精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，如图，是水平放置的的直观图，且，，中边上的高为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量,满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则为第二象限角，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则在上的投影向量的数量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 在中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系中正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 11. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数,其中a为常数,且函数的图象过点,则______． 13. 在中，是的中点，，点为线段上的一点，则的最大值为__________. 14. 在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．若为1阶等比数列，且，，则_________；若数列是2阶等比数列，且，，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知在中，点，角的平分线所在直线的方程为边上的高所在直线的方程为． （1）求点的坐标及直线的方程； （2）求点的坐标． 16. 锐角中角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 17. 已知分别为三个内角的对边，且满足. （1）求A； （2）若，求a. 18. 已知. （1）若,求的值； （2）若,求x的值. 19. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2. 已知，如图，是水平放置的的直观图，且，，中边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴，结合可得出中边上的高. 【详解】由轴，得为边上的高，由，可得， 所以边上的高为. 故选：D. 3. 已知向量,满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律及坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 故选：A. 4. 已知，则为第二象限角，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据诱导公式，求得正切值，利用正切函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，，故. 故选：D. 5. 已知向量，则在上的投影向量的数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的数量的意义求解即得. 【详解】向量，则， 所以在上的投影向量的数量为. 故选：C 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理代入计算即可得到边，从而得到结果. 【详解】设，由余弦定理， 得，整理得，所以， 所以为等腰三角形． 故选：D 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即可. 【详解】在中，，，，由正弦定理得， 而，则，所以. 故选：A 8. 在中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得到方程结合题设数据即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 所以，又因为， 所以角，所以，故或， 当时，，当时，， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据元素与集合的关系，可得，所以A正确； 对于B中，根据集合与集合间的关系，可得，所以B正确； 对于C中，根据集合相等的定义，可得，所以C正确； 对于D中，集合为数集，集合为点集，所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知不等式进行常变量分离，得到，观察分母，联想不等式，结合指数的运算性质进行放缩进行求解即可.. 【详解】由题意可得， 则. 设，则. 由，得，由，得，则在上单调递减， 在上单调递增，故，即. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则，故. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题的关键是常变量分离后，利用不等式和指数的运算性质进行放缩. 11. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算即可判断ABC，根据复数模的性质和计算公式即可判断D. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确； 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数,其中a为常数,且函数的图象过点,则______． 【答案】1 【解析】 【分析】将点代入中,解出即可. 【详解】解:由题知,将点代入中有: ,解得:. 故答案为:1 13. 在中，是的中点，，点为线段上的一点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，设，，则，根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为是的中点，点为上的一点，所以， 又，设，，则， 所以， 当时，此时， 当时，此时， 当时，与共线同向， 所以， 当且仅当时取等号， 综上可得的最大值为. 故答案为： 14. 在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．若为1阶等比数列，且，，则_________；若数列是2阶等比数列，且，，，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定的定义，求出首项和公比即可得通项；判断数列的特性，再利用等比数列前n项和公式，结合分组求和法即可得解. 【详解】由为1阶等比数列，得，则为正项等比数列， 设的公比为，则，解得，所以； 由是2阶等比数列，得，即，而， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知在中，点，角的平分线所在直线的方程为边上的高所在直线的方程为． （1）求点的坐标及直线的方程； （2）求点的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，联立方程组，求得的坐标，由边上的高所在直线方程，得到直线的斜率为，结合点斜式方程，求得得直线方程； （2）设关于直线的对称点为，列出方程组，求得，根据题意，得到点在直线上，求得的直线方程为，联立方程组，求得点的坐标. 【小问1详解】 设，联立方程组，解得，所以点的坐标为， 因为边上的高所在直线的方程为，可得斜率为， 可得直线的斜率为， 所以的直线方程为，即. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 可得，解得，所以， 因为角的平分线所在直线的方程为，可得点在直线上， 可得，所以的直线方程为，即， 联立方程组，解得，所以点的坐标为. 16. 锐角中角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； 【小问2详解】 由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 17. 已知分别为三个内角的对边，且满足. （1）求A； （2）若，求a. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，从而得解； （2）利用三角形面积公式求得，再利用余弦定理即可得解. 【小问1详解】 （1）因为， 由正弦定理得， 在中，，则，得， 而，可. 【小问2详解】 因为， 所以，即，解得， 所以. 则. 18. 已知. （1）若,求的值； （2）若,求x的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）时，由方程得，根据实部、虚部为零列方程组求解即可； （2）时，，代入方程整理，根据实部、虚部为零列方程组求解即可. 【小问1详解】 时，由方程得，则，得； 【小问2详解】 时，， 代入方程整理得， 则，得或， 故或. 19. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的最大值； （2）由参变分离法可得对任意的恒成立，利用导数求出的最大值，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，该函数的定义域为， 则， 由，得；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为. 【小问2详解】 对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立. 设，其中，则， 由，得，由，得， 则在上单调递增，上单调递减， 从而，故， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $