专题05：简易方程（期末知识清单）五年级数学上册（人教版）

五年级数学上册期末复习（人教版） 专题05：简易方程（期末复习知识清单） 知识点01：用字母表示数 1、用字母表示数在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 （1）当字母与字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“· ”表示。 （2）当数与字母相乘时，乘号也可以省略不写，但一般不用“·”表示。 （3）当两个相同的字母相乘时，可以省略乘号，写成这个字母的平方。 2、用字母表示运算定律 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； 乘法分配律：（a＋b）c＝ac＋＋bc 3、用字母表示计算公式 4、用字母表示常见的数量关系 【名师点拨】 （1）避免“字母与数字顺序颠倒”：字母与数字相乘时，必须数字在前、字母在后。 （2）区分“1与字母相乘”的写法：1与任何字母相乘时，1可省略，避免多余的“1”。 （3）理解“字母表示数的不确定性”：同一字母在不同情境中可表示不同数量，但同一情境中同一字母只能表示同一数量，避免前后含义矛盾。 知识点02：方程的意义 1、含有未知数的等式就是方程。 2、方程必须具备两个条件： ①必须是等式；②必须含有未知数。 【名师点拨】 （1）不忽略“等式”这一前提：仅含有未知数的式子不是方程，需同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。 （2）避免“未知数必须是x”的误区：未知数可以是任意字母，不能只认为含x的等式才是方程。 （3）方程一定是等式，但等式不一定是方程。 知识点03：等式的性质 1、等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数， 左右两边仍然相等。 2、等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【名师点拨】 （1）等式性质2中“除以的数不能为0”：因为0 能作除数，所以等式两边同时除以一个数时，必须强调“这个数不为0”，避免逻辑错误。 （2）“同时”操作的一致性：等式两边的操作必须完全相同，否则等式会被破坏。 （3）不混淆“等式性质1与性质2”的适用场景：当方程中未知数前无系数，用性质1；当未知数前有系数，用性质2，避免错用性质导致解方程步骤混乱。 知识点04：解方程 1、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3、解方程原理：天平平衡。 4、解方程的方法： （1）消元法：利用等式的性质 （2）公式法：①“－x”：减数＝被减数－差；②“÷x”：除数＝被除数÷商。 5、方程的检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值，如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解；否则就不是。 【名师点拨】 （1）“解”字的规范书写：解方程时，必须在算式最左边写“解：”，后续步骤紧跟“解：”书写，不能遗漏“解”字，这是解方程的格式要求。 （2）检验的必要性：即使步骤看似正确，也需通过检验确认解的准确性，避免解错方程。 （3）未知数系数为“1”或“-1”的处理：当未知数系数为1，直接利用性质 1 求解；系数为-1，需两边同时乘-1，不能忽略负号。 知识点05：解决问题 列方程解应用题的步骤： （1）设未知数：根据问题设关键未知量为x，设时需带单位； （2）找等量关系：从情境中找出数量间的相等关系，这是列方程的关键； （3）列方程：根据等量关系列出含有未知数的等式； （4）解方程：按解方程步骤求出x的值，解后不带单位； （5）检验并作答：检验x的值是否符合实际情境，再完整作答。 【名师点拨】 （1）“设未知数”的准确性：设未知数时需明确“设哪个量”（通常设问题中要求的量，如问题问“苹果单价多少元”，设“苹果单价为x元”），设句需完整，且单位要正确。 （2）“找等量关系”的关键：等量关系是列方程的核心，可通过“关键词”（如“一共”“比…… 多”“是……的几倍”）或“公式”（如“总价=单价×数量”）寻找，避免等量关系错误导致方程列错。 （3）解后“检验实际意义”：求出x的值后，除了代入方程检验，还需结合实际情境判断，若不符合实际，需检查设未知数或等量关系是否错误。 考点1：用字母表示数 【例1】（24-25五年级上·湖北孝感·期末）为了响应“全民健身我行动，强身健体保健康”的倡议，小强、小军每天都坚持做仰卧起坐。小强每分钟做a个仰卧起坐，小军每分钟做的仰卧起坐的个数比小强每分钟做的2倍还多3个，小军每分钟做仰卧起坐（ ）个，2a＋3－a表示（ ）。 【答案】 2a＋3 小军每分钟比小强多做仰卧起坐的个数 【分析】已知小强每分钟做a个仰卧起坐，小军每分钟做的个数比小强的2倍还多3个，那么小军每分钟做的个数为2×a＋3＝2a＋3个，2a＋3是小军每分钟做的个数，a是小强每分钟做的个数，用小军每分钟做的个数减去小强每分钟做的个数，即2a＋3－a，表示的是小军每分钟比小强多做仰卧起坐的个数。 【详解】所以，小军每分钟做仰卧起坐2a＋3个，2a＋3－a表示小军每分钟比小强多做仰卧起坐的个数。 【例2】（24-25五年级上·湖南湘西·期末）以下选项中，可以用“8a＋b”表示的是（     ）。 A．一本书有a页，明明每天看8页，看了b天，一共看了多少页 B．小明有a岁，爷爷的年龄是他的8倍多b岁，爷爷多少岁 C．表示这条线段的长度 D．小明有a岁，爷爷的年龄是他的8倍多b岁，爷爷比小明大几岁 【答案】B 【分析】本题考查用字母表示数的实际应用，可以逐项分析。 A．根据题干，列出数量关系式为一共看的页数＝每天看的页数×看的天数，列式为8b； B．根据题干，列出数量关系式为爷爷的年龄＝ 小明的年龄×8＋多的年龄，列式为8a＋b； C．根据题干，列出数量关系式为线段的长度＝三段线段的长度和，列式为8＋a＋b； D．根据题干，列出数量关系式为爷爷比小明大的年龄＝爷爷的年龄－小明的年龄＝小明的年龄×8＋多的年龄－小明的年龄，列式为8a＋b－a＝7a＋b。 【详解】A．列式为8b； B．列式为8a＋b； C．列式为8＋a＋b； D．列式为8a＋b－a＝7a＋b。 只有选项B符合要求。 故答案为：B 【练习1】（24-25五年级上·山西阳泉·期末）王阿姨为参加新年联欢会租了一套舞蹈服，这套舞蹈服在出租后的第一天收费10元，以后每天收费6元，王阿姨租了n天，应付（     ）元。 A．6n B．10n C．6n＋4 【答案】C 【分析】由题意可知，应付的钱数＝第一天收的钱数＋（n－1）×以后每天收的钱数，据此列式解答即可。 【详解】10＋（n－1）×6 ＝10＋6n－6 ＝（6n＋4）元 则王阿姨租了n天，应付（6n＋4）元。 故答案为：C 【练习2】（24-25五年级上·浙江·期中）下列选项中，能用2（a＋6）表示的是（     ）。 A．整条线段的长度： B．这个三角形的周长： C．这个长方形的面积： D．这个长方形的周长： 【答案】D 【分析】A．把三个小线段的长度加起来就是线段的总长度； B．三角形的周长＝三角形三条边相加总和； C．长方形的面积＝长×宽； D．长方形的周长＝（长＋宽）×2。据此分析四个选项即可。 【详解】A．整条线段的长度是2＋a＋6＝8＋a，不符合题意； B．这个三角形的周长是a＋a＋6＝2a＋6，不符合题意； C．这个长方形的面积是（2＋6）×a＝8a，不符合题意； D．这个长方形的周长是2（a＋6），符合题意。 故答案为：D 考点2：含有字母式子的化简与求值 【例3】（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）某快递公司用最大载质量为a吨的集装箱车8辆运货，每次最多共运（ ）吨，当a＝20.5时，8辆集装箱车每次最多共运（ ）吨。 【答案】 8a 164 【分析】根据题意，用每辆集装箱车的载重量a吨乘汽车的辆数8辆就是每次运的吨数；把当a＝20.5时代入含有字母a表示每次运的吨数式子即可求出8辆汽车每次共运的吨数，据此解答。 【详解】根据分析可得： a×8＝8a（吨） 当a＝20.5时 8×20.5＝164（吨） 所以每次共运8a吨，当a＝20.5时，8辆集装箱车每次最多共运164吨。 【例4】（24-25五年级上·河南信阳·期末）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开。”（白居易《大林寺桃花》）这两句诗形象地反映了“山寺”由于海拔较高，温度较低，花开较晚的现象。通常海拔每升高1千米，气温下降6℃。 （1）假设“人间”的气温是20℃，大林寺的海拔比“人间”高千米，大林寺的温度用表示。请用含字母的式子表示出。 （2）当在1.0千米和1.1千米之间时，求大林寺桃花花开的温度范围。 【答案】（1）＝20－6 （2）13.4℃～14℃ 【分析】（1）已知海拔每升高1千米，气温下降6℃，则海拔升高千米，气温下降6℃，用20℃减去下降的温度，即可求出大林寺的温度； （2）将的取值代入第（1）题中含字母的式子中，即可求出大林寺桃花花开的温度范围。 【详解】（1）＝20－6 （2）当＝1.0千米时， ＝20－6×1.0＝20－6＝14（℃） 当＝1.1千米时， ＝20－6×1.1＝20－6.6＝13.4（℃） 答：大林寺桃花花开的温度范围是13.4℃～14℃。 【练习1】（24-25五年级上·山东菏泽·期末）游轮以每小时35千米的速度向前行驶，开出t小时后，游轮行驶了（ ）千米。如果t＝10，游轮行驶了（ ）千米。 【答案】 35t 350 【分析】路程＝速度×时间，把数据代入即可求出游轮t小时行驶的距离，再把t＝10代入计算即可解答。 【详解】35×t＝35t（千米） 当t＝10时 35t＝35×10＝350（千米） 所以，游轮以每小时35千米的速度向前行驶，开出t小时后，游轮行驶了35t千米。如果t＝10，游轮行驶了350千米。 【练习2】（24-25五年级上·四川德阳·期末）王老师带了一笔钱到文具店，买了a支铅笔，还剩0.8元。 （1）已知每支铅笔1.5元，王老师一共带了（ ）元钱。 （2）当a＝200时，王老师一共带了（ ）元钱。 【答案】（1）1.5a＋0.8/0.8＋1.5a （2）300.8 【分析】（1）王老师买铅笔的花费为每支铅笔价格乘数量，即1.5×a元，加上剩余0.8元，总钱数为（1.5a＋0.8）元。 （2）当a＝200时，将a的值代入表达式1.5a＋0.8中，计算即可。 【详解】（1）买a支铅笔花费：1.5×a＝1.5a（元） 1.5a＋0.8＝（1.5a＋0.8）元 所以王老师一共带了（1.5a＋0.8）元。 （2）当a＝200时， 1.5×200＋0.8 ＝300＋0.8 ＝300.8（元） 所以王老师一共带了300.8元。 考点3：方程的意义 【例5】（24-25五年级上·河南安阳·期末）下面式子中，（     ）是方程。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】含有未知数的等式叫作方程，由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此判断。 【详解】A．式子中含有未知数x，但不是等式，所以不是方程； B．是等式，但式子中没有未知数，所以不是方程； C．式子中含有未知数x，但不是等式，所以不是方程； D．式子中含有未知数x和y，并且是等式，所以是方程。 故答案为：D 【例6】（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）下面各题的数量关系可以用“4x＋x＝20”表示的是（     ）。 A．长方形的周长是20分米，宽x分米，长是宽的4倍 B．合唱队有女生20人，男生x人，女生是男生的4倍 C．王伯伯家共养鸡、鸭20只，其中鸡x只，鸭是鸡的4倍 D．杏树x棵，桃树的棵数比杏树的4倍还多20棵 【答案】C 【分析】A．由题意可知，长方形的宽为x分米，则长为4x分米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2列出方程并与4x＋x＝20比较； B．由题意可知，男生有x人，等量关系为：男生的人数×4＝女生的人数，据此列出方程并与4x＋x＝20比较； C．由题意可知，鸡有x只，则鸭有4x只，等量关系为：鸡的只数＋鸭的只数＝20，据此列出方程并与4x＋x＝20比较； D．由题意可知，杏树有x棵，则桃树的棵数＝杏树的棵数×4＋20，据此写出关系式并与4x＋x＝20比较。 【详解】A．（x＋4x）×2＝20 长方形的周长是20分米，宽x分米，长是宽的4倍。它们的数量关系可以用“（x＋4x）×2＝20”来表示，不能用“4x＋x＝20”表示； B．4x＝20 合唱队有女生20人，男生x人，女生是男生的4倍。它们的数量关系可以用“4x＝20”来表示，不能用“4x＋x＝20”表示； C．4x＋x＝20 王伯伯家共养鸡、鸭20只，其中鸡x只，鸭是鸡的4倍。它们的数量关系可以用“4x＋x＝20”表示； D．4×x＋20＝4x＋20 杏树x棵，桃树的棵数比杏树的4倍还多20棵。桃树的棵数可以用“4x＋20”来表示，不能用“4x＋x＝20”表示。 故答案为：C 【练习】（24-25五年级上·湖北孝感·期末）看图列方程，正确的是（     ）。 A．25×4＋5x＝150 B．25＋5x＝150 C．25×4＋x＝150 【答案】A 【分析】已知大米每袋25kg，共4袋，面粉每袋xkg，共5袋，根据“总重量＝每袋重量×袋数”先分别计算大米和面粉的总重量，再根据“大米总重量＋面粉总重量＝150kg”列方程。 【详解】大米总重量为25×4kg，面粉总重量为5xkg。大米和面粉的总重量是150kg，所以可列方程为25×4＋5x＝150。 故答案为：A 考点4：等式的性质 【例7】（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是（     ）。 A．b＝a－2 B．b＋2＝a＋2 C．b－2＋2＝a＋2 D．2b＝2a＋2 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。逐项计算即可得解。 【详解】A．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 b＝a＋2 所以该选项不成立。 B．b－2＝a b－2＋4＝a＋4 b＋2＝a＋4 所以该选项不成立。 C．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 所以该选项成立。 D．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 b＝a＋2 2×b＝2×（a＋2） 2b＝2a＋4 所以该选项不成立。 小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是b－2＋2＝a＋2。 故答案为：C 【例8】（24-25五年级上·广东汕头·期末）如图2所示，字母相同的球质量相等，则Ⓧ与Ⓨ的质量关系是（     ）。 A．Ⓧ＞Ⓨ B．Ⓨ＞Ⓧ C．Ⓨ＝Ⓧ 【答案】A 【分析】从图中可知，天平左右两边的质量相等，根据等式的性质1，天平两边同时去掉一个Ⓧ和一个Ⓨ，天平仍平衡，此时天平左边剩下一个Ⓧ，天平右边剩下2个Ⓨ，由此得出Ⓧ与Ⓨ的质量关系。 等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 【详解】如下图，天平左右两边同时去掉一个Ⓧ和一个Ⓨ，根据等式的性质1可知，此时天平仍平衡，那么一个Ⓧ等于2个Ⓨ，由此可知，Ⓧ＞Ⓨ。 所以，Ⓧ与Ⓨ的质量关系是Ⓧ＞Ⓨ。 故答案为：A 【练习】（24-25五年级上·北京延庆·期末）图形□，☆表示两个不为0的数，并且☆＝□，依据等式的性质，下面等式中（     ）不成立。 A．☆＋3＝□＋0.3 B．☆□ C．☆□ D．☆□ 【答案】A 【分析】等式两边同时加上、减去、乘上或除以一个相同的数（0除外），等式的左右两边仍相等，据此解答即可。 【详解】A．等式左边加的是3，等式右边加的是0.3，所以等式不成立； B．等式的左右两边同时除以7.2，所以等式成立； C．等式的左右两边同时减去4.6，所以等式成立； D． 等式左边除以2，即乘0.5，等式右边乘0.5，所以等式左右两边同时乘0.5，等式成立； 故答案为：A 考点5：解方程 【例9】（24-25五年级上·湖北孝感·期末）解方程。 3（x＋0.8）＝4.5           1.5x－4.8×0.6＝4.77 x＋0.8x＝4.5                （100－3x）÷2＝8 【答案】x＝0.7；x＝5.1；x＝2.5；x＝28 【分析】3（x＋0.8）＝4.5，根据等式的性质1和2，两边先同时除以3，然后再同时减0.8解答即可。 1.5x－4.8×0.6＝4.77，先计算方程左边，然后根据等式的性质1和2，两边先同时加2.88，再同时除以1.5解答即可。 x＋0.8x＝4.5，先计算方程左边，然后根据等式的性质2，两边同时除以1.8计算即可。 （100－3x）÷2＝8，根据等式的性质1和2，两边先同时乘2，再同时加3x，然后同时减16，最后同时除以3解答即可。 【详解】3（x＋0.8）＝4.5 解：3（x＋0.8）÷3＝4.5÷3 x＋0.8＝1.5 x＋0.8－0.8＝1.5－0.8 x＝0.7 1.5x－4.8×0.6＝4.77 解：1.5x－2.88＝4.77 1.5x－2.88＋2.88＝4.77＋2.88 1.5x＝7.65 1.5x÷1.5＝7.65÷1.5 x＝5.1 x＋0.8x＝4.5 解：1.8x＝4.5 1.8x÷1.8＝4.5÷1.8 x＝2.5 （100－3x）÷2＝8 解：（100－3x）÷2×2＝8×2 100－3x＝16 100－3x＋3x＝16＋3x 16＋3x＝100 16＋3x－16＝100－16 3x＝84 3x÷3＝84÷3 x＝28 【练习】（24-25五年级上·江西宜春·期末）解下列方程。 5x－1.4x＝54                 7（x－8.2）＝39.9            5x＋24×1.5＝66 【答案】x＝15；x＝13.9；x＝6 【分析】（1）先计算等式左边的减法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以3.6，计算即可得解； （2）根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以7。再根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时加8.2，计算即可得解； （3）先计算等式左边的乘法，再根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减36。再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以5，计算即可得解。 【详解】5x－1.4x＝54 解：3.6x＝54 3.6x÷3.6＝54÷3.6 x＝15 7（x－8.2）＝39.9 解：7（x－8.2）÷7＝39.9 ÷7 x－8.2＝5.7 x－8.2＋8.2＝5.7＋8.2 x＝13.9 5x＋24×1.5＝66 解：5x＋36＝66 5x＋36－36＝66－36 5x＝30 5x÷5＝30÷5 x＝6 考点6：列方程解含一个未知数的问题 【例10】（24-25五年级上·山西阳泉·期末）有着2000年历史的欧亚大陆通道“丝绸之路”在甘肃省境内总长达1600千米，比兰州至西安的铁路长2.2倍还多170千米，兰州至西安的铁路长多少千米？（列方程解答） 【答案】650千米 【分析】已知丝绸之路在甘肃省境内总长达1600千米，比兰州至西安的铁路长2.2倍还多170千米，设兰州至西安的铁路长x千米，根据兰州至西安的铁路长的2.2倍加170千米是1600千米，列方程求解。 【详解】解：设兰州至西安的铁路长x千米。 2.2x＋170＝1600 2.2x＋170－170＝1600－170 2.2x＝1430 2.2x÷2.2＝1430÷2.2 x＝650 答：兰州至西安的铁路长650千米。 【例11】（24-25五年级上·河南安阳·期末）为了丰富研学内容，帮助学生理解“相遇问题”。在一条周长720米的圆形步道上，许老师安排了男、女两名学生同时从同一地点出发，相背而行，经过4.5分钟相遇。若男生每分钟走85米，则女生每分钟走多少米？（列方程解答） 【答案】75米 【分析】速度×时间＝路程，设女生每分钟走x米，根据男生速度×相遇时间＋女生速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【详解】解：设女生每分钟走x米。 85×4.5＋4.5x＝720 382.5＋4.5x＝720 382.5＋4.5x－382.5＝720－382.5 4.5x＝337.5 4.5x÷4.5＝337.5÷4.5 x＝75 答：女生每分钟走75米。 【练习1】（24-25五年级上·湖南湘西·期末）师徒两人共同加工54个零件。徒弟先做了2小时，每小时做6个，然后和师傅一起做。师傅每小时做15个，还需要多少小时才能完成任务？（列方程解决问题） 【答案】2小时 【分析】把还需要用的时间设为未知数，工作总量＝工作时间×工作效率，等量关系式：徒弟先做的时间×徒弟的工作效率＋（徒弟的工作效率＋师傅的工作效率）×两人合作的时间＝零件的总数量，据此列方程解答。 【详解】解：设还需要小时才能完成任务。 答：还需要2小时才能完成任务。 【练习2】（24-25五年级上·山东济宁·期末）汤逊湖是亚洲最大的城中湖，水域面积达47.6平方千米，比东湖水域面积的1.5倍少1.9平方千米。东湖的水域面积有多少平方千米？（列方程解答） 【答案】33平方千米 【分析】根据“汤逊湖水域面积比东湖水域面积的1.5倍少1.9平方千米”这一关系，可列出等量关系式为：东湖水域面积×1.5倍－1.9平方千米＝汤逊湖的水域面积，设东湖的水域面积为平方千米，得到方程式1.5－1.9＝47.6，解出即可。 【详解】解：设东湖的水域面积为平方千米。 1.5－1.9＝47.6 1.5＝47.6＋1.9 1.5＝49.5 x＝49.5÷1.5 ＝33 答：东湖的水域面积有33平方千米。 考点7：列方程解含两个未知数的问题 【例12】（24-25五年级上·河南南阳·期末）据统计，青少年儿童体质健康主要指标连续20多年下降，肥胖和近视比例逐年上升。国家在2021年下发了《2021—2025全民健身计划》。为了增强体质，乐乐和爸爸坚持每星期跑步锻炼。星期天两人沿着400米的环形跑道跑步，爸爸每分钟跑245米，乐乐每分钟跑205米，他们两人同时从同一起点出发，同向而行，经过多少分钟后爸爸比乐乐多跑1圈？ 【答案】10分钟 【分析】设经过x分钟后爸爸比乐乐多跑1圈，一圈是400米，x分钟爸爸跑了245x米，乐乐跑了205x米，爸爸比乐乐多跑1圈，即爸爸跑的路程－乐乐跑的路程＝400米，列方程：245x－205x＝400，解方程，即可解答。 【详解】解：设经过x分钟后爸爸比乐乐多跑1圈。 245x－205x＝400 40x＝400 40x÷40＝400÷40 x＝10 答：经过10分钟后爸爸比乐乐多跑1圈。 【例13】（24-25五年级上·广西河池·期末）红军小学组织五年级230名学生到甜田农场劳动教育实践基地开展研学实践活动，在研学实践中同学们近距离感受科技创新给农耕劳动带来的便利，大家在活动中还尝试了制作扎染、栽草莓等实践活动。这次参加研学实践活动的男生人数是女生人数的1.3倍。参加活动的男、女生各有多少人？（用方程解答） 【答案】女生100人；男生130人 【分析】已知五年级参加研学的总人数是230人，男生人数是女生人数的1.3倍；先根据“男生人数＝女生人数×1.3”这一数量关系，设女生人数为未知数x，则男生人数可表示为1.3x；再根据“女生人数＋男生人数＝总人数”列方程解答。 【详解】解：设女生人数为未知数x，则男生人数可表示为1.3x。 x＋1.3x＝230 2.3x＝230 2.3x÷2.3＝230÷2.3 x＝100 1.3×100＝130（人） 答：参加活动的女生有100人，男生有130人。 【练习1】（24-25五年级上·江西宜春·期末）甲盒糖果的颗数是乙盒的3倍，如果从甲盒里拿出6颗糖果放入到乙盒中，那么两盒糖果的颗数相等，甲、乙两盒糖果各有多少颗？ 【答案】甲盒：18颗；乙盒：6颗 【分析】分析题目，可以设原来的乙盒有x颗糖果，则甲盒原来有3x颗糖果；再根据甲盒的糖果颗数－6＝乙盒的糖果颗数＋6列出方程，最后根据等式的基本性质解方程即可。 【详解】解：设原来的乙盒有x颗糖果，则甲盒原来有3x颗糖果。 3x－6＝x＋6 3x－x＝6＋6 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 3×6＝18（颗） 答：甲盒有18颗糖果，乙盒有6颗糖果。 【练习2】（24-25五年级上·湖北随州·期末）随州银杏谷景区上月游客人数达到11.18万人，其中成人人数是儿童人数的1.6倍。上月去银杏谷景区的儿童和成人各有多少万人？（列方程解答） 【答案】儿童：4.3万人；成人：6.88万人 【分析】设儿童人数有x万人，成人人数是儿童人数的1.6倍，根据数量关系：成人游客人数＋儿童游客人数＝11.18，据此列方程，解方程即可解答。 【详解】解：设儿童人数有x万人，则成人人数是（1.6x）万人。 4.3×1.6＝6.88（万人） 答：上月去银杏谷景区的儿童有4.3万人，成人有6.88万人。 一、选择题 1．（24-25五年级·重庆万州·期末）（如图）3个杯子叠起来高15厘米，5个杯子叠起来高19厘米。a个杯子叠起来的高度是（     ）厘米。 A． B． C． 【答案】B 【分析】已知3个杯子叠起来高15厘米，5个杯子叠起来高19厘米。杯子数量从3个增加到5个，增加了5－3＝2个，高度增加了19－15＝4厘米。所以每多叠一个杯子增加的高度是4÷2＝2厘米。3个杯子叠起来时，重叠部分有3－1＝2层。所以单个杯子的高度是：15－2×2＝15－4＝11厘米。a个杯子叠起来时，重叠部分有a－1层。所以总高度为单个杯子（不包含重叠部分）的高度加上重叠部分的高度，即11＋2×（a－1）。据此计算即可。 【详解】5－3＝2（个） 19－15＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 3－1＝2（层） 15－2×2 ＝15－4 ＝11（厘米） 11＋2×（a－1） ＝11＋2a－2 ＝（9＋2a）厘米 所以a个杯子叠起来的高度是（9＋2a）厘米。 故答案为：B 2．（24-25五年级上·河北衡水·期末）下面是一份购书清单，根据清单信息列方程正确的是（     ）。 商品名称 单价 数量 总价 《趣说历史》 x元 18本 《趣味故事》 8.5元 24本 204元 合计 340.8元 A．18x＋204＝340.8 B．8.5x＝（340.8－204）÷18 C．8.5x＝204 【答案】A 【分析】先根据“总价＝单价×数量”表示出《趣说历史》的总钱数，《趣味故事》的单价是8.5元，购买数量是24本，《趣味故事》的总钱数是204元，两种书一共花了340.8元。 A．等量关系式：《趣说历史》的单价×《趣说历史》的数量＋《趣味故事》的总钱数＝两种书一共花的钱数； B．等量关系式：《趣说历史》的数量＝（两种书一共花的钱数－《趣味故事》的总钱数）÷《趣说历史》的单价； C．等量关系式：《趣说历史》的单价×《趣说历史》的数量＝两种书一共花的钱数－《趣味故事》的总钱数。 【详解】A．“18x”表示《趣说历史》的总钱数，“204”表示《趣味故事》的总钱数，“340.8”表示两种书一共花的钱数，该方程正确； B．“8.5x”表示《趣味故事》的单价与《趣说历史》的单价的积，“（340.8－204）÷18”表示《趣说历史》的单价，该方程不正确，正确方程为18＝（340.8－204）÷x； C．“8.5x”表示《趣味故事》的单价与《趣说历史》的单价的积，“204”表示《趣味故事》的总钱数，该方程不正确，正确方程为18x＝340.8－204。 故答案为：A 3．（24-25五年级上·山东济南·期末）不能正确表达如图等量关系的是（     ）。 A．6000＋3000＋x＝7500 B．6000－x＝7500－3000=4500=4500 C．7500＋x＝6000＋3000 【答案】A 【分析】由图可知，一条线段总长7500，左边一段长6000，右边一段长3000，并且6000和3000里面都包含x，找出等量关系后再逐项分析即可。 【详解】A．6000与3000的和减去x等于7500，即6000＋3000－x＝75000，该选项错误； B．6000减x的差等于7500减3000的差，即6000－x＝7500－3000，该选项正确； C．7500与x的和等于6000与3000的和，即7500＋x＝6000＋3000，该选项正确； 故答案为：A 4．（24-25五年级上·广东广州·期末）已知2x＝2.4，那么2x＋x＝（     ）。 A．1.2 B．3.6 C．4.8 【答案】B 【分析】先根据等式的性质2，方程两边同时除以2，求出方程2x＝2.4的解，再把x的值代入算式2x＋x中，即可解答。 【详解】2x＝2.4 解：2x÷2＝2.4÷2 x＝1.2 2x＋x ＝2×1.2＋1.2 ＝2.4＋1.2 ＝3.6 已知2x＝2.4，那么2x＋x＝3.6。 故答案为：B 5．（24-25五年级上·山西忻州·期末）一张单人课桌的价格是145元，它的价格比一把椅子的2倍便宜5元，设一把椅子的价格为x元，下面方程正确的是（     ）。 A．2x－5＝145 B．2x＋5＝145 C．145－2x＝5 【答案】A 【分析】由题可得等量关系式：一张单人课桌的价格＝一把椅子的价格×2－5元，设一把椅子的价格为x元，根据等量关系式列方程即可。 【详解】解：设一把椅子的价格为x元。 2x－5＝145 2x－5＋5＝145＋5 2x＝150 2x÷2＝150÷2 x＝75 即一把椅子的价格为75元。 故答案为：A 二、填空题 6．（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）小明今年a岁，妈妈今年（a＋22）岁，再过8年后，他们相差（ ）岁。 【答案】22 【分析】妈妈和小明的年龄差始终不变，用今年妈妈的年龄减去今年小明的年龄，即是他们8年后相差的年龄。 【详解】a＋22－a＝22（岁） 再过8年后，他们相差22岁。 7．（24-25五年级上·河南安阳·期末）安安购买了一本吴承恩原著《西游记》共720页，他每天坚持读页，读了一个月（30天）后，这本书还有（ ）页没有读。当时，这本书还有（ ）页没有读。 【答案】 （720－30a） 270 【分析】这本书的总页数－每天读的页数×读的天数＝没有读的页数，据此用字母表示出没有读的页数。求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】720－a×30＝（720－30a）页 720－30a ＝720－30×15 ＝720－450 ＝270（页） 安安购买了一本吴承恩原著《西游记》共720页，他每天坚持读页，读了一个月（30天）后，这本书还有（720－30a）页没有读。当时，这本书还有270页没有读。 8．（24-25五年级上·江西赣州·期末）小亮买了5本笔记本，每本n元，付了25元，应找回（ ）元；当n＝1.5时，应找回（ ）元。 【答案】 25－5n 17.5 【分析】已知买了5本笔记本，每本n元，根据“总价＝单价×数量”，买笔记本花费5×n＝5n（元），小亮付了25元，用减法可得应找回的钱数，即（25－5n）元；当n＝1.5时，把n＝1.5代入可得应找回的钱数。 【详解】小亮买了5本笔记本，每本n元，付了25元，应找回（25－5n）元； 把n＝1.5代入25－5n，得： 25－5n ＝25–5×1.5 ＝25－7.5 ＝17.5（元） 所以，5本笔记本，每本n元，付了25元，应找回（25－5n）元；当n＝1.5时，应找回17.5元。 9．（24-25五年级上·山东济宁·期末）一辆汽车油箱里有60升汽油，汽车匀速行驶每小时耗油升，行驶5小时后油箱剩油20升。根据这一信息，列出的方程是（ ）；方程的解为（ ）。 【答案】 5＋20＝60 ＝8 【分析】根据题意可得出等量关系：汽车行驶每小时的耗油量×行驶时间＋油箱里剩下的油量＝油箱的总油量，据此列出方程，并求解。 【详解】5＋20＝60 解：5＋20－20＝60－20 5＝40 5÷5＝40÷5 ＝8 根据这一信息，列出的方程是（5＋20＝60）；方程的解为（＝8）。 （方程不唯一） 10．（24-25五年级上·广西河池·期末）如图 （1）涂色部分的面积是1.44cm2，y是（ ）cm。 （2）整个大长方形的周长是8.4cm，根据求出的y的值，可得是（ ）cm。 【答案】（1）1.2；（2）1.8 【分析】（1）涂色部分为长方形，依据长方形面积＝长×宽，已知涂色部分的面积和长，宽用y表示，根据长方形的面积公式列方程来求y的值。 （2）整个图形是大长方形，依据长方形周长＝（长＋宽）×2，已知周长、宽和长的组成（x＋1.2），根据长方形的周长公式列方程求解。 【详解】（1）1.2×y＝1.44 解：1.2×y÷1.2＝1.44÷1.2 y＝1.2 涂色部分的面积是1.44cm2，y是1.2cm （2）（x＋1.2＋1.2）×2＝8.4 解：（x＋2.4）×2＝8.4 （x＋2.4）×2÷2＝8.4÷2 x＋2.4＝4.2 x＋2.4－2.4＝4.2－2.4 x＝1.8 整个大长方形的周长是8.4cm，根据求出的y的值，可得是1.8cm。 11．（24-25五年级上·河南信阳·期末）学校开展研学活动，租用大巴车和面包车共10辆。租用一辆大巴车和一辆面包车的费用分别是500元和300元。如果租了辆大巴车，则租了（ ）辆面包车，租大巴车的费用是（ ）元。 【答案】 10－ 500 【分析】已知大巴车和面包车共10辆，如果租了辆大巴车，用总数减去大巴车的数量即可得到面包车数量；根据“总价＝单价×数量”，用租每辆大巴车的费用乘大巴车的数量，即可得到租大巴车的总费用。 【详解】面包车数量：（10－）辆 大巴车费用：500×＝500（元） 即如果租了辆大巴车，则租了（10－）辆面包车，租大巴车的费用是500元。 12．（24-25五年级上·湖南长沙·期末）小玲有张邮票，小丽的邮票张数比小玲的2倍多3张，小丽有（ ）张邮票。 【答案】/ 【分析】根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用小玲有的邮票数乘2，再加上3，即可求出小丽的邮票张数。据此解答即可。 【详解】＝张 即小玲有张邮票，小丽的邮票张数比小玲的2倍多3张，小丽有或张邮票。 13．（24-25五年级上·湖北十堰·期末）故宫的面积是72万平方米，比天安门广场的面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？设天安门广场的面积是x万平方米，用方程表示数量关系：（ ）。 【答案】2x－16＝72 【分析】根据题意可知，故宫的面积比天安门广场面积的2倍少16万平方米，即天安门广场面积×2－16万平方米＝故宫的面积；设天安门广场的面积是x万平方米，列方程：2x－16＝72，据此解答。 【详解】根据分析可知，故宫的面积是72万平方米，比天安门广场的面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？设天安门广场的面积是x万平方米，用方程表示数量关系：2x－16＝72。 14．（24-25五年级上·四川德阳·期末）笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有20个头；从下面数，有54只脚。笼子里有（ ）只鸡和（ ）只兔。 【答案】 13 7 【分析】设笼子里有x只鸡，有（20－x）只兔。用鸡的只数乘每只鸡的2只脚再加上兔的只数乘每只兔的4只脚等于总的54只脚，列出方程，解得方程，最后将x的值代入20－x，即可求得兔的只数。 【详解】解：设笼子里有x只鸡，有（20－x）只兔。 2x＋4（20－x）＝54 2x＋80－4x＝54 2x＋80－4x－54＋4x－2x＝54－54＋4x－2x 26＝2x 2x＝26 2x÷2＝26÷2 x＝13 20－x＝20－13＝7 所以笼子里有13只鸡和7只兔。 15．（24-25五年级上·山东菏泽·期末）甲乙两个工程队合修一条长3600米的公路。他们从两端同时开工，甲队平均每天修70米，乙队平均每天修50米，（ ）天后能够修完这条路。 【答案】30 【分析】设x天后能够修完这条路；甲队平均每天修70米，x天修70x米；乙队平均每天修50米，x天修50x米，甲队修的长度＋乙队修的长度＝公路的长度，列方程：70x＋50x＝3600，解方程，即可解答。 【详解】解：设x天后能够修完这条路。 70x＋50x＝3600 120x＝3600 120x÷120＝3600÷120 x＝30 甲乙两个工程队合修一条长3600米的公路。他们从两端同时开工，甲队平均每天修70米，乙队平均每天修50米，30天后能够修完这条路。 16．（24-25五年级上·湖南永州·期末）植树节，六年级老师和学生共150人去植树，老师每人栽树3棵，学生每2人栽树1棵，一共栽了200棵。有（ ）名学生参加了植树。 【答案】100 【分析】设有x名老师参加了植树；老师每人栽树3棵，老师栽树3x棵；老师和学生150人，学生有（150－x）名；学生每2人栽树1棵，（150－x）名学生栽树（150－x）÷2棵；一共栽了200棵，列方程：3x＋（150－x）÷2＝200，解方程，即可解答。 【详解】解：设有x名老师参加了植树，则学生有（150－x）名。 3x＋（150－x）÷2＝200 3x＋150÷2－0.5x＝200 2.5x＋75＝200 2.5x＋75－75＝200－75 2.5x＝125 2.5x÷2.5＝125÷2.5 x＝50 学生：150－50＝100（名） 植树节，六年级老师和学生共150人去植树，老师每人栽树3棵，学生每2人栽树1棵，一共栽了200棵。有100名学生参加了植树。 17．（24-25五年级上·江西宜春·期末）如图，一张桌子可坐8人，两张桌子并一起可坐14人，照这样计算，n张桌子可坐（ ）人，50人需要并（ ）张桌子。 【答案】 6n＋2 8 【分析】观察图形可知，一张桌子可坐8人，两张桌子可坐（8＋6）人，三张桌子可坐（8＋6×2）人，四张桌子可坐（8＋6×3）人……则n张桌子可坐[8＋6×（n－1）]人，据此解答即可。 【详解】8＋6×（n－1） ＝8＋6n－6 ＝（6n＋2）（人） （50－2）÷6 ＝48÷6 ＝8（张） 一张桌子可坐8人，两张桌子并一起可坐14人，照这样计算，n张桌子可坐（6n＋2）人，50人需要并8张桌子。 三、判断题 18．（24-25五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）是方程的解。（ ） 【答案】× 【分析】判断一个数是否是方程的解，需要将它代入方程，看等式是否成立。根据方程解的定义，若代入后左边等于右边，则是解；否则不是。本题中，将代入方程，计算左边：，右边为 60，左边 ≠ 右边，因此不成立。不是方程的解。 【详解】将代入方程 左边＝ 右边＝60 左边≠右边 因此，不是方程的解。 故答案为：× 19．（24-25五年级上·河北沧州·期末）如果6x＋3＝21，那么4x－2.8的值是9.2。（ ） 【答案】√ 【分析】根据等式的基本性质，方程两边先同时减去3，再同时除以6求出方程6x＋3＝21的解，再将x的值代入式子（4x－2.8）化简，据此判断。 【详解】 解： 把代入式子（4x－2.8）得： 4×3－2.8 ＝12－2.8 ＝9.2 因此如果6x＋3＝21，那么4x－2.8的值是9.2，原题干的说法是正确的。 故答案为：√ 20．（24-25五年级上·湖南张家界·期末）A＋B＝10，算式7.28×A＋7.28×B的计算结果是72.8。（ ） 【答案】√ 【分析】计算7.28×A＋7.28×B时，根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式变成7.28×（A＋B）；再把A＋B＝10代入式子中计算出结果，据此判断。 【详解】当A＋B＝10时 7.28×A＋7.28×B ＝7.28×（A＋B） ＝7.28×10 ＝72.8 所以，A＋B＝10，算式7.28×A＋7.28×B的计算结果是72.8。 原题说法正确。 故答案为：√ 21．（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）2y＋1.6x＝15，8＋2.3a＝2.4a，5x＋7＝12，96＋x这些式子都是方程。（ ） 【答案】× 【分析】含有未知数的等式叫做方程；方程必须具备两个条件：（1）含有未知数；（2）是等式，据此解答。 【详解】2y＋1.6x＝15，含有未知数，是等式，是方程； 8＋2.3a＝2.4a，含有未知数，是等式，是方程； 5x＋7＝12，含有未知数，是等式，是方程； 96＋x，含有未知数，不是等式，不是方程。 2y＋1.6x＝15，8＋2.3a＝2.4a，5x＋7＝12这些式子是方程，96＋x不是方程。 原题干说法错误。 故答案为：× 22．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）x2和2x的含义不一样，但是数值有时也会一样。（ ） 【答案】√ 【分析】x2表示两个x相乘的积，2x表示两个x相加的和，据此解答。 【详解】由分析可得：x2和2x含义不同。但当x＝2时，x2＝2×2＝4，2x＝2×2＝4，它们的值相等。所以原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 23．（24-25五年级上·广西河池·期末）解方程。       4（—3.5）＝1.8           1.8＋6＝39                 —0.36＝16 【答案】3.95；6.2；25 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 （1）方程两边先同时除以4，再同时加上3.5，求出方程的解； （2）方程两边先同时减去1.8，再同时除以6，求出方程的解； （3）先把方程化简成0.64x＝16，然后方程两边同时除以0.64，求出方程的解。 【详解】（1）4（—3.5）＝1.8     解：4（—3.5）÷4＝1.8÷4 —3.5＝0.45 —3.5＋3.5＝0.45＋3.5 ＝3.95 （2）1.8＋6＝39 解：1.8＋6—1.8＝39—1.8 6＝37.2 6÷6＝37.2÷6 ＝6.2 （3）—0.36＝16 解：0.64＝16 0.64÷0.64＝16÷0.64 ＝25 24．（24-25五年级上·湖南湘西·期末）根据数量关系列方程，并求出方程的解。 【答案】； 【分析】看图可知，3个削笔刀的钱数和1支铅笔的钱数是8.4元，根据一个削笔刀的钱数×3＋1支铅笔的钱数＝总钱数，可以列出方程，根据等式的性质1和2，两边同时减1.2，再同时除以3，即可求出方程的解。 【详解】 解： 一个削笔刀2.4元。 五、解答题 25．（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）张师傅每小时加工a个零件，钱师傅每小时加工b个零件，星期五他们一起工作8小时（a＞b）。 （1）用含有字母的式子表示星期五张师傅比钱师傅多加工的零件数量。 （2）当a＝18，b＝14时，这个星期五，张师傅比钱师傅多加工多少个零件？ 【答案】（1）8（a－b）   （2）32个 【分析】（1）根据“工作总量＝工作效率×工作时间”得出，张师傅星期五加工零件数为8×a，即8a，钱师傅星期五加工零件数为8×b，即8b，相减即得到星期五张师傅比钱师傅多加工的零件数量。 （2）把a＝18，b＝14代入上面的式子中计算出结果即可。 【详解】（1）8a－8b＝8（a－b） 答：用含有字母的式子表示星期五张师傅比钱师傅多加工的零件数量为：8（a－b）。 （2）当a＝18，b＝14时， 8（a－b）＝8×（18－14） ＝8×4 ＝32（个） 答：当a＝18，b＝14时，这个星期五，张师傅比钱师傅多加工32个零件。 26．（24-25五年级上·河北保定·期末）今年4月30日马拉松比赛中共有2258名志愿者为保马护航，比10月22日的半程马拉松志愿者的2倍还多58名，今年半程马拉松志愿者共多少名？ 【答案】1100名 【分析】设10月22日的半程马拉松志愿者有名，根据等量关系式“10月22日的半程马拉松志愿者人数×2＋58＝4月30日的马拉松志愿者人数”代入数值列出方程并求解。 【详解】解：设10月22日的半程马拉松志愿者有名。 答：今年半程马拉松志愿者共1100名。 27．（24-25五年级上·四川德阳·期末）王叔叔和李叔叔共同加工一批零件，工作一天，王叔叔加工的零件数量是李叔叔的3倍，李叔叔比王叔叔少加工112个。王叔叔和李叔叔分别加工了多少个零件？ 【答案】168个；56个 【分析】设李叔叔加工了x个零件，则王叔叔加工了3x个零件，根据王叔叔加工的零件个数－李叔叔加工的零件个数＝112个，列出方程求出x的值是李叔叔加工的零件个数，李叔叔加工的零件个数×3＝王叔叔加工的零件个数。 【详解】解：设李叔叔加工了x个零件。 3x－x＝112 2x＝112 2x÷2＝112÷2 x＝56 56×3＝168（个） 答：王叔叔和李叔叔分别加工了168个、56个零件。 28．（24-25五年级·天津河西·期末）中国自主研发并制造了多种机器人，服务于各行各业。某种人形机器人身体上的关节数是某种工业机器人的7倍，它比工业机器人多36个关节，这种人形机器人和工业机器人身体上的关节各有多少个？（用方程解决） 【答案】人形机器人有42个关节，工业机器人有6个关节。 【分析】根据题意，可列出等量关系为：人形机器人身体上的关节数＝工业机器人关节数7，人形机器人身体上的关节数－工业机器人关节数＝36个。将工业机器人关节数设为x个，再根据第二个等量关系式列出方程。 【详解】解：设工业机器人关节数为x个。 7x－x＝36 6x＝36 x＝36÷6 x＝6 7x＝76＝42（个） 答：人形机器人有42个关节，工业机器人有6个关节。 29．（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两艘船同时从上海出发开往青岛。经过18小时后，甲船比乙船少行57.6千米。乙船每小时行35.7千米，甲船每小时行多少千米？（用方程解答） 【答案】32.5千米 【分析】首先根据题意，设甲船每小时行x千米，根据“速度差×经过时间＝路程差”，可以列出数量关系式：（乙船每小时行的路程－甲船每小时行的路程）×18＝甲船比乙船少行的路程，然后根据数量关系式列出方程，求出甲船每小时行多少千米即可解答。 【详解】解：设甲船每小时行x千米。 （35.7－x）×18＝57.6 （35.7－x）×18÷18＝57.6÷18 35.7－x＝3.2 35.7－x＋x＝3.2＋x 3.2＋x＝35.7 3.2＋x－3.2＝35.7－3.2 x＝32.5 答：甲船每小时行32.5千米。 30．（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）某校五年级同学准备乘同一款车去参加社会实践活动。学校根据参与学生人数得知，如果租8辆车，则有15名同学没有座位；如果租9辆车，则多出30个座位。 （1）每辆车上有多少个座位？ （2）一共有多少名同学去参加社会实践活动？ 【答案】（1）45个 （2）375人 【分析】（1）由题意可知，学生的总人数不变，等量关系式：每辆车的座位数×8＋没有座位的同学人数＝每辆车的座位数×9－多出的座位数；设每辆车上有x个座位，根据数量关系列出方程求解即可。 （2）学生的总人数＝每辆车的座位数×8＋没有座位的同学人数，据此列式解答即可。 【详解】（1）解：设每辆车上有x个座位。 8x＋15＝9x－30 9x－8x＝15＋30 x＝45 答：每辆车上有45个座位。 （2）45×8＋15 ＝360＋15 ＝375（人） 答：一共有375名同学去参加社会实践活动。 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级数学上册期末复习（人教版） 专题05：简易方程（期末复习知识清单） 知识点01：用字母表示数 1、用字母表示数在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 （1）当字母与字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“· ”表示。 （2）当数与字母相乘时，乘号也可以省略不写，但一般不用“·”表示。 （3）当两个相同的字母相乘时，可以省略乘号，写成这个字母的平方。 2、用字母表示运算定律 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； 乘法分配律：（a＋b）c＝ac＋＋bc 3、用字母表示计算公式 4、用字母表示常见的数量关系 【名师点拨】 （1）避免“字母与数字顺序颠倒”：字母与数字相乘时，必须数字在前、字母在后。 （2）区分“1与字母相乘”的写法：1与任何字母相乘时，1可省略，避免多余的“1”。 （3）理解“字母表示数的不确定性”：同一字母在不同情境中可表示不同数量，但同一情境中同一字母只能表示同一数量，避免前后含义矛盾。 知识点02：方程的意义 1、含有未知数的等式就是方程。 2、方程必须具备两个条件： ①必须是等式；②必须含有未知数。 【名师点拨】 （1）不忽略“等式”这一前提：仅含有未知数的式子不是方程，需同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。 （2）避免“未知数必须是x”的误区：未知数可以是任意字母，不能只认为含x的等式才是方程。 （3）方程一定是等式，但等式不一定是方程。 知识点03：等式的性质 1、等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数， 左右两边仍然相等。 2、等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【名师点拨】 （1）等式性质2中“除以的数不能为0”：因为0 能作除数，所以等式两边同时除以一个数时，必须强调“这个数不为0”，避免逻辑错误。 （2）“同时”操作的一致性：等式两边的操作必须完全相同，否则等式会被破坏。 （3）不混淆“等式性质1与性质2”的适用场景：当方程中未知数前无系数，用性质1；当未知数前有系数，用性质2，避免错用性质导致解方程步骤混乱。 知识点04：解方程 1、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3、解方程原理：天平平衡。 4、解方程的方法： （1）消元法：利用等式的性质 （2）公式法：①“－x”：减数＝被减数－差；②“÷x”：除数＝被除数÷商。 5、方程的检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值，如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解；否则就不是。 【名师点拨】 （1）“解”字的规范书写：解方程时，必须在算式最左边写“解：”，后续步骤紧跟“解：”书写，不能遗漏“解”字，这是解方程的格式要求。 （2）检验的必要性：即使步骤看似正确，也需通过检验确认解的准确性，避免解错方程。 （3）未知数系数为“1”或“-1”的处理：当未知数系数为1，直接利用性质 1 求解；系数为-1，需两边同时乘-1，不能忽略负号。 知识点05：解决问题 列方程解应用题的步骤： （1）设未知数：根据问题设关键未知量为x，设时需带单位； （2）找等量关系：从情境中找出数量间的相等关系，这是列方程的关键； （3）列方程：根据等量关系列出含有未知数的等式； （4）解方程：按解方程步骤求出x的值，解后不带单位； （5）检验并作答：检验x的值是否符合实际情境，再完整作答。 【名师点拨】 （1）“设未知数”的准确性：设未知数时需明确“设哪个量”（通常设问题中要求的量，如问题问“苹果单价多少元”，设“苹果单价为x元”），设句需完整，且单位要正确。 （2）“找等量关系”的关键：等量关系是列方程的核心，可通过“关键词”（如“一共”“比…… 多”“是……的几倍”）或“公式”（如“总价=单价×数量”）寻找，避免等量关系错误导致方程列错。 （3）解后“检验实际意义”：求出x的值后，除了代入方程检验，还需结合实际情境判断，若不符合实际，需检查设未知数或等量关系是否错误。 考点1：用字母表示数 【例1】（24-25五年级上·湖北孝感·期末）为了响应“全民健身我行动，强身健体保健康”的倡议，小强、小军每天都坚持做仰卧起坐。小强每分钟做a个仰卧起坐，小军每分钟做的仰卧起坐的个数比小强每分钟做的2倍还多3个，小军每分钟做仰卧起坐（ ）个，2a＋3－a表示（ ）。 【例2】（24-25五年级上·湖南湘西·期末）以下选项中，可以用“8a＋b”表示的是（     ）。 A．一本书有a页，明明每天看8页，看了b天，一共看了多少页 B．小明有a岁，爷爷的年龄是他的8倍多b岁，爷爷多少岁 C．表示这条线段的长度 D．小明有a岁，爷爷的年龄是他的8倍多b岁，爷爷比小明大几岁 【练习1】（24-25五年级上·山西阳泉·期末）王阿姨为参加新年联欢会租了一套舞蹈服，这套舞蹈服在出租后的第一天收费10元，以后每天收费6元，王阿姨租了n天，应付（     ）元。 A．6n B．10n C．6n＋4 【练习2】（24-25五年级上·浙江·期中）下列选项中，能用2（a＋6）表示的是（     ）。 A．整条线段的长度： B．这个三角形的周长： C．这个长方形的面积： D．这个长方形的周长： 考点2：含有字母式子的化简与求值 【例3】（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）某快递公司用最大载质量为a吨的集装箱车8辆运货，每次最多共运（ ）吨，当a＝20.5时，8辆集装箱车每次最多共运（ ）吨。 【例4】（24-25五年级上·河南信阳·期末）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开。”（白居易《大林寺桃花》）这两句诗形象地反映了“山寺”由于海拔较高，温度较低，花开较晚的现象。通常海拔每升高1千米，气温下降6℃。 （1）假设“人间”的气温是20℃，大林寺的海拔比“人间”高千米，大林寺的温度用表示。请用含字母的式子表示出。 （2）当在1.0千米和1.1千米之间时，求大林寺桃花花开的温度范围。 【练习1】（24-25五年级上·山东菏泽·期末）游轮以每小时35千米的速度向前行驶，开出t小时后，游轮行驶了（ ）千米。如果t＝10，游轮行驶了（ ）千米。 【练习2】（24-25五年级上·四川德阳·期末）王老师带了一笔钱到文具店，买了a支铅笔，还剩0.8元。 （1）已知每支铅笔1.5元，王老师一共带了（ ）元钱。 （2）当a＝200时，王老师一共带了（ ）元钱。 考点3：方程的意义 【例5】（24-25五年级上·河南安阳·期末）下面式子中，（     ）是方程。 A． B． C． D． 【例6】（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）下面各题的数量关系可以用“4x＋x＝20”表示的是（     ）。 A．长方形的周长是20分米，宽x分米，长是宽的4倍 B．合唱队有女生20人，男生x人，女生是男生的4倍 C．王伯伯家共养鸡、鸭20只，其中鸡x只，鸭是鸡的4倍 D．杏树x棵，桃树的棵数比杏树的4倍还多20棵 【练习】（24-25五年级上·湖北孝感·期末）看图列方程，正确的是（     ）。 A．25×4＋5x＝150 B．25＋5x＝150 C．25×4＋x＝150 考点4：等式的性质 【例7】（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是（     ）。 A．b＝a－2 B．b＋2＝a＋2 C．b－2＋2＝a＋2 D．2b＝2a＋2 【例8】（24-25五年级上·广东汕头·期末）如图2所示，字母相同的球质量相等，则Ⓧ与Ⓨ的质量关系是（     ）。 A．Ⓧ＞Ⓨ B．Ⓨ＞Ⓧ C．Ⓨ＝Ⓧ 【练习】（24-25五年级上·北京延庆·期末）图形□，☆表示两个不为0的数，并且☆＝□，依据等式的性质，下面等式中（     ）不成立。 A．☆＋3＝□＋0.3 B．☆□ C．☆□ D．☆□ 考点5：解方程 【例9】（24-25五年级上·湖北孝感·期末）解方程。 3（x＋0.8）＝4.5           1.5x－4.8×0.6＝4.77 x＋0.8x＝4.5                （100－3x）÷2＝8 【练习】（24-25五年级上·江西宜春·期末）解下列方程。 5x－1.4x＝54                 7（x－8.2）＝39.9            5x＋24×1.5＝66 考点6：列方程解含一个未知数的问题 【例10】（24-25五年级上·山西阳泉·期末）有着2000年历史的欧亚大陆通道“丝绸之路”在甘肃省境内总长达1600千米，比兰州至西安的铁路长2.2倍还多170千米，兰州至西安的铁路长多少千米？（列方程解答） 【例11】（24-25五年级上·河南安阳·期末）为了丰富研学内容，帮助学生理解“相遇问题”。在一条周长720米的圆形步道上，许老师安排了男、女两名学生同时从同一地点出发，相背而行，经过4.5分钟相遇。若男生每分钟走85米，则女生每分钟走多少米？（列方程解答） 【练习1】（24-25五年级上·湖南湘西·期末）师徒两人共同加工54个零件。徒弟先做了2小时，每小时做6个，然后和师傅一起做。师傅每小时做15个，还需要多少小时才能完成任务？（列方程解决问题） 【练习2】（24-25五年级上·山东济宁·期末）汤逊湖是亚洲最大的城中湖，水域面积达47.6平方千米，比东湖水域面积的1.5倍少1.9平方千米。东湖的水域面积有多少平方千米？（列方程解答） 考点7：列方程解含两个未知数的问题 【例12】（24-25五年级上·河南南阳·期末）据统计，青少年儿童体质健康主要指标连续20多年下降，肥胖和近视比例逐年上升。国家在2021年下发了《2021—2025全民健身计划》。为了增强体质，乐乐和爸爸坚持每星期跑步锻炼。星期天两人沿着400米的环形跑道跑步，爸爸每分钟跑245米，乐乐每分钟跑205米，他们两人同时从同一起点出发，同向而行，经过多少分钟后爸爸比乐乐多跑1圈？ 【例13】（24-25五年级上·广西河池·期末）红军小学组织五年级230名学生到甜田农场劳动教育实践基地开展研学实践活动，在研学实践中同学们近距离感受科技创新给农耕劳动带来的便利，大家在活动中还尝试了制作扎染、栽草莓等实践活动。这次参加研学实践活动的男生人数是女生人数的1.3倍。参加活动的男、女生各有多少人？（用方程解答） 【练习1】（24-25五年级上·江西宜春·期末）甲盒糖果的颗数是乙盒的3倍，如果从甲盒里拿出6颗糖果放入到乙盒中，那么两盒糖果的颗数相等，甲、乙两盒糖果各有多少颗？ 【练习2】（24-25五年级上·湖北随州·期末）随州银杏谷景区上月游客人数达到11.18万人，其中成人人数是儿童人数的1.6倍。上月去银杏谷景区的儿童和成人各有多少万人？（列方程解答） 一、选择题 1．（24-25五年级·重庆万州·期末）（如图）3个杯子叠起来高15厘米，5个杯子叠起来高19厘米。a个杯子叠起来的高度是（     ）厘米。 A． B． C． 2．（24-25五年级上·河北衡水·期末）下面是一份购书清单，根据清单信息列方程正确的是（     ）。 商品名称 单价 数量 总价 《趣说历史》 x元 18本 《趣味故事》 8.5元 24本 204元 合计 340.8元 A．18x＋204＝340.8 B．8.5x＝（340.8－204）÷18 C．8.5x＝204 3．（24-25五年级上·山东济南·期末）不能正确表达如图等量关系的是（     ）。 A．6000＋3000＋x＝7500 B．6000－x＝7500－3000=4500=4500 C．7500＋x＝6000＋3000 4．（24-25五年级上·广东广州·期末）已知2x＝2.4，那么2x＋x＝（     ）。 A．1.2 B．3.6 C．4.8 5．（24-25五年级上·山西忻州·期末）一张单人课桌的价格是145元，它的价格比一把椅子的2倍便宜5元，设一把椅子的价格为x元，下面方程正确的是（     ）。 A．2x－5＝145 B．2x＋5＝145 C．145－2x＝5 二、填空题 6．（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）小明今年a岁，妈妈今年（a＋22）岁，再过8年后，他们相差（ ）岁。 7．（24-25五年级上·河南安阳·期末）安安购买了一本吴承恩原著《西游记》共720页，他每天坚持读页，读了一个月（30天）后，这本书还有（ ）页没有读。当时，这本书还有（ ）页没有读。 8．（24-25五年级上·江西赣州·期末）小亮买了5本笔记本，每本n元，付了25元，应找回（ ）元；当n＝1.5时，应找回（ ）元。 9．（24-25五年级上·山东济宁·期末）一辆汽车油箱里有60升汽油，汽车匀速行驶每小时耗油升，行驶5小时后油箱剩油20升。根据这一信息，列出的方程是（ ）；方程的解为（ ）。 10．（24-25五年级上·广西河池·期末）如图 （1）涂色部分的面积是1.44cm2，y是（ ）cm。 （2）整个大长方形的周长是8.4cm，根据求出的y的值，可得是（ ）cm。 11．（24-25五年级上·河南信阳·期末）学校开展研学活动，租用大巴车和面包车共10辆。租用一辆大巴车和一辆面包车的费用分别是500元和300元。如果租了辆大巴车，则租了（ ）辆面包车，租大巴车的费用是（ ）元。 12．（24-25五年级上·湖南长沙·期末）小玲有张邮票，小丽的邮票张数比小玲的2倍多3张，小丽有（ ）张邮票。 13．（24-25五年级上·湖北十堰·期末）故宫的面积是72万平方米，比天安门广场的面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？设天安门广场的面积是x万平方米，用方程表示数量关系：（ ）。 14．（24-25五年级上·四川德阳·期末）笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有20个头；从下面数，有54只脚。笼子里有（ ）只鸡和（ ）只兔。 15．（24-25五年级上·山东菏泽·期末）甲乙两个工程队合修一条长3600米的公路。他们从两端同时开工，甲队平均每天修70米，乙队平均每天修50米，（ ）天后能够修完这条路。 16．（24-25五年级上·湖南永州·期末）植树节，六年级老师和学生共150人去植树，老师每人栽树3棵，学生每2人栽树1棵，一共栽了200棵。有（ ）名学生参加了植树。 17．（24-25五年级上·江西宜春·期末）如图，一张桌子可坐8人，两张桌子并一起可坐14人，照这样计算，n张桌子可坐（ ）人，50人需要并（ ）张桌子。 三、判断题 18．（24-25五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）是方程的解。（ ） 19．（24-25五年级上·河北沧州·期末）如果6x＋3＝21，那么4x－2.8的值是9.2。（ ） 20．（24-25五年级上·湖南张家界·期末）A＋B＝10，算式7.28×A＋7.28×B的计算结果是72.8。（ ） 21．（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）2y＋1.6x＝15，8＋2.3a＝2.4a，5x＋7＝12，96＋x这些式子都是方程。（ ） 22．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）x2和2x的含义不一样，但是数值有时也会一样。（ ） 四、计算题 23．（24-25五年级上·广西河池·期末）解方程。       4（—3.5）＝1.8           1.8＋6＝39                 —0.36＝16 24．（24-25五年级上·湖南湘西·期末）根据数量关系列方程，并求出方程的解。 五、解答题 25．（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）张师傅每小时加工a个零件，钱师傅每小时加工b个零件，星期五他们一起工作8小时（a＞b）。 （1）用含有字母的式子表示星期五张师傅比钱师傅多加工的零件数量。 （2）当a＝18，b＝14时，这个星期五，张师傅比钱师傅多加工多少个零件？ 26．（24-25五年级上·河北保定·期末）今年4月30日马拉松比赛中共有2258名志愿者为保马护航，比10月22日的半程马拉松志愿者的2倍还多58名，今年半程马拉松志愿者共多少名？ 27．（24-25五年级上·四川德阳·期末）王叔叔和李叔叔共同加工一批零件，工作一天，王叔叔加工的零件数量是李叔叔的3倍，李叔叔比王叔叔少加工112个。王叔叔和李叔叔分别加工了多少个零件？ 28．（24-25五年级·天津河西·期末）中国自主研发并制造了多种机器人，服务于各行各业。某种人形机器人身体上的关节数是某种工业机器人的7倍，它比工业机器人多36个关节，这种人形机器人和工业机器人身体上的关节各有多少个？（用方程解决） 29．（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两艘船同时从上海出发开往青岛。经过18小时后，甲船比乙船少行57.6千米。乙船每小时行35.7千米，甲船每小时行多少千米？（用方程解答） 30．（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）某校五年级同学准备乘同一款车去参加社会实践活动。学校根据参与学生人数得知，如果租8辆车，则有15名同学没有座位；如果租9辆车，则多出30个座位。 （1）每辆车上有多少个座位？ （2）一共有多少名同学去参加社会实践活动？ 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $