课时分层评价35 组合的应用(习题课)-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价35　组合的应用(习题课) (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法有(　　) A.6种 B.8种 C.12种 D.16种 答案：A 解析：从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法有＝＝6种.故选A. 2.从1，3，5，7，9这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：从1，3，5，7，9中任取3个数有种方法，从2，4，6，8中任取2个数有种方法，再把取出的5个数全排列共有种.故选D. 3.如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢，现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有(　　) A.6种 B.12种 C.15种 D.60种 答案：C 解析：从一排的6个位置选2个摆放残奥会吉祥物即可(剩下的4个位置放奥运会吉祥物)，＝15.故选C. 4.在直角坐标xOy平面中，平行直线x＋y－a＝0(a＝0，1，2，3，4，5)与平行直线2x－y＋b＝0(b＝0，1，2，3，4，5)组成的图形中，平行四边形共有(　　) A.25个 B.36个 C.100个 D.225个 答案：D 解析：从平行直线x＋y－a＝0中选2条，再从平行直线2x－y＋b＝0(b＝0，1，2，3，4，5)中选2条，即可确定1个平行四边形，所以可确定平行四边形的个数为×＝15×15＝225个.故选D. 5.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为(　　) A.240 B.270 C.300 D.330 答案：B 解析：选取的3人中有1名程序员和2名科学家的组合有种；选取的3人中有2名程序员和1名科学家的组合有种；由题意，不同的安排方法有＝270种.故选B. 6.(多选题)某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是(　　) A.若任意选择三门课程，则总选法为 B.若物理和历史至少选一门，则总选法为 C.若物理和历史不能同时选，则总选法为－ D.若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为 答案：ACD 解析：对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确；对于B，若物理和历史选一门，有种方法，其余两门从剩余的4门中选2门，有种选法，若物理和历史选两门，有种选法，剩下一门从剩余的4门中选1门，有种选法，由分步乘法计数原理知，选法总数为＋种，故B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为－＝－种，故C正确；对于D，由选项B的分析知，若物理和历史至少选一门且不能同时选，有种选法，故D正确.故选ACD. 7.某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有　　　种. 答案：36 解析：先将4名教师分成3组的方法有＝6种，将3组教师分配指导3个运动兴趣小组的方法有＝6种，所以总的分派方法共有6×6＝36种. 8.人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有　　　　　种排法. 答案：252 解析：由题意可知，每排5人，身高定序，选出5人即按序排好，第一步，先定前排，从10人中选5人按身高排好，有＝＝252种方法，第二步，再定后排，前排选定后，余下5人在后排且定序排好，只有1种排法.由分步乘法计数原理得，共有252×1＝252种排法. 9.一个词典里包含10个不同的单词，其中有4个以字母“A”开头，其余以其他字母开头.从中选择5个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“A”开头，一共有　　　个这样的子集.(要求用数字作答) 答案：186 解析：从含有4个以字母“A”开头的10个不同的单词选择5个单词，其中至少包含两个“A”开头的选法可分为4类，第一类：所选5个单词中，有且只有两个“A”开头的单词，符合要求的选法有个；第二类：所选5个单词中，有且只有三个“A”开头的单词，符合要求的选法有个；第三类：所选5个单词中，有且只有四个“A”开头的单词，符合要求的选法有个；由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有＋＋＝186个. 10.(15分)从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长，学习委员和体育委员. (1)若担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种？ (2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有多少种？ 解：(1)由题意知担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生， 可从11人中入选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务， 故不同的情况有－＝870种. (2)若担任班长和学习委员的学生性别不同， 则不同的情况有＝540种. (11—13，每小题5分，共15分) 11.四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10个点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为(　　) A.141 B.144 C.150 D.155 答案：A 解析：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类.第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4顶点共面，有3种.以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有－4－6－3＝141种.故选A. 12.(多选题)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是(　　) A.若5人每人可任选一项工作，则有45种不同的选法 B.若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案 C.若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案 D.若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 答案：ACD 解析：对于A，若5人每人可任选一项工作，每人有4种选法，共有45种，故A正确；对于B，若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则共有＝6种，故B错误；对于C，若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有＝60种，故C正确；对于D，若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，分两种情况：从余下三名同学中选一人从事翻译工作，此时有··＝108种；从余下三名同学中选两人从事翻译工作，此时有·＝18种；所以共有108＋18＝126种，故D正确.故选ACD. 13.若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是　　　. 答案：180 解析：根据题意，可将四位数分成两类：第一类，数字0被取到，则可从2，4中任选一个，再从1，3，5中任选两个，接着从除0外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排，此时共有＝108个四位数；第二类，数字0没被取到，故2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个，再与2，4共4个数字在四个数位上全排，此时共有＝72个四位数.根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是108＋72＝180. 14.(15分)从A，B，C等7人中选5人排成一排(写出必要的数学式，结果用数字作答). (1)若A必须在内，有多少种排法？ (2)若A，B，C三人不全在内，有多少种排法？ (3)若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ 解：(1)根据题意，若A必须在内，先在其余6人中选出4人，再与A全排列即可，一共有＝1 800种排法. (2)根据题意，在7人中选出5人排成一排，有＝2 520种排法， 若A，B，C都在内，有＝720种排法， 则A，B，C三人不全在内的排法有2 520－720＝1 800种. (3)根据题意，先在其他4人中选出2人，有＝6种选法， 将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有2＝12种排法， 排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况， 则有6×12×2＝144种排法. (15、16，每小题5分，共10分) 15.(新定义)定义：如果集合U存在一组两两不交(两个集合交集为空集时，称为不交)的非空真子集A1，A2，…，Ak，且A1∪A2∪…∪Ak＝U，那么称无序子集组A1，A2，…，Ak构成集合U的一个k划分.已知集合I＝{x∈N｜≤0}，则集合I的所有划分的个数为　　　　　. 答案：51 解析：由题意得，I＝＝，共有5个元素，则2划分有＋＝15个，3划分有＝25个，4划分有＝10个，5划分有1个，所以所有划分的个数为51个. 16.(双空题)为研究方程x＋y＋z＝8正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应x，y，z的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为.据此原理，则方程w＋x＋y＋z＝10的正整数解的不同组数为　　　(用数字作答)；该方程自然数解的不同组数为　　　　(用数字作答). 答案：84　286 解析：由题意，则方程w＋x＋y＋z＝10的正整数解的不同组数为＝84，若w，x，y，z中没有0，则有＝84种，若w，x，y，z中有1个为0，则有＝144种，若w，x，y，z中有2个为0，则有＝54种，若w，x，y，z中有3个为0，则有＝4种，该方程自然数解的不同组数为84＋144＋54＋4＝286. 学科网（北京）股份有限公司 $