1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动（高效培优讲义）物理人教版选择性必修第二册

本讲义聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动核心知识点，系统梳理速度平行或垂直磁场时的运动规律，圆周运动半径与周期的计算方法，不同边界（直线、圆形）磁场的轨迹分析，以及组合场、叠加场中的运动综合应用，构建从基础规律到复杂情境的学习支架。 资料通过“探究归纳”提炼物理模型（如对比电偏转与磁偏转特点），培养科学思维；例题融入“中国散裂中子源”“托卡马克核聚变装置”等科技情境，渗透科学态度与责任。课中助力教师分层教学，课后【能力培优练】与高考真题结合，帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1 题型2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 4 题型3 带电粒子在磁场中的不同运动情况分析 7 题型4 带电粒子在组合场中的运动 13 题型5 带电粒子在叠加场中的运动 17 【能力培优练】 22 【链接高考】 27 【重难题型讲解】 题型1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1、若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0。 2、若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动。 （1）洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 （2）带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 3、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动的分析方法。 【探究归纳】带电粒子垂直射入匀强磁场时，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动；平行射入时受力为零，做匀速直线运动，遵循左手定则判断受力方向。 【典例1-1】如图甲所示，有一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等的磁场。一个电子以速度v从立方体左侧垂直yOz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域，其运动轨迹在xOy平面上的投影如图乙所示。关于立方体空间内两区域内磁场方向分布可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（多选）1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子。他利用放在强磁场中的云室来记录宇宙线粒子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，借以减慢粒子的速度。当宇宙线粒子通过云室内的强磁场时，拍下粒子径迹的照片，如图所示。这个粒子的径迹与电子的径迹十分相似，只是偏转方向相反。由此，安德森发现了正电子，并由于这一发现，获得了1936年的诺贝尔物理学奖。关于安德森发现正电子的这个实验，下列说法中正确的是（　　） A．图中正电子的运动方向从下向上 B．图中正电子的运动方向从上向下 C．图中磁场的方向垂直于纸面向外 D．图中磁场的方向垂直于纸面向里 跟踪训练1如图所示，竖直平面与平面垂直，在平面左侧存在方向沿轴负方向的匀强磁场，右侧存在沿轴正方向的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为且范围均足够大，现有一带正电的粒子从平面上的点沿轴负方向射入左侧的匀强磁场后在两磁场中来回运动，忽略磁场边界效应，不计粒子重力，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2 （多选）两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。若不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子动能较大 D．a粒子在磁场中运动时间较长 题型2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径：由qvB＝m，可得r＝。 2、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期：由r＝和T＝，可得T＝，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关。 3、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的圆心确定：圆心位置的确定通常有以下两种基本方法 （1）已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． （2）已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 4、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径确定：半径的计算一般利用几何知识解直角三角形，做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解。 5、粒子在匀强磁场中运动时间的确定 （1）粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)。 确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角。 （2）当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长。 6、带电粒子（或微粒）在非匀强磁场中的运动 当粒子在非匀强磁场中运动时，半径公式r＝和周期公式T＝不再适用，但可以用来定性分析随着磁场的变化，半径和周期的变化情况。 ★特别提醒 （1）虽然非匀强磁场中r＝与T＝不再适用，但仍可以用来定性分析粒子的半径与周期的变化。 【探究归纳】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，半径r＝（与速度成正比），周期T＝（与速度无关），均由粒子质量、电荷量及磁场磁感应强度决定。 【典例2-1】如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图。电子枪发射速度与磁场垂直的电子。电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。某次操作中电子的轨迹由甲图变为乙图，下列可能的操作与判断正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中电流，电子运动的周期变小 B．仅增大电子枪加速电压，电子运动的周期变大 C．仅减小励磁线圈中电流，电子运动的周期变小 D．仅减小电子枪加速电压，电子运动的周期变大 【典例2-2】（多选）如图，三个完全相同的半圆形光滑绝缘轨道竖直放置，分别处在真空、匀强磁场和匀强电场中，轨道两端在同一高度上，分别为轨道的最低点。三个相同的带正电小球同时从轨道左端最高点由静止开始沿轨道运动且均能通过最低点。如图所示，则下列有关判断正确的是（　　） A．三个小球到达轨道右端的最大高度都相同 B．小球第一次到达轨道最低点的速度关系 C．小球第一次到达轨道最低点时对轨道的压力关系 D．小球第一次到达轨道最低点时所受合力关系 【典例2-3】ab边界下方存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m的带电粒子，从Q点以大小为v的初速度与ab边界成60°角射入磁场（如图），粒子经磁场偏转后，从边界上的M点射出磁场，粒子在磁场中的运动半径为r。粒子重力不计，求： (1)粒子的电性和电量q； (2)Q、M两点间距离L； (3)粒子由Q点运动至M点所用的时间t。 跟踪训练1科学家可以利用磁场对带电粒子的运动进行有效控制。如图所示，圆心为、半径为的圆形区域外存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场。点为纸面内一离子源，可以沿着与成的方向发射速度大小不等的同种正离子，已知，不计粒子重力。为使离子源发射的正离子都能射入圆形区域，则正离子在磁场中做圆周运动的轨道半径需满足（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2 （多选）一个电子（不计重力，质量m，电荷量e）以速度垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中， 则（　　） A．电子在图示时刻受到垂直向上的洛伦兹力 B．电子在磁场中匀速圆周运动的半径 C．电子的速度始终不变 D．电子的动能始终不变 跟踪训练3如图所示，匀强磁场的边界CD和EF相互平行，宽度为d，磁感应强度为B，一带负电的粒子垂直于磁场方向射入，入射方向与CD边界夹角为，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力。 (1)若粒子垂直磁场边界EF射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间； (2)若粒子恰好未从EF边界射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间。 题型3 情况分析 一、带电粒子在直线边界磁场中的运动 1、带电粒子在直线边界磁场中的运动的两种情形 （1）直线边界 （2）平行边界 2、带电粒子在有界磁场中的常用几何关系 （1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。 （2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。 3、常见的解题思路 （1）圆心的确定 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹．确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中。 垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将。 其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线。 交于一点O，该点就是圆心。 （2）半径的确定 方法一：由物理方程求：半径r＝； 方法二：由几何方程求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。 （3）时间的确定：由确定通过某段圆弧所用的时间，其中T为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角θ越大，所用时间越长。 二、带电粒子在弧形或圆形边界磁场中的运动 1、圆形边界：如图所示，带电粒子从某点沿圆形磁场的半径方向人射，从另一点射出磁场时速度的反向延长线过磁场的圆心，即沿径向射入必沿径向射出。 2、几个与角有关的物理量 如图所示，粒子做匀速圆周运动时，φ为粒子速度的偏向角，粒子与圆心的连线转过的角度α为回旋角（或圆心角），AB弦与切线的夹角θ为弦切角，它们的关系为φ=α=2θ，θ与相邻的弦切角θ'互补，即θ+θ'=180°。 3、如何确定“圆心角与时间” ①速度的偏向角φ=圆弧所对应的圆心角（回旋角）α=2倍的弦切角θ ②时间的计算方法． 方法一：由圆心角求，；方法二：由弧长求，。 ★特别提醒 由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。 （1）两种思路 ①以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解。 ②直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。 （2）两种方法 物理方法：①利用临界条件求极值；②利用问题的边界条件求极值；③利用矢量图求极值。 数学方法：①利用三角函数求极值；②利用二次方程的判别式求极值；③利用不等式的性质求极值；④利用图象法等。 （3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 【探究归纳】带电粒子在不同边界磁场中运动，需结合几何关系定轨迹圆心、半径，利用洛伦兹力公式和圆周运动规律分析运动轨迹与时间。 【典例3-1】如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为足够长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为m、带电量为+q的粒子，粒子速率均为，则（　　） A．接收板接收到离子的区域长度为2h B．能被接收的离子占总离子的 C．被接收的粒子运动最短时间为 D．被接收的粒子运动最长时间为 【典例3-2】（多选）如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴上方充满磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场。在O点有一可视为质点的粒子源，沿纸面不断放出同种带负电粒子，且粒子的速率均为v，粒子射入磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角θ的范围为60°~120°。不计粒子重力及粒子间的相互作用，已知粒子在y轴上能到达的最远距离为a，则下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的半径为a B．粒子射出磁场时到O点的最远距离为2a C．粒子射出磁场时到O点的最近距离为a D．从距O点最近的位置射出磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为 【典例3-3】如图所示，半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中P点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从Q点射出磁场。忽略粒子的重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在磁场中运动时间； (3)若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P点射入，仍从Q点射出，则圆形磁场的最小面积为？ 跟踪训练1如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面的匀强磁场，一带正电粒子垂直于纸板从板上的小孔射入磁场，另一带电粒子垂直于磁场且与挡板成角射入磁场，、两个带电粒子比荷大小相等，两粒子恰好都打在板上点，不计重力，下列说法正确的是（    ） A．粒子带负电 B．在磁场中的运动时间一定大于在磁场中的运动时间 C．若磁场方向垂直纸面向里，则、的初速度大小之比为 D．若磁场方向垂直纸面向外，则、的初速度大小之比为 跟踪训练2（多选）如图所示，直角三角形AOC内（含边界）充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，已知∠A=30°，AO=L。在O点放置一可视为质点的粒子源，能在纸面内发射各种速率、比荷为k的带负电粒子，且粒子发射时的速度方向与边界OA的夹角均为θ。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（    ） A．若θ=45°，则有粒子从A点射出磁场 B．若θ=30°，则从边界OA射出磁场的粒子的最大速率为BkL C．若θ=90°，则边界OA有粒子射出的长度为 D．若θ=90°，则从边界AC射出磁场的粒子速率均大于 跟踪训练3如图所示，一个圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场（图中未画出），圆形磁场区域的半径为R，磁感应强度大小为B，O为圆心，P为其竖直直径的下端点，Q为其水平直径的左端点。P点有一个粒子源，可同时沿180°范围向磁场中均匀发射速度大小相同的质量为m，电荷量为q的带正电粒子，已知所有粒子的最远出射点为Q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。求： (1)粒子的速度大小； (2)所有粒子轨迹在磁场中扫过的面积； (3)从Q点出射的粒子出磁场时，还在磁场中的粒子占粒子总数的比例。 题型4 带电粒子在组合场中的运动 组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现。 1、解决带电粒子在组合场中的运动所需知识 2、“电偏转”与“磁偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 只受恒定的静电力F＝qE v⊥E进入匀强电场 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB v⊥B进入匀强磁场 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 利用牛顿第二定律、向心力公式有r＝，T＝，t＝ 【探究归纳】带电粒子在组合场（电场、磁场组合）中分段运动，电场中做匀变速运动，磁场中做匀速圆周运动，以边界速度为衔接点分析。 【典例4-1】“中国散裂中子源”（CSNS）是我国重大科技基础设施，用于研究物质微观结构。在CSNS的粒子加速器中，带电粒子的运动控制至关重要。如图所示，在xOy平面内，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；第四象限存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。带电荷量为+q的粒子，从y轴上的P点以初速度沿x轴正方向射入电场，粒子从M点（图中未画出）第一次经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，粒子进入磁场区域后经一段时间，从N点（图中未画出）第二次经过x轴。忽略粒子重力，则O、N两点间的距离为（　　） A． B． C． D． 【典例4-2】（多选）如图，在真空中一条理想分界线将平面分为左右两侧。左侧区域存在平行于分界线的匀强电场，右侧区域存在垂直水平面向里的匀强磁场。在左侧电场中有一粒子源，沿垂直分界线的方向射出速率为的带正电粒子（不计重力），带电粒子进入和离开磁场分别经过分界线上的两点（图中未标出），则下列说法中正确的是（　） A．若仅增大匀强电场的场强，则之间的距离会增加 B．若仅增大带电粒子的初速度，则之间的距离会增加 C．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则之间的距离会增加 D．若仅增大之间的距离，之间的距离保持不变 【典例4-3】如图所示的xOy坐标系中，y轴左侧存在平行y轴且向下的匀强电场，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从x轴上的A点以速度v、与x轴正方向成（未知）角射入第二象限，然后从y轴上的C点（未画出）垂直y轴射入第一象限，最终从x轴上的D点（未画出）垂直x轴射出磁场，，不计粒子重力，求： (1)及电场强度大小E； (2)磁感应强度大小B； (3)粒子从A点运动到D点的时间。 跟踪训练1在半导体离子注放工艺中，初速度可忽略的离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ=30°后从磁场右边界射出。则在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋（　　） A．在磁场中运动的半径之比为3:1 B．在电场中的加速度之比为1:1 C．在磁场中转过的角度之比为1:2 D．离开磁场区域时的动能之比为1: 跟踪训练2（多选）如图所示，平面坐标系xOy中，一抛物线的方程为，在抛物线的上方有竖直向下的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。抛物线上每个位置可连续发射质量为m、电荷量为q的粒子，粒子均以大小为的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点O。不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小 B．电场强度的大小 C．从抛物线上横坐标的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 D．从抛物线上横坐标的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 跟踪训练3（2025·天津·高考真题）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从电场中的O点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为，粒子返回电场前的运动轨迹过P点正上方的Q点，P、Q间距离及O、P间的水平距离均为L。不计粒子重力。 (1)判断粒子的电性； (2)求电场强度大小E； (3)求磁感应强度大小B。 题型5 带电粒子在叠加场中的运动 叠加场：电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。 1、是否考虑粒子重力 （1）对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为一般情况下其重力与静电力或洛伦兹力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 （2）在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 （3）不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否考虑重力。 2、处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路 3、带电粒子在叠加场中做直线运动有两种情况（不考虑平行于电场和磁场射入） （1）不计粒子重力，则必有洛伦兹力等于电场力，Bqv=qE。 （2）考虑粒子重力，则必有电场力与重力的合力等于洛伦兹力。 也就是说只要粒子在含有磁场的叠加场中做直线运动，一定是匀速直线运动。因为如果是变速运动，则洛伦兹力也会变化，合力与速度方向不再一条直线上，粒子就不可能再做直线运动。 4、叠加场中三中场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G=mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F=qE 方向:正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关 W=qU电场力做功改变电势能 磁场 大小:f=qvB(v⊥B) 方向:可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 ★特别提醒 1、动量和动能都是描述物体运动情况的物理量，动能是从能量的角度进行描述，动量是从运动学的角度进行描述。 2、动量与动能之间没有必然的联系，动量大的物体动能不一定大；动能大的物体，动量不一定大。 【探究归纳】洛伦兹力方向用左手定则判定：磁感线穿掌心，四指指向正电荷运动方向（负电荷相反），大拇指指向即为受力方向。 【典例4-1】某空间存在匀强磁场和匀强电场。一个带电粒子（不计重力）以一定初速度射入该空间后，做匀速直线运动；若仅撤去电场，则该粒子做匀速圆周运动，下列说法正确的是（    ） A．只改变带电粒子的电性和电量，粒子不能做匀速直线运动 B．只改变粒子入射速度大小，粒子可能做匀速直线运动 C．只改变磁场和电场的强弱，粒子可能做匀速直线运动 D．撤去电场后，粒子的动能可能增大 【典例4-2】（多选）如图所示，绝缘粗糙的竖直墙壁MN右侧一定宽度区域内，同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，方向水平向左，磁场磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为的带电小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开墙壁，之后恰好从边界处D点以速度水平向右飞出。已知A、C两点间距离为，C、D间高度差为，不计空气阻力，忽略边界效应，则（    ） A．小滑块运动至A、C中点时受到4个力的作用 B．小滑块与墙壁的动摩擦因数一定小于 C．小滑块运动过程中克服摩擦力做功 D．边界到MN距离为 【典例4-3】如图所示，、为带电金属板，金属板间电压为，板间距离为，同时板间有方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一束带正电粒子以平行于金属板的速度自点射入复合场区域，恰好沿直线通过金属板。已知为的中点，金属板足够长，带电粒子的比荷，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)若仅撤去电场，带电粒子将打在金属板上某位置且被吸收，则此位置距金属板左端的距离及粒子在磁场中运动的时间。 跟踪训练1科研人员在实验室开展带电粒子在复合场中运动规律的研究。实验装置如图所示，水平放置的绝缘实验台上方，存在范围足够大、方向水平的匀强磁场。一质量为、带电量为的带电粒子从台面上方高处由静止释放，该带电粒子的运动轨迹始终在台面上方，且刚好不会撞到台面。已知重力加速度为，关于带电粒子第一次运动到最低点的过程，下列说法正确的是（　　） A．粒子做变速圆周运动 B．该过程粒子机械能先增加后减少 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．粒子的最大速度大小为 跟踪训练2（多选）如图,质量为、电荷量为的带正电粒子（忽略粒子重力）以速度沿方向垂直射入相互正交的竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，经过该区域中的点的速率为，此时竖直方向侧移量为，若，则（　　） A．带电粒子在点的速率为 B．带电粒子的加速度大小恒为 C．若，粒子从射入该区域到点所用时间至少为 D．粒子在运动过程中洛伦兹力始终大于电场力 跟踪训练3如图所示，长方形长，宽，、分别是、的中点，以为直径的半圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度。一群不计重力、质量、电荷量的带电粒子。以速度沿垂直方向且垂直于磁场射入磁场区域，不考虑粒子间的相互作用。 (1)若从点射入的带电粒子刚好沿直线射出，求空间所加电场的大小和方向。 (2)若只有磁场时，某带电粒子从点射入，求该粒子从长方形射出的位置。 【能力培优练】 1．质子和氘核以相同速度分别从同一位置垂直于边界射入匀强磁场，两条运动轨迹如图中所示，的半径为，的半径为。设和分别是质子、氘核在磁场中所受的洛伦兹力和运动时间，则（　　） A．轨迹是氘核的运动轨迹 B． C． D． 2．如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，粒子电量不变，由图可知粒子（　　） A．带正电荷 B．沿方向运动 C．穿过金属板后，轨迹半径变小 D．穿过金属板前后，运动半周的时间变大 3．如图所示，xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点以速度大小为射入磁场区域，从N点射出。已知OM=a，ON=，则下列说法正确的（　　） A．粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径大小为3a C．若仅减小磁感应强度，则粒子将从N点下方射出 D．若仅调节入射速度的大小，粒子从y轴上ON之间射出的速度范围为 4．如图甲所示，圆心在轴上的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，在点沿轴正向发射一颗比荷为的带负电粒子，粒子运动过程、方向的速度分量随时间变化如图乙、图丙所示，粒子所受重力不计，则（　　） A．磁场方向垂直纸面向里 B．粒子在穿过磁场过程速度方向改变了60° C．磁感应强度大小为 D．圆形区域半径是 5．2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（　　） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 6．（多选）三维直角坐标系内，一个长方体被平面分成两个等大的区域，左、右两区域（包括表面）分布有磁感应强度大小相等、方向分别沿轴负向和轴正向的匀强磁场，如图所示。一个质子（不计重力）以初速度从上某点，沿轴正方向进入左侧磁场区域，关于质子的运动轨迹在下列坐标平面内的投影，可能正确的是（　　） A． B．C． D． 7．（多选）在如图所示的平面内，分界线将宽度为的区域分成两部分，上部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，与磁场左右边界垂直。离子源从处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与成角。已知离子比荷为，不计重力。若离子从点射出，设出射方向与入射方向相同，则离子的入射速度可能为（　　） A． B． C． D． 8．（多选）如图所示，半径为、圆心为的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。、、、为圆形区域边界的四等分点，半径的中点处有一粒子源，能在纸面内沿各个方向发射质量为、电荷量为、速率为的正电粒子。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为 B．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为 C．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最长时间为 D．圆弧上有粒子射出的区域弧长为 9．（多选）如图，在xoy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成的速度从P点射出，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程可能为 C．粒子在Q点的速度方向可能与y轴垂直 D．粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为 10．如图所示的坐标系的第一象限内，有垂直于坐标平面方向向里的匀强磁场，磁感应强度为B，x轴上有A、B两点，且O、A两点距离与A、B两点距离相等都为L，y轴上的C点与O点距离也为L，现有甲、乙两粒子自A点分别以不同的速率垂直于x轴方向射入第一象限，其中甲粒子会经过B点，乙粒子会经过C点，已知两个粒子的质量均为m，所带电荷量的绝对值都为q，不计两粒子所受的重力与粒子间的相互作用力。求： (1)甲、乙两粒子的速率之比； (2)甲粒子从A点到B点所用的时间。 11．如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于PQ边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场。圆形磁场半径为L，方向垂直纸面向外，粒子最后从圆心O的正下方点离开磁场。求： （1）粒子在矩形磁场中运动的轨迹半径； （2）粒子射入磁场的速度大小； （3）圆形磁场的磁感应强度。 12．如图，内径为r、外径为3r的圆环内有垂直纸面向里、磁感应强度为B2的匀强磁场。圆环左侧的平行板电容器MN两板间距离为d，电压为U，板间匀强磁场磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里。比荷为k的正离子从左侧水平飞入，在两板间恰好做匀速直线运动，并沿圆环直径方向射入B2磁场，求： (1)若B2已知，求离子在B2磁场中做圆周运动的半径； (2)要使离子不进入小圆区域，磁感应强度B2的取值范围。 【链接高考】 1．（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 2．（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 3．（2025·甘肃·高考真题）（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（    ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 4．（2025·四川·高考真题）（多选）如图所示，I区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。I区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（　　） A．在I区的轨迹圆心不在O点 B．在I区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2 C．在I区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37 D．在I区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148 5．（2025·北京·高考真题）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。 考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。 (1)一个电荷量为的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。 (2)两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1的速度方向与磁场方向垂直，粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内，粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为，粒子2运动的距离为d。求： a．粒子1与粒子2的速度大小之比； b．粒子2的动量大小。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1 题型2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 4 题型3 带电粒子在磁场中的不同运动情况分析 12 题型4 带电粒子在组合场中的运动 21 题型5 带电粒子在叠加场中的运动 28 【能力培优练】 36 【链接高考】 50 【重难题型讲解】 题型1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1、若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0。 2、若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动。 （1）洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 （2）带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 3、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动的分析方法。 【探究归纳】带电粒子垂直射入匀强磁场时，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动；平行射入时受力为零，做匀速直线运动，遵循左手定则判断受力方向。 【典例1-1】如图甲所示，有一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等的磁场。一个电子以速度v从立方体左侧垂直yOz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域，其运动轨迹在xOy平面上的投影如图乙所示。关于立方体空间内两区域内磁场方向分布可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图乙可知，电子轨迹先向y轴正方向偏转后向y轴负方向偏转，则电子刚进入磁场时受到的洛伦兹力有沿y轴正方向的分量，根据左手定则可知，MN左侧磁场有沿z轴正方向的分量，电子在MN右侧受到的洛伦兹力有沿y轴负方向的分量，根据左手定则可知，MN右侧磁场有沿z轴负方向的分量。 故选A。 【典例1-2】（多选）1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子。他利用放在强磁场中的云室来记录宇宙线粒子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，借以减慢粒子的速度。当宇宙线粒子通过云室内的强磁场时，拍下粒子径迹的照片，如图所示。这个粒子的径迹与电子的径迹十分相似，只是偏转方向相反。由此，安德森发现了正电子，并由于这一发现，获得了1936年的诺贝尔物理学奖。关于安德森发现正电子的这个实验，下列说法中正确的是（　　） A．图中正电子的运动方向从下向上 B．图中正电子的运动方向从上向下 C．图中磁场的方向垂直于纸面向外 D．图中磁场的方向垂直于纸面向里 【答案】BD 【详解】AB．根据牛顿第二定律得 解得 正电子穿越铅板时速度减小，轨道半径减小，所以正电子的运动方向从上向下，A错误，B正确； CD．正电子向下运动，根据左手定则，图中磁场的方向垂直于纸面向里，C错误，D正确。 故选BD。 跟踪训练1如图所示，竖直平面与平面垂直，在平面左侧存在方向沿轴负方向的匀强磁场，右侧存在沿轴正方向的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为且范围均足够大，现有一带正电的粒子从平面上的点沿轴负方向射入左侧的匀强磁场后在两磁场中来回运动，忽略磁场边界效应，不计粒子重力，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在平面左侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一竖直方向的直径，粒子在平面右侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影为一水平方向的直径，组合起来整个运动轨迹在平面上的投影图如A项所示。 故选A。 跟踪训练2 （多选）两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。若不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子动能较大 D．a粒子在磁场中运动时间较长 【答案】CD 【详解】A．粒子沿AO方向运动，根据左手定则，b向上偏转，应当带正电，a向下偏转，应当带负电，A错误； BC．洛伦兹力提供向心力，由 得 所以半径大的b粒子速度大，洛伦兹力大，动能也大，故B错误，C正确； D．由， 可知在磁场中偏转角大的粒子运动的时间较长，a粒子的偏转角大，因此运动时间长，故D正确； 故选CD 。 题型2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径：由qvB＝m，可得r＝。 2、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期：由r＝和T＝，可得T＝，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关。 3、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的圆心确定：圆心位置的确定通常有以下两种基本方法 （1）已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． （2）已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 4、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径确定：半径的计算一般利用几何知识解直角三角形，做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解。 5、粒子在匀强磁场中运动时间的确定 （1）粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)。 确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角。 （2）当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长。 6、带电粒子（或微粒）在非匀强磁场中的运动 当粒子在非匀强磁场中运动时，半径公式r＝和周期公式T＝不再适用，但可以用来定性分析随着磁场的变化，半径和周期的变化情况。 ★特别提醒 （1）虽然非匀强磁场中r＝与T＝不再适用，但仍可以用来定性分析粒子的半径与周期的变化。 【探究归纳】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，半径r＝（与速度成正比），周期T＝（与速度无关），均由粒子质量、电荷量及磁场磁感应强度决定。 【典例2-1】如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图。电子枪发射速度与磁场垂直的电子。电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。某次操作中电子的轨迹由甲图变为乙图，下列可能的操作与判断正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中电流，电子运动的周期变小 B．仅增大电子枪加速电压，电子运动的周期变大 C．仅减小励磁线圈中电流，电子运动的周期变小 D．仅减小电子枪加速电压，电子运动的周期变大 【答案】A 【详解】电子在加速电场中加速，由动能定理有 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有 电子做圆周运动的周期 解得 仅增大励磁线圈中电流，磁感应强度B增大，电子做圆周运动的周期将变小，仅减小励磁线圈中电流，电子运动的周期变大，仅增大或减小电子枪加速电压，电子做圆周运动的周期将不变； 故选A。 【典例2-2】（多选）如图，三个完全相同的半圆形光滑绝缘轨道竖直放置，分别处在真空、匀强磁场和匀强电场中，轨道两端在同一高度上，分别为轨道的最低点。三个相同的带正电小球同时从轨道左端最高点由静止开始沿轨道运动且均能通过最低点。如图所示，则下列有关判断正确的是（　　） A．三个小球到达轨道右端的最大高度都相同 B．小球第一次到达轨道最低点的速度关系 C．小球第一次到达轨道最低点时对轨道的压力关系 D．小球第一次到达轨道最低点时所受合力关系 【答案】BC 【详解】A．图一、二只有重力做功，洛伦兹力不做功，所以小球到达轨道右端的最大高度相同；图三小球电场力与重力做功，电场力全程做负功，可知小球到达轨道右端的最大高度与图一图二不同，故A错误； B．在第二图中，因为洛伦兹力总是垂直于速度方向，故洛伦兹力不做功；球下落时只有重力做功，故第一、二图两次机械能均守恒，由 故两次球到最低点的速度相等，第三图中，小球下滑的过程中电场力做负功，重力做正功，所以小球在最低点的速度小于前两个图中的速度，即 故B正确； C．小球在最低点时，第一图中重力和支持力提供向心力，即 而第二图中是重力、支持力和洛伦兹力提供向心力，即 第三图中，重力与支持力提供向心力，即 联立可得 故C正确； D．在最低点，根据 结合B选项分析可知 第三图中， 不确定电场力大小，无法判断，故D错误。 故选BC。 【典例2-3】ab边界下方存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m的带电粒子，从Q点以大小为v的初速度与ab边界成60°角射入磁场（如图），粒子经磁场偏转后，从边界上的M点射出磁场，粒子在磁场中的运动半径为r。粒子重力不计，求： (1)粒子的电性和电量q； (2)Q、M两点间距离L； (3)粒子由Q点运动至M点所用的时间t。 【详解】（1）根据左手定则，磁场垂直纸面向外，粒子的运动轨迹是向上偏转，所以粒子带负电。 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即 整理可得 （2）如图所示 粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角 根据几何关系，Q、M两点间距离L为 代入数据得 （3）粒子做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的时间t与周期T的关系为 代入数据得 跟踪训练1科学家可以利用磁场对带电粒子的运动进行有效控制。如图所示，圆心为、半径为的圆形区域外存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场。点为纸面内一离子源，可以沿着与成的方向发射速度大小不等的同种正离子，已知，不计粒子重力。为使离子源发射的正离子都能射入圆形区域，则正离子在磁场中做圆周运动的轨道半径需满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若速度较小，粒子的轨迹圆如图所示，由几何关系可知 在中，根据余弦定理可得 解得 若速度较大，粒子的轨迹圆如图所示，根据几何关系可知，在中，由余弦定理则有 解得 综上若要求粒子进入圆形区域，则粒子运动的半径应满足的条件为 故选A。 跟踪训练2 （多选）一个电子（不计重力，质量m，电荷量e）以速度垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中， 则（　　） A．电子在图示时刻受到垂直向上的洛伦兹力 B．电子在磁场中匀速圆周运动的半径 C．电子的速度始终不变 D．电子的动能始终不变 【答案】BD 【详解】A．由左手定则可知电子在图示时刻受到垂直向下的洛伦兹力，故A错误； B．由洛伦兹力提供向心力 可得电子在磁场中匀速圆周运动的半径，故B正确； CD．洛伦兹力提供向心力，则洛伦兹力不做功，故电子的速度大小不变，方向时刻在改变，根据可知电子的动能始终不变，故C错误，D正确。 故选BD。 跟踪训练3如图所示，匀强磁场的边界CD和EF相互平行，宽度为d，磁感应强度为B，一带负电的粒子垂直于磁场方向射入，入射方向与CD边界夹角为，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力。 (1)若粒子垂直磁场边界EF射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间； (2)若粒子恰好未从EF边界射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）若恰好能垂直边界EF射出磁场，其运动轨迹如图所示。 由数学知识可得，粒子运动半径 由洛伦兹力提供向心力得 解得 粒子运动周期 由图知粒子的偏转角为 又 联立解得粒子在磁场中的运动时间 （2）若粒子运动轨迹恰好与边界EF相切，粒子运动的轨迹如图所示。 由几何关系得 所以 由洛伦兹力提供向心力得 所以 由图知粒子的偏转角为 故得粒子在磁场中的运动时间 题型3 情况分析 一、带电粒子在直线边界磁场中的运动 1、带电粒子在直线边界磁场中的运动的两种情形 （1）直线边界 （2）平行边界 2、带电粒子在有界磁场中的常用几何关系 （1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。 （2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。 3、常见的解题思路 （1）圆心的确定 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹．确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中。 垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将。 其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线。 交于一点O，该点就是圆心。 （2）半径的确定 方法一：由物理方程求：半径r＝； 方法二：由几何方程求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。 （3）时间的确定：由确定通过某段圆弧所用的时间，其中T为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角θ越大，所用时间越长。 二、带电粒子在弧形或圆形边界磁场中的运动 1、圆形边界：如图所示，带电粒子从某点沿圆形磁场的半径方向人射，从另一点射出磁场时速度的反向延长线过磁场的圆心，即沿径向射入必沿径向射出。 2、几个与角有关的物理量 如图所示，粒子做匀速圆周运动时，φ为粒子速度的偏向角，粒子与圆心的连线转过的角度α为回旋角（或圆心角），AB弦与切线的夹角θ为弦切角，它们的关系为φ=α=2θ，θ与相邻的弦切角θ'互补，即θ+θ'=180°。 3、如何确定“圆心角与时间” ①速度的偏向角φ=圆弧所对应的圆心角（回旋角）α=2倍的弦切角θ ②时间的计算方法． 方法一：由圆心角求，；方法二：由弧长求，。 ★特别提醒 由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。 （1）两种思路 ①以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解。 ②直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。 （2）两种方法 物理方法：①利用临界条件求极值；②利用问题的边界条件求极值；③利用矢量图求极值。 数学方法：①利用三角函数求极值；②利用二次方程的判别式求极值；③利用不等式的性质求极值；④利用图象法等。 （3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 【探究归纳】带电粒子在不同边界磁场中运动，需结合几何关系定轨迹圆心、半径，利用洛伦兹力公式和圆周运动规律分析运动轨迹与时间。 【典例3-1】如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为足够长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为m、带电量为+q的粒子，粒子速率均为，则（　　） A．接收板接收到离子的区域长度为2h B．能被接收的离子占总离子的 C．被接收的粒子运动最短时间为 D．被接收的粒子运动最长时间为 【答案】B 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有 解得 如图所示 接收板接收到离子的区域长度为，故A错误； B．当粒子的运动轨迹与接收板两侧相切时，粒子恰好能被接收板接收，此时粒子在O点的速度方向间的夹角等于180°，所以能被接收的离子占总离子的，故B正确； C．当粒子打到A点时运动时间最短，则被接收的粒子运动最短时间为，故C错误； D．粒子在右侧轨迹与MN相切时运动时间最长，则被接收的粒子运动最长时间为，故D错误。 故选B。 【典例3-2】（多选）如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴上方充满磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场。在O点有一可视为质点的粒子源，沿纸面不断放出同种带负电粒子，且粒子的速率均为v，粒子射入磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角θ的范围为60°~120°。不计粒子重力及粒子间的相互作用，已知粒子在y轴上能到达的最远距离为a，则下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的半径为a B．粒子射出磁场时到O点的最远距离为2a C．粒子射出磁场时到O点的最近距离为a D．从距O点最近的位置射出磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为 【答案】ABD 【详解】ABC．如图所示 粒子从最右侧射入时，轨迹圆心为，根据几何关系可知为等边三角形，所以，故AB正确，C错误； D．从点离开磁场的粒子在磁场中转过的角度可能为，也可能是，则在磁场中运动的时间可能为 也可能是 故D正确。 故选ABD。 【典例3-3】如图所示，半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒子从图中P点以速度v沿直径方向射入磁场，经磁场偏转后从Q点射出磁场。忽略粒子的重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在磁场中运动时间； (3)若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P点射入，仍从Q点射出，则圆形磁场的最小面积为？ 【详解】（1）粒子轨迹如图 几何关系可知粒子轨迹圆半径R 根据 联立解得 （2） 粒子在磁场中运动的时间为T= （3）当PQ为圆形磁场直径时，圆形磁场面积最小， 几何关系可知PQ长为， 则最小面积为 跟踪训练1如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面的匀强磁场，一带正电粒子垂直于纸板从板上的小孔射入磁场，另一带电粒子垂直于磁场且与挡板成角射入磁场，、两个带电粒子比荷大小相等，两粒子恰好都打在板上点，不计重力，下列说法正确的是（    ） A．粒子带负电 B．在磁场中的运动时间一定大于在磁场中的运动时间 C．若磁场方向垂直纸面向里，则、的初速度大小之比为 D．若磁场方向垂直纸面向外，则、的初速度大小之比为 【答案】C 【详解】A．根据题意可知，两粒子在磁场中的偏转方向相同，所以根据左手定则可知，两粒子的电性相同，所以带正电，故A错误； B．根据粒子在磁场中做圆周运动周期 又因为，粒子比荷大小相等，所以二者周期相同。若磁场方向垂直纸面向里，粒子的运动轨迹如图1所示，此时在磁场中运动的时间大于，若磁场方向垂直纸面向外，粒子的运动轨迹如图2所示，此时在磁场中运动的时间大于，故B错误。 CD．无论磁场方向是垂直纸面向里还是向外，根据几何知识有 因为 所以粒子做圆周运动的速度为 则，故C正确，D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图所示，直角三角形AOC内（含边界）充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，已知∠A=30°，AO=L。在O点放置一可视为质点的粒子源，能在纸面内发射各种速率、比荷为k的带负电粒子，且粒子发射时的速度方向与边界OA的夹角均为θ。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（    ） A．若θ=45°，则有粒子从A点射出磁场 B．若θ=30°，则从边界OA射出磁场的粒子的最大速率为BkL C．若θ=90°，则边界OA有粒子射出的长度为 D．若θ=90°，则从边界AC射出磁场的粒子速率均大于 【答案】BD 【详解】A．粒子能从OA边射出，如图 若θ=45°，假如有粒子从A点射出，则出射方向与OA夹角为45°>30°，说明轨迹已经到达三角形区域外侧，故假设不成立，则没有粒子从A点射出，故A错误； B．若θ=30°，轨迹与斜边相切时，从OA射出时，半径最大，由几何关系知，半径最大为 根据 解得最大速率为BkL，故B正确； CD．若θ=90°，轨迹与斜边相切时，半径最大，由几何关系知 解得 则边界OA有粒子射出的长度为 根据 解得从边界OA射出粒子最大速度为 则从边界AC射出磁场的粒子速率均大于，故C错误，D正确。 故选BD。 跟踪训练3如图所示，一个圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场（图中未画出），圆形磁场区域的半径为R，磁感应强度大小为B，O为圆心，P为其竖直直径的下端点，Q为其水平直径的左端点。P点有一个粒子源，可同时沿180°范围向磁场中均匀发射速度大小相同的质量为m，电荷量为q的带正电粒子，已知所有粒子的最远出射点为Q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。求： (1)粒子的速度大小； (2)所有粒子轨迹在磁场中扫过的面积； (3)从Q点出射的粒子出磁场时，还在磁场中的粒子占粒子总数的比例。 【详解】（1）由于所有粒子的速度大小相等，所以粒子的半径相等，又因为Q为粒子的最远出射点，所以PQ为粒子轨迹的直径，由于圆形磁场的半径为R，所以 则粒子的轨迹半径 由 解得 （2）所有粒子的轨迹扫过的区域如图所示，可以将区域分为3部分，第1部分为对应圆心角为90°的弓形，第2部分为以PQ为半径的扇形，第3部分为以PQ为直径的半圆，第1部分的面积 由几何关系可知第2部分对应的圆心角为45°，则第2部分的面积 第3部分的面积 则所有粒子轨迹扫过的面积 （3）从Q点出射的粒子的轨迹如图所示，由几何关系可知其初速度与水平方向的夹角，该粒子的圆心角为180°，入射角比该粒子小的粒子出磁场时轨迹的圆心角都大于该粒子的圆心角，故这些粒子在磁场运动的时间都比该粒子长，所以当从Q点出射的粒子出磁场时，还在磁场中的粒子占总粒子数的比例 题型4 带电粒子在组合场中的运动 组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现。 1、解决带电粒子在组合场中的运动所需知识 2、“电偏转”与“磁偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 只受恒定的静电力F＝qE v⊥E进入匀强电场 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB v⊥B进入匀强磁场 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 利用牛顿第二定律、向心力公式有r＝，T＝，t＝ 【探究归纳】带电粒子在组合场（电场、磁场组合）中分段运动，电场中做匀变速运动，磁场中做匀速圆周运动，以边界速度为衔接点分析。 【典例4-1】“中国散裂中子源”（CSNS）是我国重大科技基础设施，用于研究物质微观结构。在CSNS的粒子加速器中，带电粒子的运动控制至关重要。如图所示，在xOy平面内，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；第四象限存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。带电荷量为+q的粒子，从y轴上的P点以初速度沿x轴正方向射入电场，粒子从M点（图中未画出）第一次经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，粒子进入磁场区域后经一段时间，从N点（图中未画出）第二次经过x轴。忽略粒子重力，则O、N两点间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】粒子的运动轨迹如图所示 粒子在第四象限的匀强电场中做类平抛运动，粒子沿x轴方向做匀速直线运动，速度为，水平方向位移 粒子沿y轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，加速度大小 粒子从M点第一次经过x轴时，速度方向与x轴正方向夹角为60°，竖直速度 由 解得 水平位移 粒子进入磁场的速度为 方向与x轴正方向夹角为60°。粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即 解得 粒子从M点进入磁场，运动轨迹为圆弧，从N点第二次经过x轴，由几何关系可知，圆心角为120°，因此N点与O点的距离，故选D。 【典例4-2】（多选）如图，在真空中一条理想分界线将平面分为左右两侧。左侧区域存在平行于分界线的匀强电场，右侧区域存在垂直水平面向里的匀强磁场。在左侧电场中有一粒子源，沿垂直分界线的方向射出速率为的带正电粒子（不计重力），带电粒子进入和离开磁场分别经过分界线上的两点（图中未标出），则下列说法中正确的是（　） A．若仅增大匀强电场的场强，则之间的距离会增加 B．若仅增大带电粒子的初速度，则之间的距离会增加 C．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则之间的距离会增加 D．若仅增大之间的距离，之间的距离保持不变 【答案】BD 【详解】粒子进入磁场时 可得 之间的距离 其中 为粒子经过点时速度方向与分界线之间的夹角，可得 故选BD。 【典例4-3】如图所示的xOy坐标系中，y轴左侧存在平行y轴且向下的匀强电场，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从x轴上的A点以速度v、与x轴正方向成（未知）角射入第二象限，然后从y轴上的C点（未画出）垂直y轴射入第一象限，最终从x轴上的D点（未画出）垂直x轴射出磁场，，不计粒子重力，求： (1)及电场强度大小E； (2)磁感应强度大小B； (3)粒子从A点运动到D点的时间。 【详解】（1）粒子在电场中做类斜抛运动，沿x轴方向有 沿y轴方向有 解得 由牛顿第二定律得 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 且 解得 （3）粒子在电场中运动的时间 粒子在磁场中运动的时间 粒子从A点运动到D点的时间 解得 跟踪训练1在半导体离子注放工艺中，初速度可忽略的离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ=30°后从磁场右边界射出。则在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋（　　） A．在磁场中运动的半径之比为3:1 B．在电场中的加速度之比为1:1 C．在磁场中转过的角度之比为1:2 D．离开磁场区域时的动能之比为1: 【答案】C 【详解】A．离子在电场中运动时有 离子在磁场中运动时有 联立解得 所以在磁场中运动的半径之比为:1，故A错误； B．在电场中的加速度为 所以加速度之比为1:3，故B错误； C．设磁场宽为l，根据几何关系可得 所以离子在磁场中转过的角度的正弦之比为1:，由于P＋在磁场中转过的角度为30°，所以P3＋在磁场中转过的角度为60°，即转过的角度之比为1:2，故C正确； D．离开磁场区域时的动能与进入磁场时的动能相等，均为qU，所以动能之比为1:3，故D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图所示，平面坐标系xOy中，一抛物线的方程为，在抛物线的上方有竖直向下的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。抛物线上每个位置可连续发射质量为m、电荷量为q的粒子，粒子均以大小为的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点O。不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小 B．电场强度的大小 C．从抛物线上横坐标的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 D．从抛物线上横坐标的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 【答案】AC 【详解】AB．分析从A点射入的粒子，进入电场后做类平抛运动，水平方向 竖直方向 由牛顿第二定律可得 联立解得，故A正确，B错误； CD．从A点射入的粒子到达O点时，水平速度为，竖直速度为 则合速度为 方向与x轴成斜向右下方。粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 粒子在磁场中运动的轨迹为圆，从y轴上射出，轨迹对应的弦长为 则粒子射出磁场时的坐标，故C正确，D错误。 故选AC。 跟踪训练3（2025·天津·高考真题）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从电场中的O点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为，粒子返回电场前的运动轨迹过P点正上方的Q点，P、Q间距离及O、P间的水平距离均为L。不计粒子重力。 (1)判断粒子的电性； (2)求电场强度大小E； (3)求磁感应强度大小B。 【答案】(1)正电 (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，粒子向上偏转，所受电场力向上，与电场方向相同，则粒子带正电。 （2）设粒子在电场中运动的时间为t，水平方向上由运动学公式，有 设粒子在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律，有 竖直方向上由运动学公式，有 联立上述各式，得 （3）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系，得                    洛伦兹力提供向心力，有 联立得 题型5 带电粒子在叠加场中的运动 叠加场：电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。 1、是否考虑粒子重力 （1）对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为一般情况下其重力与静电力或洛伦兹力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 （2）在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 （3）不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否考虑重力。 2、处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路 3、带电粒子在叠加场中做直线运动有两种情况（不考虑平行于电场和磁场射入） （1）不计粒子重力，则必有洛伦兹力等于电场力，Bqv=qE。 （2）考虑粒子重力，则必有电场力与重力的合力等于洛伦兹力。 也就是说只要粒子在含有磁场的叠加场中做直线运动，一定是匀速直线运动。因为如果是变速运动，则洛伦兹力也会变化，合力与速度方向不再一条直线上，粒子就不可能再做直线运动。 4、叠加场中三中场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G=mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F=qE 方向:正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关 W=qU电场力做功改变电势能 磁场 大小:f=qvB(v⊥B) 方向:可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 ★特别提醒 1、动量和动能都是描述物体运动情况的物理量，动能是从能量的角度进行描述，动量是从运动学的角度进行描述。 2、动量与动能之间没有必然的联系，动量大的物体动能不一定大；动能大的物体，动量不一定大。 【探究归纳】洛伦兹力方向用左手定则判定：磁感线穿掌心，四指指向正电荷运动方向（负电荷相反），大拇指指向即为受力方向。 【典例4-1】某空间存在匀强磁场和匀强电场。一个带电粒子（不计重力）以一定初速度射入该空间后，做匀速直线运动；若仅撤去电场，则该粒子做匀速圆周运动，下列说法正确的是（    ） A．只改变带电粒子的电性和电量，粒子不能做匀速直线运动 B．只改变粒子入射速度大小，粒子可能做匀速直线运动 C．只改变磁场和电场的强弱，粒子可能做匀速直线运动 D．撤去电场后，粒子的动能可能增大 【答案】C 【详解】A．带电粒子在电磁场中做匀速直线运动，说明电场力与洛伦兹力平衡，即 化简得 只改变带电粒子的电性和电量，平衡条件依然满足，粒子依然做匀速直线运动，故A错误； B．只改变粒子入射速度大小，则电场力与洛伦兹力不是平衡力，粒子不可能做匀速直线运动，故B错误； C．只改变磁场和电场的强弱，若仍满足，则粒子做匀速直线运动，故C正确； D．撤去电场后，洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功，动能保持不变，故D错误。 故选C。 【典例4-2】（多选）如图所示，绝缘粗糙的竖直墙壁MN右侧一定宽度区域内，同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，方向水平向左，磁场磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为的带电小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开墙壁，之后恰好从边界处D点以速度水平向右飞出。已知A、C两点间距离为，C、D间高度差为，不计空气阻力，忽略边界效应，则（    ） A．小滑块运动至A、C中点时受到4个力的作用 B．小滑块与墙壁的动摩擦因数一定小于 C．小滑块运动过程中克服摩擦力做功 D．边界到MN距离为 【答案】BCD 【详解】A．小滑块运动至A、C中点时受到重力、墙壁的向上的摩擦力、墙壁的支持力、电场力和洛伦兹力，共5个力的作用，A错误； B．开始时小滑块能沿竖直墙壁下滑，则， 可得小滑块与墙壁的动摩擦因数，B正确； C．小滑块从C点离开墙壁时 可知运动过程中克服摩擦力做功，C正确； D．从C到D由动能定理 解得边界到MN距离为，D正确。 故选BCD。 【典例4-3】如图所示，、为带电金属板，金属板间电压为，板间距离为，同时板间有方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一束带正电粒子以平行于金属板的速度自点射入复合场区域，恰好沿直线通过金属板。已知为的中点，金属板足够长，带电粒子的比荷，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)若仅撤去电场，带电粒子将打在金属板上某位置且被吸收，则此位置距金属板左端的距离及粒子在磁场中运动的时间。 【详解】（1）带电粒子能沿直线通过金属板，有 解得 （2）带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 解得 带电粒子向上偏转，设打在板上距M端x处，由几何关系有 解得 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期 设此过程所对应的圆心角为，有 解得 则带电粒子在匀强磁场中的运动时间 跟踪训练1科研人员在实验室开展带电粒子在复合场中运动规律的研究。实验装置如图所示，水平放置的绝缘实验台上方，存在范围足够大、方向水平的匀强磁场。一质量为、带电量为的带电粒子从台面上方高处由静止释放，该带电粒子的运动轨迹始终在台面上方，且刚好不会撞到台面。已知重力加速度为，关于带电粒子第一次运动到最低点的过程，下列说法正确的是（　　） A．粒子做变速圆周运动 B．该过程粒子机械能先增加后减少 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．粒子的最大速度大小为 【答案】C 【详解】A．小球在重力和洛伦兹力的作用下，所受合外力大小和方向都在变，洛伦兹力始终和速度垂直，但是合力不与速度垂直，粒子做变速运动，其运动轨迹不是圆的一部分，事实上是轮摆线，故A错误； B．小球运动过程中，洛伦兹力不做功，只有重力做功，重力势能和动能相互转化，所以小球机械能守恒，故B错误； C．将小球的运动分解为水平向右大小为的匀速直线运动和初速度水平向左大小为的匀速圆周运动。一个分运动有，得 另一个分运动 圆周运动得半径为 若小球刚好不会碰到地面，则 根据以上几式，解得匀强磁场的大小为，故C正确； D．粒子刚要碰到地面时速度最大，全程洛伦兹力与速度相垂直不做功，只有重力做功，由 解得最大速度为，故D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图,质量为、电荷量为的带正电粒子（忽略粒子重力）以速度沿方向垂直射入相互正交的竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，经过该区域中的点的速率为，此时竖直方向侧移量为，若，则（　　） A．带电粒子在点的速率为 B．带电粒子的加速度大小恒为 C．若，粒子从射入该区域到点所用时间至少为 D．粒子在运动过程中洛伦兹力始终大于电场力 【答案】BC 【详解】A．粒子运动过程中，洛伦兹力始终与速度方向垂直而不做功，根据动能定理得 解得，故A错误； B．将粒子进入叠加场的初速度看成是两个水平向右分速度、的合成,其中分速度满足 解得 另一分速度满足 则粒子在电磁场中的运动可分解为以水平向右做匀速直线运动和以做匀速圆周运动,其中以速率做匀速圆周运动过程中由洛伦兹力提供向心力,可知粒子运动过程受到的合力大小为 根据牛顿第二定律可知带电粒子的加速度大小为，故B正确； C．粒子以速率做匀速圆周运动过程中由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若,可知粒子从射入该区域到点所用时间至少为，故C正确； D．粒子的合速度为分速度与的合成,其中的大小方向均保持不变,的大小不变,方向时刻发生改变,当方向与方向相反时,粒子的合速度最小,则有 可知粒子受到的洛伦兹力最小值为零,而粒子受到的电场力保持不变，故D错误。 故选BC。 跟踪训练3如图所示，长方形长，宽，、分别是、的中点，以为直径的半圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度。一群不计重力、质量、电荷量的带电粒子。以速度沿垂直方向且垂直于磁场射入磁场区域，不考虑粒子间的相互作用。 (1)若从点射入的带电粒子刚好沿直线射出，求空间所加电场的大小和方向。 (2)若只有磁场时，某带电粒子从点射入，求该粒子从长方形射出的位置。 【答案】(1)125V/m   竖直向下 (2)从e点上方距离e点0.22m射出磁场 【详解】（1）带电粒子刚好沿Oe直线射出，根据平衡条件，有 解得 根据左手定则可知粒子受到竖直向上的洛伦兹力，电场力方向竖直向下，所以电场方向竖直向下。 （2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，得 解得r=0.3m 带电粒子进入磁场时所受的洛伦兹力向上，则粒子轨迹的圆心为a点，如图所示 设粒子从ae弧上f点射出磁场，因为， 所以为等边三角形， 粒子经过磁场速度的偏向角 根据几何知识得 故带电粒子从e点上方距离e点0.22m射出磁场。 【能力培优练】 1．质子和氘核以相同速度分别从同一位置垂直于边界射入匀强磁场，两条运动轨迹如图中所示，的半径为，的半径为。设和分别是质子、氘核在磁场中所受的洛伦兹力和运动时间，则（　　） A．轨迹是氘核的运动轨迹 B． C． D． 【答案】B 【详解】A．根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 解得带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为 质子的质量数为1，电荷量为e；氘核的质量数为2，电荷量为e。因为它们速度v相同，磁感应强度B相同，r与m成正比，氘核质量大，所以氘核的轨道半径大。由图可知，所以轨迹b是氘核的运动轨迹，故A错误。 B．为质子做圆周运动的轨迹半径，为氘核做圆周运动的轨迹半径，根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式 可得，故B正确； C．根据洛伦兹力公式 因为质子和氘核的电量，相同，也相同，所以，所以C错误； D．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式为 质子在磁场中运动时间 氘核在磁场中运动时间 所以，故D错误。 故选B。 2．如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，粒子电量不变，由图可知粒子（　　） A．带正电荷 B．沿方向运动 C．穿过金属板后，轨迹半径变小 D．穿过金属板前后，运动半周的时间变大 【答案】C 【详解】ABC．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力可得 可得 带电粒子穿过金属板后速度减小，可知轨迹半径应减小，故可知粒子运动方向是，粒子所受的洛伦兹力均指向圆心，在e点洛伦兹力向右，则由左手定则可知，粒子应带负电，故AB错误，C正确； D．根据 可知穿过金属板前后，运动半周的时间不变，故D错误。 故选C。 3．如图所示，xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点以速度大小为射入磁场区域，从N点射出。已知OM=a，ON=，则下列说法正确的（　　） A．粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径大小为3a C．若仅减小磁感应强度，则粒子将从N点下方射出 D．若仅调节入射速度的大小，粒子从y轴上ON之间射出的速度范围为 【答案】D 【详解】A．粒子向左偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．带电粒子从N点射出，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由几何关系可得 解得r=2a，故B错误； C．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若减小磁感应强度，则轨道半径增大，可知，粒子可能从N点上方方射出，故C错误； D．带电粒子从N点射出，则； 带电粒子从O点射出，粒子做了半个圆周运动，则半径为， 则 则，即N点的速度大小是O点的速度大小的4倍。故D正确。 故选D。 4．如图甲所示，圆心在轴上的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，在点沿轴正向发射一颗比荷为的带负电粒子，粒子运动过程、方向的速度分量随时间变化如图乙、图丙所示，粒子所受重力不计，则（　　） A．磁场方向垂直纸面向里 B．粒子在穿过磁场过程速度方向改变了60° C．磁感应强度大小为 D．圆形区域半径是 【答案】C 【详解】A．由图像可知带负电粒子进入磁场后y轴正方向的速度分量增大，可知进入磁场时粒子受到的洛伦兹力向上，由左手定则可知磁场垂直于纸面向外，A错误； B．由图像可知出磁场时，x、y方向的速度分量分别为， 设此时速度方向与x轴夹角为，如图 则有 可知 故此时粒子在穿过磁场过程速度方向改变了，B错误； C．设粒子的轨迹圆半径为r，则有 解得 根据 联立解得，C正确； D．几何关系可知 联立解得，D错误； 故选C。 5．2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（　　） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【答案】D 【详解】A．由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点 根据牛顿第二定律有 解得 设外圆半径为，根据几何关系有，，故A错误； B．由A项分析知，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间，a粒子做匀速圆周运动的周期 由几何关系可知，a粒子在磁场中偏转总的圆心角为，则在磁场中运动的时间为 a粒子小圆内做匀速直线运动的时间为 故a粒子返回A点所用的最短时间为，故B错误； C．由题意知，作出、粒子运动轨迹图，如图所示 因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，根据 可知两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1:1，故C错误； D．由几何关系得 根据牛顿第二定律有 联立解得，故D正确。 故选D。 6．（多选）三维直角坐标系内，一个长方体被平面分成两个等大的区域，左、右两区域（包括表面）分布有磁感应强度大小相等、方向分别沿轴负向和轴正向的匀强磁场，如图所示。一个质子（不计重力）以初速度从上某点，沿轴正方向进入左侧磁场区域，关于质子的运动轨迹在下列坐标平面内的投影，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】ABC．质子带正电，在刚进入平面的左侧区域时，初速度沿x轴正方向，磁场沿y轴负方向，由左手定则可知洛伦兹力沿z轴正方向，所以质子在xOz平面内做圆周运动，在xOy平面的投影是一条沿x轴正方向的直线（因为在y方向上没有位移变化），在xOz平面的投影是一个圆的部分；当质子运动到平面进入右侧磁场（磁感应强度沿y轴正向）时，此时再根据左手定则可知洛伦兹力方向变为沿z轴负方向，质子继续在xOz平面内做圆周运动，且与在左侧磁场中的圆周运动方向相反，在xOy平面的投影依然是一条沿x轴正方向的直线，在xOz平面的投影是另一个圆的一部分，故A错误，BC正确； D．在平面，质子一直朝着z轴的正方向运动，故在平面的投影是一条从O点开始沿z轴正方向的直线，故D错误。 故选BC。 7．（多选）在如图所示的平面内，分界线将宽度为的区域分成两部分，上部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，与磁场左右边界垂直。离子源从处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与成角。已知离子比荷为，不计重力。若离子从点射出，设出射方向与入射方向相同，则离子的入射速度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由 得， 依题意，如图所示有 解得 当时，；当时，。 故选AC。 8．（多选）如图所示，半径为、圆心为的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。、、、为圆形区域边界的四等分点，半径的中点处有一粒子源，能在纸面内沿各个方向发射质量为、电荷量为、速率为的正电粒子。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为 B．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为 C．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最长时间为 D．圆弧上有粒子射出的区域弧长为 【答案】BD 【详解】AB．粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得 可得粒子做圆周运动的轨道半径为 能离开圆形区域的粒子，当粒子从点离开时，粒子运动轨迹对应的圆心角最小，在圆形区域内运动的时间最短，如图所示 根据几何关系可知轨迹对应的圆心角为，则最短时间为，故A错误，B正确； C．能离开圆形区域的粒子，当粒子从圆弧上离开且粒子运动轨迹与圆弧相切时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，在圆形区域内运动的时间最长，如图所示 由几何关系可知轨迹对应的圆心角为 则最长时间为，故C错误； D．圆弧上有粒子射出位置离点最远时，粒子运动轨迹刚好与圆弧相切，如图所示 根据几何关系可知，则圆弧上有粒子射出的区域弧长为，故D正确。 故选BD。 9．（多选）如图，在xoy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成的速度从P点射出，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程可能为 C．粒子在Q点的速度方向可能与y轴垂直 D．粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为 【答案】ABD 【详解】C．由题意，可画出粒子的运动轨迹如下图所示两种情形 显然，粒子在Q点的速度方向不可能与y轴垂直，故C错误； A．粒子运动的最短时间为图1所示情形，根据几何知识，知此时运动轨迹所对圆心角为，则可得，故A正确； B．在图1中，由几何知识可得粒子运动的半径为 则粒子运动的总路程为 在图2中，由几何知识可得粒子运动的半径为 则粒子运动的总路程为，故B正确； D．由于粒子在磁场中运动的周期相同，则粒子运动的时间之比等于圆心角之比，根据粒子的运动轨迹图可知图1情形粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为；图2粒子从P到O的时间为粒子从O到Q的时间为，故D正确。 故选ABD。 10．如图所示的坐标系的第一象限内，有垂直于坐标平面方向向里的匀强磁场，磁感应强度为B，x轴上有A、B两点，且O、A两点距离与A、B两点距离相等都为L，y轴上的C点与O点距离也为L，现有甲、乙两粒子自A点分别以不同的速率垂直于x轴方向射入第一象限，其中甲粒子会经过B点，乙粒子会经过C点，已知两个粒子的质量均为m，所带电荷量的绝对值都为q，不计两粒子所受的重力与粒子间的相互作用力。求： (1)甲、乙两粒子的速率之比； (2)甲粒子从A点到B点所用的时间。 【详解】（1）甲、乙两粒子的运动轨迹如图所示 由图可知， 根据洛伦兹力提供向心力有 得 故 （2）由得 故甲粒子从A点到B点所用的时间 11．如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于PQ边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场。圆形磁场半径为L，方向垂直纸面向外，粒子最后从圆心O的正下方点离开磁场。求： （1）粒子在矩形磁场中运动的轨迹半径； （2）粒子射入磁场的速度大小； （3）圆形磁场的磁感应强度。 【详解】画出轨迹图如图： ；在矩形磁场区域，根据几何关系 解得 由牛顿第二定律得 解得 粒子在圆形磁场区域内运动时，由牛顿第二定律得 解得 12．如图，内径为r、外径为3r的圆环内有垂直纸面向里、磁感应强度为B2的匀强磁场。圆环左侧的平行板电容器MN两板间距离为d，电压为U，板间匀强磁场磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里。比荷为k的正离子从左侧水平飞入，在两板间恰好做匀速直线运动，并沿圆环直径方向射入B2磁场，求： (1)若B2已知，求离子在B2磁场中做圆周运动的半径； (2)要使离子不进入小圆区域，磁感应强度B2的取值范围。 【详解】（1）设离子射入匀强磁场时的速率为v，由平衡条件得 可得 设离子在磁场中圆周运动的半径为R，离子所受洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有 联立可得 （2）若离子恰好不进入小圆，设离子与小圆相切时轨道半径为，此时轨迹如图所示，在△OPO'中，由几何关系得 解得 要使离子不进入小圆，必须 解得磁感应强度。 【链接高考】 1．（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【答案】A 【详解】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为 设正方形abcd的边长为l，则，， 则有t1 < t2 = t3 故选A。 2．（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有，可得，故A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，，故上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确； D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。 故选C。 3．（2025·甘肃·高考真题）（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（    ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【答案】BD 【详解】由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点， 根据a粒子的速度大小为 可得 设外圆半径等于,由几何关系得 则 A错误； B．由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间 a粒子做匀速圆周运动的周期 在磁场中运动的时间 匀速直线运动的时间 故a粒子返回A点所用的最短时间为 B正确； C．由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1:1，C错误； D．由几何关系得 洛伦兹力提供向心力有 联立解得 D正确。 故选BD。 4．（2025·四川·高考真题）（多选）如图所示，I区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。I区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（　　） A．在I区的轨迹圆心不在O点 B．在I区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2 C．在I区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37 D．在I区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148 【答案】AD 【详解】A．由图可知 在I区的轨迹圆心不在O点，故A正确； B．由洛伦兹力提供向心力 可得 故在I区和Ⅱ区的轨迹半径之上比为 故B错误； D．设粒子在磁场Ⅱ区偏转的圆心角为α，由几何关系 可得 故粒子在I区运动的时间为 粒子在Ⅱ区运动的时间为 联立可得在I区和Ⅱ区的运动时间之上比为 故D正确； C．粒子在I区和Ⅱ区的轨迹长度分别为 故在I区和Ⅱ区的轨迹长度之比为 故C错误。 故选AD。 5．（2025·北京·高考真题）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。 考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。 (1)一个电荷量为的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。 (2)两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1的速度方向与磁场方向垂直，粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内，粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为，粒子2运动的距离为d。求： a．粒子1与粒子2的速度大小之比； b．粒子2的动量大小。 【详解】（1）粒子速度方向与磁场垂直，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得轨道半径 圆周运动的周期 将R代入得 比例关系为 （2）a．由题意知粒子1做圆周运动，线速度 粒子2做匀速直线运动，速度 所以速度之比 即 b．对粒子1，由洛伦兹力提供向心力有 可得 粒子2的动量 结合前面的分析可得 / 学科网（北京）股份有限公司 $