4.5 指数函数与对数函数的实际应用（教学课件）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

4.5 指数函数与对数函数 的实际应用 第四章 指数函数与对数函数 北师大版 基础模块上册 学习目标 1.能准确识别生活及学科场景中适合用指数函数或对数函数描述的问题； 2.能根据场景中的关键信息正确列出对应的函数表达式； 3.能通过函数图象或数据趋势，初步分析问题的变化规律，提升数学建模与运算求解能力。 知识回顾 同学们，在之前的课程中，我们学习了指数函数与对数函数的定义与性质。接下来，让我们进行简单的回顾： 1.什么是指数函数？ 一般地，形如且的函数叫做指数函数。 2.指数函数的性质有哪些？ 知识回顾 3.什么是对数函数？ 一般地，形如且的函数叫作对数函数. 4.对数函数的性质有哪些？ 我们学习的基本初等函数，可以描述、 刻画客观世界中某一类事物运动变化的规 律。 利用指数函数与对数函数的相关知识 建立函数模型，可以描述、刻画科学与技 术、经济与社会、生产与生活中的“指数 增长”和“对数增长”现象。 教学引入 教学引入 【案例1】开展人口普查，对于调整、完善人 口政策，推动人口结构优化，促进人口素质提 升具有重要意义。第七次全国人口普查结果显 示，2020年年末全国大陆总人口为141178万 人，其中城镇常住人口90199万人，占总人口 的比例（常住人口城镇化率）为63.89%，与 2010年相比，提高了14.21个百分点。 教学引入 (1) 假设此后每年都增加700万人口，20年后我国大陆人口总数是多少？ 【分析】 这是经济社会中的“线性增长”现象，即每年增加量保持不变，每年增加700万人口，20年共增加14000万人口，因此总共人口为155178万。 【解析】因为每年增加700万人口，20年共增加20×700 万=14000万人口，因此20年后我国大陆人口为155178万（15.5178亿）。 教学引入 (2) 假设此后每年人口的平均增长率是1%（每年都在前一年基础上增加1%），20年后我国大陆人口总数约为多少？（单位：万，结果精确到0.01） 【分析】这是经济社会中的“指数增长”现象，即每年按照一定的增长率（成倍数）增长。我们首先考查逐年增长的情况，从中发现每一年都是前一年的(1+1%)倍（也可采用后一年与前一年的比值发现规律），即呈指数增长，最后利用指数函数知识解决问题。 教学引入 2020年年末 人口约为141178万； 经过1年 人口约为141178(1+1%) 万； 经过2年 人口约为141178(1+1%)(1+1%) = 141178万； 经过3年 人口约为141178(1+1%) = 141178万； …… 经过年 人口约为141178万。 教学引入 【解析】设经过x年，我国人口为y 万，由题意得 y = 141178. 当=20时，y = 141178. 利用科学计算器可求得y ≈172263.99 万。 所以，假设每年都增加700万人口，20年后我国大陆人口为155178万；假设每年人口的平均增长率是1%，经过20年后我国大陆人口约为172263.99万. 比较两种增长方式，发现随着时间推移，“指数增长”方式更具有爆发性. 导入新知 一般地，形如 (>0，且1，0)的函数称为指数型函数，这是生活实际中常见的和实用的函数模型。其中，当>1时，该函数叫作指数增长模型(如“指数爆炸”现象)；当 0<<1 时，该函数叫作指数衰减模型(如考古工作中的碳14衰减现象). 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 【案例2】2020年12月8日，中国、尼泊尔两国共 同向全世界正式宣布，世界第一高峰珠穆朗玛峰 的最新海拔高程为8848.86 m。由于珠穆朗玛峰气 候多变、高寒缺氧、环境复杂，对测量装备、测 绘技术和测绘人员有很高的要求，因此精确测量 珠穆朗玛峰高程是一个国家测绘技术水平和能力 的综合体现。 教学引入 已知海拔高程(m)与大气压强(Pa)之间的关系可用函数 来近似描述，其中 ，可看成常量。又知登顶过程中，海平面的大气压强为1.013× Pa，北坳营地海拔7028 m，大气压强约为 4.21× Pa。 问题如下： (1) 当大气压强为3.81×Pa时，海拔高程是多少？ (2) 当测绘人员在登顶过程中测得其所在位置的海拔高程为8844.43 m时，大气压强为多少？ 教学引入 【解析】海平面的海拔高程为0 m。将 = 1.013×,= 0,= 4.21×, = 7028,分别代入函数关系式 解得≈-8004.203, ≈92255.180. 于是，大气压强与海拔高程的关系式近似为 y = -8004.203 + 92255.180 ① 教学引入 【解析】 (1) 当= 3.81×时， y = -8004.203×+ 92255.180 ≈7827.090. 所以，当大气压强为3.81×Pa时，海拔高程约为7827.090 m。 (2) 把y = 8844.43 代入①式， 8844.43 = -8004.203 + 92255.180, = 10.421⇒x =33556.9743.36×. 所以，当测绘人员在登顶过程中测得其所在位置的海拔高程为8844.43 m时，大气压强为.36×Pa} ，约为海平面大气压强的。 导入新知 一般地，形如（>0，且≠1,）的函数称为对数型函数，这是生活实际中描述“先快后慢”变化规律的常用函数模型。 其中，当>1时，该函数称为对数增长模型（如学习知识的“遗忘曲线”、手机充电后期的电量变化）；当0<<1时，该函数称为对数衰减模型(如热水降温后期的温度变化、污水净化时污染物浓度的后期衰减）。 案例分析 案例分析 学以致用 深入理解 指数函数与对数函数的特点及适用场景： 函数类型 形式 核心特点 典型适用场景 指数函数模型 (a>0,且a≠1,x>0) 变化率与当前量成正比， 呈 “指数级” 增长 / 衰减 人口增长、复利计算、 放射性衰变、细菌繁殖 对数函数模型 （>0，且≠1, ） 变化率与当前量成反比，增长 / 下降速率逐渐放缓 学习曲线（技能掌握速率）、声强分贝计量、 pH 值（酸碱度）计量 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 现在请大家结合本节课所学知识来判断以下4个生活场景对应的函数模型： 场景1：“某短视频平台用户量，上线初期用户数快速翻倍，后期增长逐渐放缓。” 场景2：“刚买的新手机，前半年电池续航下降明显，之后续航衰减速度变慢。” 场景3：“银行复利存款，本息随时间以固定比例持续增长。” 场景4：“地震震级（里氏震级）：震级每升1级，能量约是原来的32倍。” 答案：场景1/2：对数型（变化“先快后慢”，符合对数函数的增速/衰减放缓特征） 场景3/4：指数型（变化是“倍数累积”，符合指数函数的持续增长/爆炸特征） 课堂小结 指数函数模型与对数函数模型的应用场景 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（    ）天能达到最初的1600倍（参考数据：，，，.） A．126 B．150 C．197 D．199 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设经过天能达到最初的1600倍， 故. 故. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（ ） A．15h B．30h C．40h D．60h 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120， 所以，，所以， 所以，所以，所以. 则该疫苗在15℃时的有效保存时间为40小时. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的繁殖数量(只)与引入时间(年)的关系为.若该动物在引入一年后的繁殖数量为100只，则第3年它们的繁殖数量为（    ） A．200只 B．300只 C．400只 D．600只 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为该动物在引入一年后的繁殖数量为100只，所以当时，，所以. 当时，，则第3年它们的繁殖数量为200. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】某基金的净值增长率与投资时间（单位：年）满足.若投资时间为年，那么净值增长率为（    ）. A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 当时，， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 3月份盈利6000元，5月份盈利6200元， 设该书店每月盈利的平均增长率为， 则，故选： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】某林场计划第一年造林m亩，以后每年比前一年多造，那么第4年造林（ ） A．亩 B．亩 C．亩 D．亩 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 第一年造林m亩，以后每年比前一年多造，那么第4年造林亩，故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长，经过年可能增长到原来的倍，则函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意可知 ， 根据指数函数的图像可判断，只有D选项符合. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】下列说法正确的个数是（ ） （1）函数的衰减速度越来越慢. （2）增长速度不变的函数模型是一次函数模型. （3）若，对于任意，一定有. A．0 B．1 C．2 D．3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对于（1），由对数函数的图象可知其衰减速度越来越慢，正确； 对于（2），一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变，正确； 对于（3），当时，如，错误. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年的平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意知， 2019年底该地区农民人均收入为元； 2020年底该地区农民人均收入为元； 2021年底该地区农民人均收入为元 依此类推，2025年底该地区农民人均收入为. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $