专题07 数列7考点（期末真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题07 数列 7大高频考点概览 考点 01 等差数列基本量的计算​ 考点 02 等差数列的性质​ 考点 03 等比数列基本量的计算​ 考点 04 等比数列的性质​ 考点 05 数列递推式​ 考点 06 等差数列与等比数列的综合​ 考点 07 数列的应用 地 城 考点01 等差数列基本量的计算 1．（2023秋•石景山区期末）已知为等差数列的前项和，若，，则　　 A．24 B．26 C．28 D．30 2．（2023秋•房山区期末）记为等差数列的前项和，已知，，则　　． 3．（2024秋•东城区校级期末）设等差数列 的前项和为，且，则 的最大值为 A． B．3 C．9 D．36 故选：． 4．（2024秋•海淀区期末）已知等差数列的前项和为，，则　　 A．7 B．21 C．28 D．42 5．（2024秋•东城区期末）大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中，对于，2，3，，数列，，是公差为的等差数列，且也是等差数列．已知，，，则 　　；的前9项和等于 　　． 6．（2023秋•丰台区期末）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积，，，（单位：依次成等差数列，若，，则　　 A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5 地 城 考点02 等差数列的性质 7．（2024秋•丰台区期末）各项均为正整数的数列2，3，4，，，20，30，40为递增数列．从该数列中任取4项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对的个数为　　 A．73 B．75 C．76 D．78 8．（2023秋•大兴区期末）设无穷等差数列的公差为，集合，．则　　 A．不可能有无数个元素 B．当且仅当时，只有1个元素 C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 9．（2024秋•北京校级期末）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合，，给出下列四个结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素． 其中正确结论的序号是 　　 ． 地 城 考点03 等比数列基本量的计算 10．（2023秋•大兴区期末）设是等比数列，，，则　　． 11．（2023秋•东城区期末）设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，，则　　 A．6 B．8 C．12 D．14 12．（2023秋•西城区期末）设是首项为正数，公比为的无穷等比数列，其前项和为．若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 13．（2024秋•东城区期末）设等比数列的公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为　　 A．， B．， C．， D．， 14．（2024秋•顺义区期末）已知等比数列的前项和为，则的公比为 　　；记，则的最小值为 　　． 15．（2024秋•房山区期末）《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺．问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布 　　尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为 　　． 16．（2024秋•海淀区期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加．记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）．已知（1），（1），则最大时，的值为　　 （参考数据：， A．7 B．8 C．9 D．10 地 城 考点04 等比数列的性质 17．（2023秋•通州区期末）现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示．若点，分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•海淀区期末）已知是公比为的等比数列，为其前项和．若对任意的，恒成立，则　　 A．是递增数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是递减数列 19．（2024秋•石景山区期末）首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列． 其中所有正确结论的序号是 　　． 20．（2024秋•朝阳区期末）设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： ①若，则是间隔递减数列； ②若，则是间隔递减数列； ③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是4． 其中所有正确结论的序号是　　 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 地 城 考点05 数列递推式 21．（2024秋•丰台区期末）已知数列的前项和为，且，，则　　 A．7 B．13 C．18 D．63 22．（2024秋•昌平区期末）已知数列的前项和为，，则数列的通项公式 　　． 23．（2023秋•昌平区期末）已知数列的前项和满足，且，，成等差数列，则　　 ；　　 ． 24．（2024秋•通州区期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，下列说法正确的是 A．当时，数列为递减数列 B．数列不可能为等比数列 C．当，，都有 D．当时，，，都有 25．（2024秋•西城区期末）已知无穷数列满足给出下列四个结论： ①存在，使得集合中有无穷多个元素； ②存在，使得集合中有有限个元素； ③对于任意的，集合中至多有一个元素； ④当时，集合． 其中所有正确结论的序号是 　　． 26．（2023秋•昌平区期末）已知数列，，．给出下列四个结论： ①； ②； ③为递增数列； ④，使得． 其中所有正确结论的序号是 　　． 27．（2023秋•海淀区期末）已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为，则能使得为某一个等差数列的前项和，2，的一组，的值为　　，　　． 28．（2023秋•石景山区期末）在数列中，，给出下列四个结论： ①若，则一定是递减数列； ②若，则一定是递增数列； ③若，，则对任意，都存在，使得； ④若，，且对任意，都有，则的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 　　． 29．（2023秋•朝阳区期末）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义则，，，，是的一列近似值．当，时，给出下列四个结论： ①； ②； ③，； ④，． 其中所有正确结论的序号是 　　． 地 城 考点06 等差数列与等比数列的综合 30．（2023秋•朝阳区期末）已知等差数列的公差为2，为其前项和，且，，成等比数列，则　　，　　． 31．（2024秋•昌平区期末）已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列． 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，，，不是等差数列； ④存在数列，对任意的，，，且，使得，，不能构成等比数列． 其中所有正确结论的序号是 　　 ． 地 城 考点07 数列的应用 32．（2024秋•东城区校级期末）一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断： ①对于数列，若，，2，3，，则为周期数列； ②若满足：，，则为周期数列； ③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立； ④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列． 其中所有正确判断的序号是 　　． 33．（2024秋•通州区期末）定义：若正整数能表示成，为正整数且的形式，则称为“型数”，也称具有“结构”．若数列中的项均为“型数”，则称数列为“型数列”． （Ⅰ）写出7，14，21，28这四个数中的“型数”； （Ⅱ）若为等差数列，且，，求证中任意一项均不为“型数”； （Ⅲ）若数列，均为“型数列”，设，求证数列为“型数列”． 34．（2024秋•东城区期末）已知有穷正整数数列，，，满足：，2，，，且当，，，时，总有．定义数列，，，，其中，，3，，．当时，称数列具有性质． （Ⅰ）判断下列数列是否具有性质（1）； ①4，3，2，1；②1，2，3，5，4． （Ⅱ）已知数列具有性质，求的最小值； （Ⅲ）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由． 35．（2024秋•朝阳区期末）已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列： ①；② （Ⅰ）已知和分别为数列和数列，且，，求和； （Ⅱ）已知正整数数列是数列． 无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，； 求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值． 36．（2024秋•海淀区期末）已知为各项均为整数的无穷递增数列，且，对于中的任意一项，在中都存在两项，，使得或． （Ⅰ）若，，写出的所有可能值； （Ⅱ）若． ①当时，求的最大值； ②当时，求的最小值． 37．（2024秋•昌平区期末）若有穷数列，，，，，满足如下两个性质，则称数列具有性质 ①； ②，2，，． （Ⅰ）当，时，写出两个具有性质的数列； （Ⅱ）给定正整数，若数列，，，，具有性质，且．将的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数列，记为，数列的所有项的和为． 证明：数列为等差数列； 从，，，中任意取个数构成集合，使得对任意的，存在，满足能被整除，求的最小值． 38．（2024秋•石景山区期末）项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列： ①（其中； ②，2，，． （Ⅰ）判断数列，，，1，1是否为一个满足“绝对值关联”的5阶数列？是否为一个满足“绝对值1关联”的5阶数列？说明理由； （Ⅱ）若数列为一个满足“绝对值关联”的6阶数列，证明：的最小值为； （Ⅲ）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值． 39．（2024秋•西城区期末）已知数列，，，为个数1，2，，的一个排列，其中，且． 若在集合，2，，中至少有一个元素使得，则称数列具有性质． （Ⅰ）当时，判断数列，5，3，4，6，2和数列，5，2，4，1，3是否具有性质； （Ⅱ）若数列和，2，，均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数，数列，，，不具有性质； （Ⅲ）在所有由1，2，，的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，证明：对于任意，． 40．（2024秋•丰台区期末）给定数列，，，和序列，，，，其中，，，，2，，满足：①，，2，3，；②．对数列进行如下次变换：将的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作（A）；将（A）的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作（A）；；以此类推，得到数列（A），简记为（A）． （1）已知数列，8，4，4，写出一个序列，，使得（A）为5，6，6，6； （2）对数列，6，7，8，是否存在序列，，，，使得（A）中恰有三项相等？若存在，写出一个序列，若不存在，说明理由； （3）对数列，7，14，，若存在序列，，，，使得（A）中恰有三项相等，求的所有取值． 41．（2024秋•房山区期末）已知和都是无穷数列．若存在正数，对任意的，均有，则称数列与具有关系（A）． （Ⅰ）分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系（1），直接写出结论； ①，，； ②，． （Ⅱ）设，，，试判断数列与是否具有关系（A）？如果是，求出的最小值，如果不是，说明理由； （Ⅲ）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与具有关系（1），且，，，中至少有100个正数，求的取值范围． 42．（2024秋•东城区校级期末）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列，，，，，，满足如下三个性质： ①，，2，，，且，2，，； ②，2，，； ③与不同时在数对序列中． （Ⅰ）当，时，写出所有满足的数对序列； （Ⅱ）当时，证明：； （Ⅲ）当为奇数时，记的最大值为，求． 43．（2024秋•北京校级期末）已知，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列． （Ⅰ）判断，1，4是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； （Ⅱ）若，，，为连续可表数列，求证：的最小值为4； （Ⅲ）若，，，为连续可表数列，且，求证：． 44．（2023秋•大兴区期末）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列．记． （1）判断无穷数列和是否是数列，并说明理由； （2）若是数列，证明：数列中存在小于1的项； （3）若是数列，证明：存在正整数，使得． 45．（2023秋•昌平区期末）已知，，，为有穷正整数数列，且，集合，0，．若存在，，2，，，使得，则称为可表数，称集合，，，2，，为可表集． （1）若，，，2，，，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，2，，，证明：； （3）设，，2，，，若，2，，，求的最小值． 46．（2023秋•东城区期末）若有穷数列，，，满足：，，2，，，则称此数列具有性质．（Ⅰ）若数列，，，2，6具有性质，求，，的值； （Ⅱ）设数列具有性质，且，为奇数，当，时，存在正整数，使得，求证：数列为等差数列； （Ⅲ）把具有性质，且满足，，为常数）的数列构成的集合记作．求出所有的，使得对任意给定的，，当数列时，数列中一定有相同的两项，即存在，，． 47．（2023秋•石景山区期末）对于项数为的数列，若数列满足，，，，，2，，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列． （Ⅰ）若各项均为正整数的数列的数列是3，4，4，5，写出所有的数列； （Ⅱ）证明：若数列中存在使得，则存在，2，，使得成立； （Ⅲ）数列是的数列，数列是的数列，定义，其中求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 48．（2023秋•朝阳区期末）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． （Ⅰ）若，写出，，及的值； （Ⅱ）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （Ⅲ）设集合，求证：且． 49．（2023秋•通州区期末）已知数列，，，为有穷正整数数列．若数列满足如下两个性质，则称数列为的减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有个． （Ⅰ）写出所有4的1减数列； （Ⅱ）若存在的6减数列，证明：； （Ⅲ）若存在2024的减数列，求的最大值． 50．（2023秋•海淀区期末）对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中，，2，，．记．设集合，或，，，2，，，记（A）为集合所含元素的个数． （Ⅰ）对以下两个数表，，写出，，，的值； （Ⅱ）若（1），（2），，中恰有个正数，（1），（2），，中恰有个正数． 求证：（A）； （Ⅲ）当时，求的最小值． 51．（2023秋•丰台区期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”． （Ⅰ）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由； ①； ②． （Ⅱ）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：； （Ⅲ）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值． 52．（2023秋•房山区期末）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“，，”． （Ⅰ）若具有性质“，2，”，且，，，求； （Ⅱ）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“，1，”，并说明理由； （Ⅲ）设既具有性质“，1，”，又具有性质“，1，”，其中，，，求证：具有性质“”． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 7大高频考点概览 考点 01 等差数列基本量的计算​ 考点 02 等差数列的性质​ 考点 03 等比数列基本量的计算​ 考点 04 等比数列的性质​ 考点 05 数列递推式​ 考点 06 等差数列与等比数列的综合​ 考点 07 数列的应用 地 城 考点01 等差数列基本量的计算 1．（2023秋•石景山区期末）已知为等差数列的前项和，若，，则　　 A．24 B．26 C．28 D．30 【解答】解：由题意，， 所以， 故选：． 2．（2023秋•房山区期末）记为等差数列的前项和，已知，，则　　． 【解答】解：设等差数列的公差为， ，， ， 解得， ． 故答案为：． 3．（2024秋•东城区校级期末）设等差数列 的前项和为，且，则 的最大值为 A． B．3 C．9 D．36 【解答】解：设等差数列 的公差为，由，得， 则，， 则 的最大值为9． 故选：． 4．（2024秋•海淀区期末）已知等差数列的前项和为，，则　　 A．7 B．21 C．28 D．42 【解答】解：因为等差数列中，， 所以， 则． 故选：． 5．（2024秋•东城区期末）大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中，对于，2，3，，数列，，是公差为的等差数列，且也是等差数列．已知，，，则 　　；的前9项和等于 　　． 【解答】解：大衍数列中，对于，2，3，，数列，，是公差为的等差数列，且也是等差数列， ，，， ， ，，是公差为的等差数列， ， ，，为公差为的等差数列， 在）， ，， 解得，， ， 由，，成公差为的等差数列，得， 的前9项和为： ． 故答案为：12；140． 6．（2023秋•丰台区期末）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积，，，（单位：依次成等差数列，若，，则　　 A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5 【解答】解：为等差数列， ，故 ． 故选：． 地 城 考点02 等差数列的性质 7．（2024秋•丰台区期末）各项均为正整数的数列2，3，4，，，20，30，40为递增数列．从该数列中任取4项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对的个数为　　 A．73 B．75 C．76 D．78 【解答】解：各项均为正整数的数列2，3，4，，，20，30，40为递增数列， 由题意可知的取值可从6，7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18中选取， 的取值可从7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18，19中选取，且， 当时，的取法有12种；当时，的取法有11种； 当时，的取法有10种；当时，的取法有9种； 当时，的取法有8种，依次类推，当时，的取法有1种； 则的可能取法有， 其中当，时，2，4，6，8成等差数列，不合题意； 当，时，2，4，8，16成等比数列，不合题意； 当，时，2，8，14，20成等差数列，不合题意； 故满足题意的的取法有（种． 故选：． 8．（2023秋•大兴区期末）设无穷等差数列的公差为，集合，．则　　 A．不可能有无数个元素 B．当且仅当时，只有1个元素 C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 【解答】解：对于，不妨令，则，则，由于的周期为，且对称轴为，，则对任意的，，，，，必有，当有无穷项时，中有无数元素，错误； 对于，令，此时，此时，中只有一个元素0，错误； 对于，若中只有两个元素，根据的周期性与中心对称性，的值必一正一负，因为若两个值都为正，必不满足等差数列的定义，所以该两个数的乘积必为负，错误； 对于，当时，在的一个周期，内，取，此时，比如取，此时，，，两两不相等，此时有5个元素；而结合的周期为可知，必有必周期性重复出现，所以中最多有个元素； 再证明和为0， ，正确． 故选：． 9．（2024秋•北京校级期末）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合，，给出下列四个结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素． 其中正确结论的序号是 　　 ． 【解答】解：对于①，，均为等差数列，，，不为常数列且各项均不相同， 故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点， 所以中至多一个元素，故①正确； 对于②，令，，满足，均为等比数列， 但当为偶数时，，此时中有无穷多个元素，故②错误； 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因为，单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时，即， 否则， 因为，单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 若，， 则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 故不可能有4个不同的正数解，故③正确． 对于④，因为为单调递增，为递减数列，，，不为常数列且各项均不相同， 前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势， 两者至多一个交点，故④正确． 故答案为：①③④． 地 城 考点03 等比数列基本量的计算 10．（2023秋•大兴区期末）设是等比数列，，，则　　． 【解答】解：因为等比数列中，，， 则， 所以． 故答案为：16． 11．（2023秋•东城区期末）设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，，则　　 A．6 B．8 C．12 D．14 【解答】解：设等比数列的公比为， 则，， 则，即，解得， 故． 故选：． 12．（2023秋•西城区期末）设是首项为正数，公比为的无穷等比数列，其前项和为．若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 【解答】解：等比数列是首项为正数，公比为的无穷等比数列，且存在无穷多个正整数，使． 当时，结合可知的所有项都是正数，不存在正整数，使，所以， 由等比数列的前项和公式，得，，有以下三种情况： ①当时，，，结合可得对任意成立， 此时不存在正整数，使，不符合题意． ②当时，，当为奇数时，，当为偶数时，， 因此，当为偶数时，，即存在无穷多个正整数，使，符合题意． ③当时，若为奇数，由，，，得到； 若为偶数，由，，，得到， 因此，当为偶数时，，即存在无穷多个正整数，使，符合题意． 综上所述，存在无穷多个正整数，使，则，即的取值范围是，． 故选：． 13．（2024秋•东城区期末）设等比数列的公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：对于，，，， 数列是首项为， 公比的递减等比数列， ， 随着的增大，逐渐减小，无最小值，故错误； 对于，，， ， 当时，， ， 对任意正整数，恒成立，有最上值，故正确； 对于，，或，，， ，随着的增大，逐渐减小，故均错误． 故选：． 14．（2024秋•顺义区期末）已知等比数列的前项和为，则的公比为 　　；记，则的最小值为 　　． 【解答】解：等比数列的前项和为， 则，， 所以的公比为2，， 故， 当或时，取得最小值． 故答案为：2；． 15．（2024秋•房山区期末）《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺．问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布 　　尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为 　　． 【解答】解：由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列， 数列的公比为2，前5列的和为5， 设首项为，前项和为， 则由题意得， ， ， 该女子第5天所织布的尺数为， 令， 解得， ． 要织布50尺，该女子所需的天数至少为9天． 故答案为：；9． 16．（2024秋•海淀区期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加．记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）．已知（1），（1），则最大时，的值为　　 （参考数据：， A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：由题意可知是首项为1200，公差为200的等差数列，是首项为1100，公比为1.1的等比数列， 则， ， 令， 则， 令，解得， 故当时，，单调递增， 当时，单调递减， （7），（8）， （8）（7）， （8）（7）， 故当时，最大． 故选：． 地 城 考点04 等比数列的性质 17．（2023秋•通州区期末）现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示．若点，分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：圆都外切，要求的最大值，只要求第3个圆到第10个圆个圆的直径之和， 即为，由等比数列的前项和的公式可得， 的最大值为． 故选：． 18．（2023秋•海淀区期末）已知是公比为的等比数列，为其前项和．若对任意的，恒成立，则　　 A．是递增数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是递减数列 【解答】解：， 则恒成立， 若， 则可能为正也可能为负，不成立， 则，， 当，，是递减数列， 当，，是递减数列． 故选：． 19．（2024秋•石景山区期末）首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：对于①，当，，此时是等比数列，①正确； 对于②，设，，则为奇数， 当为偶数时为偶数，则为奇数， 当为奇数时为偶数，则为奇数， 所以当且是奇数时，也为奇数，同理，也为奇数；所以②正确； 对于③，因为，则，当时，，所以，同理，故不存在使得，③错误； 对于④，，令函数， 因为，函数是开口向上的二次函数，若，则函数的最大值在端点处取得， 即最大值为（1）或（3），又因为，所以（1），（3）， 则当时，，即， 又因为当时，， 所以当时，，则，同理可得，， 所以此时是递减数列，所以④正确． 故选：①②④． 20．（2024秋•朝阳区期末）设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： ①若，则是间隔递减数列； ②若，则是间隔递减数列； ③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是4． 其中所有正确结论的序号是　　 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：对于①，因为，则数列为单调递减数列，即对任意恒成立，此时，，满足题中条件，①对； 对于②，若， 假设数列是间隔递减数列，则存在， 使得，即， 若为奇数，则有， 可得，因为， 显然当为奇数时，合乎题意； 当为偶数时，，不等式不成立，故为奇数； 若为偶数，则有， 可得当为奇数时，不成立，故假设不成立，即数列不是间隔递减数列，②错； 对于③，若， 因为， 则，所以，数列是间隔递减数列， 假设存在正整数，使得，即， 可得， 由于，当且仅当且时，等号成立， 当时，，这与为正整数矛盾，故，所以，， 解得，所以，若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是4，③对． 故选：． 地 城 考点05 数列递推式 21．（2024秋•丰台区期末）已知数列的前项和为，且，，则　　 A．7 B．13 C．18 D．63 【解答】解：因为，，所以， 所以数列是公比为的等比数列， 所以，解得， 所以． 故选：． 22．（2024秋•昌平区期末）已知数列的前项和为，，则数列的通项公式 　　． 【解答】解：当时，由，得，； 当时，，， 两式作差得，． 则数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 则． 故答案为：． 23．（2023秋•昌平区期末）已知数列的前项和满足，且，，成等差数列，则　　 ；　　 ． 【解答】解：由，得， 两式相减得，即， 是以为公比的等比数列， 由，，成等差数列，得， 即，解得， ． 故答案为：2，． 24．（2024秋•通州区期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，下列说法正确的是 A．当时，数列为递减数列 B．数列不可能为等比数列 C．当，，都有 D．当时，，，都有 【解答】解：对于，当时，可得，即． 因为数列的各项均为正数，解这个方程， 再由，即， 解得， ，，， 可以发现，所以数列不为递减数列，所以错误； 由，因为，，得出，即． 又由，解出， 由推出，进一步得到， 结合得出， 从而得到时，， 同理得到时，；时，． 当时，由变形为，得出， 进而得到，推出，即， 所以时，；同理时，． 对于，时，为等比数列，所以错误； 对于，当时，根据前面分析的单调性，所以在时恒成立，且单调递减． 当时，因为单调递减且，所以恒成立，进而，所以正确； 对于，当时，且， 当时，因为数列单调递增且，所以不存在使，所以错误． 故选：． 25．（2024秋•西城区期末）已知无穷数列满足给出下列四个结论： ①存在，使得集合中有无穷多个元素； ②存在，使得集合中有有限个元素； ③对于任意的，集合中至多有一个元素； ④当时，集合． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：对于①，假设存在，使得集合中有无穷多个元素， 当时，，所以， 因为，所以， 所以， 这表明，当时，后面的项不可能再无限次地小于0，故①不正确； 对于②，假设存在，使得集合中有有限个元素， 由，当时，， ． 若，则数列从第二项起都大于2，即集合中只有有限个元素，故②正确； 对于③，假设当时，，则， 所以，因为，所以， 所以， 所以对于任意的，集合中至多有一个元素， 故③正确； 对于④，当时，，，， 于是可猜想得出恒成立． 下面利用数学归纳法证明如下： 当时，，，满足上式； 假设当时，成立， 则， 所以． 又因为，所以当时也成立． 故当时，集合．故④正确． 故答案为：②③④． 26．（2023秋•昌平区期末）已知数列，，．给出下列四个结论： ①； ②； ③为递增数列； ④，使得． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：根据题意可知，因为，所以即①正确； 由，可得，得，所以，即，故③不正确； 根据递推式有，，即， 同理可得，，，，从而可得，即，故②正确； 因为，所以，则，依次可知，所以，故成立，④正确． 故答案为：①②④． 27．（2023秋•海淀区期末）已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为，则能使得为某一个等差数列的前项和，2，的一组，的值为　　，　　． 【解答】解：根据题意，等差数列中，设， 则， 则有， 故， 若为某一个等差数列的前项和，则，即， 必有， 故首项与公差相等的等差数列都符合题意，如，． 故答案为：3，3（答案不唯一）． 28．（2023秋•石景山区期末）在数列中，，给出下列四个结论： ①若，则一定是递减数列； ②若，则一定是递增数列； ③若，，则对任意，都存在，使得； ④若，，且对任意，都有，则的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：①若，则，可得数列是公比为的等比数列， 则不是递减数列，故①错误； ②若，则， 由的导数为，当时，，函数递增；当时，，函数递减，则函数的最小值为1， 即有，即，即有，即有，则一定是递增数列，故②正确； ③若，，， 可得，，，可得数列递增， 则对任意，都存在，使得，故③正确； ④若，，当时，， 又，且对任意，都有， 可得，， ，即恒成立，则，即的最大值为，故④正确． 故答案为：②③④． 29．（2023秋•朝阳区期末）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义则，，，，是的一列近似值．当，时，给出下列四个结论： ①； ②； ③，； ④，． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】对于①，，故①正确； 对于②，，， ，故②错误； 为了说明选项③④，我们先来讨论，与的关系， ，，所以， 即，同时有， 因此数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于． 对于③，当时， ， 由于数列从第3项起，奇次项均大于，以及每一项均为正，所以， 于是，时，相邻奇次项之差同号，又由于，， 所以，即， 从而时，恒有，故③错误； 对于④，当时，，，所以，， 从而有， 利用均值不等式有， 代入上式得， 即，故④正确． 故答案为：①④． 地 城 考点06 等差数列与等比数列的综合 30．（2023秋•朝阳区期末）已知等差数列的公差为2，为其前项和，且，，成等比数列，则　　，　　． 【解答】解：根据题意可得， ， ，解得， ， ． 故答案为：8；． 31．（2024秋•昌平区期末）已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列． 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，，，不是等差数列； ④存在数列，对任意的，，，且，使得，，不能构成等比数列． 其中所有正确结论的序号是 　　 ． 【解答】解：对①，设等差数列的公差为，首项为， 等比数列的公比为，首项为， 假设是等比数列，则， 又，， ，，，， 的平方不等于， 所以数列不是等比数列，所以①正确； 对②，取是递增等差数列，是递增等比数列， 所以，，，， 所以数列不是递增数列，所以②错误； 对③，假设，，是等差数列，则， 又，，， 所以， 化简得，解得，这与不是常数列矛盾， 所以对任意的，，，不是等差数列，所以③正确； 对④，取， 则，，， 若，，能构成等比数列， 则， 化简得，所以， 解得，这与相矛盾，所以④正确． 故答案为：①③④． 地 城 考点07 数列的应用 32．（2024秋•东城区校级期末）一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断： ①对于数列，若，，2，3，，则为周期数列； ②若满足：，，则为周期数列； ③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立； ④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列． 其中所有正确判断的序号是 　　． 【解答】解：对于①，若为：1，2，1，1，1，2，2，1，1，2，1，2，2，2，，满足题意，但是数列不是周期数列，故①错误； 对于②，由，可知，，，，，，，， 即数列的偶数项都相等，奇数项都相等， 所以当时，能使得当取每一个正整数时，都有， 故数列为周期数列，故②正确； 对于③，若为周期数列，则一个周期能必存在最大值，它是有界的， 故存在正整数，使得恒成立，故③正确； 对于④，首项为1，公比为2的等比数列：1，2，4，8， ， 可任取一个符合题意的数，不妨取，满足题意， 但很明显数列：1，2，4，8不是周期数列，故④错误． 故答案为：②③． 33．（2024秋•通州区期末）定义：若正整数能表示成，为正整数且的形式，则称为“型数”，也称具有“结构”．若数列中的项均为“型数”，则称数列为“型数列”． （Ⅰ）写出7，14，21，28这四个数中的“型数”； （Ⅱ）若为等差数列，且，，求证中任意一项均不为“型数”； （Ⅲ）若数列，均为“型数列”，设，求证数列为“型数列”． 【解答】解：（Ⅰ）7，14，21，28这四个数中的“型数”有7，21，28． ；；． （Ⅱ）证明：因为为等差数列，且，， 所以有，． 所以． 下面用反证法证明：假设存在，使为” 型数”， 则有． ①若，均可以被3整除，则一定被3整除， 与矛盾． ②若，，则， 与矛盾． ③若，， 则 ， 与矛盾． ④若，，结论与②同． ⑤若，，结论与③同． ⑥若，， 则 ， 与矛盾． ⑦若，，则结论与⑥同． 综上，中任意一项均不为“型数”． （Ⅲ）证明：因为数列，均为“型数列”， 所以有，为正整数且，，为正整数且， 不妨设，， ①当时，则存在正整数，以及既约分数， 使得，，，， 则 ． ② ． ③当时，则， ， 由①②③可知为“型数”，所以数列为“型数列”． 34．（2024秋•东城区期末）已知有穷正整数数列，，，满足：，2，，，且当，，，时，总有．定义数列，，，，其中，，3，，．当时，称数列具有性质． （Ⅰ）判断下列数列是否具有性质（1）； ①4，3，2，1；②1，2，3，5，4． （Ⅱ）已知数列具有性质，求的最小值； （Ⅲ）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）①由题意得，，，， 因为，所以数列不具有性质（1）； ②由题意得，，，，所以数列具有性质（1）； （Ⅱ）由已知，设，其中，，3，，，可得， 又，所以， 即， 因为，， 所以，，3，，， 所以与的奇偶性相同， 因为， 所以为偶数， 又，所以， 又数列，2，3，4，5，6，8，7， 此时，1，2，2，3，3，5，2，， 综上，的最小值为2； （Ⅲ）由已知，，且， 则， 因为数列具有性质，即， 所以， 记， 所以， 因为，，，，2，，， 所以， 当时，， 所以， 当时，数列，17，16，15，14，13，12，11，1，8，9，6，7，4，5，3，2，10， 此时，35，51，66，80，93，105，116，117，125，134，140，147，151，156，159，161，171， ，，所以数列，17，16，15，14，13，12，11，1，8，9，6，7，4，5，3，2，10满足题意． 35．（2024秋•朝阳区期末）已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列： ①；② （Ⅰ）已知和分别为数列和数列，且，，求和； （Ⅱ）已知正整数数列是数列． 无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，； 求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值． 【解答】解：（Ⅰ）根据数列的定义可知： 则．，，； 根据数列的定义可知：，， 则，，，． （Ⅱ）证明：假设结论不成立，不妨设为满足且使得取最小的某个整数． 由，可知，因为，是奇数， 从而，，且，这与最小性矛盾， 所以对于任意的，． 假设及的取值已使得为数列且每一个项均为整数． 由中所定义出的构成数列， 首先证明满足对任意的，有， 若，则，从而； 若，则． 分三种情况讨论： ①若，则故； ②若，则故； ③若，则． 又因为为奇数，所以也为奇数，从而有； 综上所述，对任意的，有， 又根据的结论可知必存在某个，使得对于任意的，均有； 由于当时，总有，于是，数列中存在无穷多项小于， 从而，可取某个，使得， 由前面的证明可知只有当目时， 才可使得及同时成立，所以． 又因为对任意的，有，所以对任意，有， 进而对任意．均为2的次幂． 由，依次得，，，， 因此也为2的次幂． 显然，只有当时才成立． 因此，只能为2． 对，若，则数列的各项为，，，4，2，8，4，2，8，，满足要求． 当时，数列的各项为2，8，4，2，8，，也符合题意． 若，则，，不满足要求． 综上，，且此时的全部可能取值为，2，． 36．（2024秋•海淀区期末）已知为各项均为整数的无穷递增数列，且，对于中的任意一项，在中都存在两项，，使得或． （Ⅰ）若，，写出的所有可能值； （Ⅱ）若． ①当时，求的最大值； ②当时，求的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）或， 当时，因为，符合条件； 则或或或， 又因为为各项均为整数的无穷递增数列，则或． 当时，则或或或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当或27，此时不满足数列为递增数列，故舍去， 综上，的所有可能值为7，9，15，17． （Ⅱ）①的最大值为1013，理由如下： 当时符合题意且． 假设中存在偶数，且首个偶数为， 因为为递增数列，所以存在，使得或， 进而有．所以，为奇数，此时，均不为偶数，与为偶数矛盾． 所以中各项均为正奇数， 又因为为递增数列，所以， 即，． 综上的最大值为1013． ②的最小值为7，理由如下： 首先证明时存在符合条件的 当前7项为，2，3，9，27，45，时， 且可构造的后续项使其符合题意（如可取． 其次证明． 由题，当时，，， 所以，， 进而有， 所以，，， 所以． 最后证明． 假设存在符合题意且， 因为，所以当时，， 所以存在，有，从而， 所以，所以，从而，因为， 所以当时，， 所以存在，有，从而为整数， 又因为，所以为5的倍数，与矛盾． 综上有的最小值为7． 37．（2024秋•昌平区期末）若有穷数列，，，，，满足如下两个性质，则称数列具有性质 ①； ②，2，，． （Ⅰ）当，时，写出两个具有性质的数列； （Ⅱ）给定正整数，若数列，，，，具有性质，且．将的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数列，记为，数列的所有项的和为． 证明：数列为等差数列； 从，，，中任意取个数构成集合，使得对任意的，存在，满足能被整除，求的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）满足条件的数列为：2，4，8或2，4，0．（答案不唯一）． （Ⅱ）证明：因为数列具有性质，，且， 设，，，，2，，， 所以， 所以由排列组合可知数列有项， 因为，，2，，，所以数列中没有相等的项． 对于数列中的任意两项，， 设，， 则， 由，，，得为4的倍数， 即数列中任意两项的差为4的倍数． 因为数列是将的所有可能取值从小到大排列构成的数列， 所以， 计算得数列中的最小项为， 数列中的最大项为． ， 所以数列． 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列． 当时，由可得，数列中的所有项的和， 所以，，，，，，，． 当时，若集合，，，，对于，则不存在满足要求； 当时，对任意的，存在，且，使得能被整除， 因此对任意的，存在，满足能被整除． 综上，的最小值为7． 38．（2024秋•石景山区期末）项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列： ①（其中； ②，2，，． （Ⅰ）判断数列，，，1，1是否为一个满足“绝对值关联”的5阶数列？是否为一个满足“绝对值1关联”的5阶数列？说明理由； （Ⅱ）若数列为一个满足“绝对值关联”的6阶数列，证明：的最小值为； （Ⅲ）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）数列，，，1，1不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列． 因为． 数列，，，1，1是一个满足“绝对值1关联”的5阶数列． 因为，且，满足两个性质， 所以由新定义可知：数列，，，1，1是一个满足“绝对值1关联”的5阶数列． （Ⅱ）因为数列为一个满足“绝对值关联”的6阶数列， 所以，即． 又因为，所以，同时有， 所以，即． 又因为数列，，，，，是一个满足“绝对值关联”的6阶数列， 所以的最小值为． （Ⅲ）因为数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列， 所以，2，，，且， 不妨设，，，，，，，，，其中， 设，，不妨设（否则用代替即可）， ， 所以，． 因为，， 所以且，即不小于和中的最大者， 当或时，和中的最大者均为1，所以； 当或时，或，所以． 综上所述，，当数列前项为正，后项为负时取等号， 此时当数列可为：1，1，，1，，，，符合题意． 故的最小值为1． 39．（2024秋•西城区期末）已知数列，，，为个数1，2，，的一个排列，其中，且． 若在集合，2，，中至少有一个元素使得，则称数列具有性质． （Ⅰ）当时，判断数列，5，3，4，6，2和数列，5，2，4，1，3是否具有性质； （Ⅱ）若数列和，2，，均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数，数列，，，不具有性质； （Ⅲ）在所有由1，2，，的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，证明：对于任意，． 【解答】解：（Ⅰ）当时，若数列，5，3，4，6，2具有性质， 则集合，2，3，4，中至少有一个元素，使得， 验证可得，不存在，使得，所以数列不具有性质． 对于数列，5，2，4，1，3，集合，2，3，4，中存在元素时，满足，所以数列具有性质． （Ⅱ）证明：因为数列和，2，，均为等差数列， 且，，所以数列，，3，，，，2， 所以任意相邻两项的差绝对值都是奇数， 所以当为偶数时，在集合1，2，，中不存在元素使得， 故对于所有的偶数，数列不具有性质． （Ⅲ）证明：设数列，，，为任意一个不具有性质的数列， 因为，，，为1，2，，的一个排列， 所以在，，，中有且仅有一项，使得， 在数列中，将项移到项的前面，其余项的顺序保持不变， 得到新数列，，，．．，，， 新数列为1，2，，的一个新排列， 显然数列具有性质，且任意一个与不同的不具有性质的数列通过上述移动首项方法都得不到数列． 结合数列为任意一个不具有性质的数列，且根据可以构造一个符合题意的具有性质的数列，可 得． 又因为数列，，2，，，，具有性质， 且任何一个不具有性质的数列都不可能通过上述移动首项方法得到数列，所以． 40．（2024秋•丰台区期末）给定数列，，，和序列，，，，其中，，，，2，，满足：①，，2，3，；②．对数列进行如下次变换：将的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作（A）；将（A）的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作（A）；；以此类推，得到数列（A），简记为（A）． （1）已知数列，8，4，4，写出一个序列，，使得（A）为5，6，6，6； （2）对数列，6，7，8，是否存在序列，，，，使得（A）中恰有三项相等？若存在，写出一个序列，若不存在，说明理由； （3）对数列，7，14，，若存在序列，，，，使得（A）中恰有三项相等，求的所有取值． 【解答】解：（1）由题意可得：，，，，，，3，，，，3，． （或，，3，，，，，，，，，． （2）对数列，6，7，8，不存在序列，，，，使得（A）中恰有三项相等． 证明：由条件①②可得，，，，，，，四个数中恰有三个和一个3，即都是奇数，所以对数列进行一次变换，新数列的每项与原数列对应项奇偶不同． 假设对数列，6，7，8，存在序列，，，，使得（A）中恰有三项相等， 则因为数列，6，7，8中，4，6，8三项是偶数，7是奇数， 所以只能4，6，8这三项经过一系列变换后相等． 若在次变换中，4经过次“”的变换和次“”的变换后，结果为； 6经过次“”的变换和次“”的变换后，结果为． 所以，即，偶数等于奇数，显然不可能成立，与事实矛盾， 所以不存在序列，，，使得（A）中恰有三项相等． （3）在数列，7，14，中，3，7两项是奇数，14是偶数， 由（2）中的结论可得，3，7，这三项经过次变换后相等． 设在次变换中，3经过次“”的变换和次“”的变换后，其结果为； 7经过次“”的变换和次“”的变换后，其结果为； 经过次“”的变换和次“”的变换后，其结果为； 所以，即且． 令，则，，， 所以可分以下情形： ①当时，，所以，，，0，1； ②当时，，所以，，，1，2； ③当时，，所以，，0，1，2，3； ④当时，，所以，2，3，4； ⑤当时，，所以，5； ⑥当时，，且，所以， 即，这与相矛盾． 综上，且． 41．（2024秋•房山区期末）已知和都是无穷数列．若存在正数，对任意的，均有，则称数列与具有关系（A）． （Ⅰ）分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系（1），直接写出结论； ①，，； ②，． （Ⅱ）设，，，试判断数列与是否具有关系（A）？如果是，求出的最小值，如果不是，说明理由； （Ⅲ）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与具有关系（1），且，，，中至少有100个正数，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）①否；②是． ①因为，，若数列与是否具有关系（1），则对任意的，均有，即，即，但时，，所以数列与不具有关系（1）． ②数列与具有关系（1），理由如下：因为，，又因为， 所以有，所以，所以数列与是具有关系（1）． （Ⅱ）由题意知，所以， 所以数列与具有关系（A）． 设的最小值为，则， 因为，所以， 若，则当时，，则，这与“对任意的，均有”矛盾． 所以，即的最小值为1． （Ⅲ）因为是公差为的等差数列， 所以若存在数列满足：与具有关系（1）， 则对于，都有．所以，即．则， 即，当时，，都有与，，，中至少有100个正数矛盾． 当 时，可取，则，且，，，均为正数，符合题意． 当时，可取，则，且，，，均为正数，符合题意． 当时，可取，则，， 即，，，中恰有100个正数． 综上所述，的取值范围是． 42．（2024秋•东城区校级期末）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列，，，，，，满足如下三个性质： ①，，2，，，且，2，，； ②，2，，； ③与不同时在数对序列中． （Ⅰ）当，时，写出所有满足的数对序列； （Ⅱ）当时，证明：； （Ⅲ）当为奇数时，记的最大值为，求． 【解答】解：（Ⅰ），，，或，，； （Ⅱ）证明：因为和不同时出现在中，故， 所以1，2，3，4，5，6每个数至多出现5次， 又因为．， 所以只有，对应的数可以出现5次， 故； （Ⅲ）当为奇数时，先证明， 因为和不同时出现在中，所以， 当时，构造，，恰有项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1， 对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1， 那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：首先，对于如下个数对集合： ，，，， ，，，， ， ，，，， ， 每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以， 其次，对每个不大于的偶数，4，，，将如下4个数对并为一组： ，，，，共得到组，将这组数对以及，，， 按如下方式补充到的后面， 即：，，，，，，，，，，，， 此时恰有项， 所以， 综上，当为奇数时，（5）（3）（3）． 43．（2024秋•北京校级期末）已知，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列． （Ⅰ）判断，1，4是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； （Ⅱ）若，，，为连续可表数列，求证：的最小值为4； （Ⅲ）若，，，为连续可表数列，且，求证：． 【解答】解：（Ⅰ）若，则对于任意的，2，3，4，， ，，，，， 所以是连续可表数列； 由于不存在任意连续若干项之和相加为6， 所以不是连续可表数列； （Ⅱ）假设的值为3，则，， 最多能表示，，，，，，共6个数字， 与是连续可表数列矛盾，故； 现构造，2，1，5可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在满足题意． 故的最小值为4． （Ⅲ）若，则，，，至多可表示个数，矛盾， 考虑． 从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字， 取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字， 取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字， 所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即． 若，最多可以表示个正整数， 由于为连续可表数列，且， 所以其中必有一项为负数． 既然5个正整数都不能连续可表的正整数， 所以至少要有6个正整数连续可表的正整数， 所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意， 当时，数列1，2，4，5，8，，满足题意， 当时，数列1，2，4，5，8，，，，所以符合题意， 故． 44．（2023秋•大兴区期末）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列．记． （1）判断无穷数列和是否是数列，并说明理由； （2）若是数列，证明：数列中存在小于1的项； （3）若是数列，证明：存在正整数，使得． 【解答】解：（1）数列是数列． 理由如下：满足数列定义， 数列不是数列． 理由如下： 不是常数； （2）以下证明：． 假设，由知为等差数列，故， 因为是各项为正的无穷数列， 当取大于 的整数时，，与已知矛盾，所以假设不成立，所以， 以下证明 是递增数列． 因为，，且是各项为正的无穷数列， 所以， 所以 是递增数列， 以下证明：，，当时，， 若，当时，显然， 若，取， 当时，，即成立， 因为， 取，当时，，此时，． 所以若 是数列，则数列中存在小于1的项； （3）由（2）知，，当时，，即， 以此类推，，， 所以，，设此时，，令， 所以 ， 因为， 所以当，， ． 所以存在正整数，使得． 45．（2023秋•昌平区期末）已知，，，为有穷正整数数列，且，集合，0，．若存在，，2，，，使得，则称为可表数，称集合，，，2，，为可表集． （1）若，，，2，，，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，2，，，证明：； （3）设，，2，，，若，2，，，求的最小值． 【解答】解：（1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当，时，有，，0，， 显然若，，，3，4，5，7，8，9，时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）由题意可知若，即， 设，即，0，使得， 所以，且，0，成立，故， 所以若，2，，，则，，，，，即，，，中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的，中最多有个元素，所以； （3）由题意可设，使， 又， 所以，即， 而，即当时，取，，， 时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，1，，2，，，，使， 所以， 令 则有，0，，，2，，， 设， 由的任意性，对任意的，， 都有，，0，，，2，，， 又因为， 所以对于任意的，，为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为8． 46．（2023秋•东城区期末）若有穷数列，，，满足：，，2，，，则称此数列具有性质．（Ⅰ）若数列，，，2，6具有性质，求，，的值； （Ⅱ）设数列具有性质，且，为奇数，当，时，存在正整数，使得，求证：数列为等差数列； （Ⅲ）把具有性质，且满足，，为常数）的数列构成的集合记作．求出所有的，使得对任意给定的，，当数列时，数列中一定有相同的两项，即存在，，． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得数列共有5项，所以，， 当时，有，所以， 当时，有，所以； （Ⅱ）证明：数列具有性质，且，为奇数， 令，可得， 设， 由于当，时，存在正整数，使得， 所以，，，，，这项均为数列中的项， 且， 因此一定有，，，，， 即，，，，， 这说明：，，，，为公差为的等差数列，再数列具有性质以及可得，数列为等差数列； （Ⅲ）当时， 设，，，，，，，，，，，，，， 由于数列具有性质，且满足， 由和，得， 当时，不妨设，此时：，，此时结论成立， 当时，同理可证，所以结论成立， 当 时，不妨设，，反例如下： ，，，，，1，，2，，，，，， 当” 时，不妨设，，反例如下： ，，，，0，1，，，，，， 综上所述， 符合题意． 47．（2023秋•石景山区期末）对于项数为的数列，若数列满足，，，，，2，，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列． （Ⅰ）若各项均为正整数的数列的数列是3，4，4，5，写出所有的数列； （Ⅱ）证明：若数列中存在使得，则存在，2，，使得成立； （Ⅲ）数列是的数列，数列是的数列，定义，其中求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，各项均为正整数的数列的数列是3，4，4，5， 写出所有的数列为：3，4，4，5，3，4，3，5，3，4，2，5，3，4，1，5． （Ⅱ）由题意，假设不存在，2，，，使得成立， 根据数列定义可知，，所以， 则， 即， 所以，，，，所以，这与已知矛盾， 故若此数列中存在 使得 ， 则存在，2，，，使得 成立． （Ⅲ）由题意，必要性：，，，， ，，，，，2，， 则，，，，，，， 因为 为单调递增数列， 所以对所有的，，，，或，，，， 否则．因此所有的，2，，同号或为0， 即，所以为单调递增数列． 充分性：因为为单调递增数列，，且， 所以只能，所以，2，，同号或为0， 所以对所有的，，，或，，， 所以，，，，， 所以，即为单调递增数列． 48．（2023秋•朝阳区期末）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． （Ⅰ）若，写出，，及的值； （Ⅱ）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （Ⅲ）设集合，求证：且． 【解答】解：（Ⅰ）因为， 所以，， 由得，，所以， 由得，，2，3，所以； （Ⅱ）由题可知，所以，即， 若，则，， 所以，，与是等差数列矛盾， 所以， 设， 因为是各项均为正整数的递增数列，所以， 假设存在使得， 设，由得， 由得，，与是等差数列矛盾， 所以对任意都有， 所以数列是等差数列，； （Ⅲ）证明：因为对于，，所以， 所以，即数列是递增数列， 先证明， 假设，设正整数， 由于，故存在正整数使得，所以， 因为是各项均为正整数的递增数列，所以， 所以，， 所以，， 又因为数列是递增数列，所以，与假设矛盾， 所以， 再证明， 由题可知， 设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数，使得． 令． 若，则，即，所以， 所以，所以． 若，则， 所以． 所以， 因为，所以， 所以， 综上所述，且． 49．（2023秋•通州区期末）已知数列，，，为有穷正整数数列．若数列满足如下两个性质，则称数列为的减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有个． （Ⅰ）写出所有4的1减数列； （Ⅱ）若存在的6减数列，证明：； （Ⅲ）若存在2024的减数列，求的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）数列1，2，1和数列3，1； （Ⅱ）因为对于，使得，的正整数对有个，且存在的6减数列， 所以，得， ①当时，因为存在的6减数列， 所以数列中各项均不相同， 所以； ②当时，因为存在的6减数列， 所以数列各项中必有不同的项， 所以， 若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2， 所以，不符合题意， 所以； ③当时，因为存在的6减数列， 所以数列各项中必有不同的项， 所以； 综上所述，若存在的6减数列，则． （Ⅲ）若数列中的每一项都相等，则， 若，所以数列存在大于1的项， 若末项，将拆分成个1后变大， 所以此时不是最大值， 所以， 当，2，，时，若，交换， 的顺序后变为， 所以此时不是最大值， 所以， 若，，所以， 所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大， 所以此时不是最大值， 所以，， 若数列中存在相邻的两项，，设此时中有项为2，将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值至少变为， 所以此时不是最大值， 所以数列的各项只能为2或1， 所以数列为2，2，，2，1，1，，1的形式， 设其中有项为2，有项为1， 因为存在2024的减数列， 所以， 所以， 所以当且仅当，时，取最大值为512072， 所以若存在2024的减数列，的最大值为512072． 50．（2023秋•海淀区期末）对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中，，2，，．记．设集合，或，，，2，，，记（A）为集合所含元素的个数． （Ⅰ）对以下两个数表，，写出，，，的值； （Ⅱ）若（1），（2），，中恰有个正数，（1），（2），，中恰有个正数． 求证：（A）； （Ⅲ）当时，求的最小值． 【解答】解：（Ⅰ），，，； （Ⅱ）由定义可知：将数表中的每个数变为其相反数，或交换两行（列，（A），（A）的值不变， 因为为奇数，，， 所以（1），（2），，，（1），（2），，均不为0， ①当，或，时，不妨设，即，，2，，， 若，结论显然成立， 若，不妨设，，2，，，则，，2，，，，2，，， 所以（A），结论成立， ②当，且，时，不妨设，，2，，，，，2，，， 则当时，， 当时，， 因为当，2，，，，，，时，，， 所以， 所以， 同理可得：，，，，，，2，，， 所以（A）； （Ⅲ）当时，的最小值为，对于如下的 数表，， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 下面证明：， 设（1），（2），，中恰有个正数，（1），（2），，中恰有个正数，，，1，2，3，4，， ①若， 或，，不妨设，即，，2，，5， 所以当时，， 由中所有数不全相同，记数表中1的个数为，则，且，（A）， 所以， ②由①设，且，，若，或，，不妨设，则由（2）中结论知：（A）， 因为， 所以， ③由①②设，2，3，且，2，3，，若，，，则由（2）中结论知：（A）， 因为（A），所以， 若，，，不妨设，（1），（1），且， 由（2）中结论知：（A），所以（A）（A）， 若数表中存在，，3，4，为1，将其替换为后得到数表， 因为（A），（A）， 所以， 所以将数表中第行第列，，3，4，为1的数替换为后值变小， 所以不妨设 ，，3，4，， 因为（A），（A）， 所以， 故 的最小值为． 51．（2023秋•丰台区期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”． （Ⅰ）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由； ①； ②． （Ⅱ）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：； （Ⅲ）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）、均是周期数列，理由如下： 因为， 所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）， 因为， 所以， 所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）； （Ⅱ）假设不成立，则有，即对于，都有， 因为，，所以， 又因为，，所以， 所以， 所以，与的最小值是3矛盾， 所以； （Ⅲ）证明：当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件， 假设，即对于，都有， 因为， 所以， 即，及， 又时，， 所以，与的最小值是矛盾， 其次证明存在数列满足条件， 取， 及， 对于，都有， 当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件， 假设，即对于，都有， 因为， 所以， 即，及， 又时，， 所以，与的最小值是矛盾， 其次证明时存在数列满足条件， 取， 及， 对于，都有， 综上，当是奇数时，的最大值为；当是偶数时，的最大值为． 52．（2023秋•房山区期末）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“，，”． （Ⅰ）若具有性质“，2，”，且，，，求； （Ⅱ）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“，1，”，并说明理由； （Ⅲ）设既具有性质“，1，”，又具有性质“，1，”，其中，，，求证：具有性质“”． 【解答】解：（Ⅰ）由具有性质“，2，”，则当时，， 故，，， 又，， 故， 即； （Ⅱ）不具有性质“，1，”，理由如下： 设，，由，， 即有 解得， 故，， 则，有， 则，不恒等于3，故不具有性质“，1，”； （Ⅲ）证明：由既具有性质“，1，”，又具有性质“，1，”， 即当时，有，， 则有，， 由，故， 故 即， 由 则， 当，即时，有， 即对任意的时，有， 即具有性质“”． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $