单元检测卷(四) 计数原理-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

单元检测卷(四)　计数原理 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.若＝，则n＝(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 答案：B 解析：因为＝，所以×2n×(2n－1)＝5×4×3×2×1，即(2n＋15)(n－8)＝0，又n∈N＋，2n≥2，所以n＝8.故选B. 2.5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为(　　) A.9 B.20 C.54 D.45 答案：D 解析：因为每名同学都有4种选择，所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为4×4×4×4×4＝45.故选D. 3.的展开式中x2y4的系数是(　　) A.－10 B.－5 C.5 D.15 答案：B 解析：展开式的通项为Tk＋1＝x5－kyk，k＝0，1，2，3，4，5，故xy4的系数为，x2y3的系数为，故展开式中x2y4系数为－＝－5.故选B. 4.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法(　　) A.120种 B.720种 C.840种 D.960种 答案：D 解析：A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C，E均有4种颜色可选，故共有涂色方法5×4×3×4×4＝960(种).故选D. 5.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数a1a2a3a4a5”(满足a1＞a2＞a3＜a4＜a5)，则这样的“五位凹数”的个数为(　　) A.126 B.112 C.98 D.84 答案：A 解析：从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个有种方法，选出的5个数最小的数即为a3，再从剩下的4个数中选两个排在a1，a2，因为a1＞a2，所以a1，a2只有一种顺序，即·1种方法，剩余的两数也只有1种排法，由题可得，满足条件的这样的“五位凹数”有＝126个.故选A. 6.＝a0＋a1＋a2＋…＋a10(x＋2)10，则a2等于(　　) A.180 B.－180 C.45 D.－45 答案：C 解析：＝，展开式的通项为Tk＋1＝·，令10－k＝2，解得k＝8，故a2＝＝45.故选C. 7.如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为1－8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有(　　) A.68种 B.136种 C.272种 D.544种 答案：C 解析：根据题意，分2种情况讨论：①甲乙放在同一排，有＝128种放法，②甲乙不放在同一排，有＝144种放法，则有128＋144＝272种不同的放法.故选C. 8.不等式x1＋x2＋x3≤12，其中x1，x2，x3是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组(　　) A.560 B.455 C.91 D.55 答案：B 解析：设x1'＝x1＋1，x2'＝x2＋1，x3'＝x3＋1，则不等式x1＋x2＋x3≤12有多少组非负整数解的问题，转化为3≤x1'＋x2'＋x3'≤15的正整数解的组数.因为方程x1'＋x2'＋x3'＝3的解的组数为；x1'＋x2'＋x3'＝4的解的组数为；…；x1'＋x2'＋x3'＝15的解的组数为.所以原不等式解的组数为＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝455.故选B. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.在的展开式中，下列结论正确的是(　　) A.第6项和第7项的二项式系数相等 B.奇数项的二项式系数和为256 C.常数项为84 D.有理项有2项 答案：BC 解析：的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；由已知可得二项式系数之和为29，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为28＝256，故B正确；展开式的通项为Tk＋1＝x9－k＝，0≤k≤9，k∈N，令9－k＝0，解得k＝6.故常数项为＝＝84，故C正确；有理项中x的指数为整数，故k＝0，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误.故选BC. 10.在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2 000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到A，B，C三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是(　　) A.共有18种安排方法 B.若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法 C.若A学校需要两名志愿者，则有24种安排方法 D.若甲被安排在A学校，则有12种安排方法 答案：BD 解析：所有安排方法有＝36种，故A错误；若甲、乙被安排在同一所学校，则有＝6种安排方法，故B正确；若A学校需要两名志愿者，则有＝12种安排方法，故C错误；若甲被安排在A学校，则有＋＝6＋6＝12种安排方法，故D正确.故选BD. 11.杨辉三角把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.根据杨辉三角判断下列说法正确的是(　　) A.＝x6－6x5＋15x4－20x3＋15x2－6x＋1 B.＋4＋6＋4＋＝ C.已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为212 D.已知＝a0＋a1＋a2＋…＋a5，则a1＋a2＋a3＋a4＝31 答案：AB 解析：对于A，因为(x－1)6的展开式的通项为Tk＋1＝x6－k(－1)k，计算即可求出＝x6－6x5＋15x4－20x3＋15x2－6x＋1，故A正确；对于B，因为＝，所以＋4＋6＋4＋＝5＋10＋7＝105＋350＋7＝462，而＝＝462，故B正确；对于C，根据题意得，＝，所以n＝10，原式变为，令x＝1，得所有项的系数和为(－2)10＝210，故C错误；对于D，令x＝0，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25，令x＝－1，得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31，根据展开式通项公式，明显可见a5≠0，故D错误.故选AB. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.) 12.(2024·天津卷)在(＋)6的展开式中，常数项为　　　　. 答案：20 解析：Tk＋1＝＝·36－2k·x6k－18.令6k－18＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝·30·x0＝20. 13.由数字1，2，3，4可以组成　　　　个没有重复数字且比1 300大的正整数. 答案：22 解析：当千位和百位分别为1，3时，则十位和个位有个符合条件的，当千位和百位分别为1，4时，则十位和个位有个符合条件的，当千位不为1时，共有个符合条件的，故共有＋＝18＋2＋2＝22个. 14.已知的展开式中各项系数和为1 024，则展开式中不含x5y2的所有项系数和等于　　　　. 答案：213 解析：因为(x2＋)n的展开式中各项系数和为1 024，令x＝1，整理得4n＝1 024，解得n＝5；故(x2＋x＋y)5的展开式的通项满足Tr＋1＝(x2＋x)5－k·yk，令k＝2时，的展开式的通项满足Tr＋1＝·x6－r，令6－r＝5，解得r＝1，故含x5y2的所有项系数为·＝30，当x＝1，y＝1时，的所有项的系数和为35＝243，故不含x5y2的所有项系数和等于243－30＝213. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)(1)计算：； (2)已知＝，求x. 解：(1)＝＝＝1. (2)已知＝，则2x＝x＋2或2x＋(x＋2)＝17， 解得x＝2或x＝5，经检验均符合. 故x＝2或x＝5. 16.(15分)若＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a7(x＋1)7，且a4＝－560. (1)求实数a的值； (2)求＋＋＋…＋＋的值. 解：(1)令x＋1＝t，则x＝t－1，有＝＝a0＋a1t＋…＋a7t7， a4所在的项为T4＋1＝， 得a4＝24＝－560，即＝1，解得a＝－1. (2)由(1)可知，＝a0＋a1t＋…＋a7t7＝＋＋…＋， 对照系数知，a1＞0，a2＜0，a3＞0，a4＜0，…，a7＞0. 令t＝0，得a0＝－1，令t＝－1，得＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－2 187， 故＋＋＋…＋＋＝a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝2 186. 17.(15分)由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的自然数.求： (1)有多少个含2，3的五位数？ (2)有多少个含数字1，2，3且必须按由大到小顺序排列的六位数？ 解：(1)若五位数中含有0，则共有个数； 若五位数中不含0，则共有个数； 则共有＋＝408个五位数. (2)先将数字1，2，3按由大到小顺序排好，只有一种排法， 再将数字4插入，有4种插法，然后插入数字5，有5种插法，最后插入0，不能插到最左边，有5种插法， 根据分步乘法计数原理得共有4×5×5＝100个六位数. 18.(17分)(1)某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出，要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后，那么不同的演出顺序共有多少种； (2)某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生.则有多少种不同的分配方法. 解：(1)先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有＝4种， 再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，有＝60种，总共有4×60＝240种. (2)根据题意，先把5名医生分成3组再分配， 一是分成3，1，1然后分配，共有·＝10×6＝60种分配方法， 二是分成2，2，1然后分配，共有·＝×6＝90种分配方法， 所以共有60＋90＝150种分配方法. 19.(17分)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数n都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：n＝…(k为n的质因数个数，pi为质数，ki≥1，i＝1，2，…，k)，例如：90＝2×32×5，对应k＝3，p1＝2，p2＝3，p3＝5，k1＝1，k2＝2，k3＝1.现对任意n∈N＋，定义莫比乌斯函数μ(n)＝ (1)求μ，μ； (2)记n的所有真因数(除了1和n以外的因数)依次为a1，a2，…，am， ①若n＝210，求μ＋μ＋…＋μ； ②若n＞1且μ＝1，求μ＋μ＋…＋μ. 解：(1)因为66＝2×3×11，则k＝3，p1＝2，p2＝3，p3＝11，k1＝1，k2＝1，k3＝1， 所以μ(66)＝(－1)3＝－1， 又525＝3×52×7，则k＝3，p1＝3，p2＝5，p3＝7，k1＝1，k2＝2，k3＝1， 所以μ(525)＝0. (2)①n＝210＝2×3×5×7，所以a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝6，a5＝7，a6＝10，a7＝14，a8＝15，a9＝21，a10＝30，a11＝35，a12＝42，a13＝70，a14＝105， 则μ＝－1，μ＝－1，μ＝－1，μ＝＝1，μ＝－1， μ＝＝1，μ＝＝1，μ＝＝1，μ＝＝1， μ＝＝－1，μ＝＝1，μ＝＝－1，μ＝＝－1，μ＝＝－1， 所以μ(a1)＋μ(a2)＋…＋μ(am)＝－1－1－1＋1－1＋1＋1＋1＋1－1＋1－1－1－1＝－2. ②由于n＞1且μ＝1，所以可设n＝p1p2…pk，k为偶数， n的所有因数，除了1之外都是p1，p2，…，pk中的若干个数的乘积， 从k个质数中任选i种结果， 所以μ＋μ＋μ＋…＋μ＋μ ＝μ＋＋＋…＋μ ＝1＋＋＋…＋＋＝＝0， 所以μ＋μ＋…＋μ＝0－μ－μ＝－2. 学生用书⬇第150页 学科网（北京）股份有限公司 $