3.4向量在立体几何中的应用 同步练习-2025--2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

直线的方向向量与平面的法向量、用向量方法研究立体几何中的位置关系、用向量方法研究立体几何中的度量关系 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线l的一个方向向量，且直线l过和两点，则( ) A.0 B.1 C. D.3 2.平面经过三点，，，则平面的法向量可以是( ) A. B. C. D. 3.已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为( ) A. B. C.或 D. 4.在长方体中，，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为( ) A. B. C. D. 5.已知平面的一个法向量为，则x轴与平面所成角的大小为( ) A. B. C. D. 6.在正方体中，，M，N分别是棱，的中点，则点到直线的距离为( ) A. B.1 C. D. 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.如图，在空间直角坐标系中，为单位正方体，则下列结论中正确的有( ) A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为 C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为 8.空间四点，，，.给出下列命题，其中正确的选项是( ) A.平面的一个法向量为 B.若且，则 C.点B到直线的距离为 D.A，B，C，D四点共面 9.已知空间中三点，，，则下列结论错误的是( ) A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是 C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是 10.如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则下列说法正确的是( ) A.异面直线与所成的角为 B.直线与平面所成的角为 C.平面与平面的夹角为 D.点到面的距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.平面上三个点，，，写出平面的一个法向量为________. 12.已知平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则直线l与平面所成角的正弦值的最大值为__________. 13.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为___________. 14.已知直线l过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线l的距离为_________. 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点P到平面的距离. 1.答案：D参考答案 解析：，，，直线l的一个方向向量为，故设，，解得，，，故选D. 2.答案：D 解析：设平面的法向量为，对于A选项，，故A选项错误. 对于B选项，，故B选项错误. 对于C选项，，故C选项错误. 对于D选项，由于，，故D选项符合题意. 故选：D. 3.答案：A 解析：因为两平面的法向量分别为，.又， ，.所以. 所以两平面的夹角为.故选：A. 4.答案：C 解析：如图， 以D为坐标原点，，，，分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，.从而. 设平面的法向量为，则，即，得，令，则，所以点E到平面的距离为.故选：C 5.答案：A 解析：依题意x轴的方向向量可以为，设x轴与平面所成角为，则，因为，所以，故选：A 6.答案：C 解析： 如图，以D为原点，，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如下所示：易知，，，，，；取，，则，所以点到直线的距离为.故选：C. 7.答案：ABC 解析：因为，，所以A正确； 因为，，所以B正确； 因为直线平面，，所以C正确； 因为点的坐标为，与平面不垂直，所以D错误.故选ABC. 8.答案：AD 解析：对于A，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，则，故A正确； 对于B，，因为，设，若，则，解得，则或，故B错误； 对于C，，，则点B到直线的距离为 ，故C错误； 对于D，设，因为，，，则有，，解得，故，则A，B，C，D四点共面.故D正确.故选：AD. 9.答案：AC 解析：对于A：，，，与不是共线向量，故A错误； 对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确； 对于C：，，，故C错误； 对于D：，，设平面的法向量为，则，取，得，故D正确.故选：AC. 10.答案：ABD 解析：A选项，因为平面，，平面，所以，， 又四边形为正方形，故AB，AD，PA两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，， 则，，设直线与所成的角大小为，则，故，A正确； B选项，因为四边形为正方形，所以⊥，又平面，平面，故，因为，，平面，所以⊥平面，故可取为平面的法向量，设直线与平面所成的角大小为，则，故直线与平面所成的角为，B正确； C选项，设平面的法向量为，则，令得，故，平面的法向量为，故，故平面与平面的夹角不为，C错误； D选项，由C选项知，平面的法向量为，故点到面的距离，D正确.故选：ABD 11.答案：（答案不唯一） 解析：由，，，则，， 设平面的法向量为，则由，可取. 故答案为：. 12.答案： 解析：直线l与平面所成的角为，则 ，当时，取得最大值，最大值为.故答案为：. 13.答案： 解析：，点P到平面的距离为.故答案为：. 14.答案：3 解析：，故，所以，设直线与直线l所成的角为，则，可得，因此点到直线l的距离为.故答案为：3 15.答案：(1) (2) 解析：（1）依题意：以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 又D，E，F分别是棱，，的中点，，. 所以，，，，，，， 所以有：，，， 设平面的法向量为，则有，. 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点P到平面的距离为：. 学科网（北京）股份有限公司 $