辽宁省点石联考2025-2026学年高二上学期12月联合考试数学试题

点石联考12月高二联考 数学 参考答案 2025年点石联考东北“三省一区”高二年级12月份联合考试·数学 说明： 一、 本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 0 A B D C C 二、多选题 9 10 11 ACD ABC AD 三、填空题 12.(x-2)2+(0y-3)2=518.2 1 14.6 四、解答题 15.解：(1)显然T(2,0), (1分) 由2-0十a=0解得a=-2. (3分) (2)显然圆心到直线的距离d=20+a=1a十2=2， (6分) √12+1 √2 即|a+2|=2√2，解得a=-2√2-2或a=2√2-2. (9分) (3)由d=1+2<2可得1a十21<22， (11分) ② 解得a∈(-2√2-2,2√2-2)，故a的取值范围为(-2√2-2,2√2-2). (13分) x=√2y-2 16.解：(1)联立 ,有y2-2√2y十4p=0, (2分) y=2px 其中△=(-2√2p)2-16p=8p2-16p=0, (4分) 第1页共7页 点石联考12月高二联考 数学 解得p=0(舍)或p=2, (5分) 故E的方程为y2=4x. (6分) (2)此时由y2-42y+8=0可解得y=22,而x=子y=2,故A(2,2②， (8分) 于是0A的斜率=22。-反，故AB的斜*-名号，于光加y2反-号c-2,（10分) 2-0 2 x=-√2y十6 即x=一√2y十6，联立 可得y2+4V2y-24=0,解得y1=2√2，y2=-6√2， (12分) v2=4.x 故|AB|=√1+(-√2)2|y-y2|=8W6, (13分) 而|OA1=√22+(2√2)2=2√5， (14分) 故△0AB的面积S=号×|OA1×|AB1=24E. (15分) 17.解：(1)因为AA1=AC,所以由直三棱柱的性质知四边形AAC1C为正方形，所以AC⊥AC1, (2分) 而B1C1⊥A1C,B1C1∩AC1=C1,BC1,ACC平面AB1C1,所以A1C⊥平面ABC1, (4分) 而AB1C平面AB1C,所以A1C⊥AB. (5分) (2)由题意知B1C1⊥AC,B1C1⊥CC1,A1C∩CC1=C,AC,CC1C平面AA1CC,所以BC1⊥平面 AACC,而ACC平面AACC,所以BC⊥AC1,故CA1,CB,CC两两垂直，以C为坐标原点， CB,C1A,CC方向分别为x,y,之轴的正方向建立空间直角坐标系， (7分) 设BC=a(a>0),则C1(0,0,0),A1(0,2,0),A(0,2,2),B1(a,0,0),C(0,0,2),从而CA=(0,2,0), CB=(a,0,一2)，A1C=(0,-2,2),设平面ABC的一个法向量为m=(x1y之1)， (9分) m·CA=02y=0 则 ,即 ,可取m=(2,0,a), (10分) m.CB=0a.x1-2x1=0 n·AC=0-2y2+22=0 设平面AB1C的一个法向量为n=(x2y2,z2),则 ,即 ,可取n=(2,a,a), n.CB1=0(a.x2-2x2=0 (12分) 放1osmm1=贤司 a2+4 =10 (14分) 平方化简得a2=6,又a>0,所以a=√6，故BC=√6. (15分) 18.解：(1)记P(xy),Q(x2y),不妨设PQ斜率为正，P=(1-西，-y),F=(x2-1,y), (2分) 第2页共7页 点石联考12月高二联考 数学 由PF=2FQ得-y=2y2,1-x1=2(.x2-1), (3分) 前者可得y=4y3=4x1=16x2,得x1=4x2, (4分) 代人后者得3=西十2=6x2,即x=2 (5分) 于是|OQ|=√J+y=√(1-2)2+y=|FQ (6分) (2)此时由斜率为正且x2<x1显然有y<0<y1,于是y2=一√4x2=一√2，=4x2=2,y1=√4x= 2wE,故P2,22),Q(日，-2). (7分) 此时PQ的斜率发-2平=2反，PF中点为（是）小，放MN的方程为上-是=一k(一万)= 2 2y.即x2Ey号=0 (9分) y2=4x 联立 x=-22y+ 11得y2+8V2y-22=0,记M(x),N(x4y4),则为十y=一82，yy4=-22, 于是|MN|=W1+(-2W2)2√y+y4)-4yy4=3√/128+88=18√6. (12分) （3)显然寸兰=4w.寸-1-2十型-经故7号.-4 2 2 2 (14分) 记A20,0.AT=√(-20)'+(-42)= 2 (15分) 于是TH≤AT+1AH=37+1当且仅当T,A,H三点按序共线时，等号成立， 2 (16分) 故TH的最大值为37+1. 2 (17分) 10.解：(1在椭圆若+苦-1中，a=2,6=5,则c=瓜--V4-3=1, (1分) 故F2(1,0). (2分) (2)若直线PQ的斜率不存在，则点P,Q重合，不合乎题意，若直线PQ的斜率为零，则该直线与x轴重 合，与题意矛盾，故直线PQ的斜率存在且不为零，设直线PQ的方程为y=kx十m(k≠0)，设点 P(x1,y)、Q(x2,y2), (4分) (y=kx+m 由 +-1 ,得(3+4k2)x2+8km.x+4(m2-3)=0,△=64k2m2-4(4k2+3)×4(m2-3)= 48(4k2+3-m2)>0, (6分) 由韦达定理可得x十x2=一 =2.由十，=0，得，0,8分 8km 又y,=kx,十m(G=1,2),故+m++m-k+m)(x:-1)+（k+m)(西-D=0,即2kn十 x1-1 x2一1 (x-1)(x2-1) 第3页共7页 点石联考12月高二联考 数学 (m-k)(x1十x2)-2m=0, (10分) 则2k.4m+(m-k)(一3）2m=0, 8km 3+4k2 化简整理得m=一4k,于是直线PQ的方程为y=k(x一4)，因此直线PQ过点(4,0). (12分) (3)O、F2、P、Q四点不能共圆，事实上，F2总在△OPQ的外接圆的内部. 理由如下： 线段OP的垂直平分线方程为y=一 y 2y1 x十 +31-) 2y 十3 十3 x十 4 ，即y=一 4 x十 .同理，线段OQ的垂直平分线方程为y=一x十 (14分) 2y1 2y1 联立上述两个方程，得△OPQ的外心C的横坐标为 32k2 1 (x1十x2)- x1x2十3 4(16k2-3)+3 c= 4 3+4k24 3+4k2 3士7，因>0，放x7·+7 8 8 2 3十42 号，所以FC-10C=(xe-1)2+呢-(2+2)=1-2x<0, (16分) 于是|F,C<|OC,所以F2在△OPQ的外接圆的内部，故O、F2、P、Q四点不能共圆. (17分) 第4页共7页 点石联考12月高二联考 数学 答案详解 一、单选题 1.C【解析】由方程y一2025=0，可知直线与x轴平行，倾斜角为0.故选C. 2.A【解析】因为M是EF的中点，E,F分别是OB,AC的中点，所以BM=之(B+B它)=子(BC+BA) +动-0试-0丽+0i-0丽)-o城--0防+试-46+故选1 3.B【解析】记椭圆的半焦距为c,由2c=6得e=3,于是由2-会得a=6,可知6=√匠一乙=√30一9= 3√3.故选B. 4.D【解析】注意到|a=√22+1+(-2)产=3，故b=(3,-1,0),于是a·b=2×3十1×(-1)=5.故 选D. 5.D【解析】由题意得C1:y2=4x的焦点为(1,0)，设(1,0)关于直线y=x十1的对称点为(a,b),则 b=a+1+1, 2 fa=-1, 得 故C2的焦点坐标为（一1,2）.故选D. b a-7=-1, (b=2. 6.C【解析】被3除余1的数有1,4,7，被3除余2的数有2,5,8，被3整除的数有3,6,9，若要使选取的三 个数字的和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从同一组中选取三个数字，则取出的这三 个数字的和能被3整除的种数3×3×3+1+1+1=30种.故选C. 7.C【解析】易知平面a的法向量n=(1,2,0),而由1+2t=3t可得t=1,于是M(1,1,0),MP=(1,2, -2),放点P到a的距离4=M.m=1X1+2X2+0x(-2)-5,故选C. n √12+22 8.C【解析】设P(xy,x),易知P到x轴的距离d=√+，而PA=(-2-x,-y,一)，P方=（一x, 2-y,2-x),于是5=PA.Pi=x(x+2)十y(y-2)+x(x-2)=(x+1)2+y2-2y十2-22-1≥dP-1 -2y-2,于是F-6≤2(y+x)≤22(y+)=22d,得d-22d-6≤0，可得d<2E+8于6X4 2 =3√2，当且仅当x=一1，y=x=3时等号成立.故选C. 二、多选题 9.ACD【解析】对于A,代入(-6,3)可得一6m十6m一3十3=0，符合方程，故1过定点（一6,3）成立，故A 正确；对于B,当m=0时，l2:x=3的倾斜角为直角，故B错误；对于C,代人m=1可得l1:x十y十3=0， 第5页共7页 点石联考12月高二联考 数学 x十y一3=0，由马=马3≠一3可得二者平行，故C正确：对于D,由垂直可得m十m(2m-)=0, 即m(2m-m十1)=0，注意到2m2-n+1=2(m-子)广+子>0得m=0,故D正确.故选ACD. 10.ABC【解析】对于A,根据分类加法计数原理可知，共有5+2+7=14种不同的选法，故A正确；对于 B,根据分步乘法计数原理可知，共有5×2×7=70种不同的选法，故B正确；对于C,可分为三类：第一类 是1幅选自国画，1幅选自油画，有5×2=10种不同的选法；第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有 5×7=35种不同的选法；第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有2×7=14种不同的选法，故共有 10十35+14=59种不同的选法，故C正确；对于D,可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂 在左边墙上，有3种选法；第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，根据分步乘法计 数原理知，不同挂法的种数是3×2=6，故D错误.故选ABC 11.AD【解析】依题意，曲线C:(x2+y)2=8(y2-x2),点(x,y),(-x,-y)都满足方程(x2+y2)2= [y=2x 8(y一x2),所以曲线C关于原点对称，故A正确；由 消去y并化简得 (.x2+y2)2=8(y2-x2) 2(25x一24)=0，解得x=0或x=±2，所以直线y=2x与曲线C有3个公共点，故B错误；由 (x2+y2)2=8(y2-x2)整理得x+(2y2十8)x2+y-8y2=0,令t=x2≥0，则t2+(2y2+8)t十y-8y2 =0有非负根，而其对称轴1=-2y,十8=一(+4)<0，所以02+(2y+8)×0+y一8y2=y一8y2 2 y2(y2-8)≤0,0≤y2≤8，解得-2√2≤y≤2√2，故C错误；令s=x2+y2,则x2=s-y2,代人(x2+y)2 =8(y2-x2),化简得s2十8s=16y2∈[0,128]，设f(s)=s2+8s.由于f(s)=s2+8s的开口向上，对称轴 为s=一4，所以f(s)=s2+8在[0，十o∞)上单调递增，由s2十8s=128解得s=8(负根舍去)，所以s的最 大值为8，所以|OP|=√x2+y=√的最大值为2√2，故D正确.故选AD. 三、填空题 12.(x-2)2+(y-3)2=5【解析】因为AB为直径，则A(0,2),B(4,4)的中点为O(2,3),所以圆心为 0(2,3),半径，=√4=0)42∑=5，所以圆的方程为(z-2)+(y-3)=5.故答案为(-2) 2 +(y-3)2=5. 1号【解析】注应到E千兰-1，其实半轴长a=1,虚半轴长6放1：y=合x-停，即工) a 3 0,而E虚轴上端点的坐标为(0，)，故距离d= √/1+(-√5)2 2故答案为2 14.6【解析】如图，由题意，将13个数排成一圈，使相邻的两个数的差是5或8，则其中任何相邻的数都不 第6页共7页 点石联考12月高二联考 数学 能同时取，从1开始按逆时针顺序把数染成实心和空心，则所有空心圈对应的数符合题意，共6个，且若 k超过6个，则必然会出现两个数相邻，因此k的最大值为6，故答案为6. 608 04 09 100 50 01 130 6 8g9 第7页共7页绝密★启用前（点石联考） 2025年点石联考东北“三省一区”高二年级12月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 女注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.直线y一2025=0的倾斜角为 A.元 B号 C.0 D.不存在 2.如图，三棱锥O-ABC中，点E,F分别是OB,AC的中点，M是EF的中点，设OA=a,OB=b, OC=c,则BM= 1 sb+4c 4 Ba-3 ,1 2a-2b+2c c 3 4 1 1 3.已知椭圆后+芳-1(a心>6>0》的焦距为6，离心率为3则6 A.22 B.3√3 C.42 D.6√3 4.已知空间向量a=(2,1,一2)，b=(a,一1,0)，则a·b= A.-5 B.-1 C.1 D.5 5.若抛物线C1:y2=4x与抛物线C2关于直线y=x十1对称，则C2的焦点坐标为 A.(-2,2) B.(-2,3) C.(-1,3) D.(-1,2) 6.若从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3 整除的种数为 A.28 B.29 C.30 D.32 (点石联考)高二数学第1页（共4页） 7.已知过点(xo,yo,)且法向量为m=（A,B,C)的平面方程为A(x一xo)十B(y一yo)十C(之 o)=0,现有一点M(1,t,0)在平面a:x十2y=3t上，则点P(2,3,一2)到a的距离为 A125 B号 C.5 D.17 8.在空间直角坐标系O-xy之中，A(-2,0,0),B(0,2,2),点P满足PA·PB=5,则点P到x轴 距离的最大值为 A.2,3 B.4 C.3√2 D.2√5 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.记直线L1:mx+(2m-1)y+3=0,l2:x+m2y-3=0,则 A.1过定点（一6,3） B.L2的倾斜角为钝角 C.若m=1,则l1∥l2 D.若l1⊥l2,则m=0 10.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则 A.从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B.从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C.从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D.从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不 同的挂法 11.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:(x2+y2)2=8(y2一x2),点P在曲线C上，则 A.曲线C关于原点对称 B.直线y=2x与曲线C有2个公共点 C.点P的纵坐标的取值范围是[一2,2] D.PO的最大值为2√2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知点A(0,2),B(4,4),则以线段AB为直径的圆的标准方程为 13.记双曲线E:x2一3y2=1斜率为正的渐近线为1，则E虚轴的上端点到l的距离为 14.在1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13共13个数中挑出个数，使得这个数中任意两个差 的绝对值都不是5或8，则的最大值是 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）】 15.(本小题满分13分) 记圆T:(x-2)2十y2=4,直线l:x-y十a=0. (1)若点T在l上，求a; (2)若圆T与l相切，求a; (3)若圆T与l相交，求a的取值范围， (点石联考)高二数学第2页（共4页） 16.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系xOy中，直线x一√2y十2=0与曲线E:y2=2px(p>0)有且仅有一个公 共点A. (1)求E的方程； (2)过A的直线l与E另交于点B,若OA⊥AB,求△OAB的面积. 17.(本小题满分15分) 如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=2,B1C1⊥A1C. (1)证明：AC⊥AB1; (2②)若平面AB,C与平面A,B,C夹角的余弦值为，求BC (点石联考)高二数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 在直角坐标系xOy中，F(1,0),曲线E:y2=4x上两点P,Q满足PF=2FQ,PF的垂直平分 线与E交于M,N两点. (1)证明：|OQ=|FQ; (2)求|MN; (3)记点T为MN中点，H为圆(x-20)2+y2=1上一点，求|TH的最大值. 19.(本小题满分17分) 一十？1上一点P(异于椭圆的左、右顶点)射出的光线照射到 F2上，经x轴反射，反射光线过椭圆上的另一点Q. (1)求点F2的坐标； (2)证明：直线PQ过定点； (3)探究O、F2、P、Q四点能否共圆，并说明理由. (点石联考)高二数学第4页（共4页）