5.3实际问题与一元一次方程（动点问题）跟踪练习 2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.3实际问题与一元一次方程（动点问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学七年级上册 一、单选题 1．一只蚂蚁从数轴的点A出发，沿数轴先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，恰好到达原点，则点A对应的数是（    ）. A．2 B． C．4 D． 2．如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 3．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 4．已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B．8 C．或8 D．或8 5．如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3或5 6．已知在数轴上点从原点出发，每次随机向左移动3个单位长度或向右移动2个单位长度．移动次后，点位于数字1上，则下列说法正确的是（   ） A．是奇数 B．是偶数 C．是3的倍数 D．是5的倍数 二、填空题 7．在数轴上点M、N分别表示和3，点M以每秒3个单位长度的速度，点N以每秒1个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．若点M、点N与原点的距离相等，运动的时间为 秒． 8．如图，在数轴上，点表示，点表示，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上沿某一固定方向运动，设运动时间为秒．当时，运动时间的值为 ． 9．如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，，若点和分别从点和同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动，点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右移动，当，两点到点的距离相等时，，两点出发的时间为 ． 10．如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 11．已知数轴上、两点位于原点两侧（点在点的左侧），点到原点的距离是点到原点距离的3倍，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动，、均沿轴正方向运动，当等于10时，运动时间为 秒． 12．在数轴上，点A表示2，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动4个单位长度到达点，第二次将点向右移动8个单位长度到达点，第三次将点向左移动12个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点． （1）当时，对应的数为 ； （2）如果点与原点的距离等于2026，那么n的值是 ． 三、解答题 13．如图，在数轴上点对应的数是，点对应的数是，两动点、同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向点运动；点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后停留秒，再从点沿数轴向右到达点后停止运动．设点的运动时间为秒． (1)在点从点向点运动的过程中，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (2)当时，求点与点之间的距离； (3)在运动过程中，当点与点重合时，求的值； (4)在点停止运动之前，当点与点之间的距离为时，直接写出的值． 14．已知：数轴上点A、B、C对应的数分别为、、，且满足，且多项式 是八次四项式，动点P在数轴上从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动． (1)求数 ， ， ； (2)当点P到点B的距离是点A到点B距离的一半时，求点P移动的时间； (3)当点P移动到点B时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向点C移动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，移动到终点A．当P，Q两点之间的距离为5个单位长度时，求点Q移动的时间． 15．如图，已知数轴上原点为，点A表示的数为，B在A的右边，且与的距离是10．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数是______，点表示的数是______，点与点之间的距离是______； (2)点表示的数是______（用含的代数式表示），点表示的数是______（用含的代数式表示）； (3)点与点在点处相遇，如果数轴可以折叠，以数轴上点为折点，将数轴对折，使得B与A重合，求点到点的距离的值． (4)当点到点的距离等于点到点距离2倍时，直接写出此时的值． 16．已知数轴上有A、B两点，分别用a、b表示，且关于x、y的多项式为三次单项式， (1)求出a、b的值； (2)当x的取值范围是 时，有最小值，这个最小值是 ． (3)的中点为点C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，当A、B两点重合时，运动停止． ①经过几秒后，点A与点B之间的距离为2? ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．（表示点B与点C之间的距离，表示点A与点B之间的距离） 17．数轴上、两点表示的数分别为、，满足，点为、的中点表示的数为，已知点是数轴上一动点，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（）． (1)_____，_____， ； (2)若点从出发2秒后，点从点出发，且以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点 运动到点后立即返回以同样的速度再沿数轴向左运动．当时，求、分别表示的数； (3)动点从点出发到、中点后立即以每秒4个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向右运动，到达点后立即按原速沿数轴向左运动，动点也同时从点出发沿数轴以每秒个单位的速度向左运动，当点运动到、中点时，、、同时停止运动．设运动的时间为秒，是否存在使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，写出所有满足条件的，并把其中一个的求解过程写出来． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，设点A对应的数是x，根据运动方向及距离列方程，解方程即可． 【详解】解：设点A对应的数是x， 由题意知，， 解得， 故选D． 2．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离．分当点在点的左侧和点在点的右侧时，两种情况讨论，根据点、两点之间的距离为7个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：当点在点的左侧时，由题意得，解得； 当点在点的右侧时，由题意得，解得； ∴点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为或； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，设点P表示的数为n，可得，再解方程并进一步解答即可. 【详解】解：设点P表示的数为n， ∴，， ∵点到、两点距离之和为40，即， 当时，， 当时， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故选：B 4．D 【分析】根据等量关系：MN=2BM，列出方程计算即可求解． 【详解】解：依题意有|-2+4t-（-2+8-3t）|=|-2+8-（-2+4t）|×2， 解得t=或8． 故当MN=2BM时，运动时间t的值为或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 5．C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的方程求两点之间的距离问题．根据数轴上点的平移性质列出带有绝对值的方程，最后求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，所以P表示的数是，Q表示的数是， 由题意得，即， 解得或， 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 设向左移动次数为，向右移动次数为，则总次数，最终位置为．联立方程可得，因此必须是5的倍数，才为整数． 【详解】解：点移动次后位于1，设向左移动次，向右移动次， ，且． 将代入得：，化简得． 为整数， 必须是5的倍数， 故选D． 7．1或5/5或1 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，一元一次方程的应用，理解数轴上两点之间的距离的计算方法是解决问题的关键．分两种情况进行解答，即点M在原点的左侧，点M在原点的右侧，根据到原点的距离相等，列方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为t秒时，点P、点Q分别与原点的距离相等， ①当点M在原点的左侧时， ， 解得； ②当点M也在原点的右侧时，即点M追及到点N， ， 解得：， 故答案为：1或5． 8．或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列出方程是解答本题的关键． 根据数轴直接得出的长，根据得出，然后计算出比较和的关系，分情况列方程求解即可． 【详解】解：由数轴知，， 当点在点左侧时， 由题意得， 解得， 当点在点右侧时， 由题意得， 得， 综上，当时，运动时间的值为或， 故答案为：或． 9．或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，两点到点的距离相等，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， ，两点出发的时间为或6． 故答案为：或6． 10．或4或7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴．当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，分点P是线段的中点、点Q是线段的中点及点A是线段的中点三种情况考虑，根据中点到两端点的距离相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P是线段的中点时，， 解得：； 当点Q是线段的中点时，， 解得：； 当点A是线段的中点时，， 解得：． 综上所述，t的值为或4或7． 故答案为：或4或7． 11．或/13或3 【分析】本题考查本题考查数轴、一元一次方程的应用，先根据题意得到点A、B两点表示的数，然后根据运动得到点P、Q表示的数，再列方程解题即可． 【详解】解：点到原点的距离是点到原点距离的3倍，且， ∴点表示的数为，点表示的数为， 设运动时间为，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 12． 14 1012或1013 【分析】本题考查了数轴、数字类变化规律、一元一次方程的应用，找出变化规律是解题的关键． （1）根据数轴上点的移动规律可知，当为奇数时，；当为偶数时，，据此规律即可计算对应的数； （2）分n为奇数和偶数两种情况讨论，根据点与原点的距离等于2026列出方程，即可求出n的值． 【详解】解：（1）点对应的数为， 点对应的数为， 点对应的数为， 点对应的数为， …… 依此类推，当为奇数时，；当为偶数时，； ∴当时，对应的数为； 故答案为：14； （2）当为奇数时，， ∵点与原点的距离等于2026， ∴， 解得（负值已舍去）； 当为偶数时，， ∵点与原点的距离等于2026， ∴， 解得（负值已舍去）； ∴综上所述，n的值是1012或1013． 故答案为：1012或1013． 13．(1)； (2)； (3)； (4)的值为或或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，列代数式，一元一次方程的实际应用，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）由题意可得点表示的数为，当时，点表示的数为，点表示的数为，然后通过数轴上两点间的距离公式即可求解； （）由（）（）得，点表示的数为，点表示的数为，则当点与点重合时，，然后求出的值即可； （）分为当从向运动时，，当在点停留时，，当没有追到前，，当追到后，几种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵点到达点需要秒，再停留秒，然后往点运动， ∴点从向运动的过程中，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴点与点之间的距离为； （3）解：由（）（）得，点表示的数为，点表示的数为， ∴当点与点重合时，， 解得：； （4）解：由题意得点到达点需要（秒）； 当从向运动时，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，不符合题意； 当在点停留时，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 当没有追到前，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 当追到后，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：的值为或或． 14．(1) (2)6 或 18 秒 (3)3.5秒或8.5秒或10.75秒或13.25秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及利用数轴确定点的位置，利用分类讨论得出结果是解题的关键． （1）根据非负数的性质即多项式的次数求得a，b，c的值； （2）根据题意设点P的移动时间为a s，列出方程进而求解即可； （3）根据点Q到达点C前后进行分类讨论，进而分别得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， 多项式 是八次四项式， ， ； （2）解：设点P运动时间为a s，由题意可得， ∴点P表示的数为， 点P到点B的距离是点A到点B距离的一半时， ， 解得：或， 点P移动的时间6 秒或 18 秒， （3）解：由题意得：， 秒，秒， 即点Q比点P先到C点， 秒， 点Q用6秒追上点P， 设点Q运动时间为t s， 当点Q在点P的左边且都未到C点时， ，解得， 当点Q在点P的右边且都未到C点时， ，解得， 当点Q已到C点且开始向点A返回，点Q在点P的右边时， ，解得， 当点Q已到C点且开始向点A返回，点Q在点P的左边时， ，解得， 故点Q运动时间为3.5秒或8.5秒或10.75秒或13.25秒． 15．(1)，，5 (2)； (3)1 (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，解题的关键是：根据路程速度时间，用含t的代数式表示出点P，Q表示的数． （1）根据题意先表示出点A表示的数，然后利用路程速度时间求解； （2）利用路程速度时间来求解； （3）根据题意先求出相遇时所用的时间，再求出点C表示的数，点D表示的数，进而求出d的值； （4）根据题意表示出，，根据点P到点O的距离等于点P到点Q距离2倍列出方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得：点B表示的数是， 点P表示的数是， 点Q表示的数是， ， 故答案为：，，5； （2）解：由题意可得：点P表示的数是， 点Q表示的数是， 故答案为：；； （3）解：P表示的数是，Q表示的数是， 它们在C点相遇时所用的时间相等，则， 解得， ∴C点表示的数是， ∵以数轴上点D为折点，将数轴对折，使得B与A重合， ∴D表示的数是， ∴点C到点D的距离； （4）解：P到点O的距离， 点P到点Q距离， ∵点P到点O的距离等于点P到点Q距离2倍， ∴， ∴或， 解得或． 16．(1) (2) (3)的值不会随着时间t的变化而变化，且 【分析】本题主要考查单项式的概念，数轴上点表示有理数，两点之间的距离，掌握以上知识的分析推理是关键． （1）根据单项式的概念和次数得到，由此即可求解； （2）根据两点之间距离的计算即可求解； （3）①根据题意，分别表示点A，B，C表示的数，结合题意得到当运动到3秒时，A，B，C停止运动，有两点之间距离的计算列式求解即可求解； ②根据两点之间距离的计算分别表示的值，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x、y的多项式为三次单项式， ∴， 解得，， ∴点A表示的数是5，点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即表示到和到的距离的和， ∴当时，取到最小值，最小值为， 故答案为：； （3）解：①点C是的终点， ∴点C表示的数为， 点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，则对应的数为， 点B以每秒1个单位长度的速度向右运动，则对应的数为， 点C以每秒3个单位长度的速度向右运动，则对应的数为， ∴当时，，即当运用到3秒时，A，B，C停止运动， 点A与点B之间的距离为2， ∴，即， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴经过秒后，点A与点B之间的距离为2； ②由题意得， ∴， ∵， ∴ 综上所述，的值不会随着时间t的变化而变化，且． 17．(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由非负数的性质即可求出、的值，再由点为、的中点即可求出； （2）由、的运动方向，速度和时间即可求出求、两点在数轴上对应的数，从而得到关于的表达式，再结合即可求出的值，即可求出、表示的数； （3）根据、、的运动方向，速度和时间，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． 点为、的中点表示的数为， ， 点表示的数为， ． 故答案为：； （2）解：①当点到达点前， 由题意得，经过秒，对应的数为，对应的数为， ． ， ，解得． 当时，对应的数为4，对应的数为14，符合题意； ②当点到达点后， 点所经过的路程为， ， 对应的数为， 对应的数为， ． ， ，解得． 当时，对应的数为3，对应的数为13，符合题意； 、分别表示的数为或； （3）解：①当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得； ②当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得； ③当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得； ④当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得． 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上表示有理数，一元一次方程的应用，根据题意进行分类讨论是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $