第15讲 角（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

第15讲 角（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.角的定义 2.角的表示方法 3.角的单位及换算 4.方位角 5.角的大小比较 6.角的和、差 7.角平分线 8.补角和余角 9.余角、补角的性质 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、钟面角 五、方向角的表示 六、与方向角有关的计算题 七、角的单位与角度制 八、角的度数大小比较 九、角的比较 十、三角板中角度计算问题 十一、几何图形中角度计算问题 十二、角度的四则运算 十三、实际问题中角度计算问题 十四、角平分线的有关计算 十五、角n等分线的有关计算 十六、求一个角的余角 十七、求一个角的补角 十八、与余角、补角有关的计算 十九、同(等)角的余(补)角相等的应用 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.角的定义 1. 角的定义 定义 示例 组成元素 “静”态的观点 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与所画边的长短无关 “动”态的观点 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 起始位置的边叫作角的始边，终止位置的边叫作角的终边 2. 平角与周角 射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫作平角，如图6 .3－1；继续旋转，当OB 和OA 重合时，所形成的角叫作周角，如图6.3－2 .可逆时针，也可顺时针. 知识点2.角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 图例 记法 说明 用三个大写字母表示左图的角记作∠ AOC 字母 O 表示顶点，要写在中间，A，C 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角(小于平角的角) 用一个大写字母表示左图的角记作∠O 当一个角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示这个角 用数字1，2，3，…表示，或用小写希腊字母α，β，…表示 ∠ AOB 可记作∠ 1，∠ BOC 可记作∠ 2， ∠ DOC 可记作∠α 要在靠近角的顶点处加上弧线，该表示法形象直观，只方便表示单独的角，不方便表示含有角的角 如∠AOC，∠BOD，∠AOD. 注意：1 . 角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混淆. 2 . 当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任何一个角都不能只用一个顶点字母表示. 3.用数字或希腊字母表示单独角(顶点处必须画弧线，弧线不能跨越其他角的一边，并标上数字或希腊字母).如 ，这里不能用∠1表示∠AOB. 知识点3.角的单位及换算 1. 角的度量单位 度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角360 等分，每一份就是1 度的角，记作1°；把1 度的角60 等分，每一份叫作1 分的角，记作1 ′；把1 分的角60 等分，每一份叫作1 秒的角，记作1″. 2. 角的度量方法 使用量角器时，注意量角器的刻度的读数的旋转方向，即选择内刻度的读数还是外刻度的读数. 3. 角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.拓宽视野 其他度量角的单位制还有：弧度制、密位制等. 4. 角的换算 1 周角=360°，1 平角=180°， 1°=60′，1′=60″，1′=()°，1 ″ = ()′. 1°=60 ′ =3600 ″ ，1″= ()′= ()°. 5. 度和度、分、秒的相互转化方法 ①度化为度、分、秒的方法: 必须先把不足1 度的化为分，再把不足1 分的化为秒，也就是把角的度量单位由大化小的过程，每步要乘60′或6 0 ″ . ②度、分、秒化为度的方法: 必须先把秒化为分，然后加上原有的分，再化为度，也就是把角的度量单位由小化大的过程，每步要乘()′或()°. 知识点4.方位角 1. 定义 方向角就是用角度和方向表示方位的角. 在平面图上，方向规定为“上北，下南，左西，右东”. 2.方向角的形成 一般地，方向角是以第一个方向（正南或正北）为角的始边向第二个方向（正东或正西）转动所形成的角. 3.方向角的表示 方向角一般是指以正南或正北的方向为基准，再加上偏东或偏西的角度. 知识点5.角的大小比较 1. 度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 2. 叠合法 把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边重合在一起，另一条边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5-1. 使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1) 重合，即顶点重合，一条边重合； (2) 同侧，即另一条边放在重合边的同一侧 . 知识点6.角的和、差 角的和与差 文字描述 数学语言 图示 角的和 ∠ AOC 是 ∠ AOB与∠ BOC 的和 ∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC 角的差 ∠ AOB 是 ∠ AOC 与∠ COB 的差 ∠ AOB= ∠ AOC－∠ COB 知识点7.角平分线 1. 角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 数学语言： 如图 4.5-5，若 OC 平分∠ AOB，则 ∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB；反之，若∠ AOC= ∠ BOC=∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB，则 OC 平分∠ AOB. 2. 角的 n 等分线(拓展) 类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，这样的射线叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知识点8.补角和余角 1. 补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角， 简称互补 . 数学语言： 如果∠ 3+ ∠ 4=180° ，就说∠ 3是∠ 4的补角，或∠ 4 是∠ 3 的补角， ∠ 3 与∠ 4 互为补角， 如图 4.5-8. 2. 余角  如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这 两个角互为余角，简称互余 . 数学语言： 如果∠ 1+∠ 2=90° ，就说∠ 1是∠ 2的余角，或∠ 2 是∠ 1 的余角， ∠ 1 与∠ 2 互为余角， 如图 4.5-9. 3. 互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 . 知识点9.余角、补角的性质 1. 余角的性质  (1)同角的余角相等 .同一个角. 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 1+ ∠ 3=90° ，那么∠ 2= ∠ 3.度数相等的角. (2) 等角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 3+ ∠ 4=90° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 1+ ∠ 3=180° ，那么 ∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 3+ ∠ 4=180° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【答案】D 【知识点】角的概念理解 【分析】本题主要考查角，熟练掌握角的相关定义是解题的关键． 根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，如果两条射线的端点不同，这样的两条射线组成的图形不一定是角，故A错误； 对于B，角的两条边是射线，只能反向延长，故错误； 对于C，角应该有一个顶点，由两条射线组成，不正确； 对于D，反向延长射线，成为平角的顶点，得到一个以为顶点的平角，故正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 【答案】 3 6 10 【知识点】角的概念理解 【分析】本题考查了对角的概念的应用，图形类探索与规律，关键是能根据已知图形得出规律． 根据图形数出角的个数即可得出前三个空的答案． 【详解】在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 故答案为3，6，10． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）推理能力如图是锐角，以O为端点向内部作1条射线时，图中有多少个角？作2条、3条射线时各有多少个角？作n条射线时有多少个角？ 【答案】作1条射线时，图中有（个）角；作2条射线时，图中有（个）角；作3条射线时，图中有（个）角；作条射线时，图中有（个）角 【知识点】角的概念理解 【分析】此题考查了角的概念及角的数量统计，根据具体数值得出角的数量变化和射线条数的关系是解题的关键． 根据图①，图②，图③中角的个数找出规律，然后根据这一规律即可得出在内部作条射线时，角的个数． 【详解】解：向内部作1条射线时，图中有（个）角； 向内部作2条射线时，图中有（个）角； 向内部作3条射线时，图中有（个）角；； 向内部作条射线时，图中有（个）角． 题型二、角的表示方法 4．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 【答案】 7 ，，， 【知识点】角的表示方法、角的分类 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 【详解】题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，写出符合下列条件的角（题中所有的角均指小于平角的角）． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角； (3)图中所有的角（可用简便方法表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． （1）根据角的表示方法进行求解即可； （2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）根据角的表示方法进行求解即可． 【详解】（1）解：能用一个大写字母表示的角为． （2）解：由题意得，以点为顶点的角有； （3）解：由题意得，图中所有小于平角的角有． 题型三、角的分类 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【答案】D 【知识点】角的分类 【分析】本题是对钝角与锐角的取值的考查． 【详解】解：一个钝角与一个锐角的差可能是直角，也可能是锐角，也可能是钝角， 故选：D． 【点睛】本题主要考察角的计算，角的概念，解答的关键是对角的概念的掌握． 8．（2022七年级上·全国·专题练习）角可以分为 、 、 三类． 【答案】 钝角 直角 锐角 【知识点】角的分类 【分析】根据角的分类解答即可． 【详解】解：由题意可知：角可以分成钝角，直角和锐角． 故答案为：钝角，直角，锐角 【点睛】本题考查角的分类，解题的关键是理解角的分类． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【答案】(1)10个 (2)见解析 【知识点】角的概念理解、角的分类 【分析】本题考查角度的概念及分类； （1）列举出来图形中所有的角度即可； （2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可． 【详解】（1）解：图中角有：、、、、、、、、、，共有10个角； （2）解：直角是， 锐角是， 钝角是． 题型四、钟面角 10．（25-26七年级上·河北唐山·期中）早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，正确求出钟面上每一个大格对应的角度度数为是解题关键．先求出钟面上每一个大格对应的角度度数为，再乘以4即可得． 【详解】解：早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是 ． 故选：B． 11．（25-26七年级上·河北唐山·期中）小明早上从家出发赶往学校，在时正好到校，计算小明上学过程中钟表上的时针转过的角度是 ． 【答案】 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角问题，根据时针一小时转，小明上学过程共15分钟，即小时，据此求解即可． 【详解】解：时针转一圈需要12小时，则一小时转， 小明上学过程从到共15分钟，即小时， 因此时针转过的角度为， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨8时整，时针和分针所成的最小的角是多少度？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从8：00到8：40，分针转动了多少度？ 【答案】(1)120° (2)30° (3)240° 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，找出8时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可； （2）由时钟可知时针个小时转一圈，一圈是，所以速度为； （3）若时针从8：00到8：40，共经过分钟，时针一小时即分钟转，一分钟转动，分针一小时转，一分钟转，据此作答． 【详解】（1）解：8时整，时针和分针中间相差4个大格． 因为钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， 所以早晨8时整，时针与分针所成的最小的角为． （2）解：由时钟可知，时针12个小时转一圈． ． 故时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30°． （3）解：． 故分针转动了240°． 题型五、方向角的表示 13．（22-23七年级上·吉林白城·期末）如图，地在地的（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．北偏西 【答案】D 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方位角． 根据题干图作答即可． 【详解】解：由图可知，地在地的北偏西， 故选：D． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）某路公交车的始发站是绿苑小区，终点站是学校，其各站地图如图所示． （1）超市在学校的 方向上． （2）商场在超市的 方向上． （3）工厂在绿苑小区的 方向上． 【答案】 北偏西60° 正西 北偏东 【知识点】方向角的表示 【分析】此题主要考查了方向角，正确掌握方向角的表示方法是解题关键． 根据图形及方向角的定义解答即可． 【详解】解：（1）超市在学校的北偏西方向上． （2）商场在超市的正西方向上． （3）工厂在绿苑小区的北偏东方向上． 故答案为：北偏西，正西，北偏东． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）按照上北下南、左西右东的规定，画出表示东、南、西、北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线： （1）北偏西；         （2）南偏东； （3）北偏东；         （4）西南（南偏西）． 【答案】见解析 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义，分别画出图形即可． 【详解】解：根据题意可得方向角： （1）射线即为所求作； （2）射线即为所求作； （3）射线即为所求作； （4）射线即为所求作． 题型六、与方向角有关的计算题 16．（2025七年级上·全国·专题练习）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角以及角的和差，正确理解方向角的概念以及利用角的和差确定出 的构成是解题的关键．利用方向角的定义求解即可． 【详解】解：根据题意如图所示： ， 故选：C． 17．（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方向角有关的计算，根据方向角的定义，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故答案为：． 18．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，测得，此时灯塔在处的北偏西多少度的方向上？ 【答案】此时灯塔在处的北偏西方向上． 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方向角的计算，掌握方向角的相关知识是解题的关键．先求出的度数，再求解即可得到答案. 【详解】解：根据题意，得 ， ， 此时灯塔在处的北偏西方向上． 题型七、角的单位与角度制 19．（2025七年级上·全国·专题练习）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了角的单位与角度制，度分秒的换算，正确计算是解题的关键．将小数度转换为度分秒表示，需将小数部分依次乘以60转换为分和秒． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 20．（25-26七年级上·广东佛山·期中） 分 【答案】 138 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题主要考查角度的相互转换，掌握角度的进率是关键． 根据度分秒的换算关系，，因此将度转换为分需要乘以． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：138． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）角的换算． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 ； ； ； ； ； ． 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒的进率及换算方法． （1）用乘以即可得到结果； （2）根据进行转换； （3）把转化为，再把转化为秒； （4）把秒转化为分，再把分转化为度即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：，， ， 故答案为：，，； （4）解：， ， ， ， 故答案为：． 题型八、角的度数大小比较 22．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中为带角的三角板， ，， ． 故选：A． 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 【答案】> 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题主要考查角度制换算和角的大小比较，通过将角度统一单位为度后比较大小。 【详解】∵ = = ， 又∵ ， ∴ ． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是，我应该和一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【答案】，见解析． 【知识点】角的度数大小比较、角的单位与角度制 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解决本题的关键是先统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、秒的换算、，将、、的单位统一，再进行大小的比较． 【详解】解：， 又，， ， 最大． 题型九、角的比较 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握通过观察角的开口大小直观比较角的大小是解题的关键； 通过观察图形中角的开口大小，直观比较各个角的大小，从而判断选项的正确性． 【详解】解： A、与开口大小相近，无法得出； B、开口小于，所以； C、开口小于，所以，该选项正确； D、与开口大小不同，不相等． 故选：C． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的网格是正方形网格， （填“”“”或“”）． 【答案】＜ 【知识点】角的比较 【分析】本题利用正方形网格的特点，通过观察角的两边张开程度或结合网格构造特殊角，来比较两个角的大小. 【详解】解：在正方形网格中，观察,其两边所在线段可形成等腰直角三角形的角，故； 再观察,其两边的张开程度小于等腰直角三角形的角的张开程度，因此, 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了角的大小比较，解题关键是利用正方形网格的特点，结合特殊角的形状，判断角的张开程度，进而比较角的大小. 27．（22-23七年级上·全国·单元测试）在某工厂生产流水线上生产如图所示的零工件，其中称为工件的中心角，生产要求的标准角度为，一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量的度数．请你运用所学的知识分析一下，该名质检员采用的是哪种比较方法？你还能给该质检员设计更好的质检方法吗？请说说你的方法．    【答案】测量法，另外有叠合法，理由见解析 【知识点】角的比较 【分析】根据角的比较方法：测量法和叠合法，测量法测量具体，而叠合法更直观，在质检中，采用叠合的方法比较快捷． 【详解】解：该质检员采用的方法是测量法， 还可以使用叠合法，即在工件中找出一个角度为31°和一个角度为29°的两个工件， 然后可把几个零工件夹在这两个工件中间，使顶点和一边重合，观察另一边的情况， 当零工件的另一边落在角度为31°和角度为29°的两个工件的另一边的中间，则零工件符合要求，否则，不符合要求． 【点睛】本题主要考查了角的比较大小，关键是掌握角比较大小的方法． 题型十、三角板中角度计算问题 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了余角和补角，度、分、秒的换算．熟练掌握，，是解题的关键． 根据，代入数据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 29．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键. （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）证明：， ∴， ∴． 题型十一、几何图形中角度计算问题 31．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线OC在外时， ； 综上，的度数为或， 故选C． 32．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图所示，，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角的和差计算，根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 33．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义； （1）根据题意，，，即可得出，再根据计算即可得出答案； （2）根据角平分线求出，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 题型十二、角度的四则运算 34．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角的和与差、角度的计算．根据、、，可得：． 【详解】解：如下图所示，， ， ， ， ． 故选：D ． 35．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查度分秒的加法运算，需注意单位之间的换算关系，当分满60时需进位到度． 【详解】解：． 故答案为． 36．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】角度的四则运算 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十三、实际问题中角度计算问题 37．钟表在8：30时，时针与分针的夹角度数是（    ） A．45 B．30 C．60 D．75 【答案】D 【知识点】实际问题中角度计算问题、钟面角 【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可． 【详解】解：由题意得： 2×30°＋×30°＝75°， 故选：D． 【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键． 38．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 39．如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是，这个蛋糕应等分成多少份？ 【答案】把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份． 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】利用360度除以平分的份数就是每份的度数，除以每份的度数就可以得到份数． 【详解】解：360°÷8=45°； 360°÷15°=24． 答：把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解圆周角是360度是关键． 题型十四、角平分线的有关计算 40．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角的计算，熟知折叠前后的对应角相等是解题的关键． 根据折叠前后的对应角相等进行计算即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知， ， ， ， ． 故选：D． 41．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）若，平分，则= °． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角平分线的定义，掌握其知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：平分，， ， 故答案为：． 42．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，，是内部的一条射线，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)小明通过作图观察发现，无论锐角的大小如何，的度数始终为的一半．他的结论是否正确？请判断，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)正确，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的计算，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． （1）根据角平分线的定义，和分别平分和，则可求得、的值，进而可得； （2）设，根据角平分线的定义可得，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的平分线， ∴． ∴； （2）解：小明的结论正确，理由如下： 设（为锐角），则：， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， 即无论的大小如何，始终为的一半． 题型十五、角n等分线的有关计算 43．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（    ） A．595 B．406 C．35 D．666 【答案】B 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】设锐角，第1种中间由9条射线，每个小角为，第2种中间由11条射线，每个小角为，第3种中间由14条射线，每个小角为，利用内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同，则，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可． 【详解】设锐角 第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为， 第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为， 第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为， 设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条， 第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同 则， 先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的， 再看每两种分法重合情况 第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条， 第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条， 第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条， 在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线， 29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角． 故选择：B． 【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键． 44．（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 45．（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 题型十六、求一个角的余角 46．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知和互余，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查“余角的定义”，正确计算角度是解题关键． 根据互余角的定义，之和为，代入计算即可． 【详解】∵ 互余， ∴ ． ∴ ． 故选：A． 47．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线上一点，且，，则 ，的余角是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角，角的和差，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为．根据可知和互为余角，已知，根据互余两角之和为即可求解． 【详解】解：， 和互为余角， ， ， 即的余角是， 故答案为：，． 48．（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知和两个角，且，，按题目要求完成下列两题： (1)求出的余角的度数； (2)求出的倍与的的差． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个角的余角、角度的四则运算 【分析】（）根据余角的定义计算即可； （）根据题意列出算式，再计算即可； 本题考查了余角，角的运算，掌握余角的定义及角度的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴的余角 ； （2）解：∵，， ∴ ． 题型十七、求一个角的补角 49．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查了补角的定义，如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角． 根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角即可求解． 【详解】解：的补角． 故选：B． 50．（25-26七年级上·全国·月考）若，则的补角的度数为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查了补角的定义，互补是反映了两个角之间的关系，即和是，掌握补角的定义是解题的关键． 根据补角的定义，的补角等于减去的度数． 【详解】解：的补角， 故答案为：． 51．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，已知点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处，在内部作射线平分． (1)若，则的度数为_________； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个角的补角、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，平角的定义，角的和差等； （1）由平角的定义得，由角平分线的定义，即可求解； （2）由角平分线的定义得，由角的和差得，即可求解； （3）设，角平分线的定义得，可得，即可求解； 能熟练利用角平分线的定义及角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 射线平分， ； 故答案为：； （2）解：， ， 射线平分， ， ， ， 的度数为； （3）解：设， ， ， ， ， 射线平分， ， ， 解得：， ， ． 题型十八、与余角、补角有关的计算 52．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角． 由和互补，得，由的余角为，通过代数变换，判断各式子是否等于． 【详解】解：∵和互补， ∴． 的余角为， ①：，即，故错误； ②：，故正确； ③：，故错误； ④：，故正确． ∴②和④正确，共2个． 故选：B． 53．（25-26七年级上·全国·单元测试）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 【答案】/138度 【知识点】求一个角的补角、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角及补角，熟练掌握余角及补角的概念是解题关键． 根据余角的定义，两个角的和为，可求出锐角α的度数为；再根据补角的定义，两个角的和为180°，即可求出α的补角． 【详解】解：∵ 的余角是， ∴ ， ∴ 的补角为； 故答案为． 54．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，，，，同角的补角相等； (2)． 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）首先根据角平分线的性质可得，然后计算出，进而得到． 【详解】（1）解：与互补， ， ， ,根据同角的补角相等； （2）是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ． 题型十九、同(等)角的余(补)角相等的应用 55．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了余角的知识，用到的知识点为：等角的余角相等．根据等角的余角相等，即可判断∠1=∠3． 【详解】解：，， ， 故选：C． 56．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形ABC和三角形中，．若，则，理由是 ． 【答案】等角的余角相等 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了余角的性质：等角或同角的余角相等，掌握余角的性质是解题的关键． 【详解】解： ， （等角的余角相等） 故答案为：等角的余角相等． 57．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，O为直线AB上的一点，OC平分． (1)和相等吗？为什么？ (2)除（1）中的一对角和的角外，还有哪些相等的角？请说明理由． 【答案】(1)和相等．理由见解析 (2)和相等．理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】（1）利用同角的余角相等即可求解； （2），利用同角的余角相等即可求解. 【详解】（1）解：和相等．理由如下： 由题意可知，OC平分，， ， ． 又， ， ． （2）解：和相等．理由如下： 由题意，得， ． 【点睛】本题考查了余角的性质，掌握并灵活运用“同角的余角相等”是解题的关键． 强化训练 一、单选题 1．如图，李老师家在学校的南偏东55°方向，距离是500米，则学校在李老师家的（　　） A．北偏西35°方向，相距500米处 B．北偏东35°方向，相距500米处 C．北偏西55°方向，相距500米处 D．北偏东55°方向，相距500米处 【答案】C 【分析】根据位置的相对性可知，它们的方向相反，角度相等，距离相等，据此解答． 【详解】解：李老师家在学校的南偏东方向，距离是500米，则学校在李老师家的北偏西方向，相距500米处． 故选：C． 【点睛】本题考查的是方向角的概念，解题的关键是掌握方向角的定义，在叙述方向角时一定要注意以哪个图形为参照物． 2．下列说法：（1）两条射线组成的图形叫做角；（2）角的两边是两条直线；（3）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关；（4）线段上有无数个点；（5）两个锐角的和一定是钝角，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查线段、角的定义等知识，由两条有公共端点的射线组成的图形叫角，角的大小与角两边的长短无关，根据线段、角的定义等知识逐一进行判断即可求解．是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：（1）由两条有公共端点的射线组成的图形叫角，这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点，故（1）错误； （2）角的两边是两条射线，故（2）错误； （3）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关，故（3）正确； （4）线段上有无数个点，故（4）正确； （5）和是两个锐角，它们的和为：是锐角，故（5）错误， 则其中正确的有个， 故选B． 3．如图，点在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有（    ）． A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【答案】B 【分析】本题考查同角的余角相等，根据同角的余角相等，找到相等的角，即可． 【详解】解：由图可知：， ∴； 故选B． 4．如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．就是 B．可以用表示 C．和是同一个角 D．和是不同的两个角 【答案】B 【分析】本题考查角的定义和表示方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据角的定义和表示方法逐一判断即可． 【详解】解：A、在图中，不能明确表示哪一个角，必须由三个字母表示，本选项不符合题意． B、可以用表示，正确，本选项符合题意． C、和不是同一个角，本选项不符合题意． D、和是同一个角，本选项不符合题意， 故选：B． 5．将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角度间的换算，先把乘以得，再乘以得，最后加上整数部分即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以． 【详解】解：， ， ∴用度、分、秒表示为， 故选：． 6．若与互为余角，与互为补角，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．根据题意得到，，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 故选B． 7．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角板中角的度数及角平分线的概念逐个进行分析判断． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线， ∴，，故③错误； ∴∠MBN==45o，故①正确； ∠BNE=180°-=60°， ∠BMC=90°-=60°， ∴∠BNE=∠BMC，故②正确； ， ∴2∠NBD=∠CBM，故④正确； 正确的是①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键． 8．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以设∠EAD′=α，∠FAB′=β，根据折叠可得∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE，进而可求解． 【详解】解：设∠EAD′=α，∠FAB′=β， 根据折叠性质可知： ∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE， ∵∠B′AD′=8°， ∴∠DAF=8°+β， ∠BAE=8°+α， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠DAB=90°， ∴8°+β+β+8°+8°+α+α=90°， ∴α+β=33°， ∴∠EAF=∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′ =8°+α+β =8°+33° =41°． 则∠EAF的度数为41°． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何中角的计算，解决本题的关键在于能够根据题意找到角之间的关系． 9．如图，，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线定义和周角定义的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题由已知两角之比，设出和，再由两个直角，利用周角为列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的度数，进而求出度数，根据为角平分线，求出度数，根据求出度数即可． 【详解】由，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵为平分线， ∴， ∴． 故选：A． 10．如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．对每个选项逐一分析即可. 【详解】解：在中，，平分，故①说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故②④说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故③说法正确，符合题意； 在中，，平分，故⑤说法正确，符合题意； 故③⑤说法正确. 故选：． 二、填空题 11．若一个角是，则它的余角的度数是 【答案】 【分析】本题考查了余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键．根据和为的两个角互为余角列式计算即可． 【详解】解：∵一个角的度数是， ∴它的余角 ， 故答案为：． 12．如图，一副三角板按图示放置，已知∠AOC＝65°，则∠AOB＝ °． 【答案】155 【分析】根据图形中角之间的关系即可求得∠AOB的度数． 【详解】解：∵∠BOC＝90°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝65°+90°＝155° 故答案为：155． 【点睛】此题主要考查了角之间的关系，理解三角板为直角三角形是解题的关键． 13．如果，则的余角是 度；的补角是 度． 【答案】 60 150 【分析】根据余角和补角的定义列式计算即可． 【详解】解：根据余角的定义，的余角， 根据补角的定义，的补角度数， 故答案为：60，150． 【点睛】本题考查了余角与补角，解题的关键是记住互为余角的两个角的和为，互为补角的两个角的和为． 14．如图，若射线，把三等分，则 ， ．    【答案】 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，先理解射线，把三等分，则则，再根据角度的运算，即可得出． 【详解】解：∵射线，把三等分， ∴ ∴， 则 故， 故答案为：，． 15．如图，直线相交于点O，平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，设，则由角平分线的定义得，根据平角的定义可建立方程求出，进而由平角的定义求出的度数，再由角平分线的定义和角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ． 【答案】30或50或90 【分析】本题考查角分线的应用、旋转的应用．分为四种情况进行讨论：，，，，先求出和，再代入即可求出n． 【详解】解：由题图可知． ①当时，和在直线的右侧，如图： ， ， ； ②当时，如图所示，在直线的左侧，在直线的右侧， 此时， ∵本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角， 故， ， ， ， 解得； ③当时，如图所示， ， ， ∴， 解得； ④当时，如图： ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，解得（舍去）． 故答案为：30或50或90． 三、解答题 17．列竖式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的加减运算． （1）根据角度的加法法则计算即可．加法法则：度加度，分加分，秒加秒．满60秒向分进1，满60分向度进1． （2）根据角度的减法法则计算即可，减法法则：度减度，分减分，秒减秒．从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分． 【详解】（1）解：， ， 即； （2）解：， ， 即． 18．如图，已知，点B是射线上任意一点（不与点A重合）．根据下列语句画图或作答． (1)尺规作图：以点B为顶点，为一边，作，射线交射线于点C（不写作法，保留作图痕迹）； (2)用刻度尺测量线段与的长度，并直接写出它们具有怎样的数量关系． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图； （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D、E．以点B为圆心，同样长为半径画弧，交于点F．以点F为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点G，过点B、G作射线，射线交射线于点C．即可得出结果． （2）根据等角对等边即可得出结果． 【详解】（1）解：图如下： （2）解：∵， ∴． 19．在如图所示的方向坐标中画出表示下列方向的射线：    （）北偏东； （）北偏西； （）南偏东； （）西南方向（即南偏西）． 【答案】见解析． 【分析】根据方向角画出图形即可．用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 【详解】解：（）（）（）（）如图所示．    【点睛】此题主要考查了方向角，关键是掌握方向角的表示方法． 20．如图，点O是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，然后由等式的性质即可得出结论； （2）由于，设，则，，由等式的性质可得，，进而可得，由角平分线的定义可得，然后由角的和差关系可得，由此即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：， 设，则， ， ， ， ， 平分， ， ． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，等式的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． 21．如图，点在直线上，射线与在直线的下方，射线与在直线的上方，且，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义，正确梳理各角之间的关系是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据计算即可； （2）设，根据角平分线的定义和周角的定义表示出，最后根据平角的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． （2）设， ∵平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 22．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)；猜想，理由见解析 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明； （3）根据，，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即可说明． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴也是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或或；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可； ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ，此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：或或； ②当在的左侧时，如图所示： ， 又始终平分， ， 与始终互余， ， ， ， ， ，化简得． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平角的定义、互余、解一元一次方程及角的和差倍分关系等你知识，采用数形结合的思想和分类讨论的思想，准确表示出各个相关角度的和差倍分关系是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 角（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.角的定义 2.角的表示方法 3.角的单位及换算 4.方位角 5.角的大小比较 6.角的和、差 7.角平分线 8.补角和余角 9.余角、补角的性质 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、钟面角 五、方向角的表示 六、与方向角有关的计算题 七、角的单位与角度制 八、角的度数大小比较 九、角的比较 十、三角板中角度计算问题 十一、几何图形中角度计算问题 十二、角度的四则运算 十三、实际问题中角度计算问题 十四、角平分线的有关计算 十五、角n等分线的有关计算 十六、求一个角的余角 十七、求一个角的补角 十八、与余角、补角有关的计算 十九、同(等)角的余(补)角相等的应用 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.角的定义 1. 角的定义 定义 示例 组成元素 “静”态的观点 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与所画边的长短无关 “动”态的观点 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 起始位置的边叫作角的始边，终止位置的边叫作角的终边 2. 平角与周角 射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫作平角，如图6 .3－1；继续旋转，当OB 和OA 重合时，所形成的角叫作周角，如图6.3－2 .可逆时针，也可顺时针. 知识点2.角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 图例 记法 说明 用三个大写字母表示左图的角记作∠ AOC 字母 O 表示顶点，要写在中间，A，C 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角(小于平角的角) 用一个大写字母表示左图的角记作∠O 当一个角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示这个角 用数字1，2，3，…表示，或用小写希腊字母α，β，…表示 ∠ AOB 可记作∠ 1，∠ BOC 可记作∠ 2， ∠ DOC 可记作∠α 要在靠近角的顶点处加上弧线，该表示法形象直观，只方便表示单独的角，不方便表示含有角的角 如∠AOC，∠BOD，∠AOD. 注意：1 . 角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混淆. 2 . 当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任何一个角都不能只用一个顶点字母表示. 3.用数字或希腊字母表示单独角(顶点处必须画弧线，弧线不能跨越其他角的一边，并标上数字或希腊字母).如 ，这里不能用∠1表示∠AOB. 知识点3.角的单位及换算 1. 角的度量单位 度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角360 等分，每一份就是1 度的角，记作1°；把1 度的角60 等分，每一份叫作1 分的角，记作1 ′；把1 分的角60 等分，每一份叫作1 秒的角，记作1″. 2. 角的度量方法 使用量角器时，注意量角器的刻度的读数的旋转方向，即选择内刻度的读数还是外刻度的读数. 3. 角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.拓宽视野 其他度量角的单位制还有：弧度制、密位制等. 4. 角的换算 1 周角=360°，1 平角=180°， 1°=60′，1′=60″，1′=()°，1 ″ = ()′. 1°=60 ′ =3600 ″ ，1″= ()′= ()°. 5. 度和度、分、秒的相互转化方法 ①度化为度、分、秒的方法: 必须先把不足1 度的化为分，再把不足1 分的化为秒，也就是把角的度量单位由大化小的过程，每步要乘60′或6 0 ″ . ②度、分、秒化为度的方法: 必须先把秒化为分，然后加上原有的分，再化为度，也就是把角的度量单位由小化大的过程，每步要乘()′或()°. 知识点4.方位角 1. 定义 方向角就是用角度和方向表示方位的角. 在平面图上，方向规定为“上北，下南，左西，右东”. 2.方向角的形成 一般地，方向角是以第一个方向（正南或正北）为角的始边向第二个方向（正东或正西）转动所形成的角. 3.方向角的表示 方向角一般是指以正南或正北的方向为基准，再加上偏东或偏西的角度. 知识点5.角的大小比较 1. 度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 2. 叠合法 把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边重合在一起，另一条边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5-1. 使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1) 重合，即顶点重合，一条边重合； (2) 同侧，即另一条边放在重合边的同一侧 . 知识点6.角的和、差 角的和与差 文字描述 数学语言 图示 角的和 ∠ AOC 是 ∠ AOB与∠ BOC 的和 ∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC 角的差 ∠ AOB 是 ∠ AOC 与∠ COB 的差 ∠ AOB= ∠ AOC－∠ COB 知识点7.角平分线 1. 角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 数学语言： 如图 4.5-5，若 OC 平分∠ AOB，则 ∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB；反之，若∠ AOC= ∠ BOC=∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB，则 OC 平分∠ AOB. 2. 角的 n 等分线(拓展) 类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，这样的射线叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知识点8.补角和余角 1. 补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角， 简称互补 . 数学语言： 如果∠ 3+ ∠ 4=180° ，就说∠ 3是∠ 4的补角，或∠ 4 是∠ 3 的补角， ∠ 3 与∠ 4 互为补角， 如图 4.5-8. 2. 余角  如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这 两个角互为余角，简称互余 . 数学语言： 如果∠ 1+∠ 2=90° ，就说∠ 1是∠ 2的余角，或∠ 2 是∠ 1 的余角， ∠ 1 与∠ 2 互为余角， 如图 4.5-9. 3. 互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 . 知识点9.余角、补角的性质 1. 余角的性质  (1)同角的余角相等 .同一个角. 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 1+ ∠ 3=90° ，那么∠ 2= ∠ 3.度数相等的角. (2) 等角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 3+ ∠ 4=90° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 1+ ∠ 3=180° ，那么 ∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 3+ ∠ 4=180° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）推理能力如图是锐角，以O为端点向内部作1条射线时，图中有多少个角？作2条、3条射线时各有多少个角？作n条射线时有多少个角？ 题型二、角的表示方法 4．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，写出符合下列条件的角（题中所有的角均指小于平角的角）． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角； (3)图中所有的角（可用简便方法表示）． 题型三、角的分类 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 8．（2022七年级上·全国·专题练习）角可以分为 、 、 三类． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 题型四、钟面角 10．（25-26七年级上·河北唐山·期中）早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·河北唐山·期中）小明早上从家出发赶往学校，在时正好到校，计算小明上学过程中钟表上的时针转过的角度是 ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨8时整，时针和分针所成的最小的角是多少度？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从8：00到8：40，分针转动了多少度？ 题型五、方向角的表示 13．（22-23七年级上·吉林白城·期末）如图，地在地的（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．北偏西 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）某路公交车的始发站是绿苑小区，终点站是学校，其各站地图如图所示． （1）超市在学校的 方向上． （2）商场在超市的 方向上． （3）工厂在绿苑小区的 方向上． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）按照上北下南、左西右东的规定，画出表示东、南、西、北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线： （1）北偏西；         （2）南偏东； （3）北偏东；         （4）西南（南偏西）． 题型六、与方向角有关的计算题 16．（2025七年级上·全国·专题练习）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 17．（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ． 18．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，测得，此时灯塔在处的北偏西多少度的方向上？ 题型七、角的单位与角度制 19．（2025七年级上·全国·专题练习）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·广东佛山·期中） 分 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）角的换算． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型八、角的度数大小比较 22．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 24．（2024七年级上·全国·专题练习）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是，我应该和一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 题型九、角的比较 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的网格是正方形网格， （填“”“”或“”）． 27．（22-23七年级上·全国·单元测试）在某工厂生产流水线上生产如图所示的零工件，其中称为工件的中心角，生产要求的标准角度为，一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量的度数．请你运用所学的知识分析一下，该名质检员采用的是哪种比较方法？你还能给该质检员设计更好的质检方法吗？请说说你的方法．    题型十、三角板中角度计算问题 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上．若，则（   ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 30．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 题型十一、几何图形中角度计算问题 31．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 32．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图所示，，，则的度数是 ． 33．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 题型十二、角度的四则运算 34．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： ． 36．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型十三、实际问题中角度计算问题 37．钟表在8：30时，时针与分针的夹角度数是（    ） A．45 B．30 C．60 D．75 38．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 39．如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是，这个蛋糕应等分成多少份？ 题型十四、角平分线的有关计算 40．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）若，平分，则= °． 42．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，，是内部的一条射线，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)小明通过作图观察发现，无论锐角的大小如何，的度数始终为的一半．他的结论是否正确？请判断，并说明理由． 题型十五、角n等分线的有关计算 43．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（    ） A．595 B．406 C．35 D．666 44．（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 45．（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 题型十六、求一个角的余角 46．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知和互余，若，则（    ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线上一点，且，，则 ，的余角是 ． 48．（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知和两个角，且，，按题目要求完成下列两题： (1)求出的余角的度数； (2)求出的倍与的的差． 题型十七、求一个角的补角 49．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级上·全国·月考）若，则的补角的度数为 ． 51．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，已知点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处，在内部作射线平分． (1)若，则的度数为_________； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 题型十八、与余角、补角有关的计算 52．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 53．（25-26七年级上·全国·单元测试）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 54．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 题型十九、同(等)角的余(补)角相等的应用 55．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 56．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形ABC和三角形中，．若，则，理由是 ． 57．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，O为直线AB上的一点，OC平分． (1)和相等吗？为什么？ (2)除（1）中的一对角和的角外，还有哪些相等的角？请说明理由． 强化训练 一、单选题 1．如图，李老师家在学校的南偏东55°方向，距离是500米，则学校在李老师家的（　　） A．北偏西35°方向，相距500米处 B．北偏东35°方向，相距500米处 C．北偏西55°方向，相距500米处 D．北偏东55°方向，相距500米处 2．下列说法：（1）两条射线组成的图形叫做角；（2）角的两边是两条直线；（3）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关；（4）线段上有无数个点；（5）两个锐角的和一定是钝角，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，点在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有（    ）． A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 4．如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．就是 B．可以用表示 C．和是同一个角 D．和是不同的两个角 5．将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 6．若与互为余角，与互为补角，，则为（　　） A． B． C． D． 7．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．若一个角是，则它的余角的度数是 12．如图，一副三角板按图示放置，已知∠AOC＝65°，则∠AOB＝ °． 13．如果，则的余角是 度；的补角是 度． 14．如图，若射线，把三等分，则 ， ．    15．如图，直线相交于点O，平分，平分，，则 ． 16．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ． 三、解答题 17．列竖式计算： (1)； (2)． 18．如图，已知，点B是射线上任意一点（不与点A重合）．根据下列语句画图或作答． (1)尺规作图：以点B为顶点，为一边，作，射线交射线于点C（不写作法，保留作图痕迹）； (2)用刻度尺测量线段与的长度，并直接写出它们具有怎样的数量关系． 19．在如图所示的方向坐标中画出表示下列方向的射线：    （）北偏东； （）北偏西； （）南偏东； （）西南方向（即南偏西）． 20．如图，点O是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 21．如图，点在直线上，射线与在直线的下方，射线与在直线的上方，且，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 22．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 23．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 $