专题10 概率与统计6考点（期末真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题10 概率与统计 6大高频考点概览 考点 01 统计相关量的计算​ 考点 02 古典概型及其概率计算​ 考点 03 排列组合​ 考点 04 二项式定理​ 考点 05 离散型随机变量的均值​ 考点 06 离散型随机变量的方差 地 城 考点01 统计相关量的计算 1．（2023秋•石景山区期末）某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，，，，，，，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为 　　，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为 　　（每组成绩用中间值代替）． 2．（2024秋•通州区期末），，三个班共有120名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时） 班 6 6.5 7 7.5 8 8 班 6 7 8 9 10 11 12 班 4 6.5 8 8.5 10 12.5 13.5 估计班的人数有 　　人；设班体育锻炼时间的方差为，班体育锻炼时间的方差为，则 　　（填，，． 地 城 考点02 古典概型及其概率计算 3．（2024秋•东城区校级期末）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存．某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为 　　． 地 城 考点03 排列组合 4．（2024秋•通州区期末）设，，，为1，2，3，4的一个排列，则满足的不同排列的个数为　　 A．24 B．16 C．8 D．2 5．（2023秋•丰台区期末）在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为　　 A．18 B．19 C．31 D．37 地 城 考点04 二项式定理 6．（2024秋•海淀区期末）在的展开式中，的系数为　　 A． B．40 C． D．80 7．（2023秋•石景山区期末）展开式中含的项的系数为　　 A．8 B． C．4 D． 8．（2023秋•东城区期末）的展开式中，的系数为　　 A．1 B．5 C．10 D．20 9．（2023秋•丰台区期末）的展开式中，的系数为　　 A．15 B． C．60 D． 故选：． 10．（2024秋•昌平区期末）在的展开式中的系数为　　． 11．（2024秋•丰台区期末）的展开式中的系数是　　． 12．（2024秋•东城区校级期末）在的展开式中，的系数为 　　． 13．（2024秋•北京校级期末）的展开式中含的项的系数为　　． 14．（2024秋•东城区期末）在的展开式中，的系数为 　　．（用数字作答） 15．（2023秋•通州区期末）在的展开式中，的系数为 　　． 16．（2023秋•西城区期末）在的展开式中，的系数为 　　．（用数字作答） 17．（2023秋•朝阳区期末）在展开式中，的系数为　　．（用数值表示） 19．（2024秋•通州区期末）在二项式的展开式中，常数项为　　 A．540 B．20 C． D． 20．（2023秋•大兴区期末）的展开式中的常数项为　　 A．20 B． C．15 D． 21．（2023秋•房山区期末）的展开式中的常数项是　　 A． B．32 C． D．23 22．（2024秋•朝阳区期末）在的展开式中，的系数为 　　．（用数字作答） 24．（2024秋•房山区期末）的展开式中，的系数为　　 A．15 B． C．5 D． 26．（2024秋•顺义区期末）在的展开式中，常数项为　　 A．12 B．6 C． D． 18．（2023秋•昌平区期末）已知，则　　 A． B．32 C．495 D．585 23．（2024秋•石景山区期末）在的展开式中，含的项的系数是7，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2024秋•西城区期末）若的展开式中存在常数项，则正整数的一个取值是 　　，且此时常数项等于 　　．（用数字作答） 地 城 考点05 离散型随机变量的均值 27．（2024秋•通州区期末）为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如表： 车次序号 乘车人数 号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率． （Ⅰ）试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； （Ⅱ）假设微公交乘车人数相互独立，记为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）假设客流量高峰期该站点每辆微公交乘车人数只受前一辆微公交乘车人数影响，若该站点连续两辆微公交都满载9人的概率不低于，则需要缩短连续两辆微公交的时间间隔，判断公交公司在客流量高峰期是否需要缩短发车间隔．（写出结论，不用说明理由） 28．（2024秋•东城区期末）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组．随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人） 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； （Ⅱ）从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）用“，2，”表示顾客愿意购买第款新品，“，2，”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差，，的大小关系． 29．（2024秋•海淀区期末）某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试，选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 （Ⅰ）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率； （Ⅱ）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分．记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下： 当时，赋分成绩为100分； 当，赋分成绩为85分； 当时，赋分成绩为70分； 当时，赋分成绩为60分． ①从课程甲的原始成绩不低于6.5的学生中随机抽取2人，记为这2人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望； ②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分．现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，，直接写出数学期望和的大小关系． 30．（2024秋•昌平区期末）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户 平台 购买景区门票用户（人 未购买景区门票用户（人 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元人，其售票利润率分别是和．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率； （Ⅱ）从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； （Ⅲ）经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右，该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元人的标准支付，向短视频平台按4元人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 31．（2024秋•朝阳区期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、、四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数 性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、、的大模型人次如下： 大模型种类 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． （Ⅰ）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种大模型、、、中）的概率； （Ⅱ）从该地区使用3种大模型、、、中）的教师中，随机选出3人，记使用的有人，求的分布列及其数学期望； （Ⅲ）从该地区男、女教师中各随机选一人，记他们使用大模型、、、中）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小．（结论不要求证明） 32．（2024秋•石景山区期末）某城市的甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区．为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个） 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 （Ⅰ）从甲乙两区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率； （Ⅱ）从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差，的大小．（结论不要求证明） 33．（2024秋•西城区期末）为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率． （Ⅰ）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误． 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20． （Ⅱ）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，，，，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，，，，其方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 34．（2024秋•顺义区期末）某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如表（单位：杯） 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 甲 60 65 66 65 67 66 63 乙 57 62 63 62 64 63 60 丙 55 60 61 60 62 61 58 （Ⅰ）从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率； （Ⅱ）从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 35．（2024秋•丰台区期末）为弘扬社会主义核心价值观，加强校园诚信文化建设，提升中小学生的信息技术素养，某市开展了“中小学诚信主题短视频征集展示活动”，入围短视频在某公共平台展播．其中，，，，，，这7个入围短视频展播前7天的累计播放量如下表： 短视频 前7天累计播放量（万次） 2.9 3.5 4.5 2.5 4.1 1.4 5.6 （1）从这7个入围短视频中随机选取1个，求该短视频前7天的累计播放量超过4万次的概率； （2）某学生从这7个入围短视频中随机选取3个观看，记为选取的3个短视频中前7天的累计播放量超过4万次的个数，求的分布列和数学期望； （3）若这7个入围短视频第8天的单日播放量如下表： 短视频 第8天单日播放量（万次） 0.4 0.4 0.6 0.3 0.5 0.1 0.8 记这7个入围短视频展播前7天的累计播放量的方差为，前8天的累计播放量的方差为，试比较与的大小关系．（结论不要求证明） 36．（2024秋•北京校级期末）某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识．为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后．这10位居民答卷的正确率如下表： 编号正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 试讲讲座后 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． （Ⅰ）正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； （Ⅱ）正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计的分布列和数学期望； （Ⅲ）在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 37．（2024秋•房山区期末）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球．某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查．统计结果如下： 1店 2店 3店 4店 5店 6店 7店 8店 新能源汽车销售量 10 8 16 23 20 18 22 11 燃油汽车销售量 14 11 13 19 21 25 23 26 （Ⅰ）若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率； （Ⅱ）若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和．试比较和的大小．（结论不要求证明） 38．（2024秋•东城区校级期末）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，，，，，，，用频率分布直方图表示如下： 假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立． （Ⅰ）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间，的概率； （Ⅱ）从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间，的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为，，，请直接写出这三个数的大小关系．（样本中同组数据用区间的中点值替代） 39．（2023秋•大兴区期末）为了解客户对，两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知，两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下： 快递公司 快递公司 快递公司 项目 份数 评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对，两家快递公司的评价相互独立．用频率估计概率， （1）从该地区选择快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对快递公司配送时效的评价不低于75分的概率； （2）分别从该地区和快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求的分布列和数学期望； （3）记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级、已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区，两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况．你认为小王选择，哪家快递公司合适？说明理由． 40．（2024春•延庆区期末）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息．教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示． （Ⅰ）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； （Ⅱ）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示．已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据．（只需写出结论） 41．（2023秋•昌平区期末）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，，，，，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求的值； （2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望； （3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问，1，2，，为何值时，的值最大？（结论不要求证明） 42．（2023秋•丰台区期末）2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（a）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（a）．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率． （Ⅰ）当临界值时，求漏诊率（a）和误诊率（a）； （Ⅱ）从指标在区间，样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）在该地患病者占全部人口的的情况下，记（a）为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当，时，直接写出使得（a）取最小值时的的值． 43．（2023秋•通州区期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，，，1．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲、乙、丙三人报名民航招飞． （Ⅰ）估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； （Ⅲ）根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，，，设甲、乙、丙三人能被招飞院校录取的人数为，求的分布列及数学期望． 44．（2023秋•东城区期末）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷．规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会．现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表： 2022年 2023年 通过 未通过 通过 未通过 第一次 60人 40人 50人 50人 第二次 70人 30人 60人 40人 第三次 80人 20人 人 人 假设每次考试是否通过相互独立． （Ⅰ）从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率； （Ⅱ）小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率； （Ⅲ）若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果） 的值 83 88 93 45．（2023秋•石景山区期末）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． （Ⅰ）试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； （Ⅱ）若甲在区投3个球，在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； （Ⅲ）若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 地 城 考点06 离散型随机变量的方差 46．（2023秋•海淀区期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系． 47．（2023秋•房山区期末）某移动通讯公司为答谢用户，在其上设置了签到翻牌子赢流量活动．现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：数据，如图所示． （Ⅰ）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率； （Ⅱ）从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）． 48．（2023秋•西城区期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹．为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响． （Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为，写出，，的大小关系．（结论不要求证明） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 概率与统计 6大高频考点概览 考点 01 统计相关量的计算​ 考点 02 古典概型及其概率计算​ 考点 03 排列组合​ 考点 04 二项式定理​ 考点 05 离散型随机变量的均值​ 考点 06 离散型随机变量的方差 地 城 考点01 统计相关量的计算 1．（2023秋•石景山区期末）某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，，，，，，，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为 　　，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为 　　（每组成绩用中间值代替）． 【解答】解：由题意可知，， 解得， 这50个样本的平均值约为（分， 用样本估计总体，则估计全校学生的平均成绩为72.6分． 故答案为：0.014；72.6分． 2．（2024秋•通州区期末），，三个班共有120名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时） 班 6 6.5 7 7.5 8 8 班 6 7 8 9 10 11 12 班 4 6.5 8 8.5 10 12.5 13.5 估计班的人数有 　　人；设班体育锻炼时间的方差为，班体育锻炼时间的方差为，则 　　（填，，． 【解答】解：根据题意，由表格数据，一共抽取了20名学生，其中来自班的有6人， 则班有人， 由表中的数据，班数据比较分散，波动比较大，则． 故答案为：36；． 地 城 考点02 古典概型及其概率计算 3．（2024秋•东城区校级期末）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存．某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为 　　． 【解答】解：设11个重要建筑依次为，，，，，，，，，，，其中故宫为， 从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种情况， 其中一定有故宫的有：，，，，，，，，，共3种， 由古典概型的概率公式可知，所求概率为． 故答案为：． 地 城 考点03 排列组合 4．（2024秋•通州区期末）设，，，为1，2，3，4的一个排列，则满足的不同排列的个数为　　 A．24 B．16 C．8 D．2 【解答】解：根据题意，分8种情况讨论： ①，，，为2或3，有2个不同的排列； ②，，，为1或4，有2个不同的排列； ③，，，为1或4，有2个不同的排列； ④，，，为2或3，有2个不同的排列； ⑤，，，为2或4，有2个不同的排列； ⑥，，，为2或4，有2个不同的排列； ⑦，，，为1或3，有2个不同的排列； ⑧，，，为1或3，有2个不同的排列； 共有个不同的排列． 故选：． 5．（2023秋•丰台区期末）在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为　　 A．18 B．19 C．31 D．37 【解答】解：用表示印有吉祥物宸宸的纪念卡，用表示印有吉祥物莲莲的纪念卡， 则分配方案为型只有一种方法； 分配方案为或或型：，，，，有种方法； 分配方案为或型：，，，，有种方法． 综上共有种方法． 故选：． 地 城 考点04 二项式定理 6．（2024秋•海淀区期末）在的展开式中，的系数为　　 A． B．40 C． D．80 【解答】解：在的展开式中，含的项为， 故的系数为：． 故选：． 7．（2023秋•石景山区期末）展开式中含的项的系数为　　 A．8 B． C．4 D． 【解答】解： 的展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中含的项的系数为， 故选：． 8．（2023秋•东城区期末）的展开式中，的系数为　　 A．1 B．5 C．10 D．20 【解答】解：， 令，则， 所以的系数为． 故选：． 9．（2023秋•丰台区期末）的展开式中，的系数为　　 A．15 B． C．60 D． 【解答】解：展开式的通项公式为 ， 令，得， 所以的系数为60． 故选：． 10．（2024秋•昌平区期末）在的展开式中的系数为　　． 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，求得， 二项式的展开式中的系数为， 故答案为：40． 11．（2024秋•丰台区期末）的展开式中的系数是　　． 【解答】解：的展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中的系数是． 故答案为：80． 12．（2024秋•东城区校级期末）在的展开式中，的系数为 　　． 【解答】解：展开式的通项为， 令，得， 的系数为． 故答案为：． 13．（2024秋•北京校级期末）的展开式中含的项的系数为　　． 【解答】解：的展开式的通项公式为，令，可得， 故展开式中含的项的系数为， 故答案为：． 14．（2024秋•东城区期末）在的展开式中，的系数为 　　．（用数字作答） 【解答】解：， 令，则， 所以的系数为． 故答案为：10． 15．（2023秋•通州区期末）在的展开式中，的系数为 　　． 【解答】解：根据二项式的展开式； 当时，的系数为． 故答案为：． 16．（2023秋•西城区期末）在的展开式中，的系数为 　　．（用数字作答） 【解答】解：的展开式的通项公式为：， 令，解得， 故的系数为． 故答案为：12． 17．（2023秋•朝阳区期末）在展开式中，的系数为　　．（用数值表示） 【解答】解：二项式的展开式中的通项， 令，解得， 二项式的展开式中的系数为：， 故答案为：40． 18．（2024秋•通州区期末）在二项式的展开式中，常数项为　　 A．540 B．20 C． D． 【解答】解：二项式式的展开通项公式为：，1，2，，． 令，解得， 则常数项为：． 故选：． 19．（2023秋•大兴区期末）的展开式中的常数项为　　 A．20 B． C．15 D． 【解答】解：通项公式， 令，解得． 展开式中的常数项． 故选：． 20．（2023秋•房山区期末）的展开式中的常数项是　　 A． B．32 C． D．23 【解答】解：展开式通项为， 令，可得， 因此，展开式中的常数项为． 故选：． 21．（2024秋•朝阳区期末）在的展开式中，的系数为 　　．（用数字作答） 【解答】解：在的展开式中，的系数为：． 故答案为：． 22．（2024秋•房山区期末）的展开式中，的系数为　　 A．15 B． C．5 D． 【解答】解：的展开式的通项为， 由，得． 的系数为． 故选：． 23．（2024秋•顺义区期末）在的展开式中，常数项为　　 A．12 B．6 C． D． 【解答】解：的展开式的通项，1，2，3，， 令，得， 所以展开式中的常数项为． 故选：． 24．（2023秋•昌平区期末）已知，则　　 A． B．32 C．495 D．585 【解答】解：令，解得； 当时，；①， 当时，，②， 故①②得：，解得， 故． 故选：． 25．（2024秋•石景山区期末）在的展开式中，含的项的系数是7，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由题意可知展开式中含的项：， ． 故选：． 26．（2024秋•西城区期末）若的展开式中存在常数项，则正整数的一个取值是 　　，且此时常数项等于 　　．（用数字作答） 【解答】解：二项式的展开式通项公式为， 令，得，令，得，此时的常数项为． 故答案为：3；12． 地 城 考点05 离散型随机变量的均值 27．（2024秋•通州区期末）为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如表： 车次序号 乘车人数 号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率． （Ⅰ）试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； （Ⅱ）假设微公交乘车人数相互独立，记为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）假设客流量高峰期该站点每辆微公交乘车人数只受前一辆微公交乘车人数影响，若该站点连续两辆微公交都满载9人的概率不低于，则需要缩短连续两辆微公交的时间间隔，判断公交公司在客流量高峰期是否需要缩短发车间隔．（写出结论，不用说明理由） 【解答】解：记该站点乘客流量高峰期无人驾驶微公交载客人数达到满载9人为事件，乘客人数是7人为事件，乘客人数是8人为事件， 由表中数据可知达到满载9人的车次有14辆，总数共20辆， 所以； （Ⅱ）， 的可能取值为14，15，16，17，18， ，， ，， ， 所以随机变量的分布列为： 14 15 16 17 18 0.01 0.04 0.18 0.28 0.49 数学期望； （Ⅲ）需要缩短连续两辆公交的时间间隔． （因为连续两辆载客情况有19种，均满载有10种，． 28．（2024秋•东城区期末）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组．随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人） 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； （Ⅱ）从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）用“，2，”表示顾客愿意购买第款新品，“，2，”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差，，的大小关系． 【解答】解：（Ⅰ）根据题中数据，在 200人中愿意购买第一款新品的人数为， 所以该名顾客愿意购买第一款新品的概率可估计为； （Ⅱ）由题设，的所有可能值为0，1，2，3， 根据题中数据，得青少年组的人数为， 随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为，此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为， 中年组的人数为， 随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为，此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为， 老年组的人数为， 随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为，此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为， 所以可估计为， 可估计为， 可估计为， 可估计为， 的分布列为： 0 1 2 3 所以； （Ⅲ），理由如下： 由题意可知，第一款新品中，愿意购买的人数为140人，不愿意购买的人数为60人， 所以，， 第二款新品中，愿意购买的人数为120人，不愿意购买的人数为80人， 所以，， 第三款新品中，愿意购买的人数为140人，不愿意购买的人数为60人， 所以，， 因为，，服从两点分布， 所以，，， 所以． 29．（2024秋•海淀区期末）某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试，选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 （Ⅰ）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率； （Ⅱ）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分．记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下： 当时，赋分成绩为100分； 当，赋分成绩为85分； 当时，赋分成绩为70分； 当时，赋分成绩为60分． ①从课程甲的原始成绩不低于6.5的学生中随机抽取2人，记为这2人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望； ②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分．现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，，直接写出数学期望和的大小关系． 【解答】解：（Ⅰ）设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件， 依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同， 由古典概型，得． （Ⅱ）①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于6.5的学生共有6人， 赋分依次为100，100，100，85，85，85， 则的所有可能值为170，185，200， ，， ， 所以的分布列如下： 170 185 200 ． ②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100，100，100，85，85，85，70，70，70，60，60，60， 对课程乙进行赋分，赋分依次为：100，100，100，100，100，85，85，85，70，70，70，70，60，60，60，60， 因此， ； ，，， ， 所以． 30．（2024秋•昌平区期末）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户 平台 购买景区门票用户（人 未购买景区门票用户（人 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元人，其售票利润率分别是和．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率； （Ⅱ）从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； （Ⅲ）经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右，该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元人的标准支付，向短视频平台按4元人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）设“从短视频平台浏览用户中随机选取1人，此人为购买景区门票用户”为事件， 则用频率估计概率，； （Ⅱ）设“从官方网站浏览平台用户中随机选取1人，此人为购买景区门票用户”为事件， 则用频率估计概率，， 由题意，的所有可能取值为0，100，200，300， 且， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 100 200 300 期望为； （Ⅲ）官方网站平台的净利润为（元， 短视频平台的净利润为（元． 所以该景区应选择官方网站平台继续加大广告宣传费用的投入力度． 31．（2024秋•朝阳区期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、、四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数 性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、、的大模型人次如下： 大模型种类 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． （Ⅰ）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种大模型、、、中）的概率； （Ⅱ）从该地区使用3种大模型、、、中）的教师中，随机选出3人，记使用的有人，求的分布列及其数学期望； （Ⅲ）从该地区男、女教师中各随机选一人，记他们使用大模型、、、中）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）记事件为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种大模型”， 则估计． （Ⅱ）记事件为“从该地区使用3种大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型”， 根据题中数据，， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 ． （Ⅲ）由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120， 则易， ， 故． 32．（2024秋•石景山区期末）某城市的甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区．为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个） 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 （Ⅰ）从甲乙两区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率； （Ⅱ）从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差，的大小．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）设事件为“抽到的是甲区且绿化达标”， 因为该城市试点区的所有居民小区共有个， 其中甲区且绿化达标的居民小区共有300个， 所以， 则抽到的是“甲区且绿化达标”的概率为； （Ⅱ）易知的所有可能取值为0，1，2， 若从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为， 从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为， 所以，，， 则的分布列为： 0 1 2 故； （Ⅲ）． 33．（2024秋•西城区期末）为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率． （Ⅰ）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误． 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20． （Ⅱ）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，，，，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，，，，其方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）结论正确，结论不正确． （Ⅱ）高一男生选择排球课的概率估计为， 高一女生选择排球课的概率估计为， 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3． 则， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 故． （Ⅲ）． 34．（2024秋•顺义区期末）某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如表（单位：杯） 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 甲 60 65 66 65 67 66 63 乙 57 62 63 62 64 63 60 丙 55 60 61 60 62 61 58 （Ⅰ）从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率； （Ⅱ）从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）设事件为“该天甲款奶茶日销售量大于65杯”， 根据题中数据，甲款奶茶在7天的日销售量中，有3天的日销售量大于65杯， 所以； （Ⅱ）设事件为“乙款奶茶日销售数据大于60”，事件为“丙款奶茶日销售数据大于60”， 根据题中数据，，， 根据题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2， ， ， （B）（C）， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； （Ⅲ）． 35．（2024秋•丰台区期末）为弘扬社会主义核心价值观，加强校园诚信文化建设，提升中小学生的信息技术素养，某市开展了“中小学诚信主题短视频征集展示活动”，入围短视频在某公共平台展播．其中，，，，，，这7个入围短视频展播前7天的累计播放量如下表： 短视频 前7天累计播放量（万次） 2.9 3.5 4.5 2.5 4.1 1.4 5.6 （1）从这7个入围短视频中随机选取1个，求该短视频前7天的累计播放量超过4万次的概率； （2）某学生从这7个入围短视频中随机选取3个观看，记为选取的3个短视频中前7天的累计播放量超过4万次的个数，求的分布列和数学期望； （3）若这7个入围短视频第8天的单日播放量如下表： 短视频 第8天单日播放量（万次） 0.4 0.4 0.6 0.3 0.5 0.1 0.8 记这7个入围短视频展播前7天的累计播放量的方差为，前8天的累计播放量的方差为，试比较与的大小关系．（结论不要求证明） 【解答】解：（1）这7个入围短视频中，有3个前7天的累计播放量超过4万次． 所以从这7个入围短视频中随机选取1个，该短视频前7天的累计播放量超过4万次的概率为． （2）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以数学期望． （3）前7天累计播放量的平均数为：， 所以． 前8天累计播放量的平均数为： ， 所以， 所以． 36．（2024秋•北京校级期末）某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识．为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后．这10位居民答卷的正确率如下表： 编号正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 试讲讲座后 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． （Ⅰ）正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； （Ⅱ）正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计的分布列和数学期望； （Ⅲ）在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 【解答】解：正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为：， 所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：． （Ⅱ）由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：， 正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：， 由题意，的值可以为：0，1，2，3， 且：， ， ， ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． （Ⅲ）从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为0； 从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则． 因为，，． 所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大． 37．（2024秋•房山区期末）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球．某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查．统计结果如下： 1店 2店 3店 4店 5店 6店 7店 8店 新能源汽车销售量 10 8 16 23 20 18 22 11 燃油汽车销售量 14 11 13 19 21 25 23 26 （Ⅰ）若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率； （Ⅱ）若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和．试比较和的大小．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）由题可知：8家门店中新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，分别是：门店3，门店4， 所以若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率； （Ⅱ）12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数为3，分别是：门店4，门店5，门店7， 从样本门店中随机抽取3个，12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为， 则的所有可能取值为：0，1，2，3， 所以，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； （Ⅲ）新能源汽车销售量的样本平均数为， 新能源汽车销售量的样本方差， 燃油汽车销售量的样本平均数为， 燃油汽车销售量的样本方差， 所以． 38．（2024秋•东城区校级期末）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，，，，，，，用频率分布直方图表示如下： 假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立． （Ⅰ）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间，的概率； （Ⅱ）从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间，的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为，，，请直接写出这三个数的大小关系．（样本中同组数据用区间的中点值替代） 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得：全校学生一周参加课后活动的时间位于区间，的概率为； （Ⅱ）从全校学生中随机选取1人，则此人一周参加课后活动的时间在区间，的概率为， 又的可能取值为0、1、2、3， 由题意可得， 则，，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 的数学期望； （Ⅲ）由频率分布直方图可得， 由频率分布直方图可得中位数在区间，上， 则， 即， 又， 又， 则． 39．（2023秋•大兴区期末）为了解客户对，两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知，两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下： 快递公司 快递公司 快递公司 项目 份数 评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对，两家快递公司的评价相互独立．用频率估计概率， （1）从该地区选择快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对快递公司配送时效的评价不低于75分的概率； （2）分别从该地区和快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求的分布列和数学期望； （3）记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级、已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区，两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况．你认为小王选择，哪家快递公司合适？说明理由． 【解答】解：（1）根据题中数据，该地区参与快递公司调查的问卷共120份，样本中对快递公司配送时效的评价不低于75分的问卷共 份， 所以样本中对快递公司配送时效的评价不低于75分的频率为， 估计该地区客户对快递公司配送时效的评价不低于75分的概率； （2）的所有可能取值为0，1，2， 记事件为“从该地区快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分”，事件为“从该地区快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分”， 由题设知，事件，相互独立，且，， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 故的数学期望； （3）答案不唯一， 答案示例1：小王选择快递公司合适，理由如下： 根据样本数据，估计快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是，估计快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是， 因为，故小王选择快递公司合适， 答案示例2：小王选择快递公司合适，理由如下： 由（1）知，估计快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是，由样本数据可知，估计快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是，因为，故小王选择快递公司合适． 40．（2024春•延庆区期末）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息．教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示． （Ⅰ）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； （Ⅱ）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示．已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据．（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）设“甲比乙的步数多”为事件． 在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多， 所以， 即这一天甲比乙的步数多的概率为． （Ⅱ）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天， 的所有可能取值为0，1，2， ， 则的分布列为： 0 1 2 即． （Ⅲ）11月6日． 41．（2023秋•昌平区期末）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，，，，，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求的值； （2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望； （3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问，1，2，，为何值时，的值最大？（结论不要求证明） 【解答】解：（1）依题意，， 所以； （2）由题意可知，的可能取值为：6000，7000，8000，9000， 任选1人，估计认为该款车性能的评分不低于110分的概率为0.7， 则；，，， 所以的分布列为： 6000 7000 8000 9000 0.343 0.441 0.189 0.027 所以元； （3）时， 的值最大，理由如下： 由题意可知， 则， 解得， 又因为，1，2，，10， 所以， 即时， 的值最大． 42．（2023秋•丰台区期末）2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（a）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（a）．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率． （Ⅰ）当临界值时，求漏诊率（a）和误诊率（a）； （Ⅱ）从指标在区间，样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）在该地患病者占全部人口的的情况下，记（a）为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当，时，直接写出使得（a）取最小值时的的值． 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，； （Ⅱ）样本中患病者在指标为区间，的人数是， 未患病者在指标为区间，的人数是，总人数为5人， 可能的取值为0，1，2， 则，，． 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 则数学期望为； （Ⅲ），理由如下： 由频率分布直方图可知，（a）（a）（a）， 显然函数（a）在，上单调递增， 所以当时，（a）取得最小值． 43．（2023秋•通州区期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，，，1．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲、乙、丙三人报名民航招飞． （Ⅰ）估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； （Ⅲ）根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，，，设甲、乙、丙三人能被招飞院校录取的人数为，求的分布列及数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，1，且能否通过相互独立， 所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； （Ⅱ）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为， 所以甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； （Ⅲ）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为， 且预估甲、乙、丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的溉率分别为， 所以甲能被招飞院校录取的概率， 乙能被招飞院校录取的概率， 丙能被招飞院校录取概率， 依题意的可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 44．（2023秋•东城区期末）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷．规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会．现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表： 2022年 2023年 通过 未通过 通过 未通过 第一次 60人 40人 50人 50人 第二次 70人 30人 60人 40人 第三次 80人 20人 人 人 假设每次考试是否通过相互独立． （Ⅰ）从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率； （Ⅱ）小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率； （Ⅲ）若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果） 的值 83 88 93 【解答】解：设 “2022年第次考试通过“，，2，3，由题意得，同理可得，， “2023年第次考试通过“，，2，3，所以，，， （Ⅰ）由题意可得所求事件的概率为； （Ⅱ）由题意，所求事件的概率为； （Ⅲ）88． 45．（2023秋•石景山区期末）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． （Ⅰ）试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； （Ⅱ）若甲在区投3个球，在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； （Ⅲ）若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 【解答】解：甲在区得分40分，即投中20个球，故投中的概率为， 甲在区得分30分，即投中10个球，故投中的概率为； （Ⅱ）由题可得甲在区投3个球，得分可能是0，2，4，6，在区投2个球，得分为0，3，6， 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：区2分区0分，概率为， 区4分区0分，概率为； 区4分区3分，概率为； 区6分区0分，概率为； 区6分区3分，概率为， 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率为； （Ⅲ）甲在区进球的概率为，投进一球得2分，则在区投一次得分的期望为， 同理在区投一次得分的期望为， 设在区投次，在区投次，则总的期望， 解得，则甲选择在区投篮的球数最多是3个． 地 城 考点06 离散型随机变量的方差 46．（2023秋•海淀区期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系． 【解答】解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场． 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则． （Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场， 所以 的所有可能取值为 0，1，2． ． 所以的分布列为： 0 1 2 所以． （Ⅲ）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为， 还需要进行6场比赛，而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布， 所以，， 故． 47．（2023秋•房山区期末）某移动通讯公司为答谢用户，在其上设置了签到翻牌子赢流量活动．现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：数据，如图所示． （Ⅰ）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率； （Ⅱ）从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）． 【解答】解：（Ⅰ）从2023年12月1日至7日中，有2天乙获得流量大于丙获得流量， 则从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率为； （Ⅱ）由题意可得的可能取值为0，1，2， 又，，， 则的分布列为： 0 1 2 ； （Ⅲ）． 48．（2023秋•西城区期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹．为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响． （Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为，写出，，的大小关系．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件， 则； （Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为人， 所以的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故的数学期望； （Ⅲ），理由如下： 由题意可知，，，，，，，，， 因为方差反映的是数据相对于平均值的离散程度，而显然数据，，，的集中程度最强，数据，，，的集中程度最弱， 所以． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $