课时分层评价30 分类加法计数原理　分步乘法计数原理-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价30　分类加法计数原理　分步乘法计数原理 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，则不同的选法种数为(　　) A.11 B.12 C.30 D.36 答案：C 解析：由题意，共有6×＝30种选法.故选C. 2.某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.7种 D.14种 答案：D 解析：由题意进入商场的不同方式共有4＋4＋3＋3＝14种.故选D. 3.某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有(　　) A.64种 B.46种 C.360种 D.15种 答案：B 解析：由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46种.故选B. 4.如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线路的条数为(　　) A.2 B.4 C.5 D.8 答案：B 解析：依题意，一条电路从A处到B处接通，A处并联电路开关闭合一个，有2种方法；B处并联电路开关闭合一个，只能闭合下面两个中的一个，有2种方法，根据分步计数原理，共有2×2＝4种方法.故选B. 5.某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有(　　) A.9种 B.10种 C.15种 D.24种 答案：C 解析：依题意可知，有两类衣服可选，第一类：选择衬衣和裙子，共有3×4＝12种选择；第二类：选择连衣裙，共有3种选择；所以共有12＋3＝15种选择.故选C. 6.(多选题)从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，下列说法正确的有(　　) A.其中虚数有36个 B.其中虚数有12个 C.其中纯虚数有6个 D.其中纯虚数有7个 答案：AC 解析：若a＋bi为虚数，则虚数虚部不能为0，第一步选虚部，有6种选择；第二步，选择实部，有6种选择.根据分步乘法计数原理可得，虚数有36个，故A正确，B错误；若a＋bi为纯虚数，则虚数虚部不能为0，且实部为0，根据分步乘法计数原理可得，纯虚数为6个，故C正确，D错误.故选AC. 7.满足A∪B＝的集合A，B共有　　　　　组. 答案：9 解析：当A＝⌀时，B＝；当A＝时，B＝；当A＝时，B＝；当A＝时，B＝或⌀，故共有1＋2＋2＋4＝9组. 8.甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有　　　　种. 答案：192 解析：因为甲不去北京，应该分步完成：第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有4×4×4＝64种选法；由分步乘法计数原理，可得不同选法有：3×64＝192种. 9.某校为加强学生的美感教育，开设了音乐、美术、舞蹈、戏曲四门选修课程.甲、乙两位同学各自准备从中选择两门进行学习，且甲不会选择舞蹈课程，则甲、乙两位同学选择的两门课程中仅有一门相同的情况共有　　　种. 答案：12 解析：若乙选择舞蹈课程，则仅有一门相同的情况共有3×2＝6种；若乙没有选择舞蹈课程，则仅有一门相同的情况共有3×2＝6种，综上，共有12种情况. 10.(15分)集合A＝，B＝.现从A，B中各取一个元素作为点P的坐标. (1)可以得到多少个不同的点？ (2)在这些点中，位于第一象限的有几个？ 解：(1)一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点， 又集合A与B中的元素互不相同， 所以可分为两类： 第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12(个)不同的点； 第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12(个)不同的点. 由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24. (2)第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A，B中的正数， 又集合A与B中的元素互不相同， 所以可分为两类： 第一类：选A中的正元素为x，B中的正元素为y，有2×2＝4(个)不同的点； 第二类：选A中的正元素为y，B中的正元素为x，有2×2＝4(个)不同的点. 由分类加法计数原理得不同的点的个数为4＋4＝8. (11—13，每小题5分，共15分) 11.有红、黄、蓝的小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，并且不同的顺序表示不同的信号，则可表示不同的信号种数为(　　) A.6 B.12 C.14 D.15 答案：D 解析：挂一面旗时，有3种情况；挂两面旗时，有3×2＝6种；挂三面旗时，有3×2×1＝6种，所以共3＋6＋6＝15种.故选D. 12.(多选题)有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是(　　) A.每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种 B.每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种 C.每个社团限报一个人且每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有24种 D.每个社团限报一个人且每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有33种 答案：AC 解析：对于A、B选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有34种结果，A正确，B错误；对于C、D选项，每个社团限报一个人且每名同学限报其中一个社团，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共有4×3×2＝24种结果，C正确，D错误.故选AC. 13.已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{－2，－1，0，1，2}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是　　　　. 答案：11 解析：设倾斜角为θ，tan θ＝－＞0，则ab＜0，不妨设a＞0，则b＜0，若c＝0，a有2种取法，b有2种取法，排除1个重复(a＝2，b＝－2与a＝1，b＝－1)，故这样的直线有2×2－1＝3条；若c≠0，a有2种取法，b有2种取法，c有2种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有2×2×2＝8条，从而，符合要求的直线有3＋8＝11条. 14.(15分)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表： 乘坐站数 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12 票价(元) 2 4 6 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. (1)若甲、乙两人共付费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？ (2)若甲、乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 解：(1)由已知可得，甲、乙两人共付费6元，则甲、乙一人付费2元一人付费4元， 又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选择， 所以甲、乙下地铁的方案共有(3×4)×2＝24(种). (2)甲、乙两人共付费8元，则甲、乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元； 当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有3×5＝15(种)方案； 当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案； 若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案； 若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案； 综上，甲比乙先下地铁的方案共有15＋3＋2＋1＝21(种). (15、16，每小题5分，共10分) 15.(创新题)1 800的不同的正奇数因数的个数为(　　) A.6 B.9 C.12 D.48 答案：B 解析：由题意得，1 800＝23×32×52，则1 800的正因数p＝2r×3s×5t，由题意，r＝0，s可取0，1，2；t可取0，1，2；根据分步乘法计数原理，可得不同的正奇数因数有1×3×3＝9个.故选B. 16.(新情境)已知集合A＝，若a，b，c∈A且互不相等，则使得指数函数y＝ax，对数函数y＝logb x，幂函数y＝xc中至少有两个函数在(0，＋∞)上为严格增函数的有序数对(a，b，c)的个数是　　　　. 答案：24 解析：由题意可知，满足指数函数y＝ax，对数函数y＝logb x的a，b取值只有4个，分别为，，2，3；而使它们在(0，＋∞)上为严格增函数的取值a，b都只有两个，分别是2，3；而满足幂函数y＝xc的c的取值有6个(全部)，使得幂函数y＝xc在(0，＋∞)上是严格增 函数的取值有4个，即，，2，3；由于a，b，c∈A且互不相等，有三种情况：第一种：指数函数y＝ax，对数函数y＝logb x在(0，＋∞)上是严格增函数，而幂函数y＝xc不满足，共有2×1×2＝4种；第二种：指数函数y＝ax，幂函数y＝xc在(0，＋∞)上是严格增函数，而对数函数y＝logb x不满足，共有2×2×2＝8种；第三种：对数函数y＝logb x，幂函数y＝xc在(0，＋∞)上是严格增函数，而指数函数y＝ax不满足，共有2×2×2＝8种；第四种：三个函数在(0，＋∞)上都是严格增函数，共有2×1×2＝4种；利用分类加法计数原理可得共有4＋8＋8＋4＝24种. 学生用书⬇第127页 学科网（北京）股份有限公司 $