专题04 分段函数、幂函数与二次函数（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为分段函数、幂函数与二次函数。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题04 分段函数、幂函数与二次函数 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 分段函数、幂函数与二次函数 1.掌握分段函数、幂函数的含义 B A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难. 2.掌握分段函数与幂函数的简单性质与应用 B 3.理解二次函数的三种形式、图象特征与简单性质 C 4.能利用二次函数解决实际问题 D 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 19 分段函数求值 4 （1）题型：在选择题、填空题以及解答题中均有分布。 （2）分值：分段函数几乎每年都会考查，分值一般在4分左右。 （3）内容：分段函数求值或根据函数值求参数、二次函数的值域、单调性、奇偶性、图象等简单性质考查。 2024 选择题 7 幂函数的运算 3 填空题 18 分段函数求值 4 2023 填空题 13 分段函数求值 4 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口招生考试必有1-2道题目考查分段函数、幂函数与二次函数，题型设置为单项选择题、填空题或解答题，分值3-6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 分段函数的求值（高频考点） · 二次函数的图象与性质 四、知识梳理 （一）分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. （二）幂函数 1.幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 注意点： (1)底数是自变量. (2)幂的系数为1. (3)是任意常数. (4)函数的定义域与有关. 2．五个幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 单调性 在(-∞，+∞)上单调递增 在(-∞，0]上单调递减，在(0，+∞)上单调递增 在(-∞，+∞)上单调递增 在[0，+∞)上单调递增 在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减 定点 (1，1) 注意点： 幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增； (3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，+∞)上，由下往上，幂指数逐渐增大；在(0，1)上，由下往上，幂指数逐渐减小. （三）二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在 上单调递减，在上单调递增 在上单调递增，在上单调递减 顶点坐标 奇偶性 当 b＝0时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 五、10分钟小测验 1.已知函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的定义域，代入，即可求解. 【详解】由题意知函数， 因为，所以. 故选：D. 2.已知函数，则此函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的定义域 【分析】根据分段函数的定义域为各段函数定义域的并集即可得解. 【详解】函数, 则定义域为， 故选：. 3.二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的图象分析与判断 【分析】根据题意，将二次函数一般式化为顶点式，即可求解. 【详解】因为 所以函数图像顶点坐标为. 故选：B. 4.函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次（型）函数的最值 【分析】根据二次函数最小值的求法即可求解. 【详解】函数开口向上，在处取得最小值， 最小值为. 故选：A. 5.已知幂函数的图象经过点，则的值为（    ）． A． B．3 C． D．9 【答案】B 【知识点】求具体函数的函数值、根据幂函数的性质求参数或解析式 【分析】先将点代入求出函数解析式，进而求解. 【详解】由题意可知，，解得， 所以函数解析式为，则， 故选：B． 6.若二次函数的图象如图所示，其中为实数，则下列选项中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的应用、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据图象的开口方向可判断的正负，根据图象与y轴的交点可判断的正负，根据对称轴可判断的正负. 【详解】由图象可知，函数图像开口向下，所以， 因为函数图象与y轴交于y轴的负半轴，所以， 又因为函数的对称轴为， 由图象可知，对称轴为正数， 所以， 因为，所以. 故选:B. 六、经典例题解析 （一）分段函数 【考试题型1】分段函数求值（高频考点） 【例1】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）设函数，求. 【答案】6 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外代入计算即可求解. 【详解】 因为函数， 所以，则，即. 【例2】（2024年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试） 设函数，则 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外代入计算即可求解. 【详解】 因为函数， 所以，则，即 【考试题型2】由分段函数的值求参数 【例3】（2023年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试） 已知函数，若，则 . 【答案】-3 【知识点】由分段函数的值求参数或自变量 【分析】分和两种情况讨论，根据函数值的结果求出即可. 【详解】当时， 则有解得，其中与矛盾， 所以. 当时， 则有解得与矛盾， 所以舍去. 故答案为：. 【例4】（2025届·山西省中等职业学校高三第一次对口升学模拟联考）已知函数   ，且，则 ． 【答案】3 【知识点】由分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据的范围，代入对应的解析式，得出关于的方程求解即可． 【详解】若，则，解得或(舍去)， 若，则，解得(舍去)， 综上：． 故答案为：3． （二）幂函数 【考试题型3】幂函数的概念及运算 【例5】（2025届·安徽省宣城市工业学校高三第二次模拟测试）在下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域、幂函数的定义域 【分析】根据函数解析式判断函数定义域即可求解. 【详解】对A，的定义域为R.故A正确. 对B，的定义域为.故B错误. 对C，的定义域为.故C错误. 对D，的定义域为.故D错误. 故选：A. 【例6】（2023届·河北省石家庄市正定县职业技术教育中心高三高考第二次模拟）如果幂函数的图象经过点，则的值等于（    ） A． B．2 C． D．16 【答案】D 【知识点】根据幂函数的性质求参数或解析式 【分析】设幂函数，由幂函数的图象经过点，得到，由此求出. 【详解】幂函数的图象经过点， ，解得， 即，故. 故选：D. 【考试题型4】幂函数的单调性与奇偶性及图象 【例7】（2024届·山西省朔州市晋阳中学职教高三下学期高考最后六次实战考试）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、指数函数图像应用、幂函数的奇偶性、求含cosx的函数的单调性 【分析】根据指数函数，余弦函数，幂函数，二次函数的性质易得答案. 【详解】A：指数函数是非奇非偶函数，故A错误； B：函余弦函数是偶函数，但在区间上不是严格单调递增，故B错误； C：二次函数是偶函数，在区间上单调递增，故C正确； D：幂函数不是偶函数，故D错误. 故选：C. 【例8】（2025届·湖南省对口升学高三下学期四校联考）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、幂函数的单调性、幂函数的奇偶性 【分析】由奇函数和单调增函数的定义判断常见函数的性质即可. 【详解】对于A，为反比例函数，在区间上单调递减，故A错误； 对于B，为幂函数，定义域为，为奇函数，且在定义域上单调递增，即在区间上单调递增，故B正确； 对于C，，定义域为，关于原点对称，且，故为偶函数不为奇函数，故C错误； 对于D，，定义域为，定义域不关于原点对称，故不为奇函数，故D错误. 故选：B. （三）二次函数 【考试题型5】二次函数的解析式、值域（最值） 【例9】（2024届·山西省第五届沃米杯高三下学期中职生对口升学第二次联考）函数，的值域为 ． 【答案】 【知识点】求二次（型）函数的最值 【分析】根据二次函数找到对称轴，再结合定义域，即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为且， 抛物线开口方向向上，所以当时，函数取得最小值为． 因为， 所以当时，函数取得最大值为， 又因为， 所以函数的值域为． 故答案为：. 【例10】（2025届·山西省中等职业学校高三下学期第四次对口升学模拟联考）已知当时，二次函数的图像出现最低点，最低点坐标为，且二次函数的图像过点，求此二次函数的解析式及值域． 【答案】解析式为，值域为 【知识点】二次函数的图象分析与判断、求二次（型）函数的最值 【分析】根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为当时函数取得最小值4， 所以二次函数的顶点式为， 又图像过点，代入得，解得， 所以解析式为，即， 因为二次项系数大于0，函数有最小值4， 所以值域为． 【考试题型6】二次函数的图象、性质及应用（难点） 【例11】（2023届·山西省对口升学五月份押题密卷模拟联考）二次函数与x轴有两个交点，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的图象分析与判断、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】通过函数图像特征得到对应的一元二次方程解的情况，再列式求出a的取值范围即可. 【详解】二次函数与x轴有两个交点， 即方程有两个不相同的解， 即且， 解得且，用区间表示为：. 故选：. 【例12】（2024届·山西省第五届沃米杯高三下学期中职生对口升学第二次联考）已知函数，其中m为常数. (1)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； (2)若，都有，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断二次函数的单调性和求解单调区间、一元二次不等式恒成立问题 【分析】（1）根据二次函数的开口方向和对称轴易得答案； （2）根据开口向上的二次函数恒成立，只需根的判别式小于易得答案. 【详解】（1）因为函数开口向上， 所以该函数的对称轴， 即，解得； 所以实数m的取值范围； （2）因为函数恒成立， 所以根的判别式， 整理得，解得； 所以实数m的取值范围. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 二次函数的核心知识点 知识领域 核心知识点 关键公式/说明 三种表达式 一般式​ y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点式 y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n). 交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标 图像特征 开口方向 a > 0开口向上；a < 0开口向下 对称轴 一般式：；顶点式：x = m 顶点坐标 与坐标轴交点 与y轴交点：(0, c)；与x轴交点：由解的情况决定 主要性质 单调性（增减性） 以对称轴为界：a>0 时，对称轴左侧递减，右侧递增；a<0 时，对称轴左侧递增，右侧递减 最值 a>0：最小值 y = （顶点纵坐标）；a<0：最大值（顶点纵坐标） （2） 、解题策略与技巧 1、求二次函数的解析式 这是基础也是关键。通常根据已知条件，选择适当形式： 一般式 ：已知任意三点坐标时常用。 顶点式：已知顶点坐标或最值或对称轴时使用非常方便。 交点式 ：已知抛物线与轴的两个交点坐标时使用（尤其当点不是与轴的交点时，代入另一点求） 策略：“数形结合”，注意挖掘题目中的隐藏条件，如顶点、对称性、交点等。 2、二次函数在给定区间上的最值问题 这是重要考点，尤其需要注意定义域（区间）的限制。 解题步骤： 1.配方或将一般式化为顶点式，找到顶点和对称轴。 2.判断给定区间是否包含顶点横坐标。 3.画示意图辅助分析：若区间包含顶点横坐标，顶点纵坐标就是一个最值，另一个最值在区间端点处取得；若区间不包含顶点横坐标，最值都在端点处取得。 4.比较区间端点和顶点（若在区间内）的函数值，确定最大（小）值。 注意：开口方向（的正负）直接影响是最大值还是最小值. （三）、易错点总结 1. 忽略二次函数的 “二次项系数不为 0” 易错表现：判断函数是否为二次函数时，仅关注 “含项”，忽略二次项系数的隐含条件。 【典例精讲1】：若函数是二次函数，求m的取值范围。 错误答案：m为任意实数（未考虑）； 正确答案：（二次函数定义要求）。 【规避方法】：牢记二次函数的严格定义 —— 形如的函数，判断时先检查 “是否不为 0”，再看是否为整式函数。 2. 二次函数的性质（开口方向、对称轴、最值、增减性）是高频考点，易因“符号判断”“区间限制” 出错。开口方向与最值的关系混淆。易错表现： 当（开口向上）时，错认为函数有 “最大值”； 当（开口向下）时，错认为函数有 “最小值”。 3.图像分析类易错点 二次函数的图像（抛物线）与系数a、b、c及判别式密切相关，易因 “系数符号与图像位置的对应关系”混淆出错。 由图像判断“a、b、c的符号” 时出错，易错表现： 忽略“b的符号与对称轴位置、a的符号相关”（即“左同右异”原则）； 忘记“c是抛物线与y轴交点的纵坐标”。 【典例精讲2】（2025届·浙江省中职单独考试温州市高三下学期二模数学试题） 二次函数的图像如图所示，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的图象分析与判断 【分析】根据二次函数图像确定的符号，再逐项判断即可. 【详解】由图可知，图像开口向上，， 由对称轴，所以， 【易错警示】（误认为，未用“左同右异”的原则） 由与轴交点在轴下方，所以， 所以，故A错误，，故B错误， ，故C正确， 当时，图像位于轴下方，所以，故D错误， 故选：C. （四）、复习建议 1.紧扣山西中职数学课标，聚焦高频考点（如分段函数求值、二次函数最值、幂函数图像特征），不拓展超纲内容。 （1）以“定义→图像→性质→应用”为逻辑主线，三类函数分别突破后，强化跨函数综合题型训练。 （2）结合山西中职真题规律，侧重基础题（占比70%）和中档题（占比20%），难题可适当放弃，保证基础分全拿。 2.分段函数：抓“分界点”，破“求值与图像” 分段函数是山西中职常考基础题型，核心易错点在分界点处理和定义域划分，复习重点如下： （1）夯实核心概念：牢记 “分段函数是一个函数，按定义域分段对应解析式”，明确分界点是否包含（等号归属）。 （2）主攻高频题型：分段函数求值（已知求）：先判断所属区间，再代入对应解析式计算（如时，需先2在哪个区间，再用该区间公式）。 （3）分段函数图像绘制：按区间依次画图像，分界点用 “实心点”（包含）或 “空心点”（不包含）标注，避免区间混淆。 3.幂函数在山西中职考查难度较低，侧重定义识别和图像特征，复习重点如下： 幂函数定义判断、图像识别、简单单调性应用（如比较两个幂值大小，需结合单调性和定义域） 4.二次函数：建“体系化”，攻“核心考点” 二次函数是三类函数的重点，山西中职真题常考解析式求法、最值、图像与系数关系，复习重点如下： 基础题：解析式求解、顶点坐标与对称轴计算、开口方向判断。 中档题：区间最值求解（结合自变量取值范围）、图像与系数关系判断题、与一元二次方程（Δ）结合题。 难题：以“实际应用”形式考查（如利润最大化、面积最大化），需强化“列解析式 + 求定义域 + 算最值”的完整解题流程。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $