专题04 分段函数、幂函数与二次函数（B卷·能力提升）--2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为分段函数、幂函数与二次函数。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题4 分段函数、幂函数与二次函数 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2.函数是偶函数，则函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，若，求实数的值（     ） A． B．或 C． D． 4.已知函数（为常数）是幂函数，且在上单调递增，则（    ） A．8 B． C． D． 5.若二次函数 对任意实数都有 ，则（    ） A． B． C． D． 6.函数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7.关于函数，下列叙述中错误的是（    ） A．图像一定过点 B．当时，函数是奇函数 C．函数图像的对称轴为直线 D．当时，函数在上单调递增 8.已知二次函数在上的最小值为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.设函数，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10.如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中．下列三个结论：①；②；③，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11.设函数，则 ． 12.已知函数是幂函数，且是奇函数，则 13.函数的最小值是 ． 14.用一根长8dm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 dm2. 15.某医院研究所开发了一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示.如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有 小时.    16.函数的单调增区间是 . 17.已知，则不等式的解集为 ． 18.已知函数在上有最大值，则 ． 三、解答题 19.二次函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．求： (1)函数的解析式； (2)不等式的解集． 20.已知函数 (1)求、、； (2)若，求的值. 21.已知函数. (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 22.已知二次函数满足且. (1)求的解析式; (2)求函数在区间上的值域. 23.为了鼓励居民节约用水，某市采用 “阶梯水价” 的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过吨时，按每吨元收费；每月用水量超过吨时，其中的吨仍按每吨元收费，超过部分按每吨元收费.设每户家庭月用水量为吨时，应交水费元，与的函数图象如图所示. (1)求，的值，并写出当时，与的函数关系式. (2)若某户家庭本月交水费元，求该户家庭本月的用水量. 24.已知二次函数满足，其最小值为，且． (1)求函数的解析式； (2)设函数． ①若是偶函数，求实数的值； ②若在区间是减函数，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为分段函数、幂函数与二次函数。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题4 分段函数、幂函数与二次函数 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数函数值的求法即可求解. 【详解】因为，所以； 又因为，所以； 又因为，所以； 所以. 故选：C. 2.函数是偶函数，则函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】根据函数奇偶性、二次函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 即， 即，解得，所以， 又因为二次函数开口向上，对称轴为， 所以的单调增区间是. 故选：C. 3.已知函数，若，求实数的值（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】由分段函数的值求参数或自变量 【分析】分类讨论和的情况，结合即可得解. 【详解】函数，， 当，，解得或（舍）； 当，，解得， 所以或. 故选：B． 4.已知函数（为常数）是幂函数，且在上单调递增，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据幂函数的性质求参数或解析式 【分析】根据幂函数的概念和单调性求解即可. 【详解】因为函数（为常数）是幂函数， 所以，即，解得或， 又因为在上单调递增，所以，所以， 所以，所以. 故选：A. 5.若二次函数 对任意实数都有 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数的图象分析与判断、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】由题意可得二次函数对称轴为，再由二次函数的单调性判断即可. 【详解】由题意，可得二次函数的对称轴为 ， 二次函数 函数图象开口向上， 则在上单调递增，且， 所以，即. 故选：A. 6.函数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数函数值的求法，分类讨论即可求解. 【详解】由题意得，当时，，，所以，无解； 当时，，，则， 解得或（舍去）. 故选：A. 7.关于函数，下列叙述中错误的是（    ） A．图像一定过点 B．当时，函数是奇函数 C．函数图像的对称轴为直线 D．当时，函数在上单调递增 【答案】B 【知识点】二次函数的图象分析与判断 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】当时，，所以函数图像一定过点，选项A正确，不符合题意； 当时，函数为，该函数是偶函数，选项B错误，符合题意； 函数的对称轴为直线，选项C正确，不符合题意； 当时，函数为，其图像开口向上，对称轴为直线， 所以函数在上单调递增，即在上也单调递增，选项D正确，不符合题意； 故选：B. 8.已知二次函数在上的最小值为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据二次函数的最值性质，分类讨论其最小值的情况即可求解. 【详解】因为二次函数的图像开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 则当时，，解得， 则，符合题意； 当时，，无解，不合题意； 综上，. 故选：B. 9.设函数，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由分段函数的值域或最值求参数、由指数函数的单调性解不等式 【分析】分别将和时代入合适的解析式中，列不等式结合指数函数的单调性求解即可. 【详解】由函数可得， 当时，则有，即， 由于为增函数， 可得，解得，所以解集为， 当时，令，即， 可得，所以解集为， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 10.如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中．下列三个结论：①；②；③，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】二次函数的图象分析与判断 【分析】根据图像的开口，对称轴等性质分析的符号即可. 【详解】由图可知，抛物线开口向上，则， 对称轴在轴右侧，则，所以， 因为二次函数的图象与轴交于两点， 其中， 所以二次函数的图象与轴交于正半轴， 且当时，，所以，所以，故①正确， 当时，，故②正确， 当时，①， 又，则②， ①②得，，故③正确， 所以正确的个数是3个. 故选：D. 二、填空题 11.设函数，则 ． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、诱导公式二、三、四 【分析】将代入合适的解析式中得出的值，再将的值代入解析式求值即可. 【详解】已知函数， 则， ． 故答案为：. 12.已知函数是幂函数，且是奇函数，则 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、幂函数的定义、幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再利用函数奇偶性的定义可判断结果.. 【详解】由函数是幂函数，可得， 解得或. ①当时，，函数的定义域为，且， 所以不是奇函数，不符合题意； ②当时，，函数的定义域为，且， 所以是奇函数，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 13.函数的最小值是 ． 【答案】 【知识点】求二次（型）函数的最值、求含cosx(型)函数的值域或最值及对应x值、求含cosx（型）的二次式的最值及对应x值 【分析】使用换元法结合余弦函数的值域以及二次函数的性质求解即可. 【详解】函数为， 令，且， 则有，又对称轴， 所以可知函数在区间上为减函数， 所以当时，函数有最小值为， 所以函数的最小值是. 故答案为：. 14.用一根长8dm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 dm2. 【答案】 【知识点】求二次（型）函数的最值、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】设矩形的长为，写出矩形面积关于的解析式，由二次函数的性质得到最大值. 【详解】设矩形的长为，则矩形的宽为， 要使矩形的长和宽有意义，则 ， 解得， 所以矩形的面积为，， 函数的图像开口向下，对称轴为， 所以当时，矩形面积取最大值， 故答案为：. 15.某医院研究所开发了一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示.如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有 小时.    【答案】 【知识点】图象法表示函数、求分段函数的值域或最值、其它常见函数模型的应用 【分析】由函数图象求出解析式，再令求解即可. 【详解】由题意可知，当时，设， 将代入得，，则， 当时，设，将代入， 可得，解得，则， 令，则， 综上，， 当时，令，则， 当时，令，则， 故这个最有效的时间共有小时. 故答案为：. 16.函数的单调增区间是 . 【答案】和 【知识点】求函数的单调区间、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】画出函数的图象即可求出函数单调增区间. 【详解】函数的对称轴方程为， 且当，即时，， 所以由函数的图象可得函数的图象，如下图所示， 所以函数的单调增区间是和. 故答案为：和. 17.已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由分段函数的值求参数或自变量、解不含参数的一元一次不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】首先计算，再根据函数的表达式分段求解. 【详解】因为，所以. 当时，，解得，所以取值范围为. 当时，，化简为， 解得或.因为，所以取值范围为. 综上，解集为. 故答案为：. 18.已知函数在上有最大值，则 ． 【答案】或 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】求出二次函数的对称轴，分类讨论，，的情况，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】函数在上有最大值， 二次函数对称轴为，图像为开口向下的抛物线， 当时，函数在上单调递增，则，解得或（舍）； 当时，则，无解； 当时，函数在上单调递减，则，解得（舍）或， 综上所述，或， 故答案为：或. 三、解答题 19.二次函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．求： (1)函数的解析式； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次函数的图象分析与判断、已知二次函数单调区间求参数值或范围、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求解； （2）求一元二次不等式即可解得. 【详解】（1）二次函数的对称轴为， ∵函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， ∴，解得， 则函数的解析式为． （2）令，即， 所以， 解得， ∴不等式的解集为． 20.已知函数 (1)求、、； (2)若，求的值. 【答案】(1)，， (2)或 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、由分段函数的值求参数或自变量 【分析】（1）根据自变量的范围选择相应的解析式可求得结果； （2）分类讨论，与三种情况，选择相应的解析式代入解方程即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，，， 则； （2）当时，，解得（舍去）； 当时，，则或（舍去）； 当时，，则； 综上，的值为或. 21.已知函数. (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）将自变量代入对应的函数解析式，即可求解. （2）考虑和，根据建立不等式，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，， . （2），若， 当时，，可化为，解得，即， 当时，，解得，即， 综上的取值范围为，即. 22.已知二次函数满足且. (1)求的解析式; (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】二次函数的值域、已知函数类型求解析式、求二次（型）函数的最值 【分析】（1）首先设出函数的解析式，再根据题目条件列式求解. （2）根据（1）的结果，求二次函数的值域即可. 【详解】（1）设二次函数，. 又， ∴且， （2）由(1)可得， ∴在区间上，当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. ∴函数在区间上的值域 . 23.为了鼓励居民节约用水，某市采用 “阶梯水价” 的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过吨时，按每吨元收费；每月用水量超过吨时，其中的吨仍按每吨元收费，超过部分按每吨元收费.设每户家庭月用水量为吨时，应交水费元，与的函数图象如图所示. (1)求，的值，并写出当时，与的函数关系式. (2)若某户家庭本月交水费元，求该户家庭本月的用水量. 【答案】(1) (2)吨 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、由一次函数的图象或性质确定参数 【分析】（1）根据所给的收费标准，列出对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求函数关系式，计算即可得到答案. 【详解】（1）当时，，所以. 设当时，， 把代入得，解得. 所以当时，. （2）当时，若，，不符合题意. 当时，，解得吨. 所以该户家庭本月的用水量为吨. 24.已知二次函数满足，其最小值为，且． (1)求函数的解析式； (2)设函数． ①若是偶函数，求实数的值； ②若在区间是减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】已知函数类型求解析式、由奇偶性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）依据题意假设二次函数表达式，然后代值计算； （2）①根据偶函数的特点计算即可；②根据二次函数的性质可知. 【详解】（1）由题可知：二次函数满足， 所以对称轴为，又最小值为，所以设， 由，所以，所以 （2）①由（1）可知：， 所以，即， 由是偶函数，所以， 则. ②由①可知：， 又在区间是减函数，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $