4.5 指数函数与对数函数的实际应用（同步练习）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

北师大版《数学 基础模块上册》 第四章 指数函数与对数函数 4.5 指数函数与对数函数的实际应用 一、单选题 1．设光线通过一块玻璃，强度损失、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 2．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车． A．1 B．2 C．3 D．4 3．某机械的功率（单位：瓦特）与运转速度（单位：转 / 分钟）的关系为.当功率瓦特 时，机械的运转速度约为（ ）. A．转 / 分钟 B．转 / 分钟 C．转 / 分钟 D．转 / 分钟 二、填空题 4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为200只，则15年后它们发展到 只. 5．已知某种产品的生产成本每年降低．若该产品2020年底的生产成本为6400元/件，那么2023年底的生产成本为 元/件． 三、解答题 6．在家庭装修中，某种油漆的干燥时间（小时）与室内温度（）满足. (1)当室内温度为4时，求油漆的干燥时间. (2)若油漆干燥时间要控制在小时以内，求室内温度的范围. 一、单选题 1．城市的空气质量指数与空气中污染物浓度（单位：）的关系为.当为时，空气中污染物浓度约为（ ）. A． B． C． D． 2．水污染治理一直是国家的重大工程.如果河水开始的污染程度为，经过治理之后，每年可以减少污染度，那么10年之后，污染程度变为（ ） A． B． C． D． 3．世界地球日为每年的4月22日，旨在提高人类对于环境保护问题的重视.今年世界地球日的主题是“全球战塑”.生物学家为了解塑料制品对土壤的影响，常通过检测进行分析.已知土壤中某种塑料制品的残留量（毫克）与时间（年）近似满足关系式，其中是残留系数，则土壤中该塑料制品残留量降为原来的所需时间为（ ） A．63年 B．127年 C．255年 D．511年 4．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A．300年 B．255年 C．175年 D．125年 二、填空题 5．一台价值100万元的新机床，按每年的折旧率折旧，5年后这台机床大约值 万元（保留到整数位）． 6．声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.平时常人交谈时声强约为，则其声强级是 . 7．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 ． 三、解答题 8．某企业的投资回报率与投资项目的运营时间（单位：年）满足. (1)当投资项目运营时间为年时，求投资回报率. (2)若要使投资回报率达到，投资项目运营时间应为多少年？ 9．某创新型投资产品的年化收益率y与投资期限x（年）满足指数函数关系. (1)若投资2年，年化收益率是多少？ (2)若希望年化收益率达到8%，投资期限至少为多少年？（结果保留整数，参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版《数学 基础模块上册》 第四章 指数函数与对数函数 4.5 指数函数与对数函数的实际应用 一、单选题 1．设光线通过一块玻璃，强度损失、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意建立指数不等式，结合指数函数的单调性，即可求解. 【分析】设通过这样的玻璃块，则由题意得，化得， 两边同时取常用对数，可得， 因为，所以， 则至少通过块玻璃． 故选：C. 2．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意列出酒精含量与时间的关系式，进而求解. 【详解】设小时后才可以驾车，据题意得， ， 解得： 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车， 故选：B． 3．某机械的功率（单位：瓦特）与运转速度（单位：转 / 分钟）的关系为.当功率瓦特 时，机械的运转速度约为（ ）. A．转 / 分钟 B．转 / 分钟 C．转 / 分钟 D．转 / 分钟 【答案】B 【分析】根据题意列出方程即可得解. 【详解】已知，当时，，即 ， 解得转 / 分钟， 故选：. 二、填空题 4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为200只，则15年后它们发展到 只. 【答案】800 【分析】根据题意将代入中求出值，再将代入函数解析式中即可得解. 【详解】将代入得， 即，解得， 所以， 当时，， 故答案为：. 5．已知某种产品的生产成本每年降低．若该产品2020年底的生产成本为6400元/件，那么2023年底的生产成本为 元/件． 【答案】2700 【分析】根据指数函数模型求解即可. 【详解】由题可知， 2021年底生产成本为：元/件； 2022年底生产成本为：元/件； 2023年底生产成本元/件. 故答案为：2700 三、解答题 6．在家庭装修中，某种油漆的干燥时间（小时）与室内温度（）满足. (1)当室内温度为4时，求油漆的干燥时间. (2)若油漆干燥时间要控制在小时以内，求室内温度的范围. 【答案】(1)小时 (2) 【分析】（1）根据题意，结合对数的运算代数求解即可； （2）根据题意建立对数不等式，结合对数的性质，求解即可. 【详解】（1）因为油漆的干燥时间与室内温度满足， 当时，， 即当室内温度为4时，油漆的干燥时间小时. （2）当时，即， 可化为， 因为对数函数单调递增，且， 所以，解得， 即油漆干燥时间要控制在小时以内，室内温度的范围为 . 一、单选题 1．城市的空气质量指数与空气中污染物浓度（单位：）的关系为.当为时，空气中污染物浓度约为（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出方程即可得解. 【详解】已知，代入， 得到，即，解得， 故选：. 2．水污染治理一直是国家的重大工程.如果河水开始的污染程度为，经过治理之后，每年可以减少污染度，那么10年之后，污染程度变为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数函数的应用，即可求解. 【详解】根据题意，10年之后，污染程度变为. 故选：B. 3．世界地球日为每年的4月22日，旨在提高人类对于环境保护问题的重视.今年世界地球日的主题是“全球战塑”.生物学家为了解塑料制品对土壤的影响，常通过检测进行分析.已知土壤中某种塑料制品的残留量（毫克）与时间（年）近似满足关系式，其中是残留系数，则土壤中该塑料制品残留量降为原来的所需时间为（ ） A．63年 B．127年 C．255年 D．511年 【答案】B 【分析】先求解土壤中塑料制品的初始残留量，再将代入函数解析式即可求解时间. 【详解】因为函数关系式为， 当时，，即土壤中塑料制品的初始残留量为8a， 因为计算土壤中该塑料制品残留量降为原来的所需的时间， 将代入函数关系式中，得到， 化简得到，得，解得， 土壤中该塑料制品残留量降为原来的所需时间为年. 故选：B. 4．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A．300年 B．255年 C．175年 D．125年 【答案】A 【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案． 【详解】依题意可得， 即， 所以． 故选：A． 二、填空题 5．一台价值100万元的新机床，按每年的折旧率折旧，5年后这台机床大约值 万元（保留到整数位）． 【答案】73 【分析】根据指数函数模型列式求解. 【详解】年折旧率，则一年后价值为， 两年后价值为，…， 五年后价值为． 故答案为：73. 6．声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.平时常人交谈时声强约为，则其声强级是 . 【答案】60 【分析】根据公式直接计算得到答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：60 7．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 ． 【答案】4.3/ 【分析】设里氏3.1级地震以及里氏级地震所散发出来的能量分别为，，则，根据已知得出，根据对数的运算性质，化简即可得出答案. 【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，则. 由已知可得. 所以， . 故答案为：． 三、解答题 8．某企业的投资回报率与投资项目的运营时间（单位：年）满足. (1)当投资项目运营时间为年时，求投资回报率. (2)若要使投资回报率达到，投资项目运营时间应为多少年？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解析式，利用对数运算，即可求解. （2）根据解析式，利用指数式与对数式的互换，即可求解. 【详解】（1）由题意知， 当时，. （2）由题意知投资回报率达到， 令，即， 化简得， 即，解得. 9．某创新型投资产品的年化收益率y与投资期限x（年）满足指数函数关系. (1)若投资2年，年化收益率是多少？ (2)若希望年化收益率达到8%，投资期限至少为多少年？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1) (2)5年 【分析】（1）根据函数关系，代入投资期限计算年化收益率即可求解. （2）根据目标年化收益率和函数关系列方程，借助对数即可求出投资期限. 【详解】（1）因为年化收益率y与投资期限x（年）满足指数函数关系， 所以当时，， 所以投资2年的年化收益率是. （2）因为年化收益率达到8%，所以， 所以，即， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $