5.1 角的概念的推广（教学设计）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

北师大版《数学基础模块上册》 第五章 三角函数 5.1 角的概念的推广 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “角的概念的推广”是“三角函数”的开篇内容，是突破传统“0°~360°角”认知、构建三角函数体系的基础工具。教材先通过“跳水运动、自行车比赛”等生活场景，引出正角、负角、零角的定义，再拓展终边相同的角与象限角。这种设计既契合中职学生，最终总结出与终边相同的角的集合表示方法。这种“从生活现象到数学抽象概念”的认知规律，深化了“数形结合”“运动变化”的数学思想，帮助学生建立“用推广后的角描述生活中任意旋转”的思维。 五、学情分析 学生已掌握初中“0°~360°角”的静态概念，具备“角是由两条射线组成”的认知基础，但在角的概念推广学习中可能存在对“角的旋转定义”理解模糊，易混淆“静态角”与“动态角”的差异；对终边相同的角的“循环性”感知不足，难以用集合表示其规律；同时，将象限角与平面直角坐标系结合的能力较弱，易出现终边位置判断错误。因此，教学中需借助生活旋转案例强化动态角认知，通过直观演示明确终边与象限的关联。 六、教学目标 1.能够理解任意角的概念，掌握正角、负角和零角的定义。 2.能准确判断象限角，并会用集合表示终边相同的角。 3.通过观察生活实例，经历角的概念推广的过程，培养学生的观察能力和抽象概括能力。 七、教学重点 1.任意角的概念，包括正角、负角和零角的定义。 2.象限角的概念及终边相同的角的表示方法。 八、教学难点 正确表示终边相同的角并写出其集合形式。 九、教学方法 探究法：设置问题情境，引导学生自主探究终边相同的角的规律，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。 练习法：通过课堂练习，及时巩固所学知识，让学生在练习中加深对重点知识的理解和掌握，提高应用能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 问题1： 中国跳水队享有奥运“梦之队”的美誉。自1984年到2016年，奥运会跳水项目一共产生了56枚奥运金牌，中国跳水队一共夺得了40枚，约占其中的71.4%。如图所示，跳水比赛中有“向前翻腾一周半”和“向后翻腾两周半”的动作，你知道这两个动作分别表示的旋转的角度是多少吗？ 问题2： 环青海湖国际公路自行车赛是我国规模最大、参赛队伍最多的竞赛，也是世界上海拔最高的国际性竞赛，“绿色、人文、和谐”的竞赛主题倡导体育运动应低碳环保，促进文化交流、人与自然和谐共生。如图所示，选手在骑自行车时，自行车车轮在前进和后退的过程中旋转形成的角一样吗？ 【分析】 生活中随处可见超出～范围的角。 问题1中“向前翻腾一周半”和“向后翻腾两周半”的跳水动作，不仅有超出360^°的“一周半”和“两周半”的角，而且旋转的方向也不同，产生的效果也不一样； 问题2中自行车前进时车轮若是逆时针方向旋转，可以旋转几百圈甚至上 万圈，后退时车轮则是顺时针方向旋转，其形成的角是不一样的。 因此，要准确描述这些现象，就应知道旋转度数和旋转方向，这就需要对角的概念进行推广。 通过生活案例来引出角的概念的推广这一知识点，有利于学生思考，激发学生的学习兴趣。 导入新知 在平面内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 .习惯上，我们规定： 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角, 如图（1）所示; 按顺时针方向旋转形成的角称为负角,如图（2）所示；如果一条射线没有做任何旋转, 也认为形成了一个角, 这个角称为零角，如图（3）所示； 这样我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 在作图时，我们通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角．例如, 下图中的角, 可以记作“∠AOB”或“∠O”。 我们使用小写的希腊字母α,β,γ,……来表示角, 记作“角α”“角β”“角γ”……．为了简便起见，我们把“角α”或“∠α”简记“α”“β”“γ”……例如, α=420°, β= −135°． 为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定： ☆角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴 ，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角. 例如：下图中的：690°、-210°分别是是第四象限角和第二象限角。 注意： 如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如0°、90°、180°、270°角。 数形结合说明问题帮助学生理解角的概念的推广，掌握任意角的定义，提升直观想象核心素养。 案例分析 【例题】下列角中属于正角的是（ ） A．顺时针旋转形成的角 B．逆时针旋转形成的角 C．没有旋转形成的角 D．顺时针旋转形成的角 【解析】逆时针旋转形成的角为正角， 故选：B. 【例题】将分针拔慢5分钟. 则分针转过的角度是（ ） A． B． C． D． 【解析】针拔慢5分钟，即逆时针旋转，则转过的角度为正角， 分针每60分钟转，则5分钟转过的角度为：. 故选：C. 通过例题来帮助学生更好地理解任意角，学会判断与运用。 学以致用 【练习】下列不是界限角的是（ ） A． B． C． D． 【解析】终边在轴正半轴上，为界限角； 终边在轴正半轴上，为界限角； 终边在第二象限，为象限角； 终边在轴负半轴上，为界限角； 故选：. 【练习】下列命题正确的是（ ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于的角都是锐角 【解析】选项A，终边相同的角不一定相等，如，，故A错误； 选项B，第一象限角是指终边落在第一象限的角，如是第一象限角，但不是锐角，故B错误. 选项C，锐角是内的角，其终边一定落在第一象限，故C正确； 选项D，小于的角可能是负角，所以“小于的角都是锐角”错误，故D错误. 故选：C. 通过及时练习帮助学生进一步巩固任意角.。 教学引入 如图所示，在平面直角坐标系中，分别画出了，3，角，观察其终边有何联系？，与3在数值上有什么关系？ 观察发现，图中，与3角终边相同，并且与3角终边相同的这些角都可以表示成3角与k个(k∈Z)周角的和，如 =3- (这里k=-1),=3+(这里k=1). 进一步分析可知，与3角终边相同的所有角都可以表示成3角与k(k ∈Z)个周角的和，因此可用集合S = {β |β=3+k·,k∈Z)表示与3角终边相同的角。 显然，，角都是集合S 中的元素，3角也是S中的元素（此时k=0）.反之，集合S 中的任何一个元素都与3角终边相同. 思考： 与，，，，…角终边相同的角构成的集合又应该如何表达呢？ 通过生活案例引出终边相同的角的表示方法。 导入新知 一般地，角α+k·（k ∈Z）与角a的终边相同，连同α在内，可以组成一个集合S={β |β=α+ k·, k∈Z},任意的与α终边相同的角都可以表示成α与整数个周角的整数倍）的和。 通过向学生展示终边相同的所有角所构成的集合来帮助学生理解与记忆。 案例分析 【例题】与终边相同的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【解析】与终边相同的角的集合是，故A正确； 中与终边相同，而与终边不相同，故B错误； 中与终边相同，而与终边不相同，故C错误； 中与终边相同，而与终边不相同，故D错误， 故选：A. 通过案例来加深学生对终边相同的角的集合的判断方法与书写方式。 学以致用 【练习】设角的顶点为坐标原点，且其始边与轴非负半轴重合，则终边与相同的角用集合可表示为（ ） A． B． C． D． 【解析】角的顶点为坐标原点，且其始边与轴非负半轴重合， 则终边与相同的角用集合可表示为， 故选：. 通过及时练习来进一步加强学生对终边相同的角的表达方式的理解和运用。 课堂练习 【练习1】与角终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 【解析】终边相同的角满足． ，，故A正确； ，，故B错误； ，，故C错误； ，，故D错误， 故选：A. 【练习2】下列说法正确的是 （ ） A．第一象限角一定是正角 B．锐角一定在第一象限 C．终边相同的角一定相等 D．小于 的角一定是钝角 【解析】A 错误，第一象限角可以是正角或负角，只要终边在第一象限即可 B 正确，锐角定义为大于 且小于 的角，一定在第一象限 C 错误，终边相同的角可以相差 的整数倍，不一定相等 D 错误，小于 的角可以负角、锐角、直角和钝角 故选：B. 【练习3】已知角，则的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】已知角， 所以角与终边相同， 因为，终边落在第三象限， 所以的终边在第三象限， 故选：C. 【练习4】下列说法中错误的有（ ） （1）小于的角都是锐角；（2）第二象限的角一定比第一象限的角大； （3）终边相同的角一定相等；（4）和的终边相同 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】小于的角不一定都是锐角，例，故（1）错误， 第二象限的角不一定比第一象限的角大，例为第二象限， 为第一象限角，但，故（2）错误， 终边相同的角不一定相等，例与，故（3）错误， ，所以和的终边相同，故（4）正确， 错误的有3个， 故选：C. 现在请大家结合本节课所学知识来回答下列问题： 某游乐园的旋转木马，每旋转1圈需要2分钟，以旋转木马中心为旋转中心，逆时针旋转为正方向。①旋转5分钟后，旋转木马的旋转角是多少？②这个角与哪些角的终边相同？请写出两个不同的角。 答案： ①5分钟旋转2圈半，旋转角为2.5×360°=900°； ②终边相同的角可以是900°-360°=540°，900°-2×360°=180°（答案不唯一）. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. 知识梳理 与角α终边相同的所有角构成的集合为S={β |β=α+k·360°,k∈Z} 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的题型； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角; 负角：按顺时针方向旋转形成的角称为负角； 零角：一条射线没有做任何旋转, 也认为形成了一个角, 这个角称为零角 终边相同的角： 与角α终边相同的所有角构成的集合为S={β |β=α+k·360°,k∈Z} 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注。 11、 教学反思 在本节课的教学过程中，通过“生活场景导入→动态角概念抽象→案课堂练习”的环节设计，帮助学生初步掌握了角的概念推广的核心内容，多数学生能区分正角、负角。但教学中仍存在不足：部分学生对“终边相同的角的集合表示”仍不规范，易遗漏“k∈Z”。后续教学中，需补充“终边相同的角的集合规范书写”训练，强化k的意义理解，提升知识的实用性。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $