专题05 概率初步 4大高频考点（期末真题汇编，河南专用）九年级数学上学期人教版

专题05 概率初步 4大高频考点概览 考点01 事件的分类 考点02 根据概率公式计算概率 考点03 列表法或树状图法求概率 考点04 由频率估计概率 地 城 考点01 事件的分类 1．(24-25九上·河南周口商水县·期末)一个不透明的袋子里装有大小、形状完全一样的7个红球和11个白球，则下列说法不正确的是（    ） A．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件 B．从中随机摸出8个球，可能都是红球 C．从中随机摸出10个球，一定有白球 D．从中随机摸出1个球，摸到白球的可能性更大 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件、事件发生的可能性大小，熟练掌握随机事件是解题的关键． 根据随机事件、事件发生的可能性大小逐项判断即可． 【详解】解：A、从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件，说法正确，故A不符合题意； B、从中随机摸出8个球，只有7个红球，则摸到的8个球中至少有一个白球，说法错误，故B符合题意； C、从中随机摸出10个球，一定有白球，说法正确，故C不符合题意； D、从中随机摸出1个球，白球的个数多于红球，则摸到白球的可能性更大，说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 2．(24-25九上·河南周口川汇区·期末)下列事件中，必然事件是（   ） A．是实数， B．是实数， C．买一张电影票，座位号是3的倍数 D．两个实数相加，和是正数 【答案】A 【分析】此题考查了必然事件的定义，一定会发生的事件，叫做必然事件；一定不可能发生的事件，叫做不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定事件；在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(简称事件)，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 一定发生的事件是必然事件，根据必然事件的定义分析即可得到答案． 【详解】解：A、是实数，，是必然事件，符合题意； B、是实数，，是随机事件，不符合题意； C、买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意； D、两个实数相加，和是正数，是随机事件，不符合题意， 故选：A． 3．(24-25九上·河南许昌禹州·期末)下列事件是必然事件的是（   ） A．画饼充饥 B．水涨船高 C．一箭双雕 D．缘木求鱼 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，必然事件就是一定会发生的事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、“画饼充饥”是不可能事件； B、“水涨船高”是必然事件； C、“一箭双雕”是随机事件； D、“缘木求鱼”是不可能事件； 故选B． 4．(24-25九上·河南濮阳·期末)“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，落地后向上一面的点数之和为11”，这个事件是（    ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了事件的判断，根据随机事件的定义判断即可． 【详解】解：同时投掷两枚普通的骰子，落地后向上一面的点数之和可能是11，所以是随机事件． 故选：A． 5．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)下列事件是随机事件的是（   ） A．地球绕着太阳转 B．将油滴入水中，油和水相融 C．菱形的四条边相等 D．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势 【答案】D 【分析】根据事件的分类解答即可． 本题考查了事件的分类，正确掌握分类是解题的关键． 【详解】解：A. 地球绕着太阳转是必然事件，不符合题意； B. 将油滴入水中，油和水相融是不可能事件，不符合题意；     C. 菱形的四条边相等是必然事件，不符合题意；     D. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势是随机事件，符合题意； 故选：D． 6．(24-25九上·河南驻马店正阳县·期末)某网站发布的郑州市天气预报如下图所示，周六郑州市下小雨的可能性是，则“周六正阳县小雨”这一事件是（    ）    A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，可能会发生的事件是随机事件，一定不会发生的事件是不可能事件，据此判断即可求解，掌握以上定义是解题的关键． 【详解】解：这一事件是随机事件， 故选：． 7．(24-25九上·河南南阳唐河县·期末)下列事件为必然事件的是（   ） A．明天是晴天 B．一个三角形三个内角和小于 C．两个正数的和为正数 D．任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 【答案】C 【分析】本题考查必然事件的概念，解题的关键是理解必然事件是在一定条件下必然会发生的事件． 依次分析每个选项，判断其是否符合必然事件的定义． 【详解】A、明天的天气是不确定的，明天可能是晴天，也可能是其他天气，故“明天是晴天”是随机事件； B、根据三角形内角和定理，三角形的内角和是，故“一个三角形三个内角和小于”是不可能事件； C、两个正数相加，结果一定是正数，这是必然会发生的，故“两个正数的和为正数”是必然事件； D、任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是不确定的，可能是50次，也可能不是50次，故“任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次”是随机事件． 故选：C． 8．(24-25九上·河南安阳内黄县·期末)下列事件为随机事件的是（   ） A．太阳绕着地球转 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．2025年有366天 D．在一个标准大气压下，水加热到时会沸腾 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：A．太阳绕着地球转是不可能事件； B．掷一枚硬币，正面朝上是随机事件； C．2025年有366天是不可能事件； D．在一个标准大气压下，水加热到时会沸腾是必然事件． 故选B． 9．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．冬天的某一天一定会下雪 C．13个人中至少有两个人出生月份相同 D．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件是指在一定条件下，一定会发生的事件，掌握相关结论即可．根据必然事件的定义即可判断求解． 【详解】解：A、任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，不符合题意； B、冬天的某一天一定会下雪，是随机事件，不符合题意； C、因为一年有十二个月，所以13个人中至少有两个人出生月份相同，是必然事件，符合题意； D、车辆随机到达一个路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 10．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（   ） A．手可摘星辰 B．春风吹又生 C．举头望明月 D．鱼戏莲叶东 【答案】A 【分析】本题考查了不可能事件、必然事件、随机事件．不可能事件是不可能发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A选项：手可摘星辰是不可能事件，故A选项符合题意； B选项：春风吹又生是必然事件，故B选项不符合题意； C选项：举头望明月是随机事件，故C选项不符合题意； D选项：鱼戏莲叶东是随机事件，故D选项不符合题意． 故选：A ． 11．(24-25九上·河南南阳宛城区·期末)下列事件中，是必然事件的是（   ） A．三条线段可以组成一个三角形 B．400人中至少有两个人的生日在同一天 C．向空中抛一枚硬币，正面朝上 D．经过有交通信号灯的路口，遇见红灯 【答案】B 【分析】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件、必然事件及不可能事件是解题的关键；因此此题可根据“一定能发生的事件叫做必然事件”进行求解即可． 【详解】解：A、三条线段可以组成一个三角形是随机事件，故不符合题意； B、400人中至少有两个人的生日在同一天是必然事件，故符合题意； C、向空中抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意； D、经过有交通信号灯的路口，遇见红灯是随机事件，故不符合题意； 故选B． 地 城 考点02 根据概率公式计算概率 12．(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)不透明的箱子里有4张大小相同的卡片，上面分别印有2024年巴黎奥运会的4个不同体育项目的图标（如图所示），从中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上的图标是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形的识别，概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中A事件出现m种结果，那么事件A的概率．用中心对称图形的个数除以图形的总个数即可． 【详解】∵四个图形中的第一、第四个图形是中心对称图形， ∴抽取的卡片的图标是中心对称图形的概率是． 故选：C． 13．(24-25九上·河南郑州巩义·期末)在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知区域C的面积为， 最大的圆的面积为， ∴“豆子落在C中” 的概率． 故选：D． 14．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)不透明的袋子装有除颜色外其他都相等的小球共16个，其中有8个黄球，6个绿球，余下的为红球，从中任取一个，则取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的计算．从袋子中随机取出1个球，共有16种等可能结果，其中是红球的只有2种结果，利用概率公式计算可得．解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：口袋中有红球个数为：， ∴从袋子中随机取出1个球，共有16种等可能结果，其中是红球的只有2种结果， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为：． 故选：C． 15．(24-25九上·河南驻马店西平县·)如图，在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以构成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．根据题意两条横线和两条竖线都可以组成矩形个数，再得出含点A矩形个数，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形， 则如图的三条横线和三条竖线可以组成9个矩形，其中含点A矩形4个， ∴所选矩形含点A的概率是 故选：D 地 城 考点03 列表法或树状图法求概率 16．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)游戏规则如下：掷两次质地均匀的骰了，掷得的点数之和恰好为所选的数的获胜！如果你参与这个游戏，要想获胜可能性最大，你会选择（    ）． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查用列表法或画树状图求概率，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 利用列表法找到点数之和为几的次数最多，选择那个数获胜的概率就越大． 【详解】解：根据题意列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 掷两次质地均匀的骰子，共有36种等可能的结果， 点数之和为7的有6种，最多， 故选择7获胜的可能性大， 故选B 17．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)暑假期间，语文老师要求全班同学阅读四大名著．并从中选取两种书来写阅读心得．请你用列表法或者树状图法求小明选取的恰好是《西游记》和《水浒传》的概率． 【答案】 【分析】本题考查了用列表法或者树状图法求概率，概率所求情况数与总情况数之比，正确掌握方法是解题的关键．记四大名著分别为：A：《西游记》、B：《水浒传》、C：《三国演义》、D：《红楼梦》，再根据题意用列表法得出所有等可能的结果以及选中A：《西游记》和B：《水浒传》的情况，再利用概率公式即可求得答案； 【详解】解：记四大名著分别为：A：《西游记》、B：《水浒传》、C：《三国演义》、D：《红楼梦》， 如图，用表格列出所有可能的结果： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中同时选中A和B的情况有2种， ∴同时选中A：《西游记》和B：《水浒传》的概率为 ． 18．(24-25九上·河南郑州巩义·期末)如图所示，李老师设计的一个电路图，有四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接电线组成．所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光．请解答下列数学问题． (1)下列说法正确的有______（多选）． A．闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件； (2)当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】(1)BD (2) 【分析】本题主要考查了事件的分类；画树状图或列表法求一个事件的概率． （1）根据题意以及事件的分类即可求解． （2）列表法得出共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】（1）A．闭合其中的一个开关灯泡发光是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件，故该选项正确，符合题意； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件，故该选项正确，符合题意； 故选：BD． （2）根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下： 由表格可知共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种． （能使灯泡发光） 19．(24-25九上·河南郑州高新技术产业开发区·期末)某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动．两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法以及概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用列表法求出所有等可能的结果，再从表中找出两位同学选择同一个书院进行讲解的结果数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：将嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别记为，，，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两位同学选择同一个书院进行讲解的结果有种， 两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为， 故选：B． 20．(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)有大小与材质完全相同的四张卡片，在它们的正面分别书写化学元素符号“H”“C”“”“”．若将四张卡片放在一个暗箱内摇匀后随机抽取两张（不放回），则抽取的卡片上面书写的符号恰好都是金属元素的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查画树状图法求概率，掌握画树状图求解概率的方法及概率公式是解题关键．利用树状图把所有可能情况一一画出，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：记“H”“C”“”“”分别为，，，； 画树状图如解图所示： 由树状图可知共有12种等可能的情况，其中抽取的两张卡片上都是金属元素的有2种，所以所求的概率是． 故选：A 21．(24-25九上·河南郑州管城区·期末)1995年11月10日，为了展现中华山河的壮美风貌，邮电部发行了一套名为《嵩山》的特种邮票，全套共4枚．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《嵩山》特种邮票，上面分别绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如醉”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的鄙禀送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．根据列表法把所有情况列举出来即可． 【详解】解：设绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如醉”的图案分别为A、B、C、D，小亮抽到的邮票的所以情况见下表： A B C D A B C D ∴总共有12种等可能的情况，符合条件的有2两种， 故小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率， 故答案为：． 22．(24-25九上·河南信阳商城县第二初级中学·期末)中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为 ． 【答案】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设《周髀算经》用A表示、《算学启蒙》用B表示、《测圆海镜》用C表示、《四元玉鉴》用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A”和B的有2种， ∴恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率． 故答案为：． 23．(24-25九上·河南洛阳·期末)在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，甲为三等分数字转盘，分别标有数字1、2、3，乙为四等分数字转盘，分别标有数字1、2、3、4，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）． (1)若单独转动甲盘，当它停止时，指针指向的数字为偶数的概率是 ； (2)李雷转动甲盘，王明转动乙盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为奇数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中指针指向的数字为偶数的结果有1种，利用概率公式即可解答； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及所得两数之和为奇数的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解∶由题意知，共有3种等可能的结果，其中指针指向的数字为偶数的结果有2，共1种，∴指针指向的数字为偶数的概率是． 故答案为∶． （2）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中所得两数之和为奇数的结果有∶、、、、、，共6种， ∴两数之和为奇数的概率为． 24．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)为庆祝党的二十大顺利召开，学校推荐了四部影片；《我和我的祖国》、《万里归途》、《建党伟业》、《建军大业》，九年级一班用抽卡片的方式决定本班观看哪部影片，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同，将这四张卡片背面朝上． (1)从4张卡片中任意抽取1张，则恰好抽到《万里归途》的概率是_________； (2)从4张卡片中任意抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到《我和我的祖国》和《建党伟业》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到《我和我的祖国》和《建党伟业》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，从4张卡片中任意抽取1张，则恰好抽到《万里归途》的概率是． 故答案为：． （2）解：四部影片《我和我的祖国》、《万里归途》、《建党伟业》、《建军大业》可分别记为甲、乙、丙、丁，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲和丙的结果有2种， ∴恰好抽到《我和我的祖国》和《建党伟业》的概率为． 地 城 考点04 由频率估计概率 25．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键．设袋子中红球有x个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于x的方程，求出x的值，从而得出结果． 【详解】解：由题意，摸到黑球的概率为． 设袋子中红球有x个， 根据题意，得 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为45个， 故答案为：45． 26．(24-25九上·河南周口西华县·期末)在大数据时代，二维码应用广泛．为方便顾客扫码，某商场将注册会员使用的二维码打印在面积为的正方形牌子上．为了估计二维码部分的面积，小明将该牌子水平放在地上，然后在牌子内随机掷点，经过大量的重复试验，发现点落入二维码部分的频率越来越稳定于，据此可以估计二维码的面积约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用频率估计概率； 直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，二维码的面积约为， 故选：B． 27．(24-25九上·河南信阳淮滨县·期末)一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了用频率估计概率，掌握“经过大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在一个常数，这个常数等于该事件发生的概率”，据此即可解答． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到白球的频率稳定在， ∴箱子里球的总个数（个）， ∴红球的个数（个）， 故答案为：4． 28．(24-25九上·河南南阳邓州·期末)一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复实验中事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近， 摸到白球的概率会接近， 袋中白球的个数为， 估计袋子中共有（个）球， 可估计袋子中黑球的个数为（个）， 故选：C． 29．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，现向长方形内随机投掷小石子（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 ． 【答案】5 【分析】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率． 首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可． 【详解】解：由题意得，不规则区域的面积是， 故答案为：5． 30．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期末)一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则可估计红球的个数约为 . 【答案】 【分析】本题考查频率与概率、已知概率求数量，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，据此计算即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率稳定在0.2左右， 可估计红球的数量为：（个）， 故答案为：． 31．(24-25九上·河南洛阳·期末)数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标记数字不同外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，记录小球上的数字后放回，试验结果如图所示，则数学课上进行的摸球试验最有可能是（   ） A．摸出标记数字为偶数的小球 B．摸出标记数字比3大的小球 C．摸出标记数字比2小的小球 D．摸出标记数字为奇数的小球 【答案】C 【分析】本题考查了频率估算概率，理解图示信息，根据频率估算概率的方法是解题的关键． 根据图示可得频率稳定在，根据概率的计算进行判定即可． 【详解】解：由图示可得频率稳定在， 不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球， ∴摸出偶数的概率为，摸出奇数的概率为， A、摸出标记数字为偶数的小球，故原选项不符合题意； B、摸出标记数字比3大的小球的概率为，故原选项不符合题意； C、摸出标记数字比2小的小球的概率为，符合题意； D、摸出标记数字为奇数的小球，故原选项不符合题意； 故选：C ． 32．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到）： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据大量的实验结果稳定在左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是． 故选：C． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率初步 4大高频考点概览 考点01 事件的分类 考点02 根据概率公式计算概率 考点03 列表法或树状图法求概率 考点04 由频率估计概率 地 城 考点01 事件的分类 1．(24-25九上·河南周口商水县·期末)一个不透明的袋子里装有大小、形状完全一样的7个红球和11个白球，则下列说法不正确的是（    ） A．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件 B．从中随机摸出8个球，可能都是红球 C．从中随机摸出10个球，一定有白球 D．从中随机摸出1个球，摸到白球的可能性更大 2．(24-25九上·河南周口川汇区·期末)下列事件中，必然事件是（   ） A．是实数， B．是实数， C．买一张电影票，座位号是3的倍数 D．两个实数相加，和是正数 3．(24-25九上·河南许昌禹州·期末)下列事件是必然事件的是（   ） A．画饼充饥 B．水涨船高 C．一箭双雕 D．缘木求鱼 4．(24-25九上·河南濮阳·期末)“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，落地后向上一面的点数之和为11”，这个事件是（    ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都有可能 5．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)下列事件是随机事件的是（   ） A．地球绕着太阳转 B．将油滴入水中，油和水相融 C．菱形的四条边相等 D．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势 6．(24-25九上·河南驻马店正阳县·期末)某网站发布的郑州市天气预报如下图所示，周六郑州市下小雨的可能性是，则“周六正阳县小雨”这一事件是（    ）    A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 7．(24-25九上·河南南阳唐河县·期末)下列事件为必然事件的是（   ） A．明天是晴天 B．一个三角形三个内角和小于 C．两个正数的和为正数 D．任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 8．(24-25九上·河南安阳内黄县·期末)下列事件为随机事件的是（   ） A．太阳绕着地球转 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．2025年有366天 D．在一个标准大气压下，水加热到时会沸腾 9．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．冬天的某一天一定会下雪 C．13个人中至少有两个人出生月份相同 D．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 10．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（   ） A．手可摘星辰 B．春风吹又生 C．举头望明月 D．鱼戏莲叶东 11．(24-25九上·河南南阳宛城区·期末)下列事件中，是必然事件的是（   ） A．三条线段可以组成一个三角形 B．400人中至少有两个人的生日在同一天 C．向空中抛一枚硬币，正面朝上 D．经过有交通信号灯的路口，遇见红灯 地 城 考点02 根据概率公式计算概率 12．(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)不透明的箱子里有4张大小相同的卡片，上面分别印有2024年巴黎奥运会的4个不同体育项目的图标（如图所示），从中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上的图标是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 13．(24-25九上·河南郑州巩义·期末)在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率的值为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)不透明的袋子装有除颜色外其他都相等的小球共16个，其中有8个黄球，6个绿球，余下的为红球，从中任取一个，则取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 15．(24-25九上·河南驻马店西平县·)如图，在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以构成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点的概率是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点03 列表法或树状图法求概率 16．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)游戏规则如下：掷两次质地均匀的骰了，掷得的点数之和恰好为所选的数的获胜！如果你参与这个游戏，要想获胜可能性最大，你会选择（    ）． A．6 B．7 C．8 D．9 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 17．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)暑假期间，语文老师要求全班同学阅读四大名著．并从中选取两种书来写阅读心得．请你用列表法或者树状图法求小明选取的恰好是《西游记》和《水浒传》的概率． A B C D A B C D 18．(24-25九上·河南郑州巩义·期末)如图所示，李老师设计的一个电路图，有四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接电线组成．所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光．请解答下列数学问题． (1)下列说法正确的有______（多选）． A．闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件； (2)当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 19．(24-25九上·河南郑州高新技术产业开发区·期末)某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动．两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为（   ） A． B． C． D． 20．(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)有大小与材质完全相同的四张卡片，在它们的正面分别书写化学元素符号“H”“C”“”“”．若将四张卡片放在一个暗箱内摇匀后随机抽取两张（不放回），则抽取的卡片上面书写的符号恰好都是金属元素的概率为（    ） A． B． C． D． 21．(24-25九上·河南郑州管城区·期末)1995年11月10日，为了展现中华山河的壮美风貌，邮电部发行了一套名为《嵩山》的特种邮票，全套共4枚．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《嵩山》特种邮票，上面分别绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如醉”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的鄙禀送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率是 ． A B C D A B C D 22．(24-25九上·河南信阳商城县第二初级中学·期末)中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为 ． 23．(24-25九上·河南洛阳·期末)在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，甲为三等分数字转盘，分别标有数字1、2、3，乙为四等分数字转盘，分别标有数字1、2、3、4，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）． (1)若单独转动甲盘，当它停止时，指针指向的数字为偶数的概率是 ； (2)李雷转动甲盘，王明转动乙盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为奇数的概率． 1 2 3 4 1 2 3 24．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)为庆祝党的二十大顺利召开，学校推荐了四部影片；《我和我的祖国》、《万里归途》、《建党伟业》、《建军大业》，九年级一班用抽卡片的方式决定本班观看哪部影片，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同，将这四张卡片背面朝上． (1)从4张卡片中任意抽取1张，则恰好抽到《万里归途》的概率是_________； (2)从4张卡片中任意抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到《我和我的祖国》和《建党伟业》的概率． 地 城 考点04 由频率估计概率 25．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 26．(24-25九上·河南周口西华县·期末)在大数据时代，二维码应用广泛．为方便顾客扫码，某商场将注册会员使用的二维码打印在面积为的正方形牌子上．为了估计二维码部分的面积，小明将该牌子水平放在地上，然后在牌子内随机掷点，经过大量的重复试验，发现点落入二维码部分的频率越来越稳定于，据此可以估计二维码的面积约为（   ） A． B． C． D． 27．(24-25九上·河南信阳淮滨县·期末)一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为 ． 28．(24-25九上·河南南阳邓州·期末)一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 29．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，现向长方形内随机投掷小石子（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 ． 30．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期末)一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则可估计红球的个数约为 . 31．(24-25九上·河南洛阳·期末)数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标记数字不同外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，记录小球上的数字后放回，试验结果如图所示，则数学课上进行的摸球试验最有可能是（   ） A．摸出标记数字为偶数的小球 B．摸出标记数字比3大的小球 C．摸出标记数字比2小的小球 D．摸出标记数字为奇数的小球 32．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到）： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $