（       ） A．2 B． C． D．1 11．从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（       ） A． B． C． D． 12．如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（       ） A．AB中点 B．BC中点 C．CD中点 D．BB1中点 13.如图，棱锥的高，截面平行于底面，与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（    ） A．12 B．16 C．4 D．8 14.棱台上下底面面积分别为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截面截的两棱台高的比为 A．1：1 B．1：1 C．2：3 D．3：4 15.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为3，分别为侧棱的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍，则平面截球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 16.棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，、、分别为、、的中点，则平面截球所得圆的半径为（    ） A． B． C． D． 17.如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（    ）                ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形； A．1 B．2 C．3 D．4 18.如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为______. 19.棱长均相等的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，D为PB中点，过点D作球O的截面，所得截面圆面积的最大值与最小值之比为（    ） A． B． C． D．2 20．已知正方体的棱长为6，则过，，三点的平面与该正方体内切球截面的面积为（       ） A．3π B．6π C．9π D．12π 21．已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（       ） A． B． C． D． 22．如图所示，在边长为1的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过直线EF的平面分别与棱，交于M，N，则四边形EMFN的面积最小值为（       ） A． B．1 C．2 D．4 23．如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（点P与，不重合），则下列说法不正确的是（       ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．过，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D．过四点的球的半径为定值 24．已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（       ） A．6 B．10 C． D． 25．在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（       ） A． B． C．4 D． 26．正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（        ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 27．如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（       ） A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形 28．已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为（       ） A． B． C． D． 29．如图所示，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，点P是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（       ） A． B． C． D． 30．已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则下列结论中正确的是（       ） ①直线与直线垂直；                           ②直线与平面平行； ③点C与点G到平面的距离相等；            ④平面截正方体所得的截面面积为． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 31．已知正方体的表面积为96，点P为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得的截面周长为（       ） A． B． C． D． 32．正方体的棱长为2，点分别是棱中点，则过点三点的截面面积是（       ） A． B． C． D． 33．在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一个半径为的球，则该球的球面与侧面的交线长度为（     ） A． B． C． D． 34．侧棱长为2的正三棱锥V-ABC的侧棱间的夹角为40°，过顶点A作截面AEF，截面AEF的最小周长为（       ） A．a B．6a C．4a D．12a 35．已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（       ） A． B． C． D． 36．已知正方体，的棱长为2，点为线段（含端点）上的动点，平面，下列说法正确的是（     ） A．若点为中点，当最小时， B．当点与重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大 C．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 D．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为 37．在棱长为1的正方体A1B1C1D1－ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且，∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题： ①CN与QM共面； ②三棱锥A－DMN的体积跟的取值无关； ③当时，AM⊥QM； ④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为． 其中正确的是（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 38．已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（       ） A． B． C． D． 二．多选题 1.【多选】正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点.则（       ） A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 2.【多选】已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说法正确的是（       ） A．平面截正方体的截面始终为四边形 B．点M运动过程中，三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体的截面面积的最大值为 D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为 3.【多选】在正方体ABCD—中，，点P在线段上运动，点Q在线段上运动，则下列说法中正确的有(       ) A．当P为中点时，三棱锥P-的外接球半径为 B．线段PQ长度的最小值为2 C．三棱锥-APC的体积为定值 D．平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形 4.【多选】如下图，正方体中，M为上的动点，平面，则下面说法正确的是（       ） A．直线AB与平面所成角的正弦值范围为 B．点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点M为的中点时，平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知N为中点，当的和最小时，M为的三等分点 5．已知正方体,过对角线作平面交棱于点,交棱于点,下列正确的是（       ） A．平面分正方体所得两部分的体积相等 B．四边形一定是平行四边形 C．平面与平面不可能垂直 D．四边形的面积有最大值 6．用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（       ） A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 7．在棱长为1的正方体中，为底面的中心，，为线段的中点，则（       ） A．与共面 B．三棱锥的体积跟的取值无关 C．时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为 D． 8．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（       ） A．三棱锥的体积为2 B．平面 C．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为 D．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是 9．在棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱BC和中点，下列结论正确的是（       ） A． B．直线MN与平面平行 C．点N到面的距离为 D．平面AMN截正方体所得截面的面积为 10．在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（       ） A． B．三棱锥的体积为4 C．三棱锥外接球的表面积为 D．过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为 3． 填空题 1.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 2.在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，则过点B，P，Q的截面形状是______. 3.正方体的棱长为，设为中点，为线段上的动点，，过点，，的平面截该正方体所得截面记为以下结论正确的有___________填上所有正确的说法的序号 ①不可能是菱形； ②可能是五边形； ③时，的面积为； ④时，将棱截成长度比为的两部分. 4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、BC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为______． 5．如图，在棱长为的正方体中，点､､分别是棱､､的中点，则由点､､确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于___________. 6．在正方体中，，为线段上的动点，且与不重合，为线段的中点.给出下列三个结论： ①； ②三棱锥的体积不变； ③平面截正方体所得的截面图形一定是矩形. 其中，所有正确结论的序号为___________. 7．如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为． 其中所有正确结论的序号是____________． 8．如图，在边长为2的正方体中，点在正方体的表面上移动，且满足，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是______. 9．在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点，P是侧面四边形内(不含边界)一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是________. 四、解答题 1．如图，在棱长为2的正方体中，设是的中点. (1)过点，且与平面平行的平面与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图中画出这个三角形（说明画法，不用说明理由）； (2)求四棱锥的体积. 2．已知正方体中的棱长为2，是中点． （1）求证：平面平面； （2）设的中点为，过､､作一截面，交于点，求截面的面积． 3．如图，在长方体中，，，分别为与中点.                      （1）经过，作平面，平面与长方体六个表面所截的截面可能是边形，请根据的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹； （2）若为直线上的一点，且，求过截面图形的周长. 4．已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面，并求出这截面的周长. 5．如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． （Ⅰ）求证：，，，四点共面； （Ⅱ）求证：平面∥平面； （Ⅲ）画出平面与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）． 6．如图，已知直三棱柱中，，，，，，分别为棱，的中点， 为线段的中点 （1）试在图中画出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长； （2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积. 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $