向量的坐标表示-山东省2026年春季高考一轮复习《数学考点双析卷》第52卷 学生练习卷（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第52卷，主要考查向量的坐标表示的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第52卷 向量的坐标表示 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知点，若点在函数的图象上，则等于（   ） A． A． B． D． 3．设，向量，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知平面向量，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 6．已知平行四边形OABC，，，则与夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 9．在△ABC中，已知，，，为边的中点，则线段的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 10．已知向量满足，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．11 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知点，向量，则向量 ． 12．已知向量，且，则实数m的值 13．若点，且中点为，则 . 14．已知向量，，，则 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知，且与平行，求实数k的值. 16．已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，． (1)若，求c的值； (2)若，求的值． 17．已知平行四边形的4个顶点分别为，，，. (1)求； (2)求点D的坐标. 18．已知向量，  . (1)若  ，求实数的值； (2)若向量，，求向量与的夹角的弧度数； (3)当取得最大值时，是否存在实数，使得 ? 请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第52卷，主要考查向量的坐标表示的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第52卷 向量的坐标表示 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的概念以及向量数量积的应用，进行判断即可. 【详解】若，则，解得． 若向量与的夹角为锐角，则且，所以且，解得． 故“”是“向量与的夹角为锐角”的必要不充分条件． 故选：C. 2．已知点，若点在函数的图象上，则等于（   ） A． A． B． D． 【答案】A 【分析】先将点代入函数求出点P，再利用向量模的坐标运算求解即可. 【详解】∵点在函数的图象上， ∴，∴， 又点，∴. 故选：A. 3．设，向量，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先由向量垂直计算出x的值，再由向量线性运算计算与的坐标，最后由内积的坐标运算即可. 【详解】因为向量，，且， 所以有，解得， 所以， 所以，， 所以. 故选:B. 4．已知平面向量，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行向量的坐标表示，先求出 m，再利用向量加法的坐标表示计算即可. 【详解】已知平面向量，，且， 所以，即， 则. 故选:C. 5．已知向量，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量坐标的线性运算，及向量的模的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以， 所以，解得， 所以，. 故选：C. 6．已知平行四边形OABC，，，则与夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的加减法运算和向量的坐标运算求出，的坐标，再利用向量的数量积运算求出与夹角的余弦值即可. 【详解】∵平行四边形OABC，，， ∴， ， 设与夹角为， 则 . 故选：C. 7．已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与向量同方向的单位向量为，则有，利用模的坐标表示可得的值，据此可求解. 【详解】因为点，，所以. 设与向量同方向的单位向量为，则有 ， 由，可得，解得， 即，所以与向量同方向单位向量的坐标为. 故选：D 8．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据向量垂直求出参数，然后根据充分条件、必要条件的概念可知. 【详解】由题可知：若，则或. 所以“”能推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．在△ABC中，已知，，，为边的中点，则线段的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先利用中点坐标公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由中点坐标公式可得，边的中点. 由两点间的距离公式得|AD|＝＝. 故选：C. 10．已知向量满足，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．11 【答案】B 【分析】利用向量内积的运算律及内积的坐标运算求解. 【详解】由题意，， 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知点，向量，则向量 ． 【答案】 【分析】利用向量运算的坐标表示即可得解. 【详解】设点，因为点，向量， 即，解得， 所以点，因为，则 故答案为：. 12．已知向量，且，则实数m的值 【答案】 【分析】根据向量内积的计算公式列出等式即可解得. 【详解】由，∴，且两向量方向相反， 设， 则， 即，解得或舍去， 故答案为：. 13．若点，且中点为，则 . 【答案】 【分析】根据中点坐标公式，求出的值，再根据两点之间的坐标公式求值即可. 【详解】已知点，且中点为， 则由中点坐标公式得，解得. 所以， 所以. 故答案为：. 14．已知向量，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知，且与平行，求实数k的值. 【答案】 【分析】根据向量运算的坐标表示及向量平行的坐标表示列方程求解. 【详解】， 则有， . ∴由，得， ，实数k的值为 16．已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，． (1)若，求c的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积公式列出方程，求出c的值； （2）由平面向量夹角坐标公式计算出答案. 【详解】（1），， 由，可得：， 所以； （2）若，则， ∴. 17．已知平行四边形的4个顶点分别为，，，. (1)求； (2)求点D的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点向量坐标公式计算. （2）平行四边形中向量与向量相等，求解得到点D的坐标. 【详解】（1）由两点向量坐标公式，向量的坐标为终点坐标减去起点坐标， 故. （2）平行四边形中向量与向量相等， ， . 求解得到：. 故：. 18．已知向量，  . (1)若  ，求实数的值； (2)若向量，，求向量与的夹角的弧度数； (3)当取得最大值时，是否存在实数，使得 ? 请说明理由. 【答案】(1)或 (2) (3)存在实数，理由见解析 【分析】（1）根据平面向量相互垂直的坐标表示列方程求解. （2）根据平面向量平行的坐标表示列方程解出参数，然后求，两向量的夹角. （3）先根据取最大值求出，然后再根据列出方程，根据判别式得出有解，即存在. 【详解】（1）因为向量， 所以 . 由得， 即 ， 整理得， 解得或. （2）因为， 所以 . 由，可得   ， 解得：， 所以  ， 所以. 又， 所以. （3）解法一： 由向量知， 所以 . 当时，取得最大值，此时 . 若存在实数，使， 则， 又因为， 所以，      即 ， 因为， 所以方程有实数根. 故存在实数，使得. 解法二： 由向量知， 所以 ， 当时，取得最大值，此时 ， 因为， ， 若存在实数，使得， 则有， 整理得 ， 因为， 所以方程有实数根. 故存在实数，使得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $