4.5 指数函数与对数函数的实际应用（教学设计）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

北师大版《数学基础模块上册》 第四章 指数函数与对数函数 4.5 指数函数与对数函数的应用 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “指数函数与对数函数的实际应用”是“指数函数与对数函数”章节的综合实践内容，是将指数、对数函数概念转化为生活问题解决工具的关键环节。教材通过人口增长、灭菌疫苗与温度的关系等生活实例，搭建“场景特征→函数模型→求解分析”的应用逻辑，帮助学生建立“根据变化规律选择函数模型”的思维。这种设计既契合中职学生 “从生活实例到数学建模”的认知规律，又深化了“数形结合”“模型选择” 的数学思想，帮助学生掌握“用指数/对数函数解决专业领域问题”的方法。 五、学情分析 学生已掌握指数函数、对数函数的基本概念、图像与性质，以及指数、对数的运算性质（含换底公式等），具备一定的函数分析和逻辑推理能力。但在指数函数与对数函数的应用学习中，可能对“不同实际场景下如何选择指数或对数模型”认知不清晰，容易混淆指数型增长与对数型增长的变化特征，对“从实际问题中抽象出函数模型并求解”的完整流程缺乏系统思路。学生在知识迁移与应用方面有待提升，需引导其逐步建立“实际问题→函数模型→性质应用→解决问题”的认知链条，突破“学用脱节”的思维局限，为后续更复杂的函数应用做好方法和思维上的铺垫。 六、教学目标 1.能准确识别生活及学科场景中适合用指数函数或对数函数描述的问题； 2.能根据场景中的关键信息正确列出对应的函数表达式； 3.能通过函数图象或数据趋势，初步分析问题的变化规律，提升数学建模与运算求解能力。 七、教学重点 培养学生运用指数函数与对数函数去分析问题 、解决问题的能力 . 八、教学难点 根据实际问题建立相应的指数函数或对数函数模型 . 九、教学方法 情境教学法：通过创设丰富的实际生活情境，激发学生学习兴趣，让学生感受指数函数与对数函数的实际应用，引导学生主动思考。 问题驱动教学法：提出一系列具有启发性的问题，引导学生逐步深入分析问题，培养学生的思维能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 知识回顾 同学们，在之前的课程中，我们学习了指数函数与对数函数的定义与性质。接下来，让我们进行简单的回顾： 1.什么是指数函数？ 一般地，形如y=(a>0,≠1,x∈R)的函数称为指数函数。 2.指数函数的性质有哪些？ 3.什么是对数函数？ 一般地，形如y=(a>0,a≠1,x>0)的函数称为对数函数。其中x是自变量，函数的定义域为(0,+∞). 4.对数函数的性质有哪些？ 通过回顾指数函数与对数函数的表达式来引出指数函数与对数函数的实际应用。 教学引入 我们学习的基本初等函数，可以描述、刻画客观世界中某一类事物运动变化的规律。 利用指数函数与对数函数的相关知识建立函数模型，可以描述、刻画科学与技 术、经济与社会、生产与生活中的“指数增长”和“对数增长”现象。 【案例1】开展人口普查，对于调整、完善人口政策，推动人口结构优化，促进人口素质提升具有重要意义。第七次全国人口普查结果显示，2020年年末全国大陆总人口为141178万人，其中城镇常住人口90199万人，占总人口的比例（常住人口城镇化率）为63.89%，与2010年相比，提高了14.21个百分点。 (1) 假设此后每年都增加700万人口，20年后我国大陆人口总数是多少？ 【分析】 这是经济社会中的“线性增长”现象，即每年增加量保持不变，每年增加700万人口，20年共增加14000万人口，因此总共人口为155178万。 【解析】因为每年增加700万人口，20年共增加20×700 万=14000万人口，因此20年后我国大陆人口为155178万（15.5178亿）。 (2) 假设此后每年人口的平均增长率是1%（每年都在前一年基础上增加1%），20年后我国大陆人口总数约为多少？（单位：万，结果精确到0.01） 【分析】这是经济社会中的“指数增长”现象，即每年按照一定的增长率（成倍数）增长。我们首先考查逐年增长的情况，从中发现每一年都是前一年的(1+1%)倍（也可采用后一年与前一年的比值发现规律），即呈指数增长，最后利用指数函数知识解决问题。 2020年年末 人口约为141178万； 经过1年 人口约为141178(1+1%) 万； 经过2年，人口约为141178(1+1%)(1+1%) = 141178万； 经过3年，人口约为\( 141178(1+1%) = 141178万； …… 经过x年,人口约为141178万。 【解析】设经过年，我国人口为y万，由题意得 y= 141178 当=20时，y= 141178. 利用科学计算器可求得y≈172263.99 万。 所以，假设每年都增加700万人口，20年后我国大陆人口为155178万；假设每年人口的平均增长率是1%，经过20年后我国大陆人口约为172263.99万. 比较两种增长方式，发现随着时间推移，“指数增长”方式更具有爆发性. 通过生活举例来引出指数函数模型。 导入新知 一般地，形如 (a>0，且a≠1，≠0)的函数称为指数型函数，这是生活实际中常见的和实用的函数模型。其中，当a>1时，该函数叫作指数增长模型(如“指数爆炸”现象)；当 0<a<1 时，该函数叫作指数衰减模型(如考古工作中的碳14衰减现象). 总结指数函数模型的形式。 案例分析 【例题】2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1600倍（参考数据：，，，.） A．126 B．150 C．197 D．199 【解析】设经过天能达到最初的1600倍， 故. 故. 故选：A. 通过案例分析来帮助学生对指数函数模型的形式的理解与思考。 学以致用 【练习】某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（ ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【解析】因为在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120， 所以，，所以， 所以，所以，所以. 则该疫苗在15℃时的有效保存时间为40小时. 故选：C. 通过及时练习来巩固指数函数模型。 教学引入 【案例2】2020年12月8日，中国、尼泊尔两国共同向全世界正式宣布，世界第一高峰珠穆朗玛峰的最新海拔高程为8848.86 m。由于珠穆朗玛峰气候多变、高寒缺氧、环境复杂，对测量装备、测绘技术和测绘人员有很高的要求，因此精确测量珠穆朗玛峰高程是一个国家测绘技术水平和能力的综合体现。 已知海拔高程y(m)与大气压强x(Pa)之间的关系可用函数y=k++c 来近似描述，其中 c，k可看成常量。又知登顶过程中，海平面的大气压强为1.013×Pa，北坳营地海拔7028 m，大气压强约为 4.21× Pa。 (1) 当大气压强为3.81×Pa时，海拔高程是多少？ (2) 当测绘人员在登顶过程中测得其所在位置的海拔高程为8844.43 m时，大气压强为多少？ 【解析】海平面的海拔高程为0 m。将= 1.013×,= 0,= 4.21×, = 7028,分别代入函数关系式 y=k+c,解得k≈-8004.203, c≈92255.180. 于是，大气压强与海拔高程的关系式近似为 y = -8004.203 + 92255.180 ① 【解析】 (1)当x= 3.81×时，y =-8004.203×ln3.81×+ 92255.180 ≈7827.090. 所以，当大气压强为3.81×Pa时，海拔高程约为7827.090 m。 (2)把y= 8844.43 代入①式， 8844.43 = -8004.203+ 92255.180, = 10.421⇒x =≈33556.974≈3.36×. 所以，当测绘人员在登顶过程中测得其所在位置的海拔高程为8844.43 m时，大气压强为.36×Pa} ，约为海平面大气压强的。 通过生活举例来引出对数函数模型。 导入新知 一般地，形如y=（a>0，且a≠1,x>0）的函数称为对数型函数，这是生活实际中描述“先快后慢”变化规律的常用函数模型。 其中，当a>1时，该函数称为对数增长模型（如学习知识的“遗忘曲线”、手机充电后期的电量变化）；当0<a<1时，该函数称为对数衰减模型(如热水降温后期的温度变化、污水净化时污染物浓度的后期衰减）。 总结对数函数模型的形式。 案例分析 【例题】某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的繁殖数量(只)与引入时间(年)的关系为.若该动物在引入一年后的繁殖数量为100只，则第3年它们的繁殖数量为（ ） A．200只 B．300只 C．400只 D．600只 【解析】因为该动物在引入一年后的繁殖数量为100只，所以当时，，所以. 当时，，则第3年它们的繁殖数量为200. 故选：A. 通过案例分析来帮助学生对对数函数模型的形式的理解与思考。 学以致用 【练习】某基金的净值增长率与投资时间（单位：年）满足.若投资时间为年，那么净值增长率为（ ）. A． B． C． D． 【解析】当时，， 故选：. 通过及时练习来巩固对数函数模型。 深入理解 指数函数与对数函数的特点及适用场景： 通过表格的形式总结指数函数与对数函数的特点及适用场景 课堂练习 【练习1】某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】3月份盈利6000元，5月份盈利6200元， 设该书店每月盈利的平均增长率为， 则， 故选： 【练习2】某林场计划第一年造林m亩，以后每年比前一年多造，那么第4年造林（ ） A．亩 B．亩 C．亩 D．亩 【解析】第一年造林m亩，以后每年比前一年多造，那么第4年造林亩． 故选：B． 【练习3】专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长，经过年可能增长到原来的倍，则函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知 ， 根据指数函数的图像可判断，只有D选项符合. 故选：D 【练习4】下列说法正确的个数是（ ） （1）函数的衰减速度越来越慢. （2）增长速度不变的函数模型是一次函数模型. （3）若，对于任意，一定有. A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】对于（1），由对数函数的图象可知其衰减速度越来越慢，正确； 对于（2），一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变，正确； 对于（3），当时，如，错误. 故选：C 【练习5】随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年的平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元. 【解析】由题意知， 2019年底该地区农民人均收入为元； 2020年底该地区农民人均收入为元； 2021年底该地区农民人均收入为元； 依此类推，2025年底该地区农民人均收入为. 故选：B 现在请大家结合本节课所学知识来判断以下4个生活场景对应的函数模型： 场景1：“某短视频平台用户量，上线初期用户数快速翻倍，后期增长逐渐放缓。” 场景2：“刚买的新手机，前半年电池续航下降明显，之后续航衰减速度变慢。” 场景3：“银行复利存款，本息随时间以固定比例持续增长。” 场景4：“地震震级（里氏震级）：震级每升1级，能量约是原来的32倍。” 答案： 场景1/2：对数型（变化“先快后慢”，符合对数函数的增速/衰减放缓特征） 场景3/4：指数型（变化是“倍数累积”，符合指数函数的持续增长/爆炸特征） 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. 知识梳理 1.指数函数与对数函数的应用场景 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂内容并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 一般地，形如(a>0，且a≠1，≠0)的函数称为指数型函数. 一般地，形如y=（a>0，且a≠1,x>0）的函数称为对数型函数. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注。 11、 教学反思 本次指数函数与对数函数应用教学，以生活实例为切入点，通过人口增长等情境，引导学生感受函数模型的实际价值，有效激发了学习兴趣。教学中，从指数函数与对数函数的联系出发，培养了学生对两知识点的结合能力。 同时注重应用梯度设计，从简单的函数计算到多函数的实际应用，多数学生能掌握基本应用。但在复杂实际问题建模时，部分学生对“函数选择的合理性”理解不足。后续需加强“实际问题—模型构建—检验优化”的链条训练，提升学生对函数工具性价值的把握及数学建模意识。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $