专题06 平面向量与复数8考点（期末真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题06 平面向量与复数 8大高频考点概览 考点 01 平面向量共线问题​ 考点 02 平面向量数量积的性质及其运算​ 考点 03 平面向量数量积的应用​ 考点 04 复数的相等​ 考点 05 复数的几何意义​ 考点 06 共轭复数​ 考点 07 复数的模​ 考点 08 复数的运算 地 城 考点01 平面向量共线问题 1．（2024秋•房山区期末）已知非零平面向量，，则“”是“存在非零实数，使”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024秋•石景山区期末）向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数　　 ． 3．（2023秋•大兴区期末）设向量，若，则　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•东城区期末）已知平面向量，，为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 地 城 考点02 平面向量数量积的性质及其运算 5．（2023秋•西城区期末）设，是非零向量，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023秋•东城区期末）已知非零向量，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•西城区期末）在△中，则“”是“△是直角三角形”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024秋•东城区校级期末）已知，是两个不共线的单位向量，向量．“，且”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2023秋•海淀区期末）已知点，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则　　；点到直线的距离为 　　． 10．（2023秋•丰台区期末）矩形中，，，且，分为，的中点，则　　． 11．（2024秋•朝阳区期末）已知为△所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 　　； 　　． 12．（2024秋•昌平区期末）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 13．（2024秋•北京校级期末）的外接圆的半径等于3，，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 14．（2023秋•昌平区期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 15．（2023秋•通州区期末）在菱形中，，，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•大兴区期末）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 　　；若是圆上的动点，则的取值范围是 　　． 地 城 考点03 平面向量数量积的应用 17．（2023秋•石景山区期末）已知向量，，若，则　　 A． B．1 C．2 D． 18．（2024秋•顺义区期末）已知向量，，若与垂直，则的值为　　 A． B．0 C． D．2 19．（2024秋•海淀区期末）已知向量，，则 　　，的最小值为 　　． 故答案为：；2． 20．（2023秋•房山区期末）已知向量，，且与的夹角为，则的值为　　 A． B． C． D． 21．（2024秋•北京校级期末）设向量，且，则　　；和所成角为 　　． 22．（2024秋•顺义区期末）在△中，，，为△所在平面内的动点，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•朝阳区期末）在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，，则的最大值为　　 A．2 B．4 C． D． 24．（2023秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则的最大值为　　 A．1 B． C．2 D． 25．（2024秋•通州区期末）已知，，是同一平面上的三个向量，满足，，则与的夹角等于 　　 ；若与的夹角为，则的最大值为 　　 ． 地 城 考点04 复数的相等 26．（2024秋•西城区期末）设为虚数单位，，，且，则　　 A． B．0 C． D．4 地 城 考点05 复数的几何意义 27．（2024秋•北京校级期末）设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•朝阳区期末）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则　　 A． B． C．1 D．4 29．（2024秋•东城区期末）在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是　　 A． B． C． D． 30．（2024秋•昌平区期末）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是　　 A． B． C． D． 31．（2024秋•朝阳区期末）在复平面内，复数对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．（2023秋•房山区期末）在复平面内，若复数对应的点为，则　　 A．2 B． C． D． 地 城 考点06 共轭复数 33．（2024秋•房山区期末）已知复数满足，则的共轭复数是　　 A． B． C． D． 34．（2024秋•东城区校级期末）设复数满足，则的共轭复数　　 A． B． C． D． 地 城 考点07 复数的模 35．（2023秋•通州区期末）已知复数满足，则　　 A． B． C．2 D． 36．（2023秋•丰台区期末）若复数，则　　 A． B．1 C． D．2 地 城 考点08 复数的运算 37．（2024秋•石景山区期末）若复数满足，则　　 A． B． C． D． 38．（2024秋•通州区期末）设复数满足为虚数单位），则　　 A． B． C． D． 39．（2023秋•海淀区期末）如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为　　 A． B． C． D． 40．（2023秋•昌平区期末）在复平面内，复数和对应的点分别为，，则　　 A． B． C． D． 41．（2023秋•石景山区期末）若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则　　 A．5 B． C．3 D． 42．（2024秋•顺义区期末）在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是　　 A． B． C． D． 43．（2023秋•西城区期末）在复平面内，复数的对应点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 44．（2024秋•丰台区期末）复数　　 A． B． C． D． 45．（2024秋•海淀区期末）若复数满足，则　　 A． B． C． D． 46．（2023秋•大兴区期末）若复数满足，则复数的虚部是　　 A． B．2 C． D．0 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量与复数 8大高频考点概览 考点 01 平面向量共线问题​ 考点 02 平面向量数量积的性质及其运算​ 考点 03 平面向量数量积的应用​ 考点 04 复数的相等​ 考点 05 复数的几何意义​ 考点 06 共轭复数​ 考点 07 复数的模​ 考点 08 复数的运算 地 城 考点01 平面向量共线问题 1．（2024秋•房山区期末）已知非零平面向量，，则“”是“存在非零实数，使”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：（1）若，则方向相同， 共线，存在非零实数，使． “”是“存在非零实数，使”的充分条件； （2）若存在非零实数，使，则共线， 当方向相同时，， 当方向相反时，， “”不是“存在非零实数，使”的必要条件． 故选：． 2．（2024秋•石景山区期末）向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数　　 ． 【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，取小正方形的边长为1， 则，，， ， 向量与共线， ，． 故答案为：2． 3．（2023秋•大兴区期末）设向量，若，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：设， 若， ，，且，即， ，又， ， ，， ，，． 故选：． 4．（2024秋•东城区期末）已知平面向量，，为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：因为平面向量，，为两两不共线的单位向量， 故设，，，如图，则为边长为的菱形， 若，即与垂直，因为，即， 因为，且，所以，共线，即与共线； 若与共线，即且， 因为，即，所以与垂直，即． 所以“”是“与共线”的充要条件． 故选：． 地 城 考点02 平面向量数量积的性质及其运算 5．（2023秋•西城区期末）设，是非零向量，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：设，是非零向量，若， 则， 不妨设，，， 则， 此时， 即“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 6．（2023秋•东城区期末）已知非零向量，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：已知非零向量，满足，且， 设，其中， 对于选项，， 即选项错误； 对于选项，， 即选项正确； 对于选项， ， 又不恒为0， 即选项错误； 对于选项，， 又不恒为0， 即选项错误． 故选：． 7．（2024秋•西城区期末）在△中，则“”是“△是直角三角形”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：若，则，即，可得，． 因此条件“”等价于“”， 当时，可推出△是直角三角形； 而当△是直角三角形时，可能或，不能推出． 所以“”是“△是直角三角形”的充分不必要条件， 即“”是“△是直角三角形”的充分不必要条件． 故选：． 8．（2024秋•东城区校级期末）已知，是两个不共线的单位向量，向量．“，且”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：已知，是两个不共线的单位向量，向量， 则，， 当，且时， 则， 当时， 不妨设，，显然满足“”， 即当时，可能有，， 即“，且”是“”的充分而不必要条件． 故选：． 9．（2023秋•海淀区期末）已知点，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则　　；点到直线的距离为 　　． 【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， 故，， 所以； 直线的方向单位向量， 又， 所以点到直线的距离为 ． 故答案为：；． 10．（2023秋•丰台区期末）矩形中，，，且，分为，的中点，则　　． 【解答】解：已知矩形中，，，且，分为，的中点， 则，， 则． 故答案为：． 11．（2024秋•朝阳区期末）已知为△所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 　　； 　　． 【解答】解：为△所在平面内一点，满足，且，， ， ， ，， ． 同理可得， ． 故答案为：；． 12．（2024秋•昌平区期末）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，△中，，， 所以，结合为的中点，可得． △中，为边上的中线，所以， 设，则， 可得， 由二次函数的性质，可知：当时，，达到最小值． 所以当时，即为的中点时，取得最小值． 故选：． 13．（2024秋•北京校级期末）的外接圆的半径等于3，，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：法一：设，则，所以， 因为，，所以，， 法二：以为坐标原点建立如图坐标系，则，， 设，则，，，． 故选：． 14．（2023秋•昌平区期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：设，由图可知，与夹角为锐角，故， 又，， 则， 令，则为点到直线的距离， 圆心到直线的距离， 所以，故，． 故选：． 15．（2023秋•通州区期末）在菱形中，，，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：作出示意图形，如下图所示，根据题意，可得， 在点从到的运动过程中，与变大，且它们的夹角变小，可知变大， 若与重合，则，， 可得， 由于点在、之间，且不与，重合，所以为锐角， 当与无限接近时，趋近于0；当与无限接近时，趋近于， 因此可得，即的取值范围是． 故选：． 16．（2023秋•大兴区期末）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 　　；若是圆上的动点，则的取值范围是 　　． 【解答】解：如图以为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设点，， 由题意知，，，， 直线的斜率，的方程为，即， 故到线段的距离； 又，， ，． 故答案为：1；，． 地 城 考点03 平面向量数量积的应用 17．（2023秋•石景山区期末）已知向量，，若，则　　 A． B．1 C．2 D． 【解答】解：； ； ； 解得． 故选：． 18．（2024秋•顺义区期末）已知向量，，若与垂直，则的值为　　 A． B．0 C． D．2 【解答】解：因为向量，，且与垂直， 所以，即，解得． 故选：． 19．（2024秋•海淀区期末）已知向量，，则 　　，的最小值为 　　． 【解答】解：因为向量，， 所以，即， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． 故答案为：；2． 20．（2023秋•房山区期末）已知向量，，且与的夹角为，则的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以，即， 解得或（舍去）． 故选：． 21．（2024秋•北京校级期末）设向量，且，则　　；和所成角为 　　． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以和所成角为． 故答案为：；． 22．（2024秋•顺义区期末）在△中，，，为△所在平面内的动点，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于直线的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，设， 所以，，， 因为，所以，即， 所以，表示点到点和的距离之和， 又设点关于直线的对称点为， 则，解得，即，， 所以，当且仅当在线段上时，等号成立． 故选：． 23．（2023秋•朝阳区期末）在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，，则的最大值为　　 A．2 B．4 C． D． 【解答】解：由，结合向量加法法则知：到的距离为4，又， 则，所以，故为等腰直角三角形， 由，则， 所以，，共线，又，则，， 若，为的两个四等分点，为中点，如下图示， 所以在线段上运动，且，，， 因为，则为的中点， 由图知：与重合时，取得最大值， 所以在中由余弦定理可得：， 即． 故选：． 24．（2023秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则的最大值为　　 A．1 B． C．2 D． 【解答】解：设，则，， 由，可得， 即， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以的最大值为：． 故选：． 25．（2024秋•通州区期末）已知，，是同一平面上的三个向量，满足，，则与的夹角等于 　　 ；若与的夹角为，则的最大值为 　　 ． 【解答】解：因为，， 所以， 又，，，所以， 因为，，如图，设，， 则，， 又向量与的夹角为，则，又， 所以，，、四点共圆，又， 所以， 设△外接圆的半径为，由正弦定理， 所以的最大值为4． 故答案为：；4． 地 城 考点04 复数的相等 26．（2024秋•西城区期末）设为虚数单位，，，且，则　　 A． B．0 C． D．4 【解答】解：由， 得，，则． 故选：． 地 城 考点05 复数的几何意义 27．（2024秋•北京校级期末）设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 则， 故复数在复平面内对应的点的坐标是，故正确． 故选：． 28．（2023秋•朝阳区期末）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则　　 A． B． C．1 D．4 【解答】解：在复平面内对应的点位于虚轴上， 则，解得． 故选：． 29．（2024秋•东城区期末）在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， 则对应的点的坐标是． 故选：． 30．（2024秋•昌平区期末）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由，得， 则复数对应的点的坐标是． 故选：． 31．（2024秋•朝阳区期末）在复平面内，复数对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：，它对应的点的坐标是，位于第二象限 故选：． 32．（2023秋•房山区期末）在复平面内，若复数对应的点为，则　　 A．2 B． C． D． 【解答】解：在复平面内，若复数对应的点为， ， 则． 故选：． 地 城 考点06 共轭复数 33．（2024秋•房山区期末）已知复数满足，则的共轭复数是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为， ， 的共轭复数， 故选：． 34．（2024秋•东城区校级期末）设复数满足，则的共轭复数　　 A． B． C． D． 【解答】解：由，得， ． 故选：． 地 城 考点07 复数的模 35．（2023秋•通州区期末）已知复数满足，则　　 A． B． C．2 D． 【解答】解：由，得， ， 故选：． 36．（2023秋•丰台区期末）若复数，则　　 A． B．1 C． D．2 【解答】解：因为复数， 所以， 所以． 故选：． 地 城 考点08 复数的运算 37．（2024秋•石景山区期末）若复数满足，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由，得． 故选：． 38．（2024秋•通州区期末）设复数满足为虚数单位），则　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，，化为：． 故选：． 39．（2023秋•海淀区期末）如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，， 则，， 复数， 复数的虚部为． 故选：． 40．（2023秋•昌平区期末）在复平面内，复数和对应的点分别为，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由图可知，，， 故． 故选：． 41．（2023秋•石景山区期末）若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则　　 A．5 B． C．3 D． 【解答】解：复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称， ， 则． 故选：． 42．（2024秋•顺义区期末）在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ， 则对应的点的坐标是． 故选：． 43．（2023秋•西城区期末）在复平面内，复数的对应点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：复数的对应点位于第一象限． 故选：． 44．（2024秋•丰台区期末）复数　　 A． B． C． D． 【解答】解：． 故选：． 45．（2024秋•海淀区期末）若复数满足，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由， 得． 故选：． 46．（2023秋•大兴区期末）若复数满足，则复数的虚部是　　 A． B．2 C． D．0 【解答】解：， ，解得， 的虚部为． 故选：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $