专题09 圆锥曲线6考点（期末真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题09 圆锥曲线 6大高频考点概览 考点 01 直线的方程​ 考点 02 圆的方程​ 考点 03 椭圆的方程及其性质​ 考点 04 双曲线的方程及其性质​ 考点 05 抛物线的方程及其性质​ 考点 06 曲线与方程 地 城 考点01 直线的方程 1．（2023秋•海淀区期末）已知直线，直线，且，则　　 A．1 B． C．4 D． 【解答】解：直线的方程整理可得：， 因为两条直线平行，所以，解得． 故选：． 2．（2024秋•房山区期末）在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为　　 A．1 B．2 C． D．3 【解答】解：直线，即， 可得点到直线的距离， 由，可得， 所以， 当时，取得最大值，即的最大值为． 所以当的坐标为，时，到直线的距离的最大值为． 故选：． 地 城 考点02 圆的方程 3．（2024秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过，，三点，则该圆经过的整点共有　　 A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【解答】解：设圆的方程为， 由题意可得，，解得，， 故圆的方程为，即， 故该圆经过的整点有，，，，，，，，，，，，共12个． 故选：． 4．（2024秋•北京校级期末）圆的圆心到的距离为 A． B．2 C．3 D． 【解答】解：圆的圆心， 圆的圆心到的距离：． 故选：． 5．（2023秋•西城区期末）已知点，点满足．若点，其中，则的最小值为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：由题意可得点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆， 由点，可得点在直线上， 的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即． 故选：． 6．（2024秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，则对任意实数，的最小值为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：因为直线过定点，直线过定点， 又直线与直线，满足， 故两直线垂直， 故两直线的交点在以为直径的圆上（不含点， 该圆方程为，设其圆心为，半径为3， 则，当且仅当，，共线时，即位于点时，等号成立， 故的最小值为． 故选：． 7．（2023秋•房山区期末）已知直线与圆相切，则实数　　 A．1或9 B．或9 C．或 D．1或 【解答】解：直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径， 即， 解得或． 故选：． 8．（2024秋•石景山区期末）圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的纵坐标为　　 A．1 B． C．2 D．3 【解答】解：根据在直线上，可得，，即， 因为圆心在轴上，所以设，可得， 根据切线的斜率，且切线与垂直， 可得，解得，所以圆心的纵坐标为3． 故选：． 9．（2024秋•海淀区期末）已知直线与圆交于，两点，则　　 A． B．2 C．3 D． 【解答】解：直线化成一般式，可得， 圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长． 故选：． 10．（2024秋•昌平区期末）已知直线与圆相交于，两点，则　　 A．1 B． C． D．2 【解答】解：设圆，整理可得：，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以弦长． 故选：． 11．（2024秋•朝阳区期末）已知圆，过点的直线与圆交于，两点．当取最小值时，直线的方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，圆圆心为，半径． 点满足，可知点在圆的内部． 由圆的性质，可得：当点为弦的中点时，，此时取最小值， 因为的斜率，所以取最小值时，的斜率． 此时直线的方程为，即． 故选：． 12．（2024秋•顺义区期末）已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则 ． 【解答】解：在圆中，由垂直于弦，且平分弦的性质， 因为圆交于不同的两点，，圆心，半径， 若的中点为，可得， 所以弦长． 故答案为：． 13．（2023秋•丰台区期末）已知直线与圆相切，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：联立，消去并整理得， 由直线与圆相切可得△， 解得． 故选：． 14．（2023秋•东城区期末）已知线段的长度为10，是线段上的动点（不与端点重合）．点在圆心为，半径为的圆上，且，，不共线，则的面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，， 根据题意作出示意图如下， 所以的面积，当且仅当，且时，等号成立， 所以的面积的最大值为． 故选：． 15．（2023秋•石景山区期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为圆，化成标准方程为， 则圆心，半径为， 又直线与圆有两个不同交点， 所以圆心到直线的距离， 解得：， 所以有两个不同交点的一个充分不必要条件是． 故选：． 16．（2023秋•海淀区期末）已知，直线与交于，两点．若△为直角三角形，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：，即， 故圆的圆心为，半径为， △为直角三角形， 则圆心到直线的距离为， 故，解得． 故选：． 17．（2024秋•西城区期末）过点的直线与圆相交于，两点，那么当取得最小值时，直线的方程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以点在圆内， 又可化为， 则圆的圆心坐标为， 当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 则， 即直线的方程是， 即． 故选：． 18．（2024秋•东城区校级期末）已知圆，直线与圆交于，两点．若△为直角三角形，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：圆，即， 故圆的圆心为，半径为， △为直角三角形， 则圆心到直线的距离为， 故，解得． 故选：． 19．（2024秋•通州区期末）圆与圆的位置关系是　　 A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 【解答】解：圆，即， 则圆心，半径， 圆， 则圆心，半径， 因为， 所以两圆位置关系是外离． 故选：． 地 城 考点03 椭圆的方程及其性质 20．（2024秋•海淀区期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则　　 A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【解答】解：椭圆的焦点在轴上，可知，长轴长为，所以不正确； 椭圆的焦距为，所以不正确； 当时，可得，解得，所以在椭圆外． 所以正确；错误． 故选：． 21．（2024秋•通州区期末）已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点．在轴上是否存在定点，使得为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题设可知，，所以，， 所以椭圆的标准方程为． 离心率． （Ⅱ）由题意直线的斜率存在且不为0． 设直线方程为，则点坐标为． 由得． 由题意△．设，，，， 则，， 因为与关于轴对称，则，， 则直线的方程为． 令，， 则点坐标为，假设存在定点满足条件， 则有△△． 则有． 所以．所以点坐标为或． 22．（2024秋•石景山区期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过椭圆的上顶点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，且椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积为， 所以， 解得，，， 则椭圆的标准方程为； （Ⅱ）因为， 易知直线的斜率存在且不为0， 所以直线的方程为， 联立，消去并整理得， 解得或， 因为点与点不同， 所以， 因为， 所以， 所以直线的方程为， 因为， 所以直线， 将代入直线的方程中， 解得， 即， 因为垂直于直线， 所以， 在直角△和直角△中，， 所以， 即， 因为，，， 所以， 整理得， 解得， 因为． 所以的值为． 23．（2024秋•丰台区期末）已知椭圆的上顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的下顶点，动点到坐标原点的距离等于与，不重合），直线与椭圆的另一个交点为．记直线，的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，，又，可得，， 椭圆的方程为． （2）为椭圆的下顶点，． 设，且，则直线的斜率． 由点到坐标原点的距离等于1，可知点在以为直径的圆上， 直线与直线垂直． 由题意得直线的斜率， 直线的斜率， ． 点在椭圆上，， 故，， 存在，使得恒成立． 24．（2024秋•北京校级期末）设椭圆，离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，直线与轴不重合． （1）求椭圆的方程； （2）已知点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于，若，求直线的斜率． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，长轴长为4， 所以， 解得，，， 则． （2）因为过点的直线与椭圆交于，两点，直线与轴不重合，所以直线的斜率不为0， 设直线得方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 解得或，； 由韦达定理得，， 所以，， 若， 此时， 即， 直线，直线， 令， 可得，， 令， 可得，， 所以， 即， 此时， 解得， 直线斜率为． 综上所述，直线的斜率为． 25．（2024秋•东城区校级期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是坐标原点，，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，直线与椭圆交于另一点．证明：，，三点共线． 【解答】（Ⅰ）解：因为左、右顶点分别为，，，， 所以，，解得，，， 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）证明：设点，则点，，，，， 所以，， 所以直线的方程为，其中， 由，得， 得， ， 即，， ； ； 所以． 所以，，三点共线． 26．（2024秋•昌平区期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若过点，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，点在线段（不包括两端点）上，为坐标原点，直线与直线，分别交于点，．求证：点，关于原点对称． 【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，且经过点， 所以， 解得，， 则椭圆的方程为； （Ⅱ）证明：设过点斜率为的直线方程为，，，，， 联立，消去并整理得 因为在椭圆内， 所以△， 由韦达定理得，， 直线的方程为，直线的方程为， 在直线方程中， 令， 解得， 直线的方程为， 联立， 解得， 同理得， 所以， 因为， 所以， 所以， 则点为线段中点． 故点，关于原点对称． 27．（2024秋•西城区期末）已知椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，点，△的面积为2． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点且斜率为的直线交椭圆于点，，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为．若四边形为正方形，求的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆离心率为，点，△的面积为2， 所以， 解得，， 则椭圆的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为， 当时，线段的垂直平分线为轴，不符合题意； 当时，设，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 所以， 则线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 令， 解得， 即， 因为线段和互相垂直平分， 所以四边形为菱形， 要使四边形为正方形， 需满足， 所以 ， 即， 解得． 则的值为． 28．（2024秋•顺义区期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）不经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且．设△，△的面积分别为，，求的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的一个顶点为，离心率为， 所以， 解得，， 则椭圆的方程为； （Ⅱ）当直线的斜率不存在时， 设直线的方程为， 因为， 所以， 因为点在椭圆上， 所以， 即， 解得或， 因为， 所以， 因为，， 所以； 当直线的斜率存在时， 设直线方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 所以， 因为， 所以， 即， 可得， 即， 整理得， 因为直线不过点， 所以， 所以， 易知点到直线的距离，点到直线的距离， 因为，， 则． 综上所述，． 29．（2024秋•东城区期末）已知椭圆的一个顶点为，且焦距为2．为第一象限内上的动点，过点作斜率为，的直线分别与交于点，（均异于点，直线与轴交于点，为线段的中点，直线与轴交于点． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）当时，求点的横坐标． 【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的一个顶点为，且焦距为2， 所以， 解得，， 则的方程为； （Ⅱ）设，，，，，，，， 此时直线，， 联立，消去并整理得， 所以， 即， 同理得， 因为为线段中点， 所以， 此时直线， 令， 解得， 即，， 设直线与轴交于点， 因为，，，四点共线， 所以， 解得， 所以， 因为， 所以． 综上所述，点的横坐标为． 30．（2024秋•房山区期末）已知椭圆过点，离心率为．一条直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线为，，为直线与直线的交点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆过点，离心率为， 所以， 解得， 则椭圆的方程为； （Ⅱ）设，，，， 此时， 当直线的斜率存在且不为零时， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时△， 解得， 当时， 由韦达定理得， 即， 解得， 此时， 所以， 所以直线的方程为， 即， 此时直线恒过定点； 当直线轴时，直线的方程为， 此时点，两点关于轴对称， 所以直线为轴， 此时直线过点； 当直线轴时， 此时点，两点关于轴对称， 所以，不符合题意． 综上所述，直线恒过定点． 31．（2024秋•海淀区期末）已知椭圆的左顶点为，离心率． （1）求的标准方程； （2）设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为，当与不重合时，求证：． 【解答】解：（1）因为椭圆的左顶点为，离心率， 所以， 解得，， 则椭圆的标准方程为； （2）证明：设，，， 因为点在椭圆上， 所以， 因为点关于轴的对称点为， 所以，， 则直线的斜率， 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率， 因为直线经过点， 所以直线的方程， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 所以， 所以， ，， 因为，不重合， 所以， 所以， 所以， 因为两条直线不重合． 所以． 32．（2024秋•朝阳区期末）已知椭圆的离心率为，右顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点．已知点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，．证明：直线过定点． 【解答】（1）解：由已知可得，，则， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）证明：设点，，则，，且， 直线，即， 由，得． 所以，则， 所以， 所以．同理， 依题意，所以， 所以直线的方程为，整理得， 所以直线过定点． 地 城 考点04 双曲线的方程及其性质 33．（2023秋•通州区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由已知结合双曲线的定义可得：，，，且双曲线的焦点在轴上， ， 则双曲线的标准方程为． 故选：． 34．（2024秋•东城区期末）写出一个焦点在轴上且离心率为2的双曲线的标准方程：　　． 【解答】解：由双曲线的离心率，得， 不妨取，则，此时． 又双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 35．（2024秋•房山区期末）已知双曲线的渐近线方程为，则，的一组值依次为 　　． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为，可得，所以， 则，的一组值依次为1，． 故答案为：1，（答案不唯一）． 36．（2024秋•朝阳区期末）双曲线的渐近线方程是 　　；设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则 　　． 【解答】解：由双曲线，得，，且焦点在轴上， 则双曲线的渐近线方程是； 又点在双曲线上，且，可知在双曲线左支上， 且，即，解得． 故答案为：；7． 37．（2024秋•昌平区期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的值为　　 A．9 B． C．3 D． 【解答】解：由题可得， 由，得， 所以双曲线的渐近线方程， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，得． 故选：． 38．（2024秋•西城区期末）若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足　　 A． B． C． D． 【解答】解：直线与双曲线没有公共点， 可得，所以． 所以双曲线的离心率． 故选：． 39．（2024秋•东城区校级期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线为，则的方程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为双曲线的一个焦点是，渐近线为， 所以焦点在轴上，，且， 又， 可得，． 故的方程是． 故选：． 40．（2023秋•房山区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线左支上一动点，为双曲线的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线的另一条渐近线平行，则双曲线的方程可能是　　 A． B． C． D． 【解答】解：不妨设点在第二象限， 由双曲线的定义得， 当且仅当为线段与双曲线的交点时取等号， 此时与渐近线垂直， 因为与渐近线平行， 所以双曲线的两条渐近线相互垂直，即，所以该双曲线为等轴双曲线， ，，不满足，满足，所以双曲线的方程可能是． 故选：． 41．（2024秋•海淀区期末）双曲线的渐近线方程为　　． 【解答】解：把双曲线转化为标准方程：， 双曲线的渐近线方程为 ， 整理，得． 故答案为：． 42．（2024秋•石景山区期末）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则△的面积等于 　　． 【解答】解：双曲线中，，，，， 已知，可令，，且，则，即， 所以，，而，则， 所以△为直角三角形，且，故其面积为． 故答案为：24． 43．（2023秋•朝阳区期末）已知双曲线的一条渐近线过点，则其离心率为 　　． 【解答】解：不妨设渐近线为， 双曲线的一条渐近线过点， 则，即， 故． 故答案为：． 44．（2024秋•通州区期末）已知直线，双曲线，则“”是“直线与双曲线无交点”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：双曲线与直线无交点等价于，即， “”是“直线与双曲线无交点”的充分而不必要条件． 故选：． 45．（2024秋•北京校级期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 　　． 【解答】解：双曲线的方程为， ，，，渐近线方程为， 又直线过定点， 作出直线与双曲线图象，如图所示： 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知． 故答案为：． 地 城 考点05 抛物线的方程及其性质 46．（2024秋•海淀区期末）抛物线的焦点为，点在上，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为，点在上， ，， 则． 故选：． 47．（2024秋•丰台区期末）抛物线的准线方程是　　 ． 【解答】解：抛物线的方程为 抛物线以原点为顶点，开口向右． 由，可得，可得抛物线的焦点为，准线方程为 故答案为： 48．（2024秋•石景山区期末）抛物线的焦点到准线的距离是 　　． 【解答】解：根据题意可知焦点，准线方程， 焦点到准线的距离是 故答案为2． 49．（2024秋•朝阳区期末）已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4，则抛物线的焦点坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得 焦点坐标为． 故选：． 50．（2024秋•北京校级期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则　　 A．7 B．6 C．5 D．4 【解答】解：如图所示，因为点到直线的距离， 点到直线的距离． 由方程可知，是抛物线的准线， 又抛物线上点到准线的距离和到焦点的距离相等， 故． 故选：． 51．（2023秋•大兴区期末）已知定点和抛物线，是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：作出抛物线的图象如图： 点在抛物线内，抛物线的准线方程为， 过作准线的垂线，垂足为，垂线交抛物线于， 则此时取最小值为． 故选：． 52．（2023秋•海淀区期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则　　 A． B．4 C．5 D． 【解答】解：知抛物线方程为：，， 设，，由，得， 又，所以， ，． 故选：． 53．（2023秋•朝阳区期末）设抛物线的焦点为，点是的准线与的对称轴的交点，点在上，若，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：不妨设抛物线方程为，焦点为， 作垂直准线，作垂直， ，四边形为矩形， 则， 设， 则，， ． 故选：． 54．（2024秋•东城区校级期末）已知抛物线． ①则的准线方程为 　　； ②设的顶点为，焦点为．点在上，点与点关于轴对称，若平分，则点的横坐标为 　　． 【解答】解：抛物线． 所以，，可得准线方程为：； 由点与点关于轴对称，可得， 可得， 平分，可得， 故，可得， 由抛物线的定义可得在准线上， 所以， 故，即点的横坐标为2． 故答案为：；2． 55．（2024秋•昌平区期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点的纵坐标为 　　，点为坐标原点，△的面积为 　　． 【解答】解：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上， 设， 又， 则， 即， 则点的纵坐标为3； 又， 即， 则△的面积为． 故答案为：3；． 56．（2024秋•通州区期末）已知抛物线的焦点为，点，在上，若，则线段的中点的横坐标为 　　． 【解答】解：设，，，， 又， 则， 即， 即， 即线段的中点的横坐标为3． 故答案为：3． 地 城 考点06 曲线与方程 57．（2024秋•海淀区期末）已知曲线，给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上恰好有4个整点（即横、纵坐标均是整数的点）； ③曲线上存在一点，使得到点的距离小于1； ④曲线所围成区域的面积大于4． 其中，所有正确结论的序号为 　　． 【解答】解：由，则，且，易知曲线为封闭曲线， 所以，易得，故， 时；时；时， 故曲线过点，，，显然，不关于直线对称，①错；对于曲线上任意点，其关于轴对称点为， 则，故曲线关于轴对称， 综上，曲线的大致图形如下图示，显然曲线上恰好有4个整点，②对； 由圆过点，，，故圆上点均在曲线上或内， 所以曲线上不存在点，使得到点的距离小于1，③错； 如图中，四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，④对． 故答案为：②④． 58．（2024秋•丰台区期末）已知曲线，为常数），给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②当时，曲线恒过两个定点； ③设，为曲线上的两个动点，则存在，，使得有最大值； ④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，存在，使得． 其中所有正确结论的序号为 　　． 【解答】解：对于①，在曲线上任取一点，则， 点关于原点的对称点为， 则， 即点在曲线上，所以曲线关于坐标原点对称，①对； 对于②，当时，则，曲线的方程为， 由，解得或， 所以当时，曲线恒过两个定点、，②对； 对于③，当，时，将曲线的方程视为关于的二次方程， 对于方程，△， 解方程，可得， 不妨取点，， 则， 当时，，则，故无最大值，③错； 对于④，当，时，在曲线的方程中，令，可得，令，可得， 此时，曲线交轴的正半轴于点，交轴正半轴于点， 当，且时， ， 所以在第一象限内，曲线在线段上方，如下图所示： 则，④对． 故答案为：①②④． 59．（2023秋•丰台区期末）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线过原点； ②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形； ③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线围成区域的面积大于． 则所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：设，由题意可得， 化简可得或， 对于①，当 时，或， 所以曲线过原点，故①正确； 对于②，曲线关于轴对称，故②错误； 对于③，曲线经过整点，，，，故③正确； 对于④，方法一：曲线围成区域的面积，故④正确． 方法二：如图： 由，，， 四边形的面积， ， 多边形的面积为， 所以曲线围成区域的面积大于． 故答案为：①③④． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆锥曲线 6大高频考点概览 考点 01 直线的方程​ 考点 02 圆的方程​ 考点 03 椭圆的方程及其性质​ 考点 04 双曲线的方程及其性质​ 考点 05 抛物线的方程及其性质​ 考点 06 曲线与方程 地 城 考点01 直线的方程 1．（2023秋•海淀区期末）已知直线，直线，且，则　　 A．1 B． C．4 D． 2．（2024秋•房山区期末）在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为　　 A．1 B．2 C． D．3 地 城 考点02 圆的方程 3．（2024秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过，，三点，则该圆经过的整点共有　　 A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 4．（2024秋•北京校级期末）圆的圆心到的距离为 A． B．2 C．3 D． 5．（2023秋•西城区期末）已知点，点满足．若点，其中，则的最小值为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 6．（2024秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，则对任意实数，的最小值为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2023秋•房山区期末）已知直线与圆相切，则实数　　 A．1或9 B．或9 C．或 D．1或 8．（2024秋•石景山区期末）圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的纵坐标为　　 A．1 B． C．2 D．3 故选：． 9．（2024秋•海淀区期末）已知直线与圆交于，两点，则　　 A． B．2 C．3 D． 10．（2024秋•昌平区期末）已知直线与圆相交于，两点，则　　 A．1 B． C． D．2 11．（2024秋•朝阳区期末）已知圆，过点的直线与圆交于，两点．当取最小值时，直线的方程为　　 A． B． C． D． 12．（2024秋•顺义区期末）已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则 ． 13．（2023秋•丰台区期末）已知直线与圆相切，则　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•东城区期末）已知线段的长度为10，是线段上的动点（不与端点重合）．点在圆心为，半径为的圆上，且，，不共线，则的面积的最大值为　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•石景山区期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•海淀区期末）已知，直线与交于，两点．若△为直角三角形，则　　 A． B． C． D． 17．（2024秋•西城区期末）过点的直线与圆相交于，两点，那么当取得最小值时，直线的方程是　　 A． B． C． D． 18．（2024秋•东城区校级期末）已知圆，直线与圆交于，两点．若△为直角三角形，则　　 A． B． C． D． 19．（2024秋•通州区期末）圆与圆的位置关系是　　 A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 地 城 考点03 椭圆的方程及其性质 20．（2024秋•海淀区期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则　　 A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 21．（2024秋•通州区期末）已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点．在轴上是否存在定点，使得为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2024秋•石景山区期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过椭圆的上顶点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值． 23．（2024秋•丰台区期末）已知椭圆的上顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的下顶点，动点到坐标原点的距离等于与，不重合），直线与椭圆的另一个交点为．记直线，的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 24．（2024秋•北京校级期末）设椭圆，离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，直线与轴不重合． （1）求椭圆的方程； （2）已知点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于，若，求直线的斜率． 25．（2024秋•东城区校级期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是坐标原点，，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，直线与椭圆交于另一点．证明：，，三点共线． 26．（2024秋•昌平区期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若过点，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，点在线段（不包括两端点）上，为坐标原点，直线与直线，分别交于点，．求证：点，关于原点对称． 27．（2024秋•西城区期末）已知椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，点，△的面积为2． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点且斜率为的直线交椭圆于点，，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为．若四边形为正方形，求的值． 28．（2024秋•顺义区期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）不经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且．设△，△的面积分别为，，求的值． 29．（2024秋•东城区期末）已知椭圆的一个顶点为，且焦距为2．为第一象限内上的动点，过点作斜率为，的直线分别与交于点，（均异于点，直线与轴交于点，为线段的中点，直线与轴交于点． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）当时，求点的横坐标． 30．（2024秋•房山区期末）已知椭圆过点，离心率为．一条直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线为，，为直线与直线的交点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由． 31．（2024秋•海淀区期末）已知椭圆的左顶点为，离心率． （1）求的标准方程； （2）设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为，当与不重合时，求证：． 32．（2024秋•朝阳区期末）已知椭圆的离心率为，右顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点．已知点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，．证明：直线过定点． 地 城 考点04 双曲线的方程及其性质 33．（2023秋•通州区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为　　 A． B． C． D． 34．（2024秋•东城区期末）写出一个焦点在轴上且离心率为2的双曲线的标准方程：　　． 35．（2024秋•房山区期末）已知双曲线的渐近线方程为，则，的一组值依次为 　　． 36．（2024秋•朝阳区期末）双曲线的渐近线方程是 　　；设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则 　　． 37．（2024秋•昌平区期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的值为　　 A．9 B． C．3 D． 38．（2024秋•西城区期末）若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足　　 A． B． C． D． 39．（2024秋•东城区校级期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线为，则的方程是　　 A． B． C． D． 40．（2023秋•房山区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线左支上一动点，为双曲线的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线的另一条渐近线平行，则双曲线的方程可能是　　 A． B． C． D． 41．（2024秋•海淀区期末）双曲线的渐近线方程为　　． 42．（2024秋•石景山区期末）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则△的面积等于 　　． 43．（2023秋•朝阳区期末）已知双曲线的一条渐近线过点，则其离心率为 　　． 44．（2024秋•通州区期末）已知直线，双曲线，则“”是“直线与双曲线无交点”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 45．（2024秋•北京校级期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 　　． 地 城 考点05 抛物线的方程及其性质 46．（2024秋•海淀区期末）抛物线的焦点为，点在上，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 47．（2024秋•丰台区期末）抛物线的准线方程是　　 ． 48．（2024秋•石景山区期末）抛物线的焦点到准线的距离是 　　． 49．（2024秋•朝阳区期末）已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4，则抛物线的焦点坐标为　　 A． B． C． D． 50．（2024秋•北京校级期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则　　 A．7 B．6 C．5 D．4 51．（2023秋•大兴区期末）已知定点和抛物线，是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 52．（2023秋•海淀区期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则　　 A． B．4 C．5 D． 53．（2023秋•朝阳区期末）设抛物线的焦点为，点是的准线与的对称轴的交点，点在上，若，则　　 A． B． C． D． 54．（2024秋•东城区校级期末）已知抛物线． ①则的准线方程为 　　； ②设的顶点为，焦点为．点在上，点与点关于轴对称，若平分，则点的横坐标为 　　． 故答案为：；2． 55．（2024秋•昌平区期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点的纵坐标为 　　，点为坐标原点，△的面积为 　　． 56．（2024秋•通州区期末）已知抛物线的焦点为，点，在上，若，则线段的中点的横坐标为 　　． 地 城 考点06 曲线与方程 57．（2024秋•海淀区期末）已知曲线，给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上恰好有4个整点（即横、纵坐标均是整数的点）； ③曲线上存在一点，使得到点的距离小于1； ④曲线所围成区域的面积大于4． 其中，所有正确结论的序号为 　　． 58．（2024秋•丰台区期末）已知曲线，为常数），给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②当时，曲线恒过两个定点； ③设，为曲线上的两个动点，则存在，，使得有最大值； ④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，存在，使得． 其中所有正确结论的序号为 　　． 59．（2023秋•丰台区期末）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线过原点； ②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形； ③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线围成区域的面积大于． 则所有正确结论的序号是 　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $