5.1 角的概念的推广（教学课件）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

5.1 角的概念的推广 第五章 三角函数 北师大版 基础模块上册 学习目标 1.能够理解任意角的概念，掌握正角、负角和零角的定义。 2.能准确判断象限角，并会用集合表示终边相同的角。 3.通过观察生活实例，经历角的概念推广的过程，培养学生的观察能力和抽象概括能力。 问题1：中国跳水队享有奥运“梦之队”的美誉。 自1984年到2016年，奥运会跳水项目一共产 生了56枚奥运金牌，中国跳水队一共夺得了40 枚，约占其中的71.4%。如图所示，跳水比赛 中有“向前翻腾一周半”和“向后翻腾两周 半”的动作，你知道这两个动作分别表示的旋 转的角度是多少吗？ 教学引入 教学引入 问题2：环青海湖国际公路自行车赛是我国规模最大、参赛队伍最多的竞赛，也是世界上海拔最高的国际性竞赛，“绿色、人文、和谐”的竞赛主题倡导体育运动应低碳环保，促进文化交流、人与自然和谐共生。如图所示，选手在骑自行车时，自行车车轮在前进和后退的过程中旋转形成的角一样吗？ 教学引入 【分析】 生活中随处可见超出～范围的角。 问题1中“向前翻腾一周半”和“向后翻腾两周半”的跳水动作，不仅有超出的“一周半”和“两周半”的角，而且旋转的方向也不同，产生的效果也不一样； 教学引入 问题2中自行车前进时车轮若是逆时针方向旋转，可以旋转几百圈甚至上 万圈，后退时车轮则是顺时针方向旋转，其形成的角是不一样的。 因此，要准确描述这些现象，就应知道旋转度数和旋转方向，这就需要对角的概念进行推广。 导入新知1 在平面内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 . 习惯上，我们规定： 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角, 如图（1）所示; 图（1） 导入新知1 按顺时针方向旋转形成的角称为负角, 如图（2）所示； 如果一条射线没有做任何旋转, 也认为形成了一个角, 这个角称为零角， 如图（3）所示； 图（2） 图（3） 这样我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 导入新知1 在作图时，我们通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角．例如, 下图中的角, 可以记作“∠AOB”或“∠O”． 我们使用小写的希腊字母 α, β, γ, ……来表示角, 记作“角α”“角β”“角γ”……．为了简便起见，我们把“角α”或“∠α”简记“α”“β”“γ”…… 例如, α=420°, β= −135°． 导入新知1 为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定： ☆角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴 ，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角. 二 一 三 四 导入新知1 例如：下图中的：690°、-210°分别是是第四象限角和第二象限角。 注意： 如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如0°、90°、180°、270°角。 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 学以致用 教学引入 如图所示，在平面直角坐标系中， 分别画出了，，角，观 察其终边有何联系？，与 在数值上有什么关系？ 教学引入 观察发现，图中，与角终边相同，并且与角终边相同的这些角都可以表示成角与k个(k∈Z)周角的和，如 = - (这里k = -1), =+ (这里 k= 1). 教学引入 进一步分析可知，与角终边相同的所有角都可以表示成角与k(k ∈Z)个周角的和，因此可用集合S = {β |β=+ k · , k ∈Z)表示与角终边相同的角。 显然，，角都是集合S 中的元素，角也是S中的元素（此时k=0）.反之，集合S 中的任何一个元素都与角终边相同. 教学引入 思考： 与，，，，…角终边相同的角构成 的集合又应该如何表达呢？ 一般地，角α+ k ·（k ∈Z）与角a的终边相同，连同α在内，可以组 成一个集合 S={β |β=α+ k360°, k∈Z}, 任意的与α终边相同的角都可以表示成α与整数个周角的整数倍）的和。 导入新知2 案例分析 案例分析 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 现在请大家结合本节课所学知识来回答下列问题： 某游乐园的旋转木马，每旋转1圈需要2分钟，以旋转木马中心为旋转中心，逆时针旋转为正方向。①旋转5分钟后，旋转木马的旋转角是多少？②这个角与哪些角的终边相同？请写出两个不同的角。 答案：①5分钟旋转2圈半，旋转角为2.5×360°=900°； ②终边相同的角可以是900°-360°=540°，900°-2×360°=180°（答案不唯一）. 课堂小结 与角α终边相同的所有角构成的集合为：S={β |β=α+ k360°, k∈Z} 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】下列角中属于正角的是（ ） A．顺时针旋转形成的角 B．逆时针旋转形成的角 C．没有旋转形成的角 D．顺时针旋转形成的角 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 逆时针旋转形成的角为正角， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】将分针拔慢5分钟. 则分针转过的角度是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 针拔慢5分钟，即逆时针旋转，则转过的角度为正角， 分针每60分钟转，则5分钟转过的角度为：. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】下列不是界限角的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 终边在轴正半轴上，为界限角；终边在轴正半轴上，为界限角； 终边在第二象限，为象限角；终边在轴负半轴上，为界限角； 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】下列命题正确的是（ ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于的角都是锐角 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 选项A，终边相同的角不一定相等，如，，故A错误； 选项B，第一象限角是指终边落在第一象限的角，如是第一象限角，但不是锐角，故B错误. 选项C，锐角是内的角，其终边一定落在第一象限，故C正确； 选项D，小于的角可能是负角，所以“小于的角都是锐角”错误，故D错误，故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】与终边相同的角的集合是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 与终边相同的角的集合是，故A正确； 中与终边相同，而与终边不相同，故B错误； 中与终边相同，而与终边不相同，故C错误； 中与终边相同，而与终边不相同，故D错误，故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】设角的顶点为坐标原点，且其始边与轴非负半轴重合，则终边与相同的角用集合可表示为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 角的顶点为坐标原点，且其始边与轴非负半轴重合， 则终边与相同的角用集合可表示为， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】与角终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 终边相同的角满足． ，，故A正确；，，故B错误；，，故C错误；，，故D错误，故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】下列说法正确的是 （ ） A．第一象限角一定是正角 B．锐角一定在第一象限 C．终边相同的角一定相等 D．小于 的角一定是钝 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 A 错误，第一象限角可以是正角或负角，只要终边在第一象限即可 B 正确，锐角定义为大于 且小于 的角，一定在第一象限 C 错误，终边相同的角可以相差 的整数倍，不一定相等 D 错误，小于 的角可以负角、锐角、直角和钝角 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】已知角，则的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知角， 所以角与终边相同， 因为，终边落在第三象限， 所以的终边在第三象限，故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】下列说法中错误的有（ ） （1）小于的角都是锐角；（2）第二象限的角一定比第一象限的角大； （3）终边相同的角一定相等；（4）和的终边相同 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 小于的角不一定都是锐角，例，故（1）错误， 第二象限的角不一定比第一象限的角大，例为第二象限， 为第一象限角，但，故（2）错误， 终边相同的角不一定相等，例与，故（3）错误， ，所以和的终边相同，故（4）正确， 错误的有3个，故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $