专题04 三角函数与三角恒等变换11考点（期末真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题04 三角函数与三角恒等变换 11大高频考点概览 考点 01 扇形面积公式​ 考点 02 任意角的三角函数的定义​ 考点 03 三角函数的周期性​ 考点 04 三角函数的图象​ 考点 05 三角函数的单调性​ 考点 06 三角函数的最值​ 考点 07 三角函数的奇偶性和对称性​ 考点 08 函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换​ 考点 09 由 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式​ 考点 10 同角三角函数间的基本关系​ 考点 11 三角恒等变换 地 城 考点01 扇形面积公式 1．（2024秋•西城区期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名．某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示．设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 　　， 　　． 地 城 考点02 任意角的三角函数的定义 2．（2024秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，且，点在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点．若经过的圆弧的长为，则点的纵坐标为　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则　　 A． B． C． D． 地 城 考点03 三角函数的周期性 4．（2024秋•北京校级期末）设函数，已知，，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023秋•东城区期末）一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示．在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动．设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若，且，求的取值范围． 地 城 考点04 三角函数的图象 7．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数，为图像的对称中心，，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是　　 A．函数的对称轴方程为 B．若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极小值点 C．函数在区间上单调递增 D．的图像关于轴对称 8．（2023秋•东城区期末）设函数，对于下列四个判断： ①函数的一个周期为； ②函数的值域是； ③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； ④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点． 正确的判断是　　 A．① B．② C．③ D．④ 地 城 考点05 三角函数的单调性 9．（2024秋•石景山区期末）“”是“函数在上单调递减”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2024秋•昌平区期末）已知函数的最小正周期为，，且函数在区间，上具有单调性，则的最小值为　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•房山区期末）函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象．给出下列四个结论： ①是函数的一个周期； ②的图象关于直线对称； ③的图象关于点对称； ④在上单调递增． 其中所有正确结论的序号是 　　． 12．（2022秋•朝阳区期末）若函数在区间，上单调递减，则实数的最大值为 　　． 13．（2022秋•朝阳区校级期末）若函数，满足对任意实数，有，则的单调递减区间是 　　． 地 城 考点06 三角函数的最值 14．（2022秋•北京期末）已知函数在区间上的最大值为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 15．（2022秋•丰台区期末）已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则　　． 16．（2024秋•房山区期末）已知函数，，且的最小值为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值． 17．（2023秋•西城区期末）已知函数的一个零点为． （Ⅰ）求的值及的最小正周期； （Ⅱ）若对恒成立，求的最大值和的最小值． 地 城 考点07 三角函数的奇偶性和对称性 18．（2024秋•石景山区期末）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是　　 A． B． C． D． 19．（2024秋•朝阳区期末）函数的图象的一个对称中心是　　 A． B． C． D． 20．（2024秋•顺义区期末）已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为 　　． 21．（2023秋•西城区期末）设，函数．若曲线关于直线对称，则的一个取值为 　　． 地 城 考点08 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 22．（2024秋•通州区期末）关于函数，有下列命题： ①若，则； ②的图象可由向左平移得到； ③若且，则一定有； ④函数的图象关于直线对称． 其中正确命题的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2022秋•石景山区期末）已知函数，则下列命题正确的是 A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点，对称 C．的最小正周期为，且在，上为增函数 D．的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 24．（2023秋•东城区校级期末）设函数，若时，的最小值为，则　　 A．函数的周期为 B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C．当，，的值域为 D．函数在区间，上的零点个数共有6个 25．（2022秋•东城区期末）已知函数，则　　；若将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则的一个对称中心为 　　． 26．（2023秋•房山区期末）已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围． 27．（2022秋•通州区期末）已知函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间． 地 城 考点09 由 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 28．（2022秋•朝阳区期末）已知函数，，若，且函数的部分图象如图所示，则等于　　 A． B． C． D． 29．（2022秋•大兴区期末）函数，，部分图象如图所示，已知． 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求的单调减区间． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 30．（2024秋•西城区期末）已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为． 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 地 城 考点10 同角三角函数间的基本关系 31．（2022秋•昌平区期末）若，，则　　 A． B． C． D． 32．（2023秋•昌平区期末）已知，则　　 ． 地 城 考点11 三角恒等变换 33．（2023秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点．若，，，则 A． B． C． D． 34．（2023秋•海淀区期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（2022秋•海淀区校级期末）已知为第二象限角，，则的值为 　　． 36．（2023秋•通州区期末）已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若，且，求的值． 37．（2022秋•石景山区校级期末）若角的终边过点，则　　 A． B． C． D． 38．（2024秋•西城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则　　 A． B． C． D． 39．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为．若的面积为，则　　 A． B． C． D． 40．（2024秋•海淀区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值； （Ⅱ）若在区间，上的最大值为，求的值． 41．（2023秋•朝阳区期末）已知函数的图象过原点． （Ⅰ）求的值及的最小正周期； （Ⅱ）若函数在区间，上单调递增，求正数的最大值． 42．（2024秋•丰台区期末）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求： （Ⅰ）的值及的单调递增区间； （Ⅱ）在区间上的最大值和最小值． 条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为； 条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到； 条件③：直线为函数图象的一条对称轴． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到，所以； 故，令， 整理得， 故函数的单调递增区间为． （Ⅱ）由于，所以， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为1． 条件③：直线为函数图象的一条对称轴，当时，，故，，所以不唯一，故不选③． 43．（2023秋•石景山区期末）设函数． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：时，的值域是，； 条件③：是的一条对称轴． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角函数与三角恒等变换 11大高频考点概览 考点 01 扇形面积公式​ 考点 02 任意角的三角函数的定义​ 考点 03 三角函数的周期性​ 考点 04 三角函数的图象​ 考点 05 三角函数的单调性​ 考点 06 三角函数的最值​ 考点 07 三角函数的奇偶性和对称性​ 考点 08 函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换​ 考点 09 由 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式​ 考点 10 同角三角函数间的基本关系​ 考点 11 三角恒等变换 地 城 考点01 扇形面积公式 1．（2024秋•西城区期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名．某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示．设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 　　， 　　． 【解答】解：由已知可得，， 则，， 所以； 由图形可得， 所以 ． 故答案为：． 地 城 考点02 任意角的三角函数的定义 2．（2024秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，且，点在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点．若经过的圆弧的长为，则点的纵坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得的纵坐标为． 故选：． 3．（2024秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合， 所以，， 则，． 故选：． 地 城 考点03 三角函数的周期性 4．（2024秋•北京校级期末）设函数，已知，，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：因为，且， 所以，得到① 又，得到②， 由①②得到，，即，，又，所以的最小值为2， 故选：． 5．（2023秋•东城区期末）一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示．在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动．设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到过程中，横坐标由0增大到1，纵坐标从1减小到， 再从到过程中，横坐标由1减小到0，纵坐标从增大到1， 从到的过程中，横坐标由0减小到，纵坐标从1减小到， 从到的过程中，横坐标由增大到1，纵坐标从增大到1； 横坐标的变化情况用表示，纵坐标的变化情况用表示， 由此可得：函数的周期为周期的2倍， 分析选项：选项符合． 故选：． 6．（2022秋•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若，且，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数， 故函数的最小正周期为； （Ⅱ）由于，且， 所以，整理得，故，， 整理得，， 当时，． 地 城 考点04 三角函数的图象 7．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数，为图像的对称中心，，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是　　 A．函数的对称轴方程为 B．若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极小值点 C．函数在区间上单调递增 D．的图像关于轴对称 【解答】解：由题意知，的最大值为，最小值为， 因为，是该图像上相邻的最高点和最低点，且， 所以，两点横坐标之间的距离为，即最小正周期， 而，所以， 由为图像的对称中心，知，即， 所以，，即，， 又，所以， 所以， 选项，令，，则，，即错误； 选项，由，知，， 若函数在区间内有5个零点，则函数在轴右侧的图像包含两个半周期的图像， 所以在此区间内有且只有2个极小值点，即正确； 选项，令，，，则，，， 所以的单调增区间为，，， 同理可得，的单调减区间为，，， 所以在，上单调递增，在，上单调递减，即错误； 选项，，其图像不关于轴对称，即错误． 故选：． 8．（2023秋•东城区期末）设函数，对于下列四个判断： ①函数的一个周期为； ②函数的值域是； ③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； ④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点． 正确的判断是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：对于①，， 故不是函数的一个周期，①错误； 对于②，， 需满足，即， 令，则即为， 当时，在上单调递增，则； 当时，， ，故， 此时在上单调递减，则， 综上，的值域是，②错误； 对于③，由②知，， 当时，， 满足此条件下的图象上的点到的距离；当时，， 满足此条件下的图象上的点到的距离， 当且仅当且时等号成立， 而时，，所以或， 满足此条件的与矛盾，即等号取不到， 故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误； 对于④，由②的分析可知，则，即，， 又，故当且仅当时，， 即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，④正确． 故选：． 地 城 考点05 三角函数的单调性 9．（2024秋•石景山区期末）“”是“函数在上单调递减”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由，可得，在上单调递减； 由，得，则， 若函数在上单调递减， 则，，可得，， 也即， 即“”是“函数在上单调递减”的充分必要条件． 故选：． 10．（2024秋•昌平区期末）已知函数的最小正周期为，，且函数在区间，上具有单调性，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，， 因为，且的周期为，所以，可得，， 又因为，且函数在区间，上具有单调性， 所以点，与，关于，对称． 而的零点满足，解得． 所以，可得， 当时，，此时取得最小值． 故选：． 11．（2022秋•房山区期末）函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象．给出下列四个结论： ①是函数的一个周期； ②的图象关于直线对称； ③的图象关于点对称； ④在上单调递增． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：， 设，最小正周期为， ，最小正周期为， ，最小正周期为， 所以的最小正周期为上面所求的三个最小正周期的最小公倍数， 故函数的最小正周期为，故①正确； 对于：当时，，故②错误； 对于，故③正确； 对于：由于， 故， ，，，，，， ，． ， ，故在，单调递增，故④正确， 故答案为：①③④． 12．（2022秋•朝阳区期末）若函数在区间，上单调递减，则实数的最大值为 　　． 【解答】解：， 令，， 整理得，， 由于函数在区间，上单调递减， 故，， 故当时，实数的最大值为． 故答案为：． 13．（2022秋•朝阳区校级期末）若函数，满足对任意实数，有，则的单调递减区间是 　　． 【解答】解：因为，所以关于对称，， 因为，所以， 故， 令，， 故，， 故的单调递减区间为，． 故答案为：，． 地 城 考点06 三角函数的最值 14．（2022秋•北京期末）已知函数在区间上的最大值为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数的最小正周期为， 区间，的长度为， 考虑一个周期内的取值情况，作出在区间，这一个周期内的函数图象，如下所示， 根据图象可得，当时，，最大值； 当时，，最大值； 当时，，最大值， 综上，的最小值为． 故选：． 15．（2022秋•丰台区期末）已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则　　． 【解答】解：对于函数， 由，得函数图象关于对称， 又在区间上有最小值，无最大值，可得， 解得． 故答案为：4． 16．（2024秋•房山区期末）已知函数，，且的最小值为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值． 【解答】解：（Ⅰ）函数，，且的最小值为， 故函数的最小正周期为， 所以． （Ⅱ）由于． 由于，所以， 所以当时，函数的最大值为1． 17．（2023秋•西城区期末）已知函数的一个零点为． （Ⅰ）求的值及的最小正周期； （Ⅱ）若对恒成立，求的最大值和的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数， 所以， 解得， 所以， 故函数的最小正周期为； （Ⅱ）由于， 所以， 故，； 由于对恒成立； 故的最大值为，的最小值为1． 地 城 考点07 三角函数的奇偶性和对称性 18．（2024秋•石景山区期末）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：中，函数，可得函数的定义域为，且，可得函数为偶函数，所以不正确； 中，的定义域为，设，则，所以函数为奇函数， 由对勾函数的性质可得函数在和上单调递增，在和上单调递减，所以不正确； 中，的定义域为，设，可得，所以函数为奇函数， 且，可得函数在上单调递增，所以正确； 中，设，可得或，即函数定义域得或，关于原点对称， 设，，可得函数为奇函数， 在或上单调递减，所以不正确． 故选：． 19．（2024秋•朝阳区期末）函数的图象的一个对称中心是　　 A． B． C． D． 【解答】解：令， 即，当时，对称中心为，选项正确； 当时，对称中心为，当时，对称中心为，，，选项不正确． 故选：． 20．（2024秋•顺义区期末）已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为 　　． 【解答】解：的图象关于直线对称， ，即， ． 令，得， ， 适合题意． 故答案为：（不唯一）． 21．（2023秋•西城区期末）设，函数．若曲线关于直线对称，则的一个取值为 　　． 【解答】解：因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得，， 所以，， 当时，． 故答案为：3（答案不唯一）． 地 城 考点08 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 22．（2024秋•通州区期末）关于函数，有下列命题： ①若，则； ②的图象可由向左平移得到； ③若且，则一定有； ④函数的图象关于直线对称． 其中正确命题的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：关于函数，， ①若，则，错误； ②由向左平移得，错误； ③若，则，此时单调递增， 若，且，则一定有，正确； ④因为，此时函数取得最大值，即的图象关于直线对称，正确． 故选：． 23．（2022秋•石景山区期末）已知函数，则下列命题正确的是 A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点，对称 C．的最小正周期为，且在，上为增函数 D．的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 【解答】解：， 选项，，不是最值，所以的图象不关于直线对称，即错误； 选项，，所以的图象不关于点，对称，即错误； 选项，最小正周期， 令，，，则，，， 当时，在，上为增函数， 所以在，上为增函数，即正确； 选项，的图象向右平移个单位，得到，不是偶函数，即错误． 故选：． 24．（2023秋•东城区校级期末）设函数，若时，的最小值为，则　　 A．函数的周期为 B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C．当，，的值域为 D．函数在区间，上的零点个数共有6个 【解答】解：对于，由题意，得，所以，则，所以，故错误； 对于，将函数的图像向左平移个单位，得到的函数是为偶函数，故错误； 对于，当，时，则，所以的值域为，故错误； 对于，令，得到，，所以当，，，0，1，2时，，，所以函数在区间，上的零点个数共有6个，故正确． 故选：． 25．（2022秋•东城区期末）已知函数，则　　；若将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则的一个对称中心为 　　． 【解答】解：函数，． 将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象， 令，，可得则的对称中心为，， 则的一个对称中心为， 故答案为：1；，答案不唯一． 26．（2023秋•房山区期末）已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 可得的图象， 再根据所得函数图象关于原点对称，可得，， 则，． （Ⅱ）设 ． 若在区间上有且只有一个零点， 即在区间上有且只有一个解． 而，故有，， 故的取值范围为，． 27．（2022秋•通州区期末）已知函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间． 【解答】解：（Ⅰ）函数 的最小正周期为， ，． （Ⅱ）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象； 再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象． 令，，求得， 可得函数的单调递增区间为，，． 地 城 考点09 由 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 28．（2022秋•朝阳区期末）已知函数，，若，且函数的部分图象如图所示，则等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：由已知得， 据图可知是在一个周期内的三个零点， 且在上先增后减，在上先减后增， 故，所以， 且，得，， 又，故时，即为所求． 故选：． 29．（2022秋•大兴区期末）函数，，部分图象如图所示，已知． 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求的单调减区间． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【解答】解：已知，由图得，又知．所以． （Ⅰ）若选择条件①②，即，，因为， 由图可知，，即，因为，所以当时，，所以． 又因为，所以，所以． 若选择条件①③，即，．因为， 由图可知，，即， 因为，所以当时，．所以． 又因为，所以，所以． 选择条件②③，即，，因为， 由图可知，当时取得最大值， 即，，由，得，， 因为所以，又，所以，所以． （Ⅱ）因为函数的单调递减区间为，，． 由，，得，． 所以单调递减区间为，，． 30．（2024秋•西城区期末）已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为． 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）选条件①②：由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为， 可得最小正周期，解得， 由，，得， 所以； 选条件②③：由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为， 得最小正周期，由，，得， 因为的一个零点为，即， 所以，即，由，得； 所以； 选条件①③，，，得， ，可得，即，，， 可得，，则不唯一，所以与题意矛盾； （Ⅱ）由，得，其中， 所以是函数的一个单调减区间， 又因为函数在区间上单调递减， 所以的最大值为． 地 城 考点10 同角三角函数间的基本关系 31．（2022秋•昌平区期末）若，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ， 则， 故选：． 32．（2023秋•昌平区期末）已知，则　　 ． 【解答】解：因为， 所以， 则． 故答案为： 地 城 考点11 三角恒等变换 33．（2023秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点．若，，，则 A． B． C． D． 【解答】解：角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点． 且，，， ，，， ，， ． 故选：． 34．（2023秋•海淀区期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由题意，当时，比如，符合条件， 但，，即不能推出； 当时，即， 又倾斜角的范围是，，即，， ，即，，或，，， 若，，，则，， 同理，若，，，则，， 此时，即可以推出． 则“”是“”的必要而不充分条件． 故选：． 35．（2022秋•海淀区校级期末）已知为第二象限角，，则的值为 　　． 【解答】解：因为为第二象限角，， 所以，且，，解得，， 所以． 故答案为：． 36．（2023秋•通州区期末）已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若，且，求的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为， 所以， 所以的最小正周期， 令， 得， 所以的单调进增区间为 ； （Ⅱ）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以的值为． 37．（2022秋•石景山区校级期末）若角的终边过点，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：角的终边过点，， 则， 故选：． 38．（2024秋•西城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上， 所以，， 则． 故选：． 39．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为．若的面积为，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限， 且与单位圆交于点，轴，垂足为． 若的面积为，则， ， 故选：． 40．（2024秋•海淀区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值； （Ⅱ）若在区间，上的最大值为，求的值． 【解答】解：（Ⅰ）函数； 由于函数的最小正周期为， 所以曲线的两条对称轴之间距离的最小值为； （Ⅱ）由于，，所以， 结合在该区间上的最大值为，故或， 由于，可得或， 根据函数的性质，只有取得最大值． 41．（2023秋•朝阳区期末）已知函数的图象过原点． （Ⅰ）求的值及的最小正周期； （Ⅱ）若函数在区间，上单调递增，求正数的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）的图象过原点， ，， ， 的最小正周期为； （Ⅱ）令， 得， 的单调递增区间为，， 在区间，上单调递增，且，，此时， ，故的最大值为． 42．（2024秋•丰台区期末）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求： （Ⅰ）的值及的单调递增区间； （Ⅱ）在区间上的最大值和最小值． 条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为； 条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到； 条件③：直线为函数图象的一条对称轴． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）函数； 选条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，故函数的最小正周期为，所以； 故，令， 整理得， 故函数的单调递增区间为． （Ⅱ）由于，所以， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为1． 条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到，所以； 故，令， 整理得， 故函数的单调递增区间为． （Ⅱ）由于，所以， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为1． 条件③：直线为函数图象的一条对称轴，当时，，故，，所以不唯一，故不选③． 43．（2023秋•石景山区期末）设函数． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：时，的值域是，； 条件③：是的一条对称轴． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：， （Ⅰ）若，则； （Ⅱ）在区间上单调递减， ． 若选条件①：函数的图象经过点，这是不可能的，因为，故这种情况不存在； 若选条件②：时，，，的值域是，； 又在区间上单调递减， ，， ； 若选条件③：是的一条对称轴，则， ， 由式，可得． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $