向量的坐标表示-山东省2026年春季高考一轮复习《数学考点双析卷》第51卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第51卷，主要考查向量的坐标表示的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第51卷 向量的坐标表示 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．设平面向量，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则点D坐标（    ） A． B． C． D． 3．若点，向量，，则线段BC中点坐标是（   ）. A． B． C． D． 4．已知向量，互为相反向量，且，则的单位向量是（    ） A． B． C． D． 5．若三点共线，则（    ） A．2 B． C． D．3 6．已知向量,且,则（    ） A． B． C． D． 7．已知，若，则等于（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．向量满足：，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，，若与反向，则（    ） A．100 B．20 C． D． 10．“”是“向量与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若向量，，则向量 ． 12．关于点的对称点的坐标为 ． 13．已知向量，，且两向量夹角为钝角，则取值范围 . 14．已知点，则△ABC中，边上的中线长为 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．给定两个向量，且，求与的夹角. 16．已知平面向量，，，且，，求. 17．如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 18．已知向量，且与垂直. (1)求实数的值； (2)若，当有最小值时，求实数的值并求出的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ | 编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第51卷，主要考查向量的坐标表示的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第51卷 向量的坐标表示 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．设平面向量，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，模的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，，则． 故选：B. 2．已知，，，则点D坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设D点坐标，利用，其坐标对应相等，从而建立方程组，其解为D点坐标. 【详解】设，因为，，得； 又有，即，建立方程组 ，解得， 所以， 故选：D. 3．若点，向量，，则线段BC中点坐标是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由向量的坐标运算求解点B和点C的坐标，再由线段中点坐标公式求解即可. 【详解】设， 则， 所以，解得，所以. 又， 所以，解得，所以， 所以线段BC中点坐标为，即. 故选：D. 4．已知向量，互为相反向量，且，则的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算，结合相反向量，单位向量的定义计算即可. 【详解】由是相反向量可得，则， 而的单位向量是. 故选：C. 5．若三点共线，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用向量的坐标表示及共线向量的坐标表示可求. 【详解】三点， 则,， 因为三点共线，则两向量共线，则有，解得. 故选：D. 6．已知向量,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的坐标表示及向量垂直的坐标特点即可得解. 【详解】因为向量,且. 所以. 解得. 所以. 所以. 故选:. 7．已知，若，则等于（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由向量线性运算的坐标表示以及向量共线可列方程求解. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以，解得. 故选：A. 8．向量满足：，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量线性运算的坐标表示结合已知条件求出，再结合向量夹角的公式计算即可得解. 【详解】设，因为，，， 所以，则， ， 所以， 又因为，所以，即. 故选：D. 9．已知向量，，若与反向，则（    ） A．100 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】先根据两向量反向，得到参数，再计算向量的内积. 【详解】∵向量，，与反向，即两向量共线， ∴，得到. 故，，则. 故选：D. 10．“”是“向量与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示，由“向量与垂直”求出，再根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若向量与垂直，则，解得， “”可以推出“”，而“”不能推出“”， “”是“向量与垂直”的充分不必要条件， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若向量，，则向量 ． 【答案】 【分析】根据向量的减法法则和线性坐标表示运算即可. 【详解】已知向量，， 则． 故答案为：. 12．关于点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用中点公式求解. 【详解】设所求点为，由题知为的中点。 故有解得. 故. 故答案为： 13．已知向量，，且两向量夹角为钝角，则取值范围 . 【答案】 【分析】根据向量夹角为钝角得到向量内积小于0，结合向量内积的坐标公式即可求解. 【详解】设向量夹角为. 因为. 所以. 因为向量夹角为钝角. 所以且不共线. 所以且. 解得且. 故m取值范围为. 故答案为：. 14．已知点，则△ABC中，边上的中线长为 . 【答案】 【分析】根据中点坐标公式求出中点坐标，再由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】已知点， 即边上的中线为点到中点的距离， 则中点为，即， 所以边上中线长为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．给定两个向量，且，求与的夹角. 【答案】 【分析】先利用向量模的坐标表示求得，再利用向量内积的运算法则求得，从而利用向量夹角的向量表示即可得解. 【详解】因为，所以， 又，，所以， 即，解得， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为. 16．已知平面向量，，，且，，求. 【答案】 【分析】先根据向量平行和垂直求得参数，再根据向量模长公式求解即可. 【详解】因为向量，，， 又，所以，解得； 又因为，所以，解得； 所以，，所以， 所以. 17．如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 【答案】(1) (2)点D的坐标为；点的坐标为 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解； （2）利用中点坐标公式，然后求解M点坐标，再根据向量相等，即可求解D点坐标. 【详解】（1）因为、、， 所以； （2）因为在平行四边形中，对角线交点为M， 所以点M为中点，设， 又、， 所以，所以点的坐标为； 设，因为、、， 所以， 又在平行四边形中，， 所以，解得， 所以点D的坐标为. 18．已知向量，且与垂直. (1)求实数的值； (2)若，当有最小值时，求实数的值并求出的最小值. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（）根据题意结合平面向量线性运算的坐标表示及平面向量垂直的坐标表示即可得解. （）根据题意结合平面向量的模长公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，， 因为与垂直， 所以，化简得， 解得或. （2）因为，所以，即， 则， 所以当时， 有最小值，最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $