精品解析：黑龙江省部分学校2025～2026学年高三上学期12月教学质量检测数学试题

2025~2026学年度第一学期12月份教学质量检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知，，则集合中的元素个数为（ ） A. 0个 B. 5个 C. 6个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求得，从而可解. 【详解】因为，，所以， 则集合中的元素个数为5个. 故选：B. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值. 【详解】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上，所以，解得. 故选：A 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 4. 已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可. 【详解】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或， 得或， 则k的取值范围为． 故选：B 5. 已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 16 C. D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据，求出和的通项公式，代入不等式计算，再根据基本不等式即可求解得出. 【详解】， 数列是首项为、公比为2的等比数列， ，解得或（舍）， ，即恒成立， ，当且仅当即时取等号，. 故选：. 6. 若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由，消去得，, ，解得， 设，则，则点， 由直线的斜率小于，得， 由，，得，椭圆焦点在轴上， 所以椭圆离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 7. 在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，当最大时，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出，然后以B为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，进行向量坐标化，进而利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】在中，因为，，， 所以，所以为直角三角形，其中. 以B为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，则,,. 所以直线. 设的内切圆为圆. 由题意可得：，解得：，所以圆. 因为点在该三角形的内切圆上运动，所以. 因为，所以 而. 所以由可得：，解得：，（当且仅当时等号成立） 此时. 所以，而, 所以. 故选：A 8. 已知函数.若，，则函数在上的零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由，，求出分段函数的解析式，得出函数的周期性为2，将函数的零点转化为的零点，即可求出零点之和. 【详解】因为，，所以解得，， 所以所以在上是周期为的函数， 在上的所有零点为， 所以在上的所有零点为的零点且， 所以且，解得（且）， 所以函数在上的零点之和为 . 故选：B. 【点睛】本题考查复合函数的零点问题，还涉及分段函数的解析式、周期性等，同时考查学生的转化和理解能力. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 C. 圆与圆恰有3条公切线 D. 已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线C上有一点，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的两点式方程的性质，判断选项A的正误；根据直线截距的概念，判断选项B的正误；根据两圆的位置关系，判断圆的公切线数目和圆上点的距离的最小，判断选项C的正误；根据双曲线定义可求得，再根据或即可得解. 【详解】对于选项A，当或时，无法用两点式表示该直线，所以A错误； 对于选项B，当直线经过点时，直线方程为，即， 当直线不经过点时，设在轴和轴上截距都为a，则，解得， 则直线方程为，即，所以B正确； 对于选项C，圆 标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 可知，且， 所以圆与圆外切，所以有3条公切线，所以C正确； 对于选项D，根据双曲线定义可得，又， 所以或，又，， 而或，所以，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 弦长的取值范围为 B. 若直线过点，则直线的斜率为 C. 若点在第一象限，满足的面积为1，则 D. 若弦的中垂线与轴交于点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由焦点弦长性质即可判断A，通过斜率公式可判断B，由焦点三角形面积公式求得，再结合勾股定理、椭圆定义求解即可判断C，设方程，联立椭圆方程，求得中点坐标，写出中垂线方程，求得，由弦长公式及两点距离公式即可判断D. 【详解】根据题意，因为直线过椭圆的右焦点， 所以弦长的最短为通径，弦长的最长为长轴， 所以过右焦点的通径为，长轴为， 所以弦长的取值范围为，故选项A正确； ，当时，，故选项B错误； 因为，计算可得， 所以，， 因为点在第一象限，所以，故选项C不正确； 设点、的中点为， 联立，可得， ，， 所以， 所以点的坐标， 所以、两点的中垂线方程为， 所以点的坐标为，所以， 利用弦长公式可得， 所以，故选项D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 11. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数且在上恰有4个不同的零点，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可． 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，，所以， 即当时， 又对任意都有则关于对称， 且，，即函数的周期为， 又由函数且在上恰有个不同的零点， 得函数与的图像在上有个不同的交点，又， 当时，由图可得，解得； 当时，由图可得，解得． 综上可得. 故选：AD． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式中的常数项为120，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程，即可求解 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，代入可得，解得. 故答案为：. 13. 甲、乙等5名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有________（用数字作答）种. 【答案】72 【解析】 【分析】根据排列的定义，结合分步乘法原理进行求解即可. 【详解】因为甲、乙均没有获得特等奖，所以甲、乙获奖的可能情况有种， 则除甲、乙之外的三个同学获奖情况有种，， 所以5名同学获奖的所有可能情况有种. 故答案为：72 14. ，，，顺次为函数图象上的点（如图），，，顺次为轴上的点，且，，，均为等腰直角三角形（其中为直角顶点），设的坐标为，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，为等腰直角三角形，且为直角顶点，求出点的横纵坐标，再根据点为函数图象上的点，坐标满足函数的解析式，就可得到含的等式，即数列的递推公式，再根据递推公式即可求出数列的通项公式． 【详解】过点作轴，垂足为 ，，，为等腰直角三角形，且为直角顶点， 所以点为线段的中点，， ， 点为函数图象上的点，， 时，点的纵坐标为， 点为线段的中点，点横坐标为， 轴，点的横坐标也为 点为函数图象上的点， ，即， ， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可以变形为：，再由余弦定理进行求解； （2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理及，得， ， ， ． 【小问2详解】 设的外接圆半径为， 由及正弦定理， 得， ． 由余弦定理得，， ，当且仅当时取等号，， 周长的最大值为9． 16. “总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一.南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵､夫子庙､玄武湖､南京博物院等传统景区，又有科巷､三七八巷､德基广场等新晋网红景点. （1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示： 首选传统景区 首选网红景点 总计 男性 20 30 女性 12 20 试判断是否有的把握认为是否首选网红景点与性别有关； （2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4.如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为，求的分布列和期望. 附：（其中. 0.05 0.10 0.001 3.841 2.706 10.828 【答案】（1）有 （2） 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 1.2 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据填写列联表，再按照公式计算； （2）随机变量X服从二项分布，根据二项分布求出分布列和数学期望. 【小问1详解】 提出假设 ：是否选择网红景点与性别没有关系. 由题意，补全列联表得 首选传统景区 首选网红景区 合计 男性 20 10 30 女性 8 12 20 合计 28 22 50 根据公式求得， 因为当成立时，的概率约为0.1， 所以有的把握认为，是否首选网红景点与性别有关； 【小问2详解】 由题意知，随机变量服从二项分布， 则的分布列为： ， ，，，， 的分布表为： 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 所以的期望值； 综上，是否首选网红景点与性别有关；的期望值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，点，分别是棱，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 过点作，交于点，作，交于点，连接， 由于,则，又，，，, 则，，， ，而，平面,平面． 又平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的边长关系可证明，进而根据长度关系得勾股定理，由线线垂直证明线面垂直，进而得面面垂直， （2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连，则，，,, 则以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. （1）求的方程； （2）若，求直线与轴的交点的坐标； （3）是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，即可求出的值，从而得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程，消元、列出韦达定理，设，，即可表示出的方程，令求出即可得解； （3）结合（2）及四点共圆的性质得到，即可求出，再由三点共线，求出. 【小问1详解】 依题意可得，设，，则，， 设直线的方程为，由，得， 显然，所以，， 因为，所以， 即，所以，解得或（舍去）， 所以的方程为； 【小问2详解】 由（1）可得，因为过点，由条件可得的斜率不为， 设直线的方程为，，， 由，得，所以，所以， 设，，同理可得， 因为直线过点， 所以，由，，即，所以， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，即， 即，解得， 所以直线与轴的交点为. 【小问3详解】 由（2）可得，， 若，，，四点共圆，则有， 即， 即，所以，整理得， 因为，所以，由，即， 即，解得. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”. （2）求证：函数不存在“优美区间”. （3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值. 【答案】（1）证明：在区间上单调递增, 又,,∴的值域为, ∴区间是的一个“优美区间”. （2）证明：设是已知函数的定义域的子集. 由,可得或, ∴函数在上单调递减. 若是已知函数的“优美区间”,则, 两式相减得,,则, , 则,显然等式不成立, ∴函数不存在“优美区间”. （3） 【解析】 【分析】（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论; （2）若函数存在“优美区间”,可得函数在上单调递减,从而可得,联立可推出矛盾,即可证明结论; （3）函数有“优美区间”,结合单调性可得,联立可求得的关系,进而可求得的最大值. 【详解】（1）略； （2）略； （3）设是已知函数定义域的子集. 由,则或, 而函数在上单调递增. 若是已知函数的“优美区间”,则, ∴是方程，即的两个同号且不等的实数根. ,∴同号,只须, 解得或, , ∴当时,取得最大值. 【点睛】本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期12月份教学质量检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知，，则集合中的元素个数为（ ） A. 0个 B. 5个 C. 6个 D. 无数个 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 16 C. D. 32 6. 若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，当最大时，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若，，则函数在上的零点之和为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 C. 圆与圆恰有3条公切线 D. 已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线C上有一点，若，则 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 弦长的取值范围为 B. 若直线过点，则直线的斜率为 C. 若点在第一象限，满足的面积为1，则 D. 若弦的中垂线与轴交于点，则 11. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数且在上恰有4个不同的零点，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式中的常数项为120，则实数的值为__________. 13. 甲、乙等5名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有________（用数字作答）种. 14. ，，，顺次为函数图象上的点（如图），，，顺次为轴上的点，且，，，均为等腰直角三角形（其中为直角顶点），设的坐标为，则数列的通项公式为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 16. “总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一.南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵､夫子庙､玄武湖､南京博物院等传统景区，又有科巷､三七八巷､德基广场等新晋网红景点. （1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示： 首选传统景区 首选网红景点 总计 男性 20 30 女性 12 20 试判断是否有的把握认为是否首选网红景点与性别有关； （2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4.如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为，求的分布列和期望. 附：（其中. 0.05 0.10 0.001 3.841 2.706 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，点，分别是棱，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. （1）求的方程； （2）若，求直线与轴的交点的坐标； （3）是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”. （2）求证：函数不存在“优美区间”. （3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $