专题05 解三角形7考点（期末真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题05 解三角形 7大高频考点概览 考点 01 利用正弦定理解三角形​ 考点 02 正弦定理与三角形解的存在性和个数​ 考点 03 利用余弦定理解三角形​ 考点 04 三角形中的几何计算​ 考点 05 解三角形的实际应用​ 考点 06 解三角形的最值问题​ 考点 07 三角函数与解三角形的综合 地 城 考点01 利用正弦定理解三角形 1．（2025春•石景山区期末）已知中，，则角的值是　　 A． B． C．或 D．或 【解答】解：由正弦定理，得， 所以， 解得， 因为，所以或， 又，所以，所以． 故选：． 2．（2025春•顺义区期末）在△中，，则　　 A．4 B．3 C． D．2 【解答】解：根据，，可得， 由正弦定理，可得． 故选：． 3．（2025春•东城区期末）在中，已知，，，则等于　　 A．或 B． C． D． 【解答】解：由正弦定理知：． 或 又，， 故选：． 4．（2024秋•西城区期末）在△中，若，，，则 　　． 【解答】解：根据，，可得， 由正弦定理，可得，即，解得． 故答案为：． 5．（2025春•西城区期末）在△中，若，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：△中，若，，， 根据正弦定理得，， 因为，所以， 解得，因为，所以， 所以． 故选：． 6．（2025春•朝阳区期末）在△中，，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，，所以，可得， 根据正弦定理，可得， 结合，且，可得． 故选：． 7．（2025春•昌平区期末）在△中，，则　　 A． B． C．或 D．或 【解答】解：△中，， 则，即， 由正弦定理得，， 即， 所以， 因为， 所以， 则． 故选：． 8．（2025春•西城区校级期末）已知，，分别是△的三个内角，，所对的边．若，，，则 　　 ． 【解答】解：根据为三角形的内角，且，可得． 由正弦定理，可得． 故答案为：． 9．（2024秋•海淀区期末）已知△为等腰三角形，且，则 　　． 【解答】解：设△三个内角，，所对的边分别为，，， 因为，则由正弦定理得， 因为△是等腰三角形，所以， 由余弦定理得：． 故答案为：． 10．（2025春•北京期末）在△中，“”是“△是直角三角形”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：在△中，若，结合正弦定理可得， 所以△是以为斜边的直角三角形，充分性成立； 若△是直角三角形，、、都有可能是直角， 不一定有成立，所以不一定能推出，必要性不成立． 综上所述，“”是“△是直角三角形”的充分而不必要条件． 故选：． 地 城 考点02 正弦定理与三角形解的存在性和个数 11．（2025春•石景山区期末）在△中，，，请写出一个的值是 　　 ，使得满足条件的三角形恰有两个． 【解答】解：在△中，，， 当三角形恰有两个时， 有， 即， 故答案为：3（答案不唯一）． 12．（2024秋•东城区校级期末）在中，，． （Ⅰ）求证：为等腰三角形； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：边上的高为3． 【解答】解：（Ⅰ）证明：因为在中，，，可得， 所以由正弦定理可得，所以，解得， 因为，即，可得为锐角， 所以， 所以， 又，， 所以，即为等腰三角形，得证； （Ⅱ）若选条件①：因为，由（Ⅰ）可得， 所以， 与已知矛盾，三角形无解，不能选； 若选条件②：因为的面积为，由（Ⅰ）可得， 由，得， ，解得，，， 三角形存在且唯一，可选，此时； 若选条件③：边上的高为3， 由，，得， 可得，则，， 三角形存在且唯一，可选，此时． 地 城 考点03 利用余弦定理解三角形 13．（2025春•北京期末）在△中，，则　　 A．2 B．3 C．4 D． 【解答】解：△中，， 由题可知：， 所以． 故选：． 14．（2025春•北京期末）已知在△中，，，，则 　　 ； 　　 ． 【解答】解：△中，，，， 则，即， 所以， 又，所以． 故答案为：；． 15．（2025春•海淀区期末）在△中，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由，可得，所以， 根据余弦定理，可得的取值范围是． 故选：． 16．（2025春•昌平区期末）在△中，，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由，，所以，所以，， 所以，即， 由有，即，又， 所以，所以，， 所以“”是“”的充分必要条件， 故选：． 17．（2024秋•丰台区期末）在△中，，． ①若，则　　； ②△面积的最大值为　　． 【解答】解：①在△中，，，， 由正弦定理得，则； ②由余弦定理得， 即，当且仅当时等号成立， 故△面积的最大值为， 故答案为：；． 地 城 考点04 三角形中的几何计算 18．（2024秋•房山区期末）在△中，，，，则 　　；若为边上一点，且，则 　　． 【解答】解：由余弦定理，可得，结合，可得； 若为边上一点，且， 则在△中，由正弦定理得，即，解得． 故答案为：；． 19．（2025春•西城区校级期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的面积是　　． 【解答】解：由，根据正弦定理得：， 由余弦定理得：， 即，解得，所以， 则的面积． 故答案为： 20．（2024秋•东城区校级期末）在中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，且的面积为，求的周长． 【解答】解：（Ⅰ）， ， 又，， ，， ； （Ⅱ）的面积为， ， 又，， ， ， 又， ， ， ， 的周长为． 21．（2024秋•通州区期末）在△中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，边上中线的长为2，求△的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为，所以． 由正弦定理得： ． 因为，，所以， 又，所以； （Ⅱ）因为，边上中线的长为2， 设边中点为，连接，则，． 在△中，由余弦定理得：， 即，整理得，解得， 所以△的面积为． 22．（2025春•北京期末）已知△中，是上的点，平分，且△面积是△面积的2倍，，，则的长度为　　 A． B．2 C． D．3 【解答】解：平分，所以，即， 又△面积是△面积的2倍，所以， 由，所以，， 又，则，又， 所以， 故选：． 23．（2025春•丰台区期末）在△中，，，． （1）求的值； （2）求△的面积． 【解答】解：（1）在△中， 因为，，， 由正弦定理得， 得． （2）由余弦定理得， 则， 化简得， 解得或（舍去）． 故△的面积为． 24．（2024秋•东城区期末）在△中，为钝角，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求． 条件①；； 条件②：； 条件③：△的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得， 在△中，， 可得， 又因为，，， 所以， 所以； （Ⅱ），若选条件①；，可得， 由正弦定理可得，即，解得， 由余弦定理可得， 即，整理可得，解得（舍或， 所以的值为8； 若选条件②：，可得， 由余弦定理可得， 即， 整理可得：，解得或， 因为为钝角，即边最大，所以； 若选条件③△的面积为，即， 可得，由余弦定理可得， 即，可得， 可得，为方程的两个根， ，或，， 又因为为钝角，即边最大，即． 综上所述：条件①：△存在，且的值为8； 条件②：△不存在； 条件③：△存在，的值为8． 25．（2024秋•延庆区期末）在△中，为钝角，，． （1）求； （2）若，求△的面积． 【解答】解：（1）由，可得， 根据为钝角，可知为锐角，即，所以，即 由正弦定理，可得，解得，结合为钝角，可知． （2）当时，由余弦定理，可得， 即，整理得，解得舍去）， 所以△的面积． 26．（2024秋•北京校级期末）在△中，内角，，的对边分别为，，，为钝角，，， （1）求； （2）若，求△的面积． 【解答】解：（1）由，可得， 因为为钝角，即，所以， 由正弦定理得，结合，解得，所以不符合题意，舍去）． （2）法一：根据题意，可得， 根据余弦定理，得，即以， 整理得，解得或（舍负），所以． 法一：根据题意，可得， 由正弦定理得，即，解得， 结合为锐角，可得， 所以， 可得． 27．（2025春•西城区期末）在△中，已知． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△存在，求△的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分． 【解答】解：（1）， 因为，所以， 故， 故； （2）因为，所以， 因为在上单调递减，故， 但条件②，不合要求，故不能选条件②； 选①、③，由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 满足，△存在， 此时． 28．（2025春•石景山区期末）在△中，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值和△的面积． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）因为，即， 所以，因为，所以， 所以，． （Ⅱ）若选条件①： 因为，，所以． 则由正弦定理得，即，解得， 又， 所以． 若选条件②： 因为，，， 由正弦定理得，即，得，所以， 所以，由正弦定理，即，解得， 所以． 29．（2024秋•昌平区期末）在△中，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求△的面积 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）由，可得， 因为△中，，所以，即， 所以，结合，可得； （Ⅱ）若选择条件①：，则由余弦定理， 可得，整理得，由△，可知该方程无实数根． 所以当时，不存在满足条件的△； 若选择条件②：，则由余弦定理， 可得，整理得，解得或5， 所以△中的面积或； 若条件③：，结合，可得． 由正弦定理，解得， 在△中，． 所以△中的面积． 30．（2025春•海淀区校级期末）在△中，为钝角，． （1）求； （2）若，，为边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：△的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（1）根据，可得． 在三角形中，根据正弦定理得． 由于，， 因此． 又因为，因此． （2）如果选条件①：． 在三角形中，根据正弦定理可得，因此可得． 由于为钝角，因此． 在三角形中，由于，根据余弦定理， 可得． 解得或（舍． 因此． 如果选条件②：如图所示， 根据正弦定理有，又因为， 从而此时三角形不唯一； 如果选条件③：三角形的周长为． 在三角形中，根据正弦定理，可得． 由于为钝角，因此． 由于三角形的周长为，所以． 在三角形中，根据余弦定理可得，解得． 所以． 31．（2025春•北京期末）已知△中，． （1）求； （2）求△的面积． 【解答】解：（1）根据正弦定理得，即，解得， 又，则，则； （2）， ， 则． 32．（2025春•西城区校级期末）在△中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△唯一存在， 求△的面积． 条件①：，； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以； （Ⅱ）选条件②：，， 由，可得， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得 ，整理得， 解得，或（舍， 所以△的面积， 条件③：， 因为，且，所以， 由余弦定理，得， 解得，或（舍 所以△的面积． 33．（2024秋•朝阳区期末）在△中，． （1）求； （2）若，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在，求△的面积． 条件①：；条件②：；条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（1），． 由正弦定理得． 又，，． 又，． （2）选条件①：根据余弦定理有，则． 又，则． 两式相减，解得．可得，或，， ． 选条件②：由（1）知，则， ，不符合题意； 选条件③：且，． 由正弦定理可知． 又． ． 34．（2024秋•石景山区期末）在△中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一确定，求△的面积． 条件①：△的周长为； 条件②；； 条件③：． 【解答】解：（Ⅰ）在△中，， 由正弦定理，可得， 整理得， 因为，所以，即， 因为，所以； （Ⅱ）选择条件①：因为△的周长为， ，则， 由余弦定理，得， 所以，即， 解得，所以△的面积； 选择条件②：因为，， 所以，因为， 由正弦定理，可得， 又，， 所以， 所以△的面积； 选择条件③：因为， 由正弦定理，可得， 因为，所以不唯一， 因为△存在且唯一确定，故条件③不成立． 35．（2024秋•顺义区期末）在△中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一确定，求△最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，△的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得， 所以，因为，所以，即，所以， 因为，所以，即可得； （Ⅱ）选择①，，，由余弦定理可得， 即， 解得或，所以该三角形不唯一，不符合条件； 选择②，因为，，所以， 由余弦定理，即， 即，解得，所以，所以，最长边为， 设高为，， 选择③，由正弦定理得，，则， 因为，所以，因为，所以，所以， 在△中，最长边为，设高为，． 36．（2025春•西城区校级期末）在△中，． （1）求的大小； （2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△存在且唯一，求△的面积． 条件①：；条件②：边上的高为；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（1）因为在△中，，所以 所以，由正弦定理及 得，因为，所以， 因为，所以； （2）选择条件①②：若为锐角，则，可得， 若为钝角，则，可得， 综上所述：△存在但不唯一，不合题意， 选择条件①③，△存在且唯一，解答如下： 由，且，可得， 由正弦定理及，得，解得， 由，得， 则 ， 所以； 选择②③，△存在且唯一，解答如下： 由，及，得， 因为边上的高为，所以， 由正弦定理及，得，解得：， 由，得， 则 ， 所以． 37．（2025春•东城区期末）已知△的面积为，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得△的面积，所以； （Ⅱ）若选①，，则可能为锐角也可能为钝角，故△存在但不唯一确定； 若选②，，则由（Ⅰ），得，或，故△存在但不唯一确定； 若选③，，得， 所以，则，由（Ⅰ），得， 故此时、、均确定，△存在且唯一确定，符合题意， 如图，为边上中线， 在△中，由余弦定理得， 故． 38．（2025春•大兴区期末）在△中，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【解答】解：（Ⅰ）由，得， 由余弦定理，得， 所以，即， 又，所以． （Ⅱ）若选择条件①：由余弦定理得，， 所以，即， 此时△，该方程无实数根， 故条件①使得△不存在； 若选择条件②：由正弦定理得，， 所以， 又，解得， 代入，得，即， 解得或（舍， 此时条件②使得△存在且唯一，符合题意， 所以△的面积为． 若选择条件③：因为，且， 所以， 由正弦定理得，，所以，解得， 代入，得，即， 解得或（舍， 此时条件③使得△存在且唯一，符合题意， 所以△的面积为． 39．（2025春•朝阳区期末）在△中，若． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求△的面积． 条件①； 条件②△的周长为； 条件③边的中线的长度为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ），由正弦定理， ， ，， ，即， ，； （Ⅱ）若选择条件①： 由（Ⅰ）可得，则，三角形存在但不唯一确定， 若选择条件②： 由（Ⅰ）可得 ，， 由正弦定理，， △的周长为，， ，， △的面积为； 若选择条件③； 由（Ⅰ）可得， ，， 设为边上的中线， 在△中，由余弦定理， ， 解得，则由正弦定理得， △的面积． 40．（2025春•昌平区期末）在△中，． （1）求的值； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的中线的长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分． 【解答】解：（1），由正弦定理可得， 在△中，，，，， ，； （2）若选择条件①：， 则，，， 则由余弦定理，可得， 整理可得，此时△， 方程无实数解，△不存在； 若选择条件②：， ，， 又，， 由正弦定理可得，解得， 又， ， △的面积； 若选择条件③：边上的中线的长为， 设的中点为，则，，， 则在△中，由余弦定理 可得， 整理可得，解得或（舍， △的面积． 41．（2025春•海淀区校级期末）在△中，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使△存在，求△的面积． ①， ②， ③． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，，， ，，，故，； （Ⅱ）①，，不存在； ②，，，故， 由，有，，故， 故； ③由余弦定理，， 于是，解得（负值舍去）， 因为，所以，，， 解得（负值舍去），故． 42．（2025春•延庆区期末）在△中，，． 求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及， 可得，由余弦定理得， 由于，所以； （Ⅱ）选条件①：，且是△的内角，因此， 根据据三角形内角和定理，则，化简得：， 不符合三角形条件； 选条件②：，结合，，解得，， 所以； 选条件③：，由，可得， 由正弦定理可得，结合，可得，， 由，所以． 43．（2025春•通州区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，． （Ⅰ）若，，求及的值； （Ⅱ）若，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【解答】解：（1）由余弦定理可得： ，所以； 由正弦定理可得， 所以； （2）选①：，则， 所以此时△不存在； 选②：，由正弦定理可得，解得； 由余弦定理得，即，解得或； 所以或； 选③：则， 由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得或（舍； 所以． 44．（2025春•昌平区期末）在△中，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（1）根据边角转换，原式可以化简为：， 因为， 所以， 又因为为三角形内角，所以， 进而求得； （2）因为，， 所以根据余弦定理有：， 对于条件①： 因为，所以， 又因为，所以△有两个解，不满足△存在且唯一； 对于条件②： 因为，所以根据正弦定理有：， 因为，所以， 又因为， 所以满足△存在且唯一， 此时，由，，，解得， 所以； 条件③：， 由，又由正弦定理得， 由条件②即可求解． 45．（2025春•顺义区期末）在△中，，为锐角． 求4． （Ⅱ）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求△的面积． 条件①：；条件②：边上的高为；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求．第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解：由，得，得， 由正弦定理得，， 得，得， 因为为锐角，所以； （Ⅱ）若选条件①：，由正弦定理得，， 得，得， 则角不存在，则△不存在， 所以条件①不符合要求，故不选择条件①； 若选条件②：边上的高为，如图： 当角为钝角时，由，， 得，而， 则不合题意，故当角为锐角时， 得，，， 得， 则△的面积为：． 若选条件③：，由，得，得， 由余弦定理得，，得， 得，得， 则△的面积为：． 地 城 考点05 解三角形的实际应用 46．（2025春•顺义区期末）一艘海轮从港口出发，沿着正东方向航行后到达海岛，然后从海岛出发，沿着北偏东方向航行后到达海岛．如果下次航行直接从出发到达，那么这艘海轮需要航行的距离大约是　　 A． B． C． D． 【解答】解： 因为，且． 在△中，由余弦定理得 ， 即，所以． 故选：． 47．（2025春•海淀区校级期末）在同一平面内，对于△及半径为的圆，若△的顶点，，满足，，，则称△被圆完全覆盖．已知△，，再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知．条件①；条件②；条件③；条件④．其中，满足△可能被一个半径为1的圆完全覆盖的所有条件是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解答】解：对于序号①，根据正弦定理可得，因此可得， 即三角形在半径的圆上，且，在上运动， 设中点为，，那么可得中线， 又因为，同时也存在，因此序号①满足； 对于序号②，，因此可得，同理可得三角形的外接圆半径，因此②显然满足； 对于序号③，，， 因此，因此序号③不满足； 对于序号④，设三角形在边上的高为，三角形面积， 因此点在距离为的直线上，设在距离为的线上， 此时，根据对称性，设， 那么可得，因此序号④不满足． 故选：． 48．（2025春•昌平区期末）“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即．现有面积为的△满足，则△最大边的边长为　　 A． B．4 C． D．8 【解答】解：因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 解得，所以△最大边的边长． 故选：． 49．（2025春•海淀区校级期末）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题可知：， 在中，由正弦定理可知：，即， 则， 又在中，， 所以， 故选：． 50．（2024春•大兴区期末）如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高　　 A． B． C． D． 【解答】解：△中，，，则， 由正弦定理可得：，而， 即，解得， 由题意平面，可得，， 可得． 故选：． 51．（2025春•顺义区期末）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，矩形的面积的最大值为 　　 ． 【解答】解：连接，设， 在△中，，可得，， 在△中，，可得， 所以， 可得矩形的面积 ， 由，可得，所以当，即时，． 故答案为：． 52．（2024秋•朝阳区期末）我国古代数学著作《九章算术》中给出求弧田（弓形田）面积的“弧田术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是线段的中点，在上，．设弧田的面积为，“弧田术”给出的近似值的计算公式为若，，则　　；　　． 【解答】解：由题意可得，， △是正三角形，则边上的高， ， 而扇形的面积为， 弧田的面积为； 连接，如下图所示， 是线段的中点，在上，， 则，，，共线，其中，， ，又， ． 故答案为：；． 地 城 考点06 解三角形的最值问题 53．（2025春•大兴区期末）在锐角△中，为△的面积，，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，，且， ，即， 由余弦定理得：，， 又，，解得：或， △为锐角三角形，，， ，， 由正弦定理得：，故， △为锐角三角形，，即，， ， 因此，即． 故选：． 54．（2025春•东城区期末）在锐角△中，若，则 　　 ；的取值范围是 　　 ． 【解答】解：因为，由正弦定理可得， 在锐角三角形中，可得， 所以，可得， 由正弦定理可得， 因为，可得， 所以，可得， 所以范围为，． 故答案为：；，． 55．（2025春•北京期末）已知△中，． （1）求的大小； （2）若，求△面积的最大值． 【解答】解：（1）根据题意可知，， 根据正弦定理可得， 又， 故， 因此，由于，故，即， 由于，故； （2）根据余弦定理可得， 根据基本不等式可知，，故，当且仅当时取到等号， 故面积为， 故△面积的最大值为． 地 城 考点07 三角函数与解三角形的综合 56．（2025春•西城区校级期末）已知函数，且． （Ⅰ）求的值和函数的最小正周期； （Ⅱ）求不等式的解集； （Ⅲ）在△中，，，为边上的中线，设，，请直接写出的值和的长． 【解答】解：（Ⅰ） ， 因为，所以，即， 所以， 所以函数的最小正周期为． （Ⅱ）由，得，， 所以，， 所以不等式的解集为，． （Ⅲ）因为，所以， 由题意知，， 所以， 所以，即， 设，，， 在△中，由余弦定理得，， 即①， 在△中，由余弦定理得，， 即②， ①②得，， 在△，由余弦定理得，， 所以， 整理得， 所以，即， 解得或（舍负）， 所以，解得（负值已舍）， 故． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 解三角形 7大高频考点概览 考点 01 利用正弦定理解三角形​ 考点 02 正弦定理与三角形解的存在性和个数​ 考点 03 利用余弦定理解三角形​ 考点 04 三角形中的几何计算​ 考点 05 解三角形的实际应用​ 考点 06 解三角形的最值问题​ 考点 07 三角函数与解三角形的综合 地 城 考点01 利用正弦定理解三角形 1．（2025春•石景山区期末）已知中，，则角的值是　　 A． B． C．或 D．或 2．（2025春•顺义区期末）在△中，，则　　 A．4 B．3 C． D．2 3．（2025春•东城区期末）在中，已知，，，则等于　　 A．或 B． C． D． 4．（2024秋•西城区期末）在△中，若，，，则 　　． 5．（2025春•西城区期末）在△中，若，，，则　　 A． B． C． D． 6．（2025春•朝阳区期末）在△中，，，，则　　 A． B． C． D． 7．（2025春•昌平区期末）在△中，，则　　 A． B． C．或 D．或 8．（2025春•西城区校级期末）已知，，分别是△的三个内角，，所对的边．若，，，则 　　 ． 9．（2024秋•海淀区期末）已知△为等腰三角形，且，则 　　． 10．（2025春•北京期末）在△中，“”是“△是直角三角形”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 地 城 考点02 正弦定理与三角形解的存在性和个数 11．（2025春•石景山区期末）在△中，，，请写出一个的值是 　　 ，使得满足条件的三角形恰有两个． 12．（2024秋•东城区校级期末）在中，，． （Ⅰ）求证：为等腰三角形； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：边上的高为3． 地 城 考点03 利用余弦定理解三角形 13．（2025春•北京期末）在△中，，则　　 A．2 B．3 C．4 D． 14．（2025春•北京期末）已知在△中，，，，则 　　 ； 　　 ． 15．（2025春•海淀区期末）在△中，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 16．（2025春•昌平区期末）在△中，，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2024秋•丰台区期末）在△中，，． ①若，则　　； ②△面积的最大值为　　． 地 城 考点04 三角形中的几何计算 18．（2024秋•房山区期末）在△中，，，，则 　　；若为边上一点，且，则 　　． 19．（2025春•西城区校级期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的面积是　　． 20．（2024秋•东城区校级期末）在中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，且的面积为，求的周长． 21．（2024秋•通州区期末）在△中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，边上中线的长为2，求△的面积． 22．（2025春•北京期末）已知△中，是上的点，平分，且△面积是△面积的2倍，，，则的长度为　　 A． B．2 C． D．3 23．（2025春•丰台区期末）在△中，，，． （1）求的值； （2）求△的面积． 24．（2024秋•东城区期末）在△中，为钝角，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求． 条件①；； 条件②：； 条件③：△的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 25．（2024秋•延庆区期末）在△中，为钝角，，． （1）求； （2）若，求△的面积． 26．（2024秋•北京校级期末）在△中，内角，，的对边分别为，，，为钝角，，， （1）求； （2）若，求△的面积． 27．（2025春•西城区期末）在△中，已知． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△存在，求△的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分． 28．（2025春•石景山区期末）在△中，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值和△的面积． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 29．（2024秋•昌平区期末）在△中，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求△的面积 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 30．（2025春•海淀区校级期末）在△中，为钝角，． （1）求； （2）若，，为边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：△的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 31．（2025春•北京期末）已知△中，． （1）求； （2）求△的面积． 32．（2025春•西城区校级期末）在△中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△唯一存在， 求△的面积． 条件①：，； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 33．（2024秋•朝阳区期末）在△中，． （1）求； （2）若，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在，求△的面积． 条件①：；条件②：；条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 34．（2024秋•石景山区期末）在△中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一确定，求△的面积． 条件①：△的周长为； 条件②；； 条件③：． 35．（2024秋•顺义区期末）在△中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一确定，求△最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，△的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 36．（2025春•西城区校级期末）在△中，． （1）求的大小； （2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△存在且唯一，求△的面积． 条件①：；条件②：边上的高为；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 37．（2025春•东城区期末）已知△的面积为，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 38．（2025春•大兴区期末）在△中，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 39．（2025春•朝阳区期末）在△中，若． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求△的面积． 条件①； 条件②△的周长为； 条件③边的中线的长度为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 40．（2025春•昌平区期末）在△中，． （1）求的值； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的中线的长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分． 41．（2025春•海淀区校级期末）在△中，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使△存在，求△的面积． ①， ②， ③． 42．（2025春•延庆区期末）在△中，，． 求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 43．（2025春•通州区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，． （Ⅰ）若，，求及的值； （Ⅱ）若，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 44．（2025春•昌平区期末）在△中，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一，求△的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 45．（2025春•顺义区期末）在△中，，为锐角． 求4． （Ⅱ）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求△的面积． 条件①：；条件②：边上的高为；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求．第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 地 城 考点05 解三角形的实际应用 46．（2025春•顺义区期末）一艘海轮从港口出发，沿着正东方向航行后到达海岛，然后从海岛出发，沿着北偏东方向航行后到达海岛．如果下次航行直接从出发到达，那么这艘海轮需要航行的距离大约是　　 A． B． C． D． 47．（2025春•海淀区校级期末）在同一平面内，对于△及半径为的圆，若△的顶点，，满足，，，则称△被圆完全覆盖．已知△，，再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知．条件①；条件②；条件③；条件④．其中，满足△可能被一个半径为1的圆完全覆盖的所有条件是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 48．（2025春•昌平区期末）“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即．现有面积为的△满足，则△最大边的边长为　　 A． B．4 C． D．8 49．（2025春•海淀区校级期末）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为　　 A． B． C． D． 50．（2024春•大兴区期末）如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高　　 A． B． C． D． 51．（2025春•顺义区期末）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，矩形的面积的最大值为 　　 ． 52．（2024秋•朝阳区期末）我国古代数学著作《九章算术》中给出求弧田（弓形田）面积的“弧田术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是线段的中点，在上，．设弧田的面积为，“弧田术”给出的近似值的计算公式为若，，则　　；　　． 地 城 考点06 解三角形的最值问题 53．（2025春•大兴区期末）在锐角△中，为△的面积，，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 54．（2025春•东城区期末）在锐角△中，若，则 　　 ；的取值范围是 　　 ． 55．（2025春•北京期末）已知△中，． （1）求的大小； （2）若，求△面积的最大值． 地 城 考点07 三角函数与解三角形的综合 56．（2025春•西城区校级期末）已知函数，且． （Ⅰ）求的值和函数的最小正周期； （Ⅱ）求不等式的解集； （Ⅲ）在△中，，，为边上的中线，设，，请直接写出的值和的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $