4.3.1 等比数列的概念（第2课时等比数列应用）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

回忆一下 4.3.1 等比数列的概念(3) 例1：在数列{an}中，若an＞0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．求证：数列{an＋3}是等比数列． 典例精析 法二：等比中项法 ∵an＞0，∴an＋3＞0. 又∵an＋1＝2an＋3， ∴an＋2＝2an＋1＋3＝2(2an＋3)＝4an＋9. ∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3) ＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2， 即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列， ∴数列{an＋3}是等比数列． 例1：在数列{an}中，若an＞0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．求证：数列{an＋3}是等比数列． 典例精析 方法总结 【变式1】已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 【变式2】已知数列{an}满足： a1=2 ，an＝3an-1-2，求{an}的通项公式． 由an＝3an-1-2得：an-1＝3(an-1-1) 所以数列{an-1}是首项为a1-1=1，公比为3的等比数列 典例精析 分析： 复利计息 等比数列 设季度利率为,这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列,则也是一个等比数列， (2) 首项 所以, 因此,以季度复利计息,存4个季度后的利息为元 解不等式，得 所以,当季度利率不小于时,按季结算的利息不少于按月结算的利息. 解： （1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列则是等比数列. 首项 公比 所以， 所以，12个月后的利息为10490.97-10000491（元） 例3 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 产量 不合格率 数列 数列 等比数列 等差数列 分析： 不合格品 产量×不合格率 等差数列×等比数列 { 典例精析 解： 设从今年1月起,每个月的产量和不合格率分别构成数列, 由题意,知 ,其中=1,2,,24 从今年1月起，各月不合格产品的数量是 由计算工具计算（精确到0.1），并列表. 观察发现,数列先递增,在第6项以后递减,所以只要设法证明当时,递减,且即可. 所以,当时,递减 又 所以,当时, 所以,生产该产品一年后,月不合格品的数量能控制在100个以内. 归纳总结 随堂小测 课本P34 4，5 课后作业 课本P34 1，3（只列式） 大本P34 左6，（第2问要求用定义证明） 右5 [证明]　法一：定义法 ∵an＞0，∴an＋3＞0. 又∵an＋1＝2an＋3， ∴eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝eq \f(2an＋3＋3,an＋3)＝eq \f(2an＋3,an＋3)＝2， ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 对形如an＋1＝can＋b(n∈N*，b，c≠0，且c≠1，b，c为常数)的递推公式，通常可以变形为an＋1＋eq \f(b,c－1)＝ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(b,c－1)))，从而构造一个等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(b,c－1)))，通过求该等比数列的通项公式可得an. 证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里采用了转化与化归的策略．　　 证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an. 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0. 又由an＋1＝2an知an≠0， ∴eq \f(an＋1,an)＝2， ∴{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列． 其通项公式an＝－1×2n－1＝－2n－1. 例2 用10000元购买某个理财产品一年． （1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到0.01元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ $