精品解析：概率（2）-知识点训练卷 河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》第63卷（原卷版+）

河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第63卷 概率 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分） 1. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）. A. 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有1次中靶 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念求解即可. 【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”. 故选：C. 2. 从2名男生和2名女生中选2人参加校庆汇报演出，则选到一男一女的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】从2名男生和2名女生中选2人共有如下6种选法： （男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2）， 选到一男一女的选法有4种，分别为： （男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2）， 则选到一男一女的概率为. 故选：A. 3. 下列说法正确的是（ ）． A. 某事件发生的频率为 B. 不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1 C. 小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 D. 某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 【答案】B 【解析】 【分析】某事件发生的频率不大于1，判断A错误； 不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1，可知B正确； 小概率事件和大概率事件指这个事件发生的可能性大小，可判断C错误； 某事件发生的概率为一个常数，不会随着试验次数的变化而变化，可判断D错误. 【详解】对于A，某事件发生的频率，A项错误． 对于B，不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1，B项正确. 对于C，小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生；大概率事件是指这个事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，C项错误． 对于D，某事件发生的概率为一个常数，不会随着试验次数的变化而变化，D项错误． 故选：B 4. 从1，2，3，4，5五个数中任取两个（不可重复），则它们的和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数和古典概型的计算公式代入计算即可. 【详解】记事件A为它们的和为偶数， 从1，2，3，4，5五个数中任取两个数字的方法数为， 和为偶数的有：共4个， 所以. 故选:C. 5. 抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】合理设出事件，从而得到事件A，B，C三者的关系. 【详解】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，， 显然，，，C不含于A. 故选：D 6. 50名同学的体重情况如下表所示： 分组（） 频数 6 8 15 18 3 则这50名同学体重小于的频率为（ ） A. 0.28 B. 0.58 C. 0.42 D. 0.94 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据表中数据即可求出结果. 【详解】这50名同学体重小于频率为 故选：B. 7. 某兴趣小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选男生人数不少于1名的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定所有基本事件的个数，求出男同学人数不少于1人的个数，利用概率公式可得结论． 【详解】设2名男生为，3名女生为， 从5人中选2人总选法为， 共10种不同选法，则没有男生的选法共3种：， 所以所选男生人数不少于1名的选法有7种， 故所求概率为. 故选：D. 8. 一个容量为20的数据样本，分组和频数为，2个、，3个、，4个、，5个、，4个、，2个，则样本数据在区间的可能性为（ ） A. 5% B. 25% C. 50% D. 70% 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到在区间中样本个数，进而求得相应的可能性，得到答案. 【详解】由题意，在区间中样本个数为个， 所以样本数据在区间的可能性为. 故选：D. 9. 若随机事件A，互斥，A，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合互斥事件概率的性质列出不等式组即可得解. 【详解】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0， 且，， ，即， 解得，即． 故选：D． 10. 事件A，B的概率分别为，，且，则( ) A. B. C. D. 无法判断 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件关系判断即可． 【详解】因为不知道事件A，B的关系， 无法确定，与P1​、P2​的具体大小关系，选项D正确。 故选：D. 11. 设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（    ） A. 0.873 B. 0.13 C. 0.127 D. 0.03 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件以及概率公式求解即可. 【详解】该产品生产次品的对立事件为生产正品，即两道工序都出正品才能保证产品为正品， 所以次品率为， 即该产品的次品率是. 故选：C. 12. 袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（    ） A. 相互独立事件 B. 不相互独立事件 C. 互斥事件 D. 对立事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合独立事件，互斥事件及对立事件的定义即可得解. 【详解】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球， 即表示第二次摸到的是白球， 由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到白球互不影响， 所以事件与是相互独立事件， 由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件. 故选：. 13. 中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 100 55 18 m 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，不正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据各个事件的频率估计相应的概率，再利用概率的基本性质求解. 【详解】由题意可知，，，， 事件与事件为对立事件，且事件互斥， 所以， ，， 所以选项A，B，C正确，选项D错误. 故选：D. 14. 从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概率公式求解即可. 【详解】从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛， 共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法， 其中乙被选中有2种选法，故乙被选中的概率为， 故选：C. 15. 一箱脐橙共有个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，不是坏果有个，再由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】由题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为， 故选：D. 16. 若，则方程有实根的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据方程有实根，得到，由此得到符合要求的取值的数量，再根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】因为方程有实根， 所以，即， 因为则一共可以得到种不同情况， 且其中方程有实根有 ；；；；；；共种情况， 所以根据古典概型概率公式得所求概率为. 故选：C. 17. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（    ） A. 0.2 B. 0.35 C. 0.5 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“正难则反”的思想可知，“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，先算出“抽到的产品不是一等品”的事件的概率，就能得到“抽到一等品”的事件的概率. 【详解】因为“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件， 而事件{抽到一等品}，且， 所以“抽到一等品”的事件的概率为， 所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35. 故选：B. 18. 等可能地从集合的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据子集的概念列出所有的子集，再找出所有的非空真子集，再根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】集合的所有子集有：，共8个， 选到非空真子集的事件A有：，共6个， 所以选到非空真子集的概率为. 故选：B. 19. 甲､乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则不正确的是（    ） A. 甲去考点做服务的概率为 B. 甲去考点､乙不去考点做服务的概率为 C. 甲､乙同去考点做服务的概率为 D. 甲､乙不去同一考点做服务的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先分别求出甲去C考点、乙去A考点做服务的概率，根据相互独立事件概率的乘法公式，可得甲、乙去同一考点做服务的概率，再利用对立事件的概率可求解. 【详解】对于A，甲去考点做服务的概率为，故A正确， 对于B，甲去考点､乙不去考点做服务的概率为，故B正确， 对于C，甲､乙同去考点做服务的概率为，故C错误， 对于D，乙去考点做服务的概率为， 甲､乙不去同一考点做服务的概率为，故D正确. 故选：C. 20. 某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“正难则反”的思想，先算出一次红灯也没遇到的概率，则至少遇到一次红灯的概率为. 【详解】由题意，该同学从家到学校一次红灯也没遇到的概率为， 则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为. 故选：D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 21. 假设，，且与相互独立，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由并事件的概率公式和相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】∵事件与相互独立，则， 由并事件概率公式. 故答案为：. 22. 掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，则出现正面的频率是______． 【答案】0.54 【解析】 【分析】由频率、频数、总数之间的关系即可求解. 【详解】由频率=频数÷总数可知，出现正面的频率=. 故答案为：0.54 23. 从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据对立事件的概率性质，即可求解. 【详解】设事件表示“所选3人中至少有1名女生”，事件表示“所选3人都为男生”即事件B为“所选的三人中没有女生”， 则互为对立事件，所以. 故答案为：. 24. 某运动会火炬接力，要从2男2女中任选两人，则选中两人中恰好有1女的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】列出所有的情况，再列出满足条件的情况，根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】记个男生分别为、，个女生分别为、， 从个人中随机选人可能结果有、、、、、共个， 满足恰好有个女生的有、、、共个， 故恰好有个女生的概率. 故答案为：. 25. 某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是，则该电路正常运行的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出、组成的并联电路正常工作的概率，再结合部件正常工作的概率，进而求出整个电路正常运行的概率 【详解】对于、组成的并联电路，只要、中有一个正常工作，该并联电路就能正常工作。 所以、组成的并联电路正常工作的概率为， 所以该电路正常运行的概率为. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，26、27题8分，28、29题12分，共40分） 26. 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，，那么 （1）C=“抽到红花色”，求； （2）D=“抽到黑花色”，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可根据互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）根据对立事件的概率公式来求解即可. 【小问1详解】 事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”， C=“抽到红花色”， 在扑克牌中，红花色包括红心和方片， 所以，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件， 根据互斥事件的概率加法公式，得 【小问2详解】 C=“抽到红花色”，D=“抽到黑花色”， 在扑克牌中，花色只有红花色和黑花色两种， 所以C与D互为对立事件， 因此. 27. 甲、乙两人进行投篮训练， 已知甲投球命中的概率是， 乙投球命中的概率是 且两人投球命中与否相互之间没有影响. （1）若两人各投球次， 求恰有人命中的概率; （2）若两人各投球次， 求这次投球中至少有次命中的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据恰有一人命中分为甲中乙不中和乙中甲不中，再由独立事件的概率求值即可. （2）首先求出四次均不命中的概率，再由至少有次命中与四次均不命中互为对立事件，运用对立事件的概率公式求值即可. 【小问1详解】 两人各投球次， 恰有人命中包含两种情况： 甲中乙不中，乙中甲不中， 所以两人各投球次， 求恰有人命中的概率为：. 【小问2详解】 若两人各投球次， 则次投球均不命中的概率为， 则这次投球中至少有次命中的概率为：. 28. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，构成有序数对，其中x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字．将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，求下列事件的概率： （1）A＝“第一次摸到红球”； （2）B＝“第二次摸到红球”； （3）AB＝“两次都摸到红球”． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】写出整个样本空间中的所有可能得结果，然后分别列举出事件A、B、AB所含的结果，再由概率公式计算即可求解. 【小问1详解】 从中不放回地依次随机摸出2个球的情况如下： ， ，共20种情况， 其中事件A包含，有8种情况， 所以事件A概率为. 【小问2详解】 事件B包含，，，，，，，有8种情况， 所以事件B概率为. 【小问3详解】 事件AB包含，，有2种情况， 所以事件AB概率为. 29. 在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）乙，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式即可求解. （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可得所求事件的概率 （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【小问1详解】 丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”， 所以丙连胜四场的概率：； 【小问2详解】 根据赛制，需要进行第五场比赛时，说明至少需要进行四场比赛， 而甲连胜四场的概率为，丙连胜四场的概率均为， 乙上场后连胜三场获胜的概率为， 四场就结束比赛的概率为， 所以需要进行第五场比赛的概率. 小问3详解】 三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下： 记事件为甲输，事件为丙输，事件为乙输， 记事件：甲赢，记事件：乙赢， 则甲赢的基本事件包括：､ ， 所以甲赢的概率为. 由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等， 即丙最终获胜的概率也是. 所以乙赢的概率为. 又，所以三人中乙最终获胜的概率最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第63卷 概率 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分） 1. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）. A. 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有1次中靶 2. 从2名男生和2名女生中选2人参加校庆汇报演出，则选到一男一女的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ）． A. 某事件发生的频率为 B. 不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1 C. 小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 D. 某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 4. 从1，2，3，4，5五个数中任取两个（不可重复），则它们的和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 50名同学的体重情况如下表所示： 分组（） 频数 6 8 15 18 3 则这50名同学体重小于频率为（ ） A. 0.28 B. 0.58 C. 0.42 D. 0.94 7. 某兴趣小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选男生人数不少于1名的概率为（    ） A. B. C. D. 8. 一个容量为20的数据样本，分组和频数为，2个、，3个、，4个、，5个、，4个、，2个，则样本数据在区间的可能性为（ ） A. 5% B. 25% C. 50% D. 70% 9. 若随机事件A，互斥，A，发生概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 10. 事件A，B的概率分别为，，且，则( ) A. B. C. D. 无法判断 11. 设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（    ） A. 0.873 B. 0.13 C. 0.127 D. 0.03 12. 袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（    ） A. 相互独立事件 B. 不相互独立事件 C. 互斥事件 D. 对立事件 13. 中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 100 55 18 m 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，不正确的是（     ） A. B. C. D. 14. 从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 一箱脐橙共有个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到脐橙不是坏果的概率为（    ） A. B. C. D. 16. 若，则方程有实根的概率为（    ） A. B. C. D. 17. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（    ） A. 0.2 B. 0.35 C. 0.5 D. 0.4 18. 等可能地从集合的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（ ） A. B. C. D. 19. 甲､乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则不正确的是（    ） A. 甲去考点做服务的概率为 B. 甲去考点､乙不去考点做服务的概率为 C. 甲､乙同去考点做服务的概率为 D. 甲､乙不去同一考点做服务的概率为 20. 某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 21. 假设，，且与相互独立，则_____． 22. 掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，则出现正面的频率是______． 23. 从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为______. 24. 某运动会火炬接力，要从2男2女中任选两人，则选中两人中恰好有1女的概率是______. 25. 某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是，则该电路正常运行的概率为___________. 三、解答题（本题共4小题，26、27题8分，28、29题12分，共40分） 26. 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，，那么 （1）C=“抽到红花色”，求； （2）D=“抽到黑花色”，求. 27. 甲、乙两人进行投篮训练， 已知甲投球命中的概率是， 乙投球命中的概率是 且两人投球命中与否相互之间没有影响. （1）若两人各投球次， 求恰有人命中的概率; （2）若两人各投球次， 求这次投球中至少有次命中的概率. 28. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，构成有序数对，其中x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字．将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，求下列事件的概率： （1）A＝“第一次摸到红球”； （2）B＝“第二次摸到红球”； （3）AB＝“两次都摸到红球”． 29. 在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛概率； （3）甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $