专题11 电磁感应中的双棒模型模型（讲义）物理人教版选择性必修第二册

本高中物理讲义聚焦电磁感应中的双棒模型，系统梳理无外力、有外力、等间距、不等间距四类模型，涵盖电路特点、安培力特点、加速度特点、最终状态及动量守恒、能量转化等核心规律，搭建从基础到复杂情境的学习支架。 该资料通过模型剖析建构物理模型，例题精讲结合科学推理与论证，变式训练设置磁场方向、初速度方式等变化情境培养质疑创新能力。课中辅助教师分层教学，课后练习题及推理过程助力学生巩固知识，提升科学思维与问题解决能力。

专题11 电磁感应中的双棒模型 【模型一】 无外力双棒 【模型剖析】 如图甲，水平间距为 的光滑水平导轨上放置质量为 、 的导体棒，电阻为 ，给其中一导体棒初速度 。分析如下： 1. 电路特点： 棒 2 相当于电源； 棒 1 受安培力而加速启动，运动后产生反电动势， 等效电动势为两导体棒感应电动势之差，即： 。 2. 安培力特点：棒 1 所受安培力为动力，随棒 1 速度增加而减小； 棒 2 所受安培力为阻力， 随棒 2 速度减小而减小； 3.加速度特点： 棒 1 做加速度减小的加速运动； 棒 2 做加速度减小的减速运动； v-t 图像如图乙。 4.最终状态：两棒以相同的速度做匀速运动；两导体棒两端电势差相等。 5. 运动过程中的四个规律 （1）电流规律： （2）安培力规律：两棒的安培力大小： （3）动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反，系统合外力为零，系统动量守恒： 。 （4）能量转化规律： 系统机械能的减小量等于内能的增加量： 。（类似于完全非弹性碰撞） （5）两棒产生焦耳热之比： 。 6. 几种变化： （1）初速度的提供方式不同，如图丙； （2）磁场方向与导轨不垂直，如图丁； （3）两棒都有初速度，如图戊（两棒动量守恒吗？）； （4）两棒位于不同磁场中，如图己（两棒动量守恒吗？） 【例题精讲】 【例1】（2024秋•贵阳月考）如图，两根相同的导体棒PQ和MN置于两根固定在水平面内的光滑的长直平行导电轨道上，并处于垂直水平面向下的匀强磁场中。如果PQ获得一个向右的初速度并任由其滚动，运动中PQ和MN始终平行且与轨道接触良好。则下列描述不正确的是（　　） A．开始阶段，回路中产生的感应电流的方向为PQMN B．开始阶段，作用在PQ棒上的安培力向左 C．MN棒开始向右加速运动 D．PQ棒向右做匀减速运动直至速度为零 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：A、开始阶段，回路的面积增大，穿过回路的磁通量增加，而磁场方向向下，根据楞次定律“增反减同”可知，回路中产生的感应电流的方向为PQMN，故A正确； B、开始阶段，PQ上的感应电流方向由P到Q，根据左手定则可知，作用在PQ棒上的安培力向左，故B正确； C、同理可知，开始阶段，MN棒所受的安培力向右，则MN棒开始向右加速运动，故C正确； D、设PQ棒的速度为v1，MN棒的速度为v2，回路中总电阻为R，导轨间距为L，则回路中感应电流大小为 PQ棒减速，MN棒加速，v1﹣v2减小，则感应电流减小，根据F＝BIL可知，两棒所受安培力减小，加速度减小，即PQ棒向右做加速度减小的减速运动，直到两棒的速度相等后，一直向右做匀速直线运动，故D错误。 本题选不正确的，故选：D。 【例2】（多选）（2025•蚌山区校级模拟）如图所示，两足够长且间距为L的光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B。质量均为m的金属棒a、b垂直放在导轨上，给金属棒a水平向右、大小为v0的初速度，同时给金属棒b水平向左、大小为的初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，两金属棒接入电路的有效电阻均为R，导轨的电阻不计，则下列说法正确的是（　　） A．开始运动的一瞬间，金属棒a的加速度大小为 B．当金属棒b的速度为零时，金属棒a的速度大小为 C．最终通过金属棒b的电荷量为 D．最终金属棒a中产生的焦耳热为 【推理过程】 【答案】BD 【解答】解：A、开始运动的一瞬间，两棒产生的感应电动势串联，回路中总的感应电动势为E＝BL•BLv0BLv0 电路中的电流 此时金属棒a的加速度大小为，故A错误； B、因a、b组成的系统合外力总是为零，故系统动量守恒，设b的速度为零时，a的速度大小为v1，取向右为正方向，由动量守恒定律得 解得，故B正确； C、设最终a、b的共同速度为v，取向右为正方向，由动量守恒定律得 解得 对金属棒b，取向右为正方向，根据动量定理可得 BLt＝mv﹣m() 最终通过金属棒b的电荷量为qt 解得，故C错误； D、设金属棒a中产生的焦耳热为Q，则，解得，故D正确。 故选：BD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025春•武汉月考）如图所示，水平面上固定的两光滑平行长直导轨，间距为L，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，两质量都为m、电阻都为R的导体棒L1、L2垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，L1静止，L2以初速度v0向右运动，运动过程中两棒不发生相碰。不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则（　　） A．导体棒L2最终停止运动，L1以某一速度匀速运动 B．导体棒L1的最大加速度为 C．两导体棒的初始距离最小为 D．回路中产生的总焦耳热为 【变式训练2】（2024秋•肥西县期末）如图，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，与磁场方向垂直的水平面内有两根固定的足够长的平行金属导轨，导轨间的距离为L，导轨上平行放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。已知两根导体棒的质量均为m、电阻均为R，其他电阻忽略不计，导体棒均可沿导轨无摩擦滑行。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0。两导体棒在运动中始终不接触。下列说法中正确的是（　　） A．cd棒开始运动时，ab棒中电流方向为b→a，大小为 B．当cd棒速度减为0.8v0时，ab棒的加速度大小为 C．从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能为 D．ab棒的最终速度为v0 【变式训练3】（多选）（2025•天水模拟）如图所示，足够长的金属导轨MN、PQ水平平行放置，处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨间距为L。导体棒a、b垂直导轨放置并与导轨接触良好，两导体棒的质量均为m，其在导轨间的电阻均为R，不计一切摩擦及导轨电阻。现给导体棒a一个平行于导轨向右的初速度v0，运动中导体棒a、b未相撞。下列说法正确的是（　　） A．导体棒a做匀减速直线运动，导体棒b做匀加速直线运动 B．导体棒a的速度为时，导体棒b的加速度大小为 C．整个运动过程中电路中产生的焦耳热为 D．整个运动过程穿过导轨横截面的电荷量为 【变式训练4】（多选）（2025•汨罗市校级开学）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L，垂直导轨的虚线OO′两侧导轨所在空间区域存在着磁感应强度均为B的相反方向的竖直匀强磁场，两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒a、b垂直导轨放在OO′左右两侧，并与导轨保持良好接触，不计其他电阻。现给导体棒a一个瞬时冲量，使导体棒a获得一个水平向右的初速度v0，则下列关于a、b两棒此后的整个运动过程的说法中，以下说法正确的是（　　） A．a、b两棒组成的系统动量守恒 B．a、b两棒最终将以大小为的速度分别向右，向左做匀速直线运动 C．整个过程中，a棒上产生的焦耳热为 D．整个过程中，流过a棒的电荷量为 【模型二】 有外力双棒 【模型剖析】 如右图，水平间距为 的光滑水平导轨上放置质量为 的导体棒，电阻为 、 ，恒定外力 作用在导体棒 2 上。分析如下： 电路特点： 棒 2 相当于电源； 棒 1 受安培力而加速启动， 运动后产生反电动势， 等效电动势为两导体棒感应电动势之差，即： 。 2. 安培力特点： 棒 1 所受安培力为动力， 随棒 1 速度增加而增加； 棒 2 所受安培力为阻力， 随棒 2 速度增加而增加； 3. 加速度特点：棒 1 做加速度 增加的加速运动；棒 2 做加速度 减小的减速运动；v-t 图像如右图。 棒 1： ； 棒 2： 最初阶段， ；只要 。 当 时， 恒定， 恒定， 恒定，两棒以相同的加速度做匀加速。 4.最终状态：两棒以相同的加速度做匀加速运动；两导体棒速度差相等。推导如下： 5. 运动过程中的四个规律 （1）电流规律： （2）安培力规律：两棒的安培力大小： （3）动量规律： 两棒受到安培力大小相等方向相反，根据动量定理有： 棒2： ； 棒1： ，联立得： 。 （4）能量转化规律：外力做的功： 两棒产生焦耳热之比： 。 【例题精讲】 【例1】（2024春•江阴市期中）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小为B。已知导体棒MN的电阻为R，质量为m，导体棒PQ的电阻为2R，质量为2m。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧两棒在磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（　　） A．弹簧伸长过程中，回路中感应电流的方向为PQNMP B．两导体棒和弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒 C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为1:2 D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：A、在弹簧伸长过程中，导体棒MN与PQ必定分别向右、左运动，穿过回路的磁通量增加，磁场竖直向上，由楞次定律可知，回路中产生PMNQP方向的电流，故A错误； B、两导体棒受到的安培力等大反向，两导体棒和弹簧组成的系统合外力为零，则系统动量守恒，而系统机械能不守恒，机械能会转化为内能，故B错误； C、因初始时系统总动量为零，由动量守恒定律可知，两棒的动量始终大小相等，可得 mvMN＝2mvPQ 则有 vMN＝2vPQ 可知MN与PQ的速率之比始终为2:1，则MN与PQ的路程之比为2:1，故C错误； D、设整个运动过程，MN与PQ的位移大小分别为x1，x2。最终弹簧处于原长状态，MN与PQ之间距离和初始时相比增加了L，因两棒总是反向运动，可得x1+x2＝L 整个运动过程回路的磁通量变化量为 ΔΦ=Bd（x1+x2）＝BdL 通过MN的电荷量为 ，故D正确。 故选：D。 【例2】（多选）（2025•山东开学）两根平行的光滑金属轨道，间距为1m，电阻不计，每条轨道由直线部分和弯曲部分组成，如图甲所示安装，使得MN和PQ处于同一水平面。金属杆1静止放置在轨道的左端，距离平面MNQP的高度为1.25m。金属杆2放置在轨道的右端。在MP右侧的水平轨道区域内，存在大小为2T的竖直向上的均匀磁场。让杆2以初速度5m/s沿轨道向左移动，同时杆1被释放。在杆1沿轨道滑动到位置MP的过程中，通过杆2的平均电流为0.3A。若从杆1到达PM的时刻开始计时，并设向右为正方向，两根杆的速度v随时间t变化关系如图乙所示。已知杆1和杆2的电阻分别为2Ω和5Ω，质量分别为2kg和1kg，重力加速度大小为10m/s2。则（　　） A．杆1在弯曲轨道上滑动的时间为5s B．杆1在弯曲轨道上滑动的时间为 C．杆2中产生的总热量为 D．杆2中产生的总热量为 【推理过程】 【答案】AC 【解答】解：AB、设杆1沿轨道滑动到位置MP时杆2的速度大小为v20，由乙图可知，此时杆2速度大小为v20＝2m/s，取向左为正方向，对杆2，由动量定理有，解得Δt＝5s，结合运动的同时性可知，杆1在弯曲轨道上滑动的时间为5s，故A正确；B错误； CD、对杆1由静止下滑到平直导轨上的过程中，由机械能守恒定律有 解得v1＝5m/s 设最终两杆共同的速度为v′，取向右为正方向，对两杆组成的系统，由动量守恒定律得 m1v1﹣m2v20＝（m1+m2）v′ 解得 由能量守恒定律可知，两杆中产生的焦耳热为 解得 杆2中产生的焦耳热为Q2Q，解得Q2J，故C正确；D错误。 故选：AC。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•云南模拟）如图所示，两条“A”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。已知导轨足够长且整个回路中的总电阻为R保持不变，cd棒从开始运动到稳定下降的高度为h，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．ab棒最终的加速度为 B．cd棒的最终速度为 C．cd棒下降h后，流过cd棒的电荷量为 D．cd棒下降h后，两棒上产生的热量为 【变式训练2】（2025•河南开学）如图所示，水平面内固定放置两足够长的光滑平行金属导轨AB和CD，在导轨上有垂直导轨放置的完全相同的直导体P和Q，质量均为m，有竖直方向的匀强磁场垂直穿过导轨平面。在直导体P上作用一与导轨平行的水平恒力F，使P由静止开始运动，经一段时间t，P向右的位移大小为x，P和Q还没有达到稳定状态，此时P和Q的瞬时速度分别是v1和v2，瞬时加速度分别为a1和a2，这一过程直导体P上产生的热量为E，两直导体始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。则关于这一过程，下列关系式正确的是（　　） A．Ft＝m（v1+v2） B．F＞ma1+ma2 C． D． 【变式训练3】（多选）（2025•黄州区校级三模）如图所示，将光滑的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，左、右倾斜导轨与水平面夹角均为θ＝30°，中间导轨水平且足够长。导轨间存在竖直向下的匀强磁场，左侧倾斜导轨间磁感应强度大小为2B，中间和右侧倾斜导轨间磁感应强度大小为B。将长度均为L的导体棒ab、cd放置在倾斜导轨上，距水平面高度均为h。两导体棒同时由静止释放，在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，导体棒ab到达左侧倾斜导轨底端时速度大小为v，两根导体棒在水平导轨上恰好不发生碰撞。导体棒ab、cd的质量分别为2m和m，电阻分别为2R和R。导轨连接处平滑，导轨电阻不计，导体棒粗细不计，重力加速度为g，不考虑磁场的边界效应。下列说法正确的是（　　） A．导体棒ab到达左侧倾斜导轨底端时，导体棒cd的速度大小为 B．两导体棒在水平导轨上恰好不发生碰撞时，速度大小均为0 C．水平导轨长度 D．若两导体棒恰好不发生碰撞时粘连在一起，则全过程导体棒cd上产生的焦耳热为 【变式训练4】（多选）（2025春•安徽期末）在水平地面上，固定着两条足够长且平行的光滑金属导轨，导轨间距L＝1m。整个空间存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。导轨上静置着两个导体棒a、b，其质量分别为ma＝0.1kg、mb＝0.3kg，电阻分别为Ra＝1Ω、Rb＝3Ω。在t＝0时刻，对导体棒a施加水平方向的外力F1使其向右运动，同时，对导体棒b施加水平外力F2使b始终保持静止。当t＝2s时，导体棒a速度为v0＝8m/s，此刻同时撤去外力F1和F2。已知导体棒a、b的长度与导轨间距相等，且始终与导轨保持良好接触，不计导轨电阻及一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．撤去外力后，导体棒b先做加速运动，再做减速运动，最终停止运动 B．t＝2s时，回路电流为2A C．撤去外力后，导体棒b所能达到的最大速度为4m/s D．从撤去外力到最终稳定状态过程中，导体棒a产生的焦耳热为0.6J 【模型三】 无外力不等间距双杆模型 【模型剖析】 光滑水平导轨上放置质量为 、 的导体棒，电阻为 、 ，轨道间距为 、 ，满足 ，给其中一导体棒初速度 。 分析如下：a 棒减速， b棒加速，E ，由 ；当 时， ，两棒匀速运动。 1. 电路特点： 棒相当于电源；棒受安培力而加速启动，运动后产生反电动势， 等效电动势为两导体棒感应电动势之差，即： 。 2. 安培力特点：棒所受安培力为阻力，随棒 速度减小而减小； 棒 所受安培力为动力，随棒 速度增加而减小。 3.加速度特点：棒做加速度减小的减速运动； 棒 做加速度 减小的加速运动； - 图像如图。 棒 ；棒 ；分析可知： 。 4. 最终状态： 两棒以各自的速度做匀速运动。稳定条件： 。 5. 运动过程中的四个规律 （1）电流规律： ； 电荷量： （2）安培力规律： 棒的安培力大小： ； 棒的安培力大小： 。 （3）动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反，根据动量定理有： 棒 ； 棒 。 联立解得： 能量转化规律： ；两棒产生焦耳热之比： ； 。 【例题精讲】 【例1】（2025春•青秀区校级期中）如图所示，空间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态。则从开始到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a棒加速度大于b棒的加速度 B．稳定时a棒的速度为1.5v0 C．电路中产生的焦耳热为 D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A、根据牛顿第二定律得 对a棒有 aa 对b棒有 ab 可知a、b棒的加速度大小相等，故A错误； B、取向右为正方向，对a、b棒，分别根据动量定理有 ﹣B•2l•Δt＝2mvb﹣2m•2v0 稳定时有 Blva＝B•2lvb 即得va＝2vb 联立解得 va＝2v0，vb＝v0，故B错误； C、由能量守恒定律可知，系统动能的损失等于焦耳热，则电路中产生的焦耳热为 ，故C正确； D、对a棒，取向右为正方向，根据动量定理可得 又 va＝2v0 联立解得通过导体棒a的某一横截面的电荷量为，故D错误。 故选：C。 【例2】（多选）（2025•惠农区校级模拟）如图所示，足够长的光滑水平轨道左侧b1b2～c1c2部分的轨道间距为3L，右侧c1c2～d1d2部分的轨道间距为L，两部分轨道通过导线连通。整个区域存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小B＝0.1T。质量m＝0.1kg的金属棒P和质量M＝0.2kg的金属棒Q垂直于导轨分别静止放置在左、右两侧轨道上。现给金属棒P一大小为v0＝2m/s、方向沿轨道向右的初速度，已知两金属棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2Ω，轨道电阻不计，L＝0.2m，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，P棒总在宽轨上运动，Q棒总在窄轨上运动。下列说法正确的是（　　） A．整个过程金属棒P、Q动量守恒 B．金属棒P匀速运动的速度大小为 C．整个过程通过金属棒Q某横截面的电荷量为 D．整个运动过程金属棒P、Q扫过的面积之差为 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：A、因为P、Q受到的安培力大小不相等，合外力不为零，所以整个过程金属棒P、Q动量不守恒，故A错误； B、规定水平向右为正方向，对P、Q分别根据动量定理可得 对P有﹣FP安•t＝mvP﹣mv0 对Q有FQ安•t＝MvQ 其中FP安＝3FQ安 整理得mv0﹣mvP＝3MvQ 两棒最后匀速时，电路中无电流，此时回路总电动势为零，则有3BLvP＝BLvQ 即vQ＝3vP 联立解得金属棒P匀速运动的速度大小为，故B正确； C、由B项可得vQm/s。在Q加速过程中，规定水平向右为正方向，根据动量定理有∑BiLΔt＝MvQ﹣0 又整个过程通过金属棒Q某横截面的电荷量为q＝∑iΔt，解得，故C正确； D、根据，解得金属棒P、Q扫过的面积之差为，故D错误。 故选：BC。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•樟树市校级开学）如图所示，两固定在水平面上的平行金属导轨由宽轨M1N1、M2N2，窄轨O1P1、O2P2两部分组成，宽轨部分间距为2L，窄轨部分间距为L。现将两根材料相同、横截面积相同的金属棒ab、cd分别静置在宽轨和窄轨上。金属棒cd的质量为m，电阻为R，长度为L，金属棒ab的长度为2L，两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。金属导轨处在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给金属棒ab水平向右的初速度v0，此后金属棒ab始终在宽轨磁场中运动，金属棒cd始终在窄轨磁场中运动。已知除金属棒的电阻之外其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，不计一切摩擦。下列说法正确（　　） A．金属棒cd开始运动后，金属棒cd中的电流方向为d→c B．当两金属棒匀速运动时，cd棒的速度为 C．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，通过金属棒cd的电荷量为 D．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，金属棒cd中产生的热量为 【变式训练2】（2025•广州二模）如图所示，足够长的水平放置的光滑平行导轨，宽轨道的间距为窄轨道的2倍，轨道处于竖直方向的匀强磁场中，甲、乙两杆垂直导轨放置，质量分别为2m、m。某时刻甲以速度v0向右滑动，若甲始终在宽轨道上运动，则系统最终产生的热量为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（多选）（2025春•上饶期末）如图所示，M、N、P、Q四条光滑的足够长的金属导轨平行放置，导轨间距分别为2L和L，两组导轨间由导线相连，装置置于水平面内。导轨间存在竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，两根质量分别为2m与m、接入电路电阻均为R的导体棒C、D分别垂直于导轨放置，且均处于静止状态，其余部分电阻不计。t＝0时使导体棒C获得瞬时速度v0向右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并与导轨接触良好，且达到稳定运动时导体棒C未到两组导轨连接处。则下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，导体棒D的加速度大小为 B．达到稳定运动时，C棒的速度为 C．从t＝0时至达到稳定运动的过程中，回路产生的内能为 D．从t＝0时至达到稳定运动的过程中，通过导体棒C的电荷量为 【变式训练4】（多选）（2025•天心区校级模拟）如图所示，有一光滑金属轨道，左侧高度为h处恰好为的圆弧轨道，加一个竖直向上大小为2B的匀强磁场，图中未标出，右侧水平部分置于竖直向上，大小为B的匀强磁场中，由宽度分别为2L、L的两部分组合而成。ab长为L，质量为2m，cd长为2L，质量为m，垂直两导轨水平放置，导轨电阻不计，两根棒的电阻都为R，并且两个宽度区域都足够长（两根棒都始终在不同宽度的区域内）。现给ab一水平向左的初速度v0，cd进入圆弧轨道时，两导体棒恰好做匀速直线运动，且此时固定ab棒。关于两棒的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．cd棒刚要进入圆弧轨时，ab棒的速度为 B．ab棒从刚开始运动到刚好匀速时通过的电荷量为 C．两导体棒运动过程中动量总是守恒的 D．若cd棒进入圆轨道做匀速圆周运动，cd棒在圆弧轨道上做匀速圆周运动达到h处过程中产生的热量为 【模型四】有外力不等距双棒 【模型剖析】 光滑水平导轨上放置质量为 、 的导体棒 、，电阻为、， 轨道间距为 、 ，满足 ， 在恒力 作用下运动。 分析如下： 棒加速，棒加速，。 1. 电路特点： 棒相当于电源； 棒受安培力而加速启动，运动后产生反电动势，等效电动势为两导体棒感应电动势之差，即： 。 2 安培力特点： 棒所受安培力为阻力，随棒速度增加而增加；棒 所受安培力为动力，随棒速度增加而增加； 3. 加速度特点：棒做加速度减小的加速运动；棒做加速度增加的减速运动； - 图像如图。 棒a： ；棒b： ； 最初阶段， ；之后 ；两棒做匀加速直线运动。 4.最终状态：两棒以各自的加速度做匀加速运动；两导体棒加速度成比例。 当 恒定时，即 恒定，可得 恒定， 5. 运动过程中的四个规律 （1）电流规律： ； 电荷量： （2）两棒的安培力规律：a 棒的安培力大小： ； 棒的安培力大小： 。 （ 3 ）动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反，根据动量定理有： 棒 ； 棒 ； 联立得： 。 （4）能量转化规律：外力做的功： 两棒产生焦耳热之比： 。 6.常用结论 常用关系： 常用结果： 此时回路中电流为： 与两棒电阻无关 【例题精讲】 【例1】（2024春•重庆期中）如图所示，两足够长的光滑平行导轨固定在同一水平面上，虚线MN与导轨垂直，其左、右侧的导轨间距分别为L2和L1且L2＞L1整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。MN左、右两侧的磁感应强度大小分别为B2和B1，且B1＞B2，在MN两侧导轨上分别垂直放置两根接入阻值为r1和r2的平行金属棒ab和cd，系统静止。某时刻对ab棒施加一个水平向右的恒力F，两金属棒在向右运动的过程中，始终与导轨垂直且接触良好，cd棒始终未到达MN处，则下列判断正确的是（　　） A．最终两棒以不同的速度匀速运动 B．最终两棒以相同的速度匀速运动 C．安培力对cd棒所做的功大于cd棒的动能增加量 D．外力F做的功等于两棒的动能增加量和回路中产生的焦耳热 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：AB、ab 棒在外力F作用下向右做加速运动，但由于受到向左的安培力，且随着速度增大安培力也会增大，所以ab棒做加速度减小的加速运动，cd棒在向右的安培力作用下，也向右做加速运动，且随着速度增大，安培力增大，加速度在增大。 回路中的感应电动势为：E＝B1L1vab﹣B2L2vcd，已知：L2＞L1，B1＞B2， 最终两棒稳定运动时回路中的感应电动势恒定且不为零，若B1L1＝B2L2，则vab﹣vcd的差值恒定，可知两者的加速度相同；若B1L1≠B2L2，则B1L1vab﹣B2L2vcd的差值恒定，可知两者的加速度不相同。所以最终两棒均做匀加速直线运动，加速度可能相同，也可能不相同，故AB错误； C、cd 棒受的合力为受到的安培力，由动能定理可知安培力对cd 棒所做的功等于 cd 棒的动能增加量，故C错误； D、由能量守恒定律可知外力F做的功等于两棒的动能增加量和回路中产生的焦耳热，故D正确。 故选：D。 【例2】（多选）（2025•丽江模拟）如图所示，足够长的光滑平行金属轨道DE、D′E′及FP、F′P′固定在水平面上，间距分别为2l、l，两段轨道在EF、E′F′处连接，水平轨道处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。四分之一圆弧轨道CD、C′D′在左端与水平轨道平滑相连，圆弧下端分别在D、D′点与水平轨道相切。质量为m、电阻为R、长度为l的金属棒cd静止放置在窄轨道上，现将质量为2m、电阻为2R、长度为2l的金属棒ab从圆弧轨道上高为h处由静止释放，运动过程中两根金属棒始终与金属轨道垂直并接触良好，不计其他电阻及空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．金属棒cd中的最大电流为 B．整个过程中通过金属棒ab的电荷量为 C．整个过程中金属棒cd中产生的焦耳热为 D．两金属棒ab、cd相距最近时的速度之比为2:1 【推理过程】 【答案】AB 【解答】解：A、金属棒ab刚进入磁场时，速度最大，产生的感应电动势最大，回路中感应电动势最大，金属棒cd中的电流最大。设金属棒ab刚进入磁场时的速度大小为v0，此时回路中的感应电动势为Em。 金属棒ab沿圆弧轨道下滑过程，根据机械能守恒定律有 解得 则金属棒ab产生的最大感应电动势为 金属棒cd中的最大电流，故A正确； B、金属棒ab进入水平轨道后在安培力作用下做减速运动，金属棒cd做加速运动，直到两金属棒产生的电动势等大、反向，回路中的电流为零，最终两金属棒都做匀速运动。设两金属棒匀速运动时的速度大小分别为va、vc，达到稳定状态的过程中通过两金属棒的电荷量为q，则有B•2lva＝Blvc 可得vc＝2va 取向右为下同，根据动量定理，对金属棒ab、cd分别有， 解得，故B正确； C、由能量守恒定律可得，回路产生的总焦耳热为，则金属棒cd中产生的焦耳热为，故C错误； D、由牛顿第二定律可得BiL＝ma，因通过两金属棒的电流始终相等，结合两金属棒的长度、质量关系可知，两金属棒的加速度大小始终相等，运动过程中的v﹣t图像如图所示。 两图线关于中间虚线对称，显然两图线的交点的纵坐标为，而两金属棒速度大小相等时距离最近，可知两金属棒距离最近时两金属棒的速度大小都为，即两金属棒ab、cd相距最近时的速度之比为1:1，故D错误。 故选：AB。 【变式训练】 【变式训练1】（2024春•龙马潭区期末）如图所示，水平面上有一组平行但宽度不同的固定导轨，分界线PQ、MN位于水平面内且均与导轨垂直，PQ左侧导轨间距是右侧导轨间距的2倍。PQ左侧和MN右侧有方向垂直水平面等大反向的匀强磁场，PQ和MN之间是距离d＝1m的无磁场区域。两根完全相同的导体棒CD、EF均平行PQ静止放置在导轨上，导体棒质量均为m＝0.2kg。给导体棒CD施加一水平向右、大小为F＝10N的恒力，当导体棒CD运动s＝0.5m时撤去恒力F，此时两导体棒的速度大小均为v1＝1m/s。已知导体棒CD运动到PQ前两导体棒的速度均已稳定。当导体棒EF的速度大小为v2＝0.2m/s时，导体棒CD刚好运动到NN并进入右侧磁场区域，整个过程中导体棒EF始终在MN的右侧导轨上运动，两导体棒始终与轨道接触良好且不会碰撞。除导体棒电阻外不计其他电阻，忽略一切摩擦，导轨足够长，取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．恒力F作用过程中，导体棒EF上产生的焦耳热为1.6J B．撤去拉力F后，导体棒CD在左侧水平轨道上稳定速度的大小为0.5m/s C．导体棒CD从PQ运动到MN过程中，导体棒EF位移的大小为1.3m D．导体棒CD最终速度的大小为m/s 【变式训练2】（2024•青岛模拟）两根质量均为m的光滑金属棒、b垂直放置在如图所示的足够长的水平导轨上，两金属棒与导轨接触良好，导轨左边间距是右边间距的2倍，两导轨所在的区域处于竖直向下的匀强磁场中。一根不可伸长的绝缘轻质细线一端系在金属棒b的中点，另一端绕过轻小光滑定滑轮与质量也为m的重物c相连，线的水平部分与导轨平行且足够长，c离地面足够高，重力加速度为g。由静止释放重物c后，两金属棒始终处在各自的导轨上垂直于导轨运动，达到稳定状态后，细线中的拉力大小为（导轨电阻忽略不计）（　　） A． B． C． D．mg 【变式训练3】（多选）（2025•襄阳三模）如图所示，两电阻不计的光滑平行导轨水平放置，MN部分的宽度为2l，PQ部分的宽度为l，金属棒a和b的质量分别为2m和m，其电阻大小分别为2R和R，a和b分别静止在MN和PQ上，垂直于导轨且相距足够远，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现对金属棒a施加水平向右的恒力F，两棒运动时始终保持平行且a总在MN上运动，b总在PQ上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的是（　　） A．金属棒a与b均做匀速直线运动且距离逐渐减小 B．金属棒a与b均做匀变速运动且加速度之比为1:2 C．流过金属棒a的电流大小为 D．回路中的感应电动势保持不变大小为 一、选择题（共4小题） 1.（2025春•常州期中）如图所示，与水平面成θ角的平行的倾斜导轨MN和PQ，不计电阻，在其上垂直导轨放置两根金属棒ab和cd，整个装置处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中（磁场图中未画出），金属棒恰好保持静止。已知最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，下列判断正确的是（　　） A．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒都会停下来 B．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 C．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒速度不同而加速度相同 D．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 2.（2025春•泰安期中）如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为d→c B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动 C．在0﹣t0时间内，ab棒产生的热量为 D．在0∼t0时间内，通过cd棒的电荷量为 3.（2024秋•沙河口区校级期中）如图（a），水平面内有两根足够长的光滑平行固定金属导轨，间距为d。导轨所在空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒M、N静止放置在足够长的导轨上。已知M的质量为m，阻值为R，导体棒N的质量未知，阻值为，导轨电阻不计。现给M棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化关系如图（b）所示，两导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（　　） A．导体棒N的质量为 B．导体棒N的最终的速度为 C．在0～t1内导体棒M产生的热量为 D．在0～t1内通过导体棒M的电荷量为 4.（2025•湖北）如图（a）所示，相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均为L、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好，导轨电阻忽略不计。导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的图像如图（b）所示，t＝T时刻，B＝0。t＝0时刻，两棒相距x0，ab棒速度为零，cd棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0～T时间内流过回路的电荷量为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题） （多选）5．（2025•商洛三模）如图所示，固定光滑平行轨道由四分之一圆弧轨道和水平轨道组成，水平轨道处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，Ⅰ区域轨道宽度为L，Ⅱ区域轨道宽度为2L，Ⅰ区域轨道长度和Ⅱ区域轨道长度均足够长。质量为m的金属棒1从高度为R的四分之一圆弧轨道顶端由静止开始下滑，开始时质量为2m的金属棒2静止在宽度为2L的轨道上，金属棒1接入轨道间的电阻为r，金属棒2接入轨道间的电阻为2r。两金属棒始终与轨道垂直且保持良好接触。不计其他电阻及空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．金属棒1运动到圆弧轨道底端时受到轨道的支持力大小为3mg B．稳定时金属棒1的速度大小为 C．金属棒1从圆弧轨道底端运动到刚稳定时，通过金属棒1的电荷量为 D．若将金属棒2固定，使金属棒1仍从圆弧轨道最高点由静止释放，则金属棒1在水平轨道上通过的最大距离为 （多选）6．（2024秋•昆明月考）如图所示，光滑的平行金属导轨1、2间距为2L，粗糙的平行金属导轨3、4间距为L，两组导轨处于同一平面且与水平面的夹角为37°，整个装置处在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，当质量为m、垂直于导轨1、2的金属棒甲沿着1、2以速度v匀速下滑时，质量为2m的金属棒乙恰好垂直于导轨静止在3、4上，且乙受到的静摩擦力正好达到最大值，重力加速度为g，sin37°＝0.6、cos37°＝0.8，导轨电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．回路的电流为 B．回路的总电阻为 C．乙受到的静摩擦力沿着斜面向下 D．乙与3、4之间的动摩擦因数为 （多选）7．（2024•烟台三模）如图，间距均为L的光滑水平金属导轨与半径为R的光滑半圆金属导轨平滑连接，半圆导轨在竖直平面内，水平导轨处于方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。在水平导轨上放置ab、cd两导体棒，两棒长度均为L、质量分别为4m和m、电阻分别为r和2r，两导体棒到半圆导轨底端的距离分别为x1和x2，x1足够大，x2＝3R。现给导体棒ab一大小的初速度，一段时间后导体棒cd通过半圆导轨最高点后，恰好落到其初始位置。cd棒离开导轨前两棒与导轨始终垂直且接触良好，两导体棒间未发生碰撞，导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．导体棒cd离开磁场前已与ab棒达到共速 B．导体棒cd刚进入半圆导轨瞬间，其两端电压 C．导体棒cd离开半圆导轨前，通过其横截面的电量 D．导体棒cd离开水平导轨前，导体棒ab上产生的焦耳热 三、解答题（共7小题） 8.（2025春•曲阜市期中）如图所示，PMN和P′M′N′是两条足够长、相距为L的平行金属导轨，MM′左侧圆弧轨道表面光滑，右侧水平轨道表面粗糙，并且MM′右侧空间存在一竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在左侧圆弧轨道上高为h处垂直导轨放置一导体棒AB，在右侧水平轨道上某位置垂直导轨放置另一导体棒CD。已知AB棒和CD棒的质量分别为m和2m，接入回路部分的电阻均为R，AB棒与水平轨道间的动摩擦因数为μ，圆弧轨道与水平轨道平滑连接且电阻不计。现将AB棒由静止释放，让其沿轨道下滑并进入磁场区域，最终在棒CD左侧距MM′为d处停下，此过程中CD棒因摩擦一直处于静止状态。重力加速度为g，求： （1）AB棒刚进入磁场时AB两端的电压UAB； （2）AB棒从进入磁场到最终停止运动的过程中流过CD棒的电荷量q； （3）若水平轨道光滑，求AB棒从开始运动到最终达到稳定状态的过程中所产生的热量QA以及为使两棒不相碰，棒CD初始位置与MM′的最小距离xmin。 9.（2025春•西城区校级期中）如图所示为两条间距为d的固定光滑金属导轨，其中AC、A1C1部分为半径为R的四分之一圆弧轨道，CD、C1D1部分为足够长水平直轨道，水平轨道位于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量为2m，电阻为2r的金属棒S静置于距CC1足够远的水平轨道上。将质量为m、电阻为r的金属棒T由AA1处静止释放，一段时间后，金属棒T运动到水平轨道上。在运动过程中，两棒始终与导轨垂直且保持良好接触，导轨电阻不计，已知重力加速度为g。求： （1）金属棒T刚进入水平轨道时，通过金属棒S的电流大小； （2）从金属棒T进入水平轨道到两棒运动稳定的共同速度； （3）从金属棒T进入水平轨道到两棒运动稳定的过程中金属棒S产生的热量。 10.（2025春•桂林期末）如图所示，两平行光滑长直金属导轨固定在水平面上，导轨间距L为1m。导轨中abcd区域有匀强磁场，磁感应强度B的大小为1.5T，方向垂直轨道平面竖直向上，导轨上e点和f点分别嵌入一小段光滑绝缘件与导轨两端平滑连接，e、f连线与导轨垂直。导轨左端通过开关S连接一个电动势E为3V，内阻r为1Ω的电源。初始时刻，开关S处于断开状态，细金属杆M、N分别静止在图示位置，且已知细金属杆N到cd的距离为d＝0.5m。开关S闭合后，细金属杆M经过ef前已匀速运动，两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为v2＝1m/s，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为m1＝0.9kg，金属杆N质量为m2＝0.45kg，两杆在导轨间的电阻R均为5Ω，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。求： （1）细金属杆M经过绝缘件ef时的速度v0大小； （2）细金属杆N在磁场中运动产生的焦耳热；（结果保留两位小数） （3）细金属杆N在磁场中运动的时间。 11.（2025•金安区校级模拟）如图，两光滑平行圆弧导轨竖直放置，下端与两根间距为L的光滑平行水平导轨平滑连接，足够长的水平导轨全部处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。在导轨上放置长度略大于L的导体棒a、b、c。a棒的质量为2m，接入电路的电阻为R，b棒和c棒的质量均为m，接入电路的电阻均为2R。已知初始时a棒和b棒间距为d，且均处于静止状态。现让c棒从圆弧导轨上高为h处由静止释放，c棒与b棒如果发生碰撞则会粘在一起。已知重力加速度大小为g，导轨电阻不计，且导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。 （1）c棒刚进入磁场时，求a棒和b棒的加速度之比； （2）若使c棒与b棒不发生碰撞，求初始时b棒离磁场左边界的距离x应满足的条件； （3）若初始时b棒离磁场左边界的距离，且b棒与a棒没有发生碰撞，试求a、b、c三棒在全过程中产生的焦耳热。 12.（2025秋•浑南区校级期中）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为L和2L，分别处于磁感应强度大小为2B和B的竖直向下匀强磁场中，导轨右端接一阻值为R的电阻。金属棒a、b分别置于左、右两侧导轨上，a的电阻为r、长度为L、质量为m，b的电阻为2r、长度为2L、质量为2m。初始时刻开关S断开，静止的两棒用绝缘丝线连接，两棒间置有劲度系数为k、压缩量为x0的轻质绝缘弹簧，弹簧与两棒不连接。剪断丝线，弹簧恢复原长时，a恰好脱离导轨，b速度大小为v0，此时闭合S。已知弹簧弹性势能（x为弹簧形变量），整个过程中两棒与导轨垂直并接触良好，右侧导轨足够长，所有导轨电阻均不计，求： （1）初始时刻a棒距导轨左端的距离xa； （2）弹簧恢复原长过程中，a棒上产生的热量Qa。 13.（2025•菏泽一模）如图所示，两段足够长但不等宽的光滑平行金属导轨水平放置，b、g两点各有绝缘材料（长度忽略不计）平滑连接导轨，ac、fh段间距为l，de、jk段间距为2l。整个空间处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨af端接有电容的电容器（初始不带电），导体棒Ⅱ静止于de、jk段。导体棒Ⅰ、Ⅱ的质量分别为m、2m，电阻分别为R、2R，长度分别为l、2l，导体棒Ⅰ从靠近af位置以初速度v0向右运动，到达bg左侧前已达到稳定速度v1（v1未知）。两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力忽略不计。求： （1）导体棒Ⅰ到达bg时速度v1的大小； （2）导体棒Ⅰ在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ达到稳定时的速度v2的大小； （3）导体棒在bc、gh段运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热。 14.（2024秋•广东期末）如图所示，在水平面上的装置由三部分构成，装置中间部分为电路控制系统，电源电动势恒定且为E，内阻不计，两个开关S1、S2初始状态都断开。装置左右两侧均为足够长且不计电阻的光滑金属导轨，导轨MN宽度为2L，HG宽度为L，导轨MN和HG之间存在匀强磁场，磁感应强度分别为B和2B，磁场方向如图所示。将质量均为m的金属杆ab，cd分别如图轻放在水平轨道上，两杆接入电路中的电阻相等，不计金属杆与导轨的摩擦。 （1）接通S1，求ab杆的最大速度； （2）当ab杆做匀速运动后，断开S1同时闭合S2，当两杆再次匀速运动时，求cd杆产生的焦耳热。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 电磁感应中的双棒模型 【模型一】 无外力双棒 【模型剖析】 如图甲，水平间距为 的光滑水平导轨上放置质量为 、 的导体棒，电阻为 ，给其中一导体棒初速度 。分析如下： 1. 电路特点： 棒 2 相当于电源； 棒 1 受安培力而加速启动，运动后产生反电动势， 等效电动势为两导体棒感应电动势之差，即： 。 2. 安培力特点：棒 1 所受安培力为动力，随棒 1 速度增加而减小； 棒 2 所受安培力为阻力， 随棒 2 速度减小而减小； 3.加速度特点： 棒 1 做加速度减小的加速运动； 棒 2 做加速度减小的减速运动； v-t 图像如图乙。 4.最终状态：两棒以相同的速度做匀速运动；两导体棒两端电势差相等。 5. 运动过程中的四个规律 （1）电流规律： （2）安培力规律：两棒的安培力大小： （3）动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反，系统合外力为零，系统动量守恒： 。 （4）能量转化规律： 系统机械能的减小量等于内能的增加量： 。（类似于完全非弹性碰撞） （5）两棒产生焦耳热之比： 。 6. 几种变化： （1）初速度的提供方式不同，如图丙； （2）磁场方向与导轨不垂直，如图丁； （3）两棒都有初速度，如图戊（两棒动量守恒吗？）； （4）两棒位于不同磁场中，如图己（两棒动量守恒吗？） 【例题精讲】 【例1】（2024秋•贵阳月考）如图，两根相同的导体棒PQ和MN置于两根固定在水平面内的光滑的长直平行导电轨道上，并处于垂直水平面向下的匀强磁场中。如果PQ获得一个向右的初速度并任由其滚动，运动中PQ和MN始终平行且与轨道接触良好。则下列描述不正确的是（　　） A．开始阶段，回路中产生的感应电流的方向为PQMN B．开始阶段，作用在PQ棒上的安培力向左 C．MN棒开始向右加速运动 D．PQ棒向右做匀减速运动直至速度为零 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：A、开始阶段，回路的面积增大，穿过回路的磁通量增加，而磁场方向向下，根据楞次定律“增反减同”可知，回路中产生的感应电流的方向为PQMN，故A正确； B、开始阶段，PQ上的感应电流方向由P到Q，根据左手定则可知，作用在PQ棒上的安培力向左，故B正确； C、同理可知，开始阶段，MN棒所受的安培力向右，则MN棒开始向右加速运动，故C正确； D、设PQ棒的速度为v1，MN棒的速度为v2，回路中总电阻为R，导轨间距为L，则回路中感应电流大小为 PQ棒减速，MN棒加速，v1﹣v2减小，则感应电流减小，根据F＝BIL可知，两棒所受安培力减小，加速度减小，即PQ棒向右做加速度减小的减速运动，直到两棒的速度相等后，一直向右做匀速直线运动，故D错误。 本题选不正确的，故选：D。 【例2】（多选）（2025•蚌山区校级模拟）如图所示，两足够长且间距为L的光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B。质量均为m的金属棒a、b垂直放在导轨上，给金属棒a水平向右、大小为v0的初速度，同时给金属棒b水平向左、大小为的初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，两金属棒接入电路的有效电阻均为R，导轨的电阻不计，则下列说法正确的是（　　） A．开始运动的一瞬间，金属棒a的加速度大小为 B．当金属棒b的速度为零时，金属棒a的速度大小为 C．最终通过金属棒b的电荷量为 D．最终金属棒a中产生的焦耳热为 【推理过程】 【答案】BD 【解答】解：A、开始运动的一瞬间，两棒产生的感应电动势串联，回路中总的感应电动势为E＝BL•BLv0BLv0 电路中的电流 此时金属棒a的加速度大小为，故A错误； B、因a、b组成的系统合外力总是为零，故系统动量守恒，设b的速度为零时，a的速度大小为v1，取向右为正方向，由动量守恒定律得 解得，故B正确； C、设最终a、b的共同速度为v，取向右为正方向，由动量守恒定律得 解得 对金属棒b，取向右为正方向，根据动量定理可得 BLt＝mv﹣m() 最终通过金属棒b的电荷量为qt 解得，故C错误； D、设金属棒a中产生的焦耳热为Q，则，解得，故D正确。 故选：BD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025春•武汉月考）如图所示，水平面上固定的两光滑平行长直导轨，间距为L，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，两质量都为m、电阻都为R的导体棒L1、L2垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，L1静止，L2以初速度v0向右运动，运动过程中两棒不发生相碰。不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则（　　） A．导体棒L2最终停止运动，L1以某一速度匀速运动 B．导体棒L1的最大加速度为 C．两导体棒的初始距离最小为 D．回路中产生的总焦耳热为 【答案】B 【解答】解：A.根据楞次定律，导体棒L1、L2最终以相同的速度匀速直线运动，设共同速度为v1，取水平向右为正方向，由动量守恒定律可得 mv0＝2mv1 解得 两导体最终都以的速度匀速运动，故A错误； B.L2以初速度v0向右运动时两导体棒加速度最大，由法拉第电磁感应定律可得 E＝BLv0 由闭合电路欧姆定律可得 由牛顿第二定律可得 BIL＝ma 解得 故B正确； C.当导体棒L1、L2速度相等时距离为零，则两棒初始距离最小，设最小初始距离为l，则通过导体棒横截面的电量为 对导体棒L1，取向右为正方向，由动量定理得 即 BLq＝mv1 解得 故C错误； D.设导体棒L1、L2在整个过程中产生的焦耳热为Q，由能量守恒定律可得 解得 故D错误。 故选：B。 【变式训练2】（2024秋•肥西县期末）如图，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，与磁场方向垂直的水平面内有两根固定的足够长的平行金属导轨，导轨间的距离为L，导轨上平行放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。已知两根导体棒的质量均为m、电阻均为R，其他电阻忽略不计，导体棒均可沿导轨无摩擦滑行。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0。两导体棒在运动中始终不接触。下列说法中正确的是（　　） A．cd棒开始运动时，ab棒中电流方向为b→a，大小为 B．当cd棒速度减为0.8v0时，ab棒的加速度大小为 C．从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能为 D．ab棒的最终速度为v0 【答案】B 【解答】解：A、根据右手定则可知电流方向为dcab，cd棒产生的感应电动势为BLv0，ab棒中的电流I，故A错误； B、cd棒速度减为v1＝0.8v0时，设ab棒的速度大小为v2，对两根导体棒ab和cd构成的系统，取向右为正方向，根据动量守恒定律有：mv0＝mv1+mv2 解得：v2＝0.2v0 此时回路的感应电动势：E1＝ BL（v1﹣v2），感应电流：I1 根据牛顿第二定律可得：BI1L＝ma1 解得：ab棒的加速度大小为：a1，故B正确； CD、对两根导体棒ab和cd构成的系统，所受外力的合力为0，取向右为正方向，根据动量守恒定律有：mv0＝2mv 解得最终稳定时ab棒的速度为：v＝0.5v0 从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能：E2mv2 解得：E，故CD错误。 故选：B。 【变式训练3】（多选）（2025•天水模拟）如图所示，足够长的金属导轨MN、PQ水平平行放置，处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨间距为L。导体棒a、b垂直导轨放置并与导轨接触良好，两导体棒的质量均为m，其在导轨间的电阻均为R，不计一切摩擦及导轨电阻。现给导体棒a一个平行于导轨向右的初速度v0，运动中导体棒a、b未相撞。下列说法正确的是（　　） A．导体棒a做匀减速直线运动，导体棒b做匀加速直线运动 B．导体棒a的速度为时，导体棒b的加速度大小为 C．整个运动过程中电路中产生的焦耳热为 D．整个运动过程穿过导轨横截面的电荷量为 【答案】CD 【解答】解：A、根据楞次定律可知，导体棒a、b以及两导轨构成的回路中感应电流方向为逆时针方向，根据左手定则可知，刚开始导体棒a所受的安培力水平向左，向右做减速运动。导体棒b所受的安培力水平向右，b开始向右做加速运动，切割磁感线，则两导体棒中感应电流大小相等，为 两导体棒所受安培力方向相反，大小相等，均为F安＝BIL 随着导体棒a减速，b加速可知，感应电流逐渐减小，两导体棒所受安培力逐渐减小，根据加速度可知，导体棒a做加速度逐渐减小的变减速直线运动，导体棒b做加速度逐渐减小的变加速直线运动，当两棒速度相等时，回路的磁通量不变，不再产生感应电流，两棒不受安培力，以相同速度一起做匀速直线运动，故A错误； B、两导体棒所受的安培力大小相等方向相反，合外力为0，系统动量守恒，当导体棒a的速度为时，取向右为正方向，根据动量守恒定律得 解得 代入A选项中的表达式可得导体棒b的加速度大小为，故B错误； C、最终两导体棒会共速，取向右为正方向，根据动量守恒定律得mv0＝2mv 解得 根据能量守恒定律可知 解得整个运动过程中电路中产生的焦耳热为，故C正确； D、对导体棒b分析，取向右为正方向，根据动量定理可得 又因为 解得整个运动过程穿过导轨横截面的电荷量为，故D正确。 故选：CD。 【变式训练4】（多选）（2025•汨罗市校级开学）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L，垂直导轨的虚线OO′两侧导轨所在空间区域存在着磁感应强度均为B的相反方向的竖直匀强磁场，两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒a、b垂直导轨放在OO′左右两侧，并与导轨保持良好接触，不计其他电阻。现给导体棒a一个瞬时冲量，使导体棒a获得一个水平向右的初速度v0，则下列关于a、b两棒此后的整个运动过程的说法中，以下说法正确的是（　　） A．a、b两棒组成的系统动量守恒 B．a、b两棒最终将以大小为的速度分别向右，向左做匀速直线运动 C．整个过程中，a棒上产生的焦耳热为 D．整个过程中，流过a棒的电荷量为 【答案】BD 【解答】解：A、由右手定则和左手定则分析可知，两导体棒所受安培力均向左，系统的合外力不为零，则系统动量不守恒，故A错误； BCD、回路总的感应电动势为E＝BLva﹣BLvb，随着va的减小，vb的增大，回路总电动势减小，回路电流减小，安培力减小，两棒加速度最终减为零，均做匀速直线运动，设整个过程回路中的平均电流为，根据动量定理得 对a棒，取向右为正方向，则有 对b棒，取向左为正方向，则有 同时va＝vb 联立解得，向右；，向左； 流过a棒的电荷量为 同时，整个过程中，回路中产生的焦耳热为 则a棒上产生的焦耳热为，故C错误，BD正确。 故选：BD。 【模型二】 有外力双棒 【模型剖析】 如右图，水平间距为 的光滑水平导轨上放置质量为 的导体棒，电阻为 、 ，恒定外力 作用在导体棒 2 上。分析如下： 电路特点： 棒 2 相当于电源； 棒 1 受安培力而加速启动， 运动后产生反电动势， 等效电动势为两导体棒感应电动势之差，即： 。 2. 安培力特点： 棒 1 所受安培力为动力， 随棒 1 速度增加而增加； 棒 2 所受安培力为阻力， 随棒 2 速度增加而增加； 3. 加速度特点：棒 1 做加速度 增加的加速运动；棒 2 做加速度 减小的减速运动；v-t 图像如右图。 棒 1： ； 棒 2： 最初阶段， ；只要 。 当 时， 恒定， 恒定， 恒定，两棒以相同的加速度做匀加速。 4.最终状态：两棒以相同的加速度做匀加速运动；两导体棒速度差相等。推导如下： 5. 运动过程中的四个规律 （1）电流规律： （2）安培力规律：两棒的安培力大小： （3）动量规律： 两棒受到安培力大小相等方向相反，根据动量定理有： 棒2： ； 棒1： ，联立得： 。 （4）能量转化规律：外力做的功： 两棒产生焦耳热之比： 。 【例题精讲】 【例1】（2024春•江阴市期中）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小为B。已知导体棒MN的电阻为R，质量为m，导体棒PQ的电阻为2R，质量为2m。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧两棒在磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（　　） A．弹簧伸长过程中，回路中感应电流的方向为PQNMP B．两导体棒和弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒 C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为1:2 D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：A、在弹簧伸长过程中，导体棒MN与PQ必定分别向右、左运动，穿过回路的磁通量增加，磁场竖直向上，由楞次定律可知，回路中产生PMNQP方向的电流，故A错误； B、两导体棒受到的安培力等大反向，两导体棒和弹簧组成的系统合外力为零，则系统动量守恒，而系统机械能不守恒，机械能会转化为内能，故B错误； C、因初始时系统总动量为零，由动量守恒定律可知，两棒的动量始终大小相等，可得 mvMN＝2mvPQ 则有 vMN＝2vPQ 可知MN与PQ的速率之比始终为2:1，则MN与PQ的路程之比为2:1，故C错误； D、设整个运动过程，MN与PQ的位移大小分别为x1，x2。最终弹簧处于原长状态，MN与PQ之间距离和初始时相比增加了L，因两棒总是反向运动，可得x1+x2＝L 整个运动过程回路的磁通量变化量为 ΔΦ=Bd（x1+x2）＝BdL 通过MN的电荷量为 ，故D正确。 故选：D。 【例2】（多选）（2025•山东开学）两根平行的光滑金属轨道，间距为1m，电阻不计，每条轨道由直线部分和弯曲部分组成，如图甲所示安装，使得MN和PQ处于同一水平面。金属杆1静止放置在轨道的左端，距离平面MNQP的高度为1.25m。金属杆2放置在轨道的右端。在MP右侧的水平轨道区域内，存在大小为2T的竖直向上的均匀磁场。让杆2以初速度5m/s沿轨道向左移动，同时杆1被释放。在杆1沿轨道滑动到位置MP的过程中，通过杆2的平均电流为0.3A。若从杆1到达PM的时刻开始计时，并设向右为正方向，两根杆的速度v随时间t变化关系如图乙所示。已知杆1和杆2的电阻分别为2Ω和5Ω，质量分别为2kg和1kg，重力加速度大小为10m/s2。则（　　） A．杆1在弯曲轨道上滑动的时间为5s B．杆1在弯曲轨道上滑动的时间为 C．杆2中产生的总热量为 D．杆2中产生的总热量为 【推理过程】 【答案】AC 【解答】解：AB、设杆1沿轨道滑动到位置MP时杆2的速度大小为v20，由乙图可知，此时杆2速度大小为v20＝2m/s，取向左为正方向，对杆2，由动量定理有，解得Δt＝5s，结合运动的同时性可知，杆1在弯曲轨道上滑动的时间为5s，故A正确；B错误； CD、对杆1由静止下滑到平直导轨上的过程中，由机械能守恒定律有 解得v1＝5m/s 设最终两杆共同的速度为v′，取向右为正方向，对两杆组成的系统，由动量守恒定律得 m1v1﹣m2v20＝（m1+m2）v′ 解得 由能量守恒定律可知，两杆中产生的焦耳热为 解得 杆2中产生的焦耳热为Q2Q，解得Q2J，故C正确；D错误。 故选：AC。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•云南模拟）如图所示，两条“A”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。已知导轨足够长且整个回路中的总电阻为R保持不变，cd棒从开始运动到稳定下降的高度为h，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．ab棒最终的加速度为 B．cd棒的最终速度为 C．cd棒下降h后，流过cd棒的电荷量为 D．cd棒下降h后，两棒上产生的热量为 【答案】C 【解答】解：A、根据楞次定律可知，两导体棒向下滑动时回路中产生的感应电流方向为abcda，则两导体棒产生的感应电动势相互叠加，随着导体棒速度的增大，感应电动势增大，回路中的电流增大，导体棒受到的安培力增大，合力减小，则两棒的加速度减小，故两棒做加速度减小的加速运动，当安培力沿导轨方向的分力与重力沿导轨向下的分力平衡相等时，加速度为零，两导体棒将匀速运动，此时电路中的电流达到稳定值，最终加速度为0，故A错误； B、对于任意时刻当电路中的电流为I时，根据牛顿第二定律可得 对ab有2mgsin30°﹣2BILcos30°＝2maab 对cd有mgsin30°﹣BILcos30°＝macd 可知aab＝acd 当两棒匀速运动时，电路中的电流达到稳定值，此时对ab分析可得2mgsin30°＝2BILcos30° 解得 因aab＝acd，所以两棒速度大小始终相等，运动距离相同，而两边磁感应强度不同，故产生的感应电动势不等，根据法拉第电磁感应定律有Eab＝2BLvabcos30°，Ecd＝BLvcdcos30° 又E总＝Eab+Ecd＝IR 联立解得，故B错误； C、cd棒下降h，则ab棒也下降h，流过两棒横截面的总电量q•Δt 又， 联立解得，故C正确； D、对ab棒和cd棒整体，根据动能定理可得3mgh+W安 两棒上产生的热量等于两棒克服安培力做的功，即，故D错误。 故选：C。 【变式训练2】（2025•河南开学）如图所示，水平面内固定放置两足够长的光滑平行金属导轨AB和CD，在导轨上有垂直导轨放置的完全相同的直导体P和Q，质量均为m，有竖直方向的匀强磁场垂直穿过导轨平面。在直导体P上作用一与导轨平行的水平恒力F，使P由静止开始运动，经一段时间t，P向右的位移大小为x，P和Q还没有达到稳定状态，此时P和Q的瞬时速度分别是v1和v2，瞬时加速度分别为a1和a2，这一过程直导体P上产生的热量为E，两直导体始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。则关于这一过程，下列关系式正确的是（　　） A．Ft＝m（v1+v2） B．F＞ma1+ma2 C． D． 【答案】A 【解答】解：A、取向右为正方向。直导体P和Q所受安培力大小相等、方向相反，视为内力，则外力F对两导体组成的系统的冲量等于系统动量的变化量，即Ft＝m（v1+v2），故A正确； B、对直导体P和Q，分别由牛顿第二定律得F﹣F安＝ma1，F安＝ma2，可得F＝m（a1+a2），故B错误； CD、导体P上产生的热量为E，导体Q与P相同，通过的电流相等，则导体Q上产生的热量也为E。外力F对系统做功等于系统动能的增加量与热量之和，即，故CD错误； 故选：A。 【变式训练3】（多选）（2025•黄州区校级三模）如图所示，将光滑的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，左、右倾斜导轨与水平面夹角均为θ＝30°，中间导轨水平且足够长。导轨间存在竖直向下的匀强磁场，左侧倾斜导轨间磁感应强度大小为2B，中间和右侧倾斜导轨间磁感应强度大小为B。将长度均为L的导体棒ab、cd放置在倾斜导轨上，距水平面高度均为h。两导体棒同时由静止释放，在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，导体棒ab到达左侧倾斜导轨底端时速度大小为v，两根导体棒在水平导轨上恰好不发生碰撞。导体棒ab、cd的质量分别为2m和m，电阻分别为2R和R。导轨连接处平滑，导轨电阻不计，导体棒粗细不计，重力加速度为g，不考虑磁场的边界效应。下列说法正确的是（　　） A．导体棒ab到达左侧倾斜导轨底端时，导体棒cd的速度大小为 B．两导体棒在水平导轨上恰好不发生碰撞时，速度大小均为0 C．水平导轨长度 D．若两导体棒恰好不发生碰撞时粘连在一起，则全过程导体棒cd上产生的焦耳热为 【答案】CD 【解答】解：A、设两导体棒下滑过程中回路中电流为I，导体棒ab、cd的加速度大小分别为a1、a2，对ab、cd两棒分别根据牛顿第二定律有 2mgsinθ﹣2BILcosθ=2ma1, mgsinθ﹣BILcosθ=ma2 解得， 可知任意时刻a1＝a2 根据v＝at可知，任意时刻两导体棒速度大小都相等。两导体棒释放位置距水平面高度相同，所以当导体棒ab到达左侧倾斜导轨底端时，导体棒cd也恰好到达右侧倾斜导轨底端，速度大小也是v，故A错误； B、当两导体棒都进入水平导轨后，系统所受合外力为零，则系统动量守恒，设两导体棒相距最近时共同速度为v共，取向右为正方向，根据动量守恒定律有 2mv﹣mv＝（2m+m）v共 解得，故B错误； C、从两导体棒都进入水平导轨到相距最近过程，对ab棒，取向右为正方向，根据动量定理有 ﹣BILΔt2＝2m（v共﹣v） 又q2＝IΔt2 联立可得 又由 其中ΔΦ＝BLx 联立解得水平导轨长度，故C正确； D、两导体棒粘连后形成的闭合回路面积为0，之后的运动过程中不再产生电流，满足机械能守恒，则全过程两导体棒与导轨形成的闭合回路产生的焦耳热，根据能量守恒定律有 又 联立解得全过程导体棒cd上产生的焦耳热为，故D正确。 故选：CD。 【变式训练4】（多选）（2025春•安徽期末）在水平地面上，固定着两条足够长且平行的光滑金属导轨，导轨间距L＝1m。整个空间存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。导轨上静置着两个导体棒a、b，其质量分别为ma＝0.1kg、mb＝0.3kg，电阻分别为Ra＝1Ω、Rb＝3Ω。在t＝0时刻，对导体棒a施加水平方向的外力F1使其向右运动，同时，对导体棒b施加水平外力F2使b始终保持静止。当t＝2s时，导体棒a速度为v0＝8m/s，此刻同时撤去外力F1和F2。已知导体棒a、b的长度与导轨间距相等，且始终与导轨保持良好接触，不计导轨电阻及一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．撤去外力后，导体棒b先做加速运动，再做减速运动，最终停止运动 B．t＝2s时，回路电流为2A C．撤去外力后，导体棒b所能达到的最大速度为4m/s D．从撤去外力到最终稳定状态过程中，导体棒a产生的焦耳热为0.6J 【答案】BD 【解答】解：A、t＝2s撤去外力后，回路中总电动势为E＝BLva﹣BLvb＝BL（va﹣vb），由于a做减速运动，b做加速运动，va﹣vb减小，则E减小，根据可知，回路中电流I减小，导体棒受到的安培力F＝BIL也在减小，根据牛顿第二定律可知，两棒的加速度在减小，当a、b速度相等，a、b一起做匀速运动，故A错误； B、在t＝2s时，导体棒a的速度为vm＝8m/s，b棒速度为0，则回路电动势为Em＝BLvm＝1×1×8V＝8V，回路电流为IA＝2A，故B正确； C、撤去外力后，导体棒a、b组成的系统满足动量守恒，取向右为正方向，则有mavm＝（ma+mb）v，解得导体棒b所能达到的最大速度为v＝2m/s，故C错误； D、撤去外力F1到最终稳定运动，由能量守恒得Qma（ma+mb）v2，解得Q＝2.4J 由于a、b串联，所以从开始运动到最终稳定状态过程中，导体棒a产生的焦耳热为QaQ2.4J＝0.6J，故D正确。 故选：BD。 【模型三】 无外力不等间距双杆模型 【模型剖析】 光滑水平导轨上放置质量为 、 的导体棒，电阻为 、 ，轨道间距为 、 ，满足 ，给其中一导体棒初速度 。 分析如下：a 棒减速， b棒加速，E ，由 ；当 时， ，两棒匀速运动。 1. 电路特点： 棒相当于电源；棒受安培力而加速启动，运动后产生反电动势， 等效电动势为两导体棒感应电动势之差，即： 。 2. 安培力特点：棒所受安培力为阻力，随棒 速度减小而减小； 棒 所受安培力为动力，随棒 速度增加而减小。 3.加速度特点：棒做加速度减小的减速运动； 棒 做加速度 减小的加速运动； - 图像如图。 棒 ；棒 ；分析可知： 。 4. 最终状态： 两棒以各自的速度做匀速运动。稳定条件： 。 5. 运动过程中的四个规律 （1）电流规律： ； 电荷量： （2）安培力规律： 棒的安培力大小： ； 棒的安培力大小： 。 （3）动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反，根据动量定理有： 棒 ； 棒 。 联立解得： 能量转化规律： ；两棒产生焦耳热之比： ； 。 【例题精讲】 【例1】（2025春•青秀区校级期中）如图所示，空间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态。则从开始到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a棒加速度大于b棒的加速度 B．稳定时a棒的速度为1.5v0 C．电路中产生的焦耳热为 D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A、根据牛顿第二定律得 对a棒有 aa 对b棒有 ab 可知a、b棒的加速度大小相等，故A错误； B、取向右为正方向，对a、b棒，分别根据动量定理有 ﹣B•2l•Δt＝2mvb﹣2m•2v0 稳定时有 Blva＝B•2lvb 即得va＝2vb 联立解得 va＝2v0，vb＝v0，故B错误； C、由能量守恒定律可知，系统动能的损失等于焦耳热，则电路中产生的焦耳热为 ，故C正确； D、对a棒，取向右为正方向，根据动量定理可得 又 va＝2v0 联立解得通过导体棒a的某一横截面的电荷量为，故D错误。 故选：C。 【例2】（多选）（2025•惠农区校级模拟）如图所示，足够长的光滑水平轨道左侧b1b2～c1c2部分的轨道间距为3L，右侧c1c2～d1d2部分的轨道间距为L，两部分轨道通过导线连通。整个区域存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小B＝0.1T。质量m＝0.1kg的金属棒P和质量M＝0.2kg的金属棒Q垂直于导轨分别静止放置在左、右两侧轨道上。现给金属棒P一大小为v0＝2m/s、方向沿轨道向右的初速度，已知两金属棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2Ω，轨道电阻不计，L＝0.2m，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，P棒总在宽轨上运动，Q棒总在窄轨上运动。下列说法正确的是（　　） A．整个过程金属棒P、Q动量守恒 B．金属棒P匀速运动的速度大小为 C．整个过程通过金属棒Q某横截面的电荷量为 D．整个运动过程金属棒P、Q扫过的面积之差为 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：A、因为P、Q受到的安培力大小不相等，合外力不为零，所以整个过程金属棒P、Q动量不守恒，故A错误； B、规定水平向右为正方向，对P、Q分别根据动量定理可得 对P有﹣FP安•t＝mvP﹣mv0 对Q有FQ安•t＝MvQ 其中FP安＝3FQ安 整理得mv0﹣mvP＝3MvQ 两棒最后匀速时，电路中无电流，此时回路总电动势为零，则有3BLvP＝BLvQ 即vQ＝3vP 联立解得金属棒P匀速运动的速度大小为，故B正确； C、由B项可得vQm/s。在Q加速过程中，规定水平向右为正方向，根据动量定理有∑BiLΔt＝MvQ﹣0 又整个过程通过金属棒Q某横截面的电荷量为q＝∑iΔt，解得，故C正确； D、根据，解得金属棒P、Q扫过的面积之差为，故D错误。 故选：BC。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•樟树市校级开学）如图所示，两固定在水平面上的平行金属导轨由宽轨M1N1、M2N2，窄轨O1P1、O2P2两部分组成，宽轨部分间距为2L，窄轨部分间距为L。现将两根材料相同、横截面积相同的金属棒ab、cd分别静置在宽轨和窄轨上。金属棒cd的质量为m，电阻为R，长度为L，金属棒ab的长度为2L，两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。金属导轨处在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给金属棒ab水平向右的初速度v0，此后金属棒ab始终在宽轨磁场中运动，金属棒cd始终在窄轨磁场中运动。已知除金属棒的电阻之外其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，不计一切摩擦。下列说法正确（　　） A．金属棒cd开始运动后，金属棒cd中的电流方向为d→c B．当两金属棒匀速运动时，cd棒的速度为 C．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，通过金属棒cd的电荷量为 D．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，金属棒cd中产生的热量为 【答案】D 【解答】解：A、金属棒cd开始运动后，穿过回路的磁通量向上减小，根据楞次定律可知，金属棒cd中的电流方向为c→d，故A错误； B、设金属棒cd的质量为m，电阻为R，则金属棒ab的质量为2m，电阻为2R。当两金属棒匀速运动时，两棒产生的感应电动势大小相等，则有B×2Lvab＝B×Lvcd 规定向右为正方向，对ab棒，由动量定理有 对cd棒，由动量定理有 联立解得，故B错误； C、对ab棒，取向右为正方向，由动量定理有 联立解得，两棒串联，则通过金属棒cd的电荷量也为，故C错误； D、根据能量守恒可知，金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，金属棒cd中产生的热量为，联立解得，故D正确。 故选：D。 【变式训练2】（2025•广州二模）如图所示，足够长的水平放置的光滑平行导轨，宽轨道的间距为窄轨道的2倍，轨道处于竖直方向的匀强磁场中，甲、乙两杆垂直导轨放置，质量分别为2m、m。某时刻甲以速度v0向右滑动，若甲始终在宽轨道上运动，则系统最终产生的热量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：最终状态两棒均做匀速运动，此时两棒切割产生的电动势大小相等：B×2Lv甲＝BLv乙 整理得末速度：v乙＝2v甲 以向右为正方向，对甲棒根据动量定理可得： 同理，对乙棒根据动量定理可得： 联立以上化简解得：， 系统最终产生的热量为：Q（） 代入数据得：Q，故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式训练3】（多选）（2025春•上饶期末）如图所示，M、N、P、Q四条光滑的足够长的金属导轨平行放置，导轨间距分别为2L和L，两组导轨间由导线相连，装置置于水平面内。导轨间存在竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，两根质量分别为2m与m、接入电路电阻均为R的导体棒C、D分别垂直于导轨放置，且均处于静止状态，其余部分电阻不计。t＝0时使导体棒C获得瞬时速度v0向右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并与导轨接触良好，且达到稳定运动时导体棒C未到两组导轨连接处。则下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，导体棒D的加速度大小为 B．达到稳定运动时，C棒的速度为 C．从t＝0时至达到稳定运动的过程中，回路产生的内能为 D．从t＝0时至达到稳定运动的过程中，通过导体棒C的电荷量为 【答案】BD 【解答】解：A、根据法拉第电磁感应定律可得回路中的感应电动势：E＝2BLv0 则感应电流：I 又安培力：F＝BIL 设导体棒D的加速度大小为a，则有：F＝ma 联立整理可得a，故A错误； BD、达到稳定运动时，电路中电流为零，设此时C、D棒的速度分别为v1、v2，则有：2BLv1＝BLv2 对变速运动中取极短时间Δt，以向右为正方向，根据动量定理，对C棒有：﹣2BL•Δt＝2m•（v1﹣v0） 对D棒有：BL•Δt＝mv2 联立解得：v1v0，v2v0 通过导体棒C的电荷量为：q•Δt，故BD正确； C、根据能量守恒定律可知，从t＝0时至达到稳定运动的过程中，回路产生的内能为：Q 解得：Q，故C错误。 故选：BD。 【变式训练4】（多选）（2025•天心区校级模拟）如图所示，有一光滑金属轨道，左侧高度为h处恰好为的圆弧轨道，加一个竖直向上大小为2B的匀强磁场，图中未标出，右侧水平部分置于竖直向上，大小为B的匀强磁场中，由宽度分别为2L、L的两部分组合而成。ab长为L，质量为2m，cd长为2L，质量为m，垂直两导轨水平放置，导轨电阻不计，两根棒的电阻都为R，并且两个宽度区域都足够长（两根棒都始终在不同宽度的区域内）。现给ab一水平向左的初速度v0，cd进入圆弧轨道时，两导体棒恰好做匀速直线运动，且此时固定ab棒。关于两棒的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．cd棒刚要进入圆弧轨时，ab棒的速度为 B．ab棒从刚开始运动到刚好匀速时通过的电荷量为 C．两导体棒运动过程中动量总是守恒的 D．若cd棒进入圆轨道做匀速圆周运动，cd棒在圆弧轨道上做匀速圆周运动达到h处过程中产生的热量为 【答案】AB 【解答】解：AC、匀速运动前，通过两棒的电流大小相等，根据安培力的计算公式可知，两棒受到的安培力大小不等，动量不守恒。 两导体棒匀速直线运动时，设ab的速度大小为v1，cd的速度大小为v2，则有：BLv1＝2BLv2 取向左为正方向，对ab根据动量定理可得：﹣BILΔt＝2mv1﹣2mv0 对cd根据动量定理可得：2BILΔt＝mv2 联立解得：v1，v2，故A正确、C错误； B、取向左为正方向，对cd根据动量定理可得：2BILΔt＝mv2 通过的电荷量为：q＝IΔt，解得：，故B正确； D、若cd棒进入圆轨道做匀速圆周运动，则运动过程中感应电动势成正弦规律变化，感应电动势的最大值为：Em＝2BLv2 感应电动势的有效值为：E 此过程中运动的时间为：t 产生的热为：Q 联立解得：Q，故D错误。 故选：AB。 【模型四】有外力不等距双棒 【模型剖析】 光滑水平导轨上放置质量为 、 的导体棒 、，电阻为、， 轨道间距为 、 ，满足 ， 在恒力 作用下运动。 分析如下： 棒加速，棒加速，。 1. 电路特点： 棒相当于电源； 棒受安培力而加速启动，运动后产生反电动势，等效电动势为两导体棒感应电动势之差，即： 。 2 安培力特点： 棒所受安培力为阻力，随棒速度增加而增加；棒 所受安培力为动力，随棒速度增加而增加； 3. 加速度特点：棒做加速度减小的加速运动；棒做加速度增加的减速运动； - 图像如图。 棒a： ；棒b： ； 最初阶段， ；之后 ；两棒做匀加速直线运动。 4.最终状态：两棒以各自的加速度做匀加速运动；两导体棒加速度成比例。 当 恒定时，即 恒定，可得 恒定， 5. 运动过程中的四个规律 （1）电流规律： ； 电荷量： （2）两棒的安培力规律：a 棒的安培力大小： ； 棒的安培力大小： 。 （ 3 ）动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反，根据动量定理有： 棒 ； 棒 ； 联立得： 。 （4）能量转化规律：外力做的功： 两棒产生焦耳热之比： 。 6.常用结论 常用关系： 常用结果： 此时回路中电流为： 与两棒电阻无关 【例题精讲】 【例1】（2024春•重庆期中）如图所示，两足够长的光滑平行导轨固定在同一水平面上，虚线MN与导轨垂直，其左、右侧的导轨间距分别为L2和L1且L2＞L1整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。MN左、右两侧的磁感应强度大小分别为B2和B1，且B1＞B2，在MN两侧导轨上分别垂直放置两根接入阻值为r1和r2的平行金属棒ab和cd，系统静止。某时刻对ab棒施加一个水平向右的恒力F，两金属棒在向右运动的过程中，始终与导轨垂直且接触良好，cd棒始终未到达MN处，则下列判断正确的是（　　） A．最终两棒以不同的速度匀速运动 B．最终两棒以相同的速度匀速运动 C．安培力对cd棒所做的功大于cd棒的动能增加量 D．外力F做的功等于两棒的动能增加量和回路中产生的焦耳热 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：AB、ab 棒在外力F作用下向右做加速运动，但由于受到向左的安培力，且随着速度增大安培力也会增大，所以ab棒做加速度减小的加速运动，cd棒在向右的安培力作用下，也向右做加速运动，且随着速度增大，安培力增大，加速度在增大。 回路中的感应电动势为：E＝B1L1vab﹣B2L2vcd，已知：L2＞L1，B1＞B2， 最终两棒稳定运动时回路中的感应电动势恒定且不为零，若B1L1＝B2L2，则vab﹣vcd的差值恒定，可知两者的加速度相同；若B1L1≠B2L2，则B1L1vab﹣B2L2vcd的差值恒定，可知两者的加速度不相同。所以最终两棒均做匀加速直线运动，加速度可能相同，也可能不相同，故AB错误； C、cd 棒受的合力为受到的安培力，由动能定理可知安培力对cd 棒所做的功等于 cd 棒的动能增加量，故C错误； D、由能量守恒定律可知外力F做的功等于两棒的动能增加量和回路中产生的焦耳热，故D正确。 故选：D。 【例2】（多选）（2025•丽江模拟）如图所示，足够长的光滑平行金属轨道DE、D′E′及FP、F′P′固定在水平面上，间距分别为2l、l，两段轨道在EF、E′F′处连接，水平轨道处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。四分之一圆弧轨道CD、C′D′在左端与水平轨道平滑相连，圆弧下端分别在D、D′点与水平轨道相切。质量为m、电阻为R、长度为l的金属棒cd静止放置在窄轨道上，现将质量为2m、电阻为2R、长度为2l的金属棒ab从圆弧轨道上高为h处由静止释放，运动过程中两根金属棒始终与金属轨道垂直并接触良好，不计其他电阻及空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．金属棒cd中的最大电流为 B．整个过程中通过金属棒ab的电荷量为 C．整个过程中金属棒cd中产生的焦耳热为 D．两金属棒ab、cd相距最近时的速度之比为2:1 【推理过程】 【答案】AB 【解答】解：A、金属棒ab刚进入磁场时，速度最大，产生的感应电动势最大，回路中感应电动势最大，金属棒cd中的电流最大。设金属棒ab刚进入磁场时的速度大小为v0，此时回路中的感应电动势为Em。 金属棒ab沿圆弧轨道下滑过程，根据机械能守恒定律有 解得 则金属棒ab产生的最大感应电动势为 金属棒cd中的最大电流，故A正确； B、金属棒ab进入水平轨道后在安培力作用下做减速运动，金属棒cd做加速运动，直到两金属棒产生的电动势等大、反向，回路中的电流为零，最终两金属棒都做匀速运动。设两金属棒匀速运动时的速度大小分别为va、vc，达到稳定状态的过程中通过两金属棒的电荷量为q，则有B•2lva＝Blvc 可得vc＝2va 取向右为下同，根据动量定理，对金属棒ab、cd分别有， 解得，故B正确； C、由能量守恒定律可得，回路产生的总焦耳热为，则金属棒cd中产生的焦耳热为，故C错误； D、由牛顿第二定律可得BiL＝ma，因通过两金属棒的电流始终相等，结合两金属棒的长度、质量关系可知，两金属棒的加速度大小始终相等，运动过程中的v﹣t图像如图所示。 两图线关于中间虚线对称，显然两图线的交点的纵坐标为，而两金属棒速度大小相等时距离最近，可知两金属棒距离最近时两金属棒的速度大小都为，即两金属棒ab、cd相距最近时的速度之比为1:1，故D错误。 故选：AB。 【变式训练】 【变式训练1】（2024春•龙马潭区期末）如图所示，水平面上有一组平行但宽度不同的固定导轨，分界线PQ、MN位于水平面内且均与导轨垂直，PQ左侧导轨间距是右侧导轨间距的2倍。PQ左侧和MN右侧有方向垂直水平面等大反向的匀强磁场，PQ和MN之间是距离d＝1m的无磁场区域。两根完全相同的导体棒CD、EF均平行PQ静止放置在导轨上，导体棒质量均为m＝0.2kg。给导体棒CD施加一水平向右、大小为F＝10N的恒力，当导体棒CD运动s＝0.5m时撤去恒力F，此时两导体棒的速度大小均为v1＝1m/s。已知导体棒CD运动到PQ前两导体棒的速度均已稳定。当导体棒EF的速度大小为v2＝0.2m/s时，导体棒CD刚好运动到NN并进入右侧磁场区域，整个过程中导体棒EF始终在MN的右侧导轨上运动，两导体棒始终与轨道接触良好且不会碰撞。除导体棒电阻外不计其他电阻，忽略一切摩擦，导轨足够长，取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．恒力F作用过程中，导体棒EF上产生的焦耳热为1.6J B．撤去拉力F后，导体棒CD在左侧水平轨道上稳定速度的大小为0.5m/s C．导体棒CD从PQ运动到MN过程中，导体棒EF位移的大小为1.3m D．导体棒CD最终速度的大小为m/s 【答案】A 【解答】解：A、恒力F作用过程中，根据能量守恒可得回路中产生的总焦耳热为：Q总＝Fs， 代入数据解得：Q总＝4.8J； 由于CD棒接入电路的电阻为EF接入电路电阻的2倍，根据焦耳定律可得导体棒EF上产生的焦耳热：QEFQ总1.6J，故A正确； B、撤去拉力F后，当导体棒CD与导体棒EF在磁场中产生的电动势大小相等，方向相反时，两导体棒的速度达到稳定，设稳定时导体棒CD的速度大小为vCD，导体棒EF的速度大小为vEF，右侧导轨间距为L，左侧导轨间距为2L，则有：B•2LvCD＝BLvEF； 从撤去拉力F到导体棒速度稳定，导体棒CD向右减速运动，取向右为正方向，根据动量定理可得： ﹣B•2Lt＝mvCD﹣mv1 导体棒EF向左加速运动，根据动量定理可得： ﹣BLt=﹣mvEF﹣(﹣mv1) 联立解得：vCD＝0.6m/s，vEF＝1.2m/s，故B错误； C、导体棒CD从PQ运动到MN过程中做匀速直线运动，所用时间为：t匀ss 导体棒EF向左做加速度减小的减速运动，位移应满足：xEF（vEF+v2）×t匀m，故C错误； D、导体棒CD从MN进入右侧磁场区域，导体棒CD与导体棒EF组成的系统满足动量守恒定律，当两导体棒达到共速时，两导体棒达到最终稳定状态，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得：mvCD﹣mv2＝2mv共 解得：v共＝0.2m/s，故D错误。 故选：A。 【变式训练2】（2024•青岛模拟）两根质量均为m的光滑金属棒、b垂直放置在如图所示的足够长的水平导轨上，两金属棒与导轨接触良好，导轨左边间距是右边间距的2倍，两导轨所在的区域处于竖直向下的匀强磁场中。一根不可伸长的绝缘轻质细线一端系在金属棒b的中点，另一端绕过轻小光滑定滑轮与质量也为m的重物c相连，线的水平部分与导轨平行且足够长，c离地面足够高，重力加速度为g。由静止释放重物c后，两金属棒始终处在各自的导轨上垂直于导轨运动，达到稳定状态后，细线中的拉力大小为（导轨电阻忽略不计）（　　） A． B． C． D．mg 【答案】C 【解答】解：设a、b棒达到稳定状态后某一时刻的速度大小分别为v1、v2，c与b棒加速度大小相等，设为ab，a棒加速度大小为aa，回路中的电流为I，回路中的电动势为E，则有： E＝BLbv2﹣BLav1 La＝2Lb 到稳定状态后，电路中的电流恒定，即电动势恒定，导体棒的加速度关系为： ab＝2aa 导体棒a的加速度满足：BILa＝maa 设绳子拉力为T，对b棒受力分析，可得：T﹣BILb＝mab 对c受力分析：mg﹣T＝mab 联立解得：T，故C正确、ABD错误。 故选：C。 【变式训练3】（多选）（2025•襄阳三模）如图所示，两电阻不计的光滑平行导轨水平放置，MN部分的宽度为2l，PQ部分的宽度为l，金属棒a和b的质量分别为2m和m，其电阻大小分别为2R和R，a和b分别静止在MN和PQ上，垂直于导轨且相距足够远，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现对金属棒a施加水平向右的恒力F，两棒运动时始终保持平行且a总在MN上运动，b总在PQ上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的是（　　） A．金属棒a与b均做匀速直线运动且距离逐渐减小 B．金属棒a与b均做匀变速运动且加速度之比为1:2 C．流过金属棒a的电流大小为 D．回路中的感应电动势保持不变大小为 【答案】BD 【解答】解：AB、对a、b两棒整体分析，由于受恒定拉力作用，则经过足够长时间后最终达到稳定状态，此时回路中的感应电动势保持恒定，则回路中的电流恒定。设a、b两棒的加速度分别为aa、ab，则有E总＝B•2l（va+aaΔt）﹣Bl（vb+abΔt） 由于总电动势恒定，则对上式两边求变化率，有0＝2Blaa﹣Blab，则可得ab＝2aa，因此经过足够长时间后，金属棒a与b均做匀变速运动且加速度之比为1:2，故A错误，B正确； C、根据受力分析，由牛顿第二定律得 对a棒有：F﹣F安a＝2maa 对B棒有：F安b＝mab 又F安b＝BIl，联立解得：。由于金属棒a，b串联，则流过a的电流大小也为，故C错误。 D、回路中的感应电动势保持不变大小为，故D正确。 故选：BD。 一、选择题（共4小题） 1.（2025春•常州期中）如图所示，与水平面成θ角的平行的倾斜导轨MN和PQ，不计电阻，在其上垂直导轨放置两根金属棒ab和cd，整个装置处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中（磁场图中未画出），金属棒恰好保持静止。已知最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，下列判断正确的是（　　） A．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒都会停下来 B．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 C．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒速度不同而加速度相同 D．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 【答案】C 【解答】解：AB、若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，ab棒做磁感线运动，产生感应电流，受到沿导轨向上的安培力而减速。cd棒受到沿导轨向下的安培力而加速，当两棒速度相同时，不再产生感应电流，因两棒受到的滑动摩擦力大小f＝mgsinθ，两棒的合外力均为零，所以最终两棒分别以大小相等的速度匀速运动，故AB错误； CD、若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，ab棒沿导轨向下做加速运动，产生感应电流，cd棒受到沿导轨向下的安培力而加速，开始阶段，ab棒的加速度大于cd棒的加速度，两棒的速度差增大，回路总的电动势增大，感应电流增大，两棒受到的安培力增大，则ab棒的合外力减小，加速度减小。cd棒的合外力增大，加速度增大，当两棒的加速度相同时，速度差不变，产生的感应电流不变，两棒受到的安培力不变，加速度不变，所以最终两棒速度不同而加速度相同，故C正确，D错误。 故选：C。 2.（2025春•泰安期中）如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为d→c B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动 C．在0﹣t0时间内，ab棒产生的热量为 D．在0∼t0时间内，通过cd棒的电荷量为 【答案】D 【解答】解：A、金属棒ab刚开始运动时，根据右手定则可知cd棒中的电流方向为c→d，故A错误； B、ab运动后，由于安培力作用，速度会逐渐减小，同时cd棒将做加速运动，回路总电动势减小，电流减小，cd棒受到的安培力会减小，由于：F＝mcda，可知，cd棒的加速度会减小，故B错误； C、两金属棒组成的系统动量守恒：，解得：m＝2m，由于ab棒与cd棒质量之比为1:2，且它们的材料和长度相同，故横截面积之比为1:2，由，得电阻之比为2:1，故ab棒与cd棒产生的热量之比为2:1，根据两棒组成的系统能量守恒有：，0～t0时间内ab棒产生的热量：，故C错误； D、对cd棒列动量定理有：，又：，则在0～t0时间内，通过cd棒的电荷量：，故D正确。 故选：D。 3.（2024秋•沙河口区校级期中）如图（a），水平面内有两根足够长的光滑平行固定金属导轨，间距为d。导轨所在空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒M、N静止放置在足够长的导轨上。已知M的质量为m，阻值为R，导体棒N的质量未知，阻值为，导轨电阻不计。现给M棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化关系如图（b）所示，两导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（　　） A．导体棒N的质量为 B．导体棒N的最终的速度为 C．在0～t1内导体棒M产生的热量为 D．在0～t1内通过导体棒M的电荷量为 【答案】D 【解答】解：A．导体棒M、N受到的安培力大小相等，方向相反，所以两导体棒组成的系统动量守恒，取向右为正方向，且两导体棒最终速度大小相等，有 解得 mN＝2m 故A错误； B．根据题意可知，两棒组成回路，电流大小相同，M棒受安培阻力做变减速直线运动，N棒受安培动力做变加速直线运动，当两者的速度相等时，电流等于零，两棒不再受安培力，则达到共同速度做匀速直线运动，导体棒N的最终的速度为，故B错误； C．在0～t1内回路产生的总热量为 所以导体棒M产生的焦耳热为 解得 故C错误； D．取向右为正方向，由动量定理可知，在0～t1内导体棒N有 通过导体棒M的电荷量 解得 故D正确。 故选：D。 4.（2025•湖北）如图（a）所示，相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均为L、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好，导轨电阻忽略不计。导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的图像如图（b）所示，t＝T时刻，B＝0。t＝0时刻，两棒相距x0，ab棒速度为零，cd棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0～T时间内流过回路的电荷量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据法拉第电磁感应定律，闭合回路中产生的感应电动势，根据闭合电路欧姆定律得电流，通过回路的电荷量为 q＝IΔt，0～T 时间内ΔΦ＝B0Lx0，联立解得，故B正确，ACD错误。 故选：B。 二、多选题（共3小题） （多选）5．（2025•商洛三模）如图所示，固定光滑平行轨道由四分之一圆弧轨道和水平轨道组成，水平轨道处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，Ⅰ区域轨道宽度为L，Ⅱ区域轨道宽度为2L，Ⅰ区域轨道长度和Ⅱ区域轨道长度均足够长。质量为m的金属棒1从高度为R的四分之一圆弧轨道顶端由静止开始下滑，开始时质量为2m的金属棒2静止在宽度为2L的轨道上，金属棒1接入轨道间的电阻为r，金属棒2接入轨道间的电阻为2r。两金属棒始终与轨道垂直且保持良好接触。不计其他电阻及空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．金属棒1运动到圆弧轨道底端时受到轨道的支持力大小为3mg B．稳定时金属棒1的速度大小为 C．金属棒1从圆弧轨道底端运动到刚稳定时，通过金属棒1的电荷量为 D．若将金属棒2固定，使金属棒1仍从圆弧轨道最高点由静止释放，则金属棒1在水平轨道上通过的最大距离为 【答案】AC 【解答】解：A.金属棒1在光滑四分之一圆弧轨道上运动，由机械能守恒定律有，解得v 由牛顿第二定律有，解得FN＝3mg，故A正确； B.当两金属棒稳定时，两棒产生的电动势相等，有BLv1＝2BLv2，可得v1＝2v2 规定棒1刚到达底端时方向为正方向 对金属棒1列水平动量定理有：﹣BILt＝mv1﹣mv 对金属棒2列水平动量定理有：2BILt＝2mv2 联立解得，，故B错误； C.电荷量q＝It 规定棒1到达最低点的速度方向为正方向 对金属棒1列水平动量定理有：﹣BILt＝mv1﹣mv， 联立解得：，故C正确； D.电荷量：q'＝I't' 电流： 电动势： 联立解得：，故D错误。 故选：AC。 （多选）6．（2024秋•昆明月考）如图所示，光滑的平行金属导轨1、2间距为2L，粗糙的平行金属导轨3、4间距为L，两组导轨处于同一平面且与水平面的夹角为37°，整个装置处在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，当质量为m、垂直于导轨1、2的金属棒甲沿着1、2以速度v匀速下滑时，质量为2m的金属棒乙恰好垂直于导轨静止在3、4上，且乙受到的静摩擦力正好达到最大值，重力加速度为g，sin37°＝0.6、cos37°＝0.8，导轨电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．回路的电流为 B．回路的总电阻为 C．乙受到的静摩擦力沿着斜面向下 D．乙与3、4之间的动摩擦因数为 【答案】BD 【解答】解：A、对金属棒甲进行受力分析，根据平衡条件可得 BI•2L＝mgsin37° 解得回路的电流为，故A错误； B、金属棒甲产生的感应电动势为 E＝B•2Lv 由闭合电路欧姆定律可得 解得回路的总电阻为，故B正确； C、由右手定则知甲中感应电流由2向1，则乙中电流由3向4，由左手定则可知，乙受到的安培力沿着斜面向下，乙有沿着斜面向下的运动趋势，则乙受到的静摩擦力沿着斜面向上，故C错误； D、由乙受到的静摩擦力沿着斜面向上达到最大值，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则有 fm=μ×2mgcos37° 由平衡条件可得 BIL+2mgsin37°＝fm 解得，故D正确。 故选：BD。 （多选）7．（2024•烟台三模）如图，间距均为L的光滑水平金属导轨与半径为R的光滑半圆金属导轨平滑连接，半圆导轨在竖直平面内，水平导轨处于方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。在水平导轨上放置ab、cd两导体棒，两棒长度均为L、质量分别为4m和m、电阻分别为r和2r，两导体棒到半圆导轨底端的距离分别为x1和x2，x1足够大，x2＝3R。现给导体棒ab一大小的初速度，一段时间后导体棒cd通过半圆导轨最高点后，恰好落到其初始位置。cd棒离开导轨前两棒与导轨始终垂直且接触良好，两导体棒间未发生碰撞，导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．导体棒cd离开磁场前已与ab棒达到共速 B．导体棒cd刚进入半圆导轨瞬间，其两端电压 C．导体棒cd离开半圆导轨前，通过其横截面的电量 D．导体棒cd离开水平导轨前，导体棒ab上产生的焦耳热 【答案】BD 【解答】解：A、导体棒cd从最高点飞出后做平抛运动，则由分运动规律有 ,3R＝v1t 导体棒cd从最低点运动到最高点过程，根据动能定理有 解得导体棒cd经过最低点时的速度大小为 若ab、cd两导体棒在磁场中达到共速，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律有 4mv0＝（4m+m）v共 解得v2，可知，导体棒cd离开磁场前没有与ab棒达到共速，故A错误； B、结合上述分析，导体棒cd刚进入半圆导轨瞬间，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律有 4mv0＝4mv3+mv2 解得 则导体棒cd刚进入半圆导轨瞬间，其两端电压U•2r，解得，故B正确； C、导体棒cd离开半圆导轨前，通过其截面的电荷量与通过导体棒ab的电荷量相等，对导体棒ab进行分析，由于x1足够大，可知，导体棒ab最终在水平轨道上减速至0，取水平向右为正方向，根据动量定理有 其中 解得，故C错误； D、导体棒cd离开水平导轨前，回路产生的总的焦耳热为 则导体棒ab上产生的焦耳热为 解得 ，故D正确。 故选：BD。 三、解答题（共7小题） 8.（2025春•曲阜市期中）如图所示，PMN和P′M′N′是两条足够长、相距为L的平行金属导轨，MM′左侧圆弧轨道表面光滑，右侧水平轨道表面粗糙，并且MM′右侧空间存在一竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在左侧圆弧轨道上高为h处垂直导轨放置一导体棒AB，在右侧水平轨道上某位置垂直导轨放置另一导体棒CD。已知AB棒和CD棒的质量分别为m和2m，接入回路部分的电阻均为R，AB棒与水平轨道间的动摩擦因数为μ，圆弧轨道与水平轨道平滑连接且电阻不计。现将AB棒由静止释放，让其沿轨道下滑并进入磁场区域，最终在棒CD左侧距MM′为d处停下，此过程中CD棒因摩擦一直处于静止状态。重力加速度为g，求： （1）AB棒刚进入磁场时AB两端的电压UAB； （2）AB棒从进入磁场到最终停止运动的过程中流过CD棒的电荷量q； （3）若水平轨道光滑，求AB棒从开始运动到最终达到稳定状态的过程中所产生的热量QA以及为使两棒不相碰，棒CD初始位置与MM′的最小距离xmin。 【答案】（1）AB棒刚进入磁场时AB两端的电压UAB为； （2）AB棒从进入磁场到最终停止运动的过程中流过CD棒的电荷量q为； （3）若水平轨道光滑，AB棒从开始运动到最终达到稳定状态的过程中所产生的热量QA为，为使两棒不相碰，棒CD初始位置与MM′的最小距离xmin为。 【解答】解：（1）设AB棒刚进入磁场时的速度大小为v，根据机械能守恒定律有 mgh 解得v AB棒刚进入磁场时产生的感应电动势大小为E＝BLv 则此时AB两端的电压为U 根据右手定则可知B端的电势高于A端的电势，故UAB＝﹣U 解得UAB （2）整个过程AB棒和CD棒构成的回路产生的感应电动势的平均值为 产生的平均电流为 所以通过导体棒CD的电荷量为q 联立以上各式解得q （3）若水平轨道光滑，AB棒与CD棒构成的系统动量守恒，最终达到共速，设其共同速度为v'，规定向右的方向为正方向，则有 mv＝（m+2m）v' 根据能量守恒定律有 AB棒产生的热量为 解得QA 双棒均运动时，感应电动势的平均值为 感应电流的平均值为 对CD棒进行分析，规定向右的方向为正方向，根据动量定理有 结合上述解得 为使两棒不相碰，棒CD初始位置与MM'的最小距离为 解得 答：（1）AB棒刚进入磁场时AB两端的电压UAB为； （2）AB棒从进入磁场到最终停止运动的过程中流过CD棒的电荷量q为； （3）若水平轨道光滑，AB棒从开始运动到最终达到稳定状态的过程中所产生的热量QA为，为使两棒不相碰，棒CD初始位置与MM′的最小距离xmin为。 9.（2025春•西城区校级期中）如图所示为两条间距为d的固定光滑金属导轨，其中AC、A1C1部分为半径为R的四分之一圆弧轨道，CD、C1D1部分为足够长水平直轨道，水平轨道位于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量为2m，电阻为2r的金属棒S静置于距CC1足够远的水平轨道上。将质量为m、电阻为r的金属棒T由AA1处静止释放，一段时间后，金属棒T运动到水平轨道上。在运动过程中，两棒始终与导轨垂直且保持良好接触，导轨电阻不计，已知重力加速度为g。求： （1）金属棒T刚进入水平轨道时，通过金属棒S的电流大小； （2）从金属棒T进入水平轨道到两棒运动稳定的共同速度； （3）从金属棒T进入水平轨道到两棒运动稳定的过程中金属棒S产生的热量。 【答案】（1）金属棒T刚进入水平轨道时，通过金属棒S的电流大小为； （2）从金属棒T进入水平轨道到两棒运动稳定的共同速度为； （3）从金属棒T进入水平轨道到两棒运动稳定的过程中金属棒S产生的热量为。 【解答】解：（1）首先，金属棒T从AA1处静止释放到进入水平轨道的过程，根据机械能守恒定律 mgR （其中m为金属棒T的质量，R为圆弧轨道半径，v0为金属棒T刚进入水平轨道时的速度） 解得 金属棒T刚进入水平轨道时，根据法拉第电磁感应定律E＝Bdv0 此时电路中的总电阻R总＝2r+r＝3r 根据闭合电路欧姆定律 代入得到 I （2）两棒在水平轨道上运动时，系统在水平方向不受外力，所以系统动量守恒，设两棒运动稳定时的共同速度为v，以金属棒T刚进入水平轨道时的速度方向为正方向，根据动量守恒定律 mv0＝（m+2m）v 代入可得 （3）从金属棒T进入水平轨道到两棒运动稳定的过程中，根据能量守恒定律，系统减少的动能转化为内能，系统减少的动能 2m)v2 解得 因为两棒串联，电流I相同，根据焦耳定律Q＝I2Rt，Q∞R，金属棒S与金属棒T的电阻之比为2r：r＝2:1，所以金属棒S产生的热量 o则 故本问答案为：。 答：（1）金属棒T刚进入水平轨道时，通过金属棒S的电流大小为； （2）从金属棒T进入水平轨道到两棒运动稳定的共同速度为； （3）从金属棒T进入水平轨道到两棒运动稳定的过程中金属棒S产生的热量为。 10.（2025春•桂林期末）如图所示，两平行光滑长直金属导轨固定在水平面上，导轨间距L为1m。导轨中abcd区域有匀强磁场，磁感应强度B的大小为1.5T，方向垂直轨道平面竖直向上，导轨上e点和f点分别嵌入一小段光滑绝缘件与导轨两端平滑连接，e、f连线与导轨垂直。导轨左端通过开关S连接一个电动势E为3V，内阻r为1Ω的电源。初始时刻，开关S处于断开状态，细金属杆M、N分别静止在图示位置，且已知细金属杆N到cd的距离为d＝0.5m。开关S闭合后，细金属杆M经过ef前已匀速运动，两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为v2＝1m/s，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为m1＝0.9kg，金属杆N质量为m2＝0.45kg，两杆在导轨间的电阻R均为5Ω，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。求： （1）细金属杆M经过绝缘件ef时的速度v0大小； （2）细金属杆N在磁场中运动产生的焦耳热；（结果保留两位小数） （3）细金属杆N在磁场中运动的时间。 【答案】（1）细金属杆M经过绝缘件ef时的速度v0大小为2m/s； （2）细金属杆N在磁场中运动产生的焦耳热为0.28J； （3）细金属杆N在磁场中运动的时间为1s。 【解答】解：（1）细金属杆M经过绝缘件ef时产生的感应电动势E感＝BLv0 匀速运动时，有E＝E感 解得v0＝2m/s （2）设金属杆N离开磁场时，金属杆M的速度为v1。 两杆在磁场内运动过程，取向右为正方向，根据动量守恒定律得 m1v0＝m1v1+m2v2 解得v1＝1.5m/s 细金属杆N在磁场中运动产生的焦耳热为 解得Q＝0.28J （3）对N，取向右为正方向，根据动量定理得 t＝m2v2﹣0 对N根据动能定理得 dm20 解得细金属杆N在磁场中运动的时间为t＝1s 答：（1）细金属杆M经过绝缘件ef时的速度v0大小为2m/s； （2）细金属杆N在磁场中运动产生的焦耳热为0.28J； （3）细金属杆N在磁场中运动的时间为1s。 11.（2025•金安区校级模拟）如图，两光滑平行圆弧导轨竖直放置，下端与两根间距为L的光滑平行水平导轨平滑连接，足够长的水平导轨全部处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。在导轨上放置长度略大于L的导体棒a、b、c。a棒的质量为2m，接入电路的电阻为R，b棒和c棒的质量均为m，接入电路的电阻均为2R。已知初始时a棒和b棒间距为d，且均处于静止状态。现让c棒从圆弧导轨上高为h处由静止释放，c棒与b棒如果发生碰撞则会粘在一起。已知重力加速度大小为g，导轨电阻不计，且导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。 （1）c棒刚进入磁场时，求a棒和b棒的加速度之比； （2）若使c棒与b棒不发生碰撞，求初始时b棒离磁场左边界的距离x应满足的条件； （3）若初始时b棒离磁场左边界的距离，且b棒与a棒没有发生碰撞，试求a、b、c三棒在全过程中产生的焦耳热。 【答案】（1）求a棒和b棒的加速度之比为1:1； （2）若要c棒与b棒不发生碰撞，b棒离磁场左边界的距离； （3）a、b、c三棒在全过程中产生的焦耳热等于。 【解答】解：（1）当c棒进入磁场时产生感应电动势，a、b棒并联，两端的电压U总相等， 根据欧姆定律以及牛顿第二定律可得，b＝IbLB，Fa＝2ma1； ； （2）对c棒：由动能定理得：，， 由（1）可知，a棒、b棒总是相对静止的，a棒、b棒、c棒构成的系统动量守恒三棒速度相等时的速度为v1， 以向右为正方向，则根据动量守恒定律有：mv0＝（m+m+2m）， 对c棒：﹣ILBΔt＝mΔv，﹣∑ILBΔt＝∑mΔv，，，，，联立得：，若要c棒与b棒不发生碰撞，b棒离磁场左边界的距离； （3）因为c棒进入磁场时与b棒之间的距离：，所以c棒与b棒将发生碰撞并粘在一起。全过程三棒减少的机械能Q0中，一部分转化为三棒生成的焦耳热Q1，另一部分Q2在c棒与b棒的完全非弹性碰撞中损失掉。 ，可解得：c c棒与b棒碰撞前瞬间，设b棒、a棒的速度大小均为v2，c棒的速度大小为v3，以向右为正方向，根据动量守恒定律得：mv0＝mv3+（m+2m）v2； 对c棒，由（2）得，解得：，，c棒与b棒碰撞：由动量守恒定律：mv2+mv3＝（m+m）v4，，碰撞瞬间损失的机械能：Q2，可解得：，三棒系统产生的焦耳热Q1＝Q0﹣Q2，解得：Q1 答：（1）求a棒和b棒的加速度之比为1:1； （2）若要c棒与b棒不发生碰撞，b棒离磁场左边界的距离； （3）a、b、c三棒在全过程中产生的焦耳热等于。 12.（2025秋•浑南区校级期中）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为L和2L，分别处于磁感应强度大小为2B和B的竖直向下匀强磁场中，导轨右端接一阻值为R的电阻。金属棒a、b分别置于左、右两侧导轨上，a的电阻为r、长度为L、质量为m，b的电阻为2r、长度为2L、质量为2m。初始时刻开关S断开，静止的两棒用绝缘丝线连接，两棒间置有劲度系数为k、压缩量为x0的轻质绝缘弹簧，弹簧与两棒不连接。剪断丝线，弹簧恢复原长时，a恰好脱离导轨，b速度大小为v0，此时闭合S。已知弹簧弹性势能（x为弹簧形变量），整个过程中两棒与导轨垂直并接触良好，右侧导轨足够长，所有导轨电阻均不计，求： （1）初始时刻a棒距导轨左端的距离xa； （2）弹簧恢复原长过程中，a棒上产生的热量Qa。 【答案】（1）初始a棒距左端的距离为； （2）a棒产生的焦耳热为。 【解答】解：（1）设弹簧弹开两棒的过程中，任一时刻流过两棒的电流为I，则有Fa＝2BIL，Fb＝BI•2L，可知：Fa＝Fb，根据左手定则，可知两棒受到的安培力反向； 故两棒系统动量守恒，以b棒的速度方向为正方向，则根据动量守恒定律可得：0＝2mvb﹣mva，其中：，，且有xa+xb＝x0， 整理可得mxa＝2mxb，联立解得：，； （2）弹簧恢复原长时，以b棒的速度方向为正方向，根据动量守恒则有0＝2mv0﹣mva， 根据能量守恒则有，由焦耳定律：Q＝I2Rt，结合题意可知：，解得：。 答：（1）初始a棒距左端的距离为； （2）a棒产生的焦耳热为。 13.（2025•菏泽一模）如图所示，两段足够长但不等宽的光滑平行金属导轨水平放置，b、g两点各有绝缘材料（长度忽略不计）平滑连接导轨，ac、fh段间距为l，de、jk段间距为2l。整个空间处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨af端接有电容的电容器（初始不带电），导体棒Ⅱ静止于de、jk段。导体棒Ⅰ、Ⅱ的质量分别为m、2m，电阻分别为R、2R，长度分别为l、2l，导体棒Ⅰ从靠近af位置以初速度v0向右运动，到达bg左侧前已达到稳定速度v1（v1未知）。两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力忽略不计。求： （1）导体棒Ⅰ到达bg时速度v1的大小； （2）导体棒Ⅰ在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ达到稳定时的速度v2的大小； （3）导体棒在bc、gh段运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热。 【答案】（1）导体棒Ⅰ到达bg时速度v1的大小为； （2）导体棒Ⅰ在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ达到稳定时的速度v2的大小为； （3）导体棒在bc、gh段运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热为。 【解答】解：（1）规定向右的方向为正反向，设经时间t导体棒Ⅰ的速度稳定，根据动量定理有 此时电容器所带电荷量为q，则 q 电容器两板间电压为U＝Blv1 且q＝CU 联立以上各式解得 v1 （2）导体棒Ⅰ在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ达到稳定时，通过导体棒的电流为零，设经过的时间为t'，此时导体棒Ⅱ的速度为v3 则有Blv2＝B•2lv3 规定向右的方向为正方向，根据动量定理分别对导体棒Ⅰ、Ⅱ有 联立以上各式，解得v2，v3 （3）导体棒在bc、gh段运动过程中，两个导体棒产生的热量设为Q，根据能量守恒定律有 Q 所以导体棒Ⅰ上产生的焦耳热为 Q1 解得Q1 答：（1）导体棒Ⅰ到达bg时速度v1的大小为； （2）导体棒Ⅰ在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ达到稳定时的速度v2的大小为； （3）导体棒在bc、gh段运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热为。 14.（2024秋•广东期末）如图所示，在水平面上的装置由三部分构成，装置中间部分为电路控制系统，电源电动势恒定且为E，内阻不计，两个开关S1、S2初始状态都断开。装置左右两侧均为足够长且不计电阻的光滑金属导轨，导轨MN宽度为2L，HG宽度为L，导轨MN和HG之间存在匀强磁场，磁感应强度分别为B和2B，磁场方向如图所示。将质量均为m的金属杆ab，cd分别如图轻放在水平轨道上，两杆接入电路中的电阻相等，不计金属杆与导轨的摩擦。 （1）接通S1，求ab杆的最大速度； （2）当ab杆做匀速运动后，断开S1同时闭合S2，当两杆再次匀速运动时，求cd杆产生的焦耳热。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）S1接通，ab中有a→b的电流，ab受水平向右的安培力 ab向右做加速运动，ab切割磁感线产生一个感应电动势，与电源相抵消。当ab产生的感应电动势与电源电动势完全相消时，ab棒不受安培力，ab将做匀速运动，速度为vm，此时产生的感应电动势为 E＝2BLvm 解得 （2）断开S1，接通S2，ab向右运动切割磁感线产生感应电流，由b→a，电流再流经cd棒，方向由c到d。由左手是则可知，ab棒受水平向左的安培力，做减速运动；cd棒受水平向右的安培力，向右做加速运动，ab、cd.产生互相抵消的电动势，当完全抵消时，电路中无电流。ab、cd做匀速运动速度分别为v1、v2，则 2BLv1＝B•2Lv2 可得v1＝v2 ab、cd中电流相等。ab、cd的安培力分别为F1＝2BIL，F2＝B×2LI＝2BIL 安培力大小相等、方向相反，ab、cd满足动量守恒，以向右为正方向，有 mvm＝mv1+mv2 联立解得 电路中的总热量为 因为ab、cd的阻值相等，所以cd杆产生的焦耳热为 答：（1）ab杆的最大速度等于； （2）当两杆再次匀速运动时，cd杆产生的焦耳热等于。 学科网（北京）股份有限公司 $