第08讲 投影（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年人教版数学九年级下册重难点讲义与测试

本讲义聚焦投影核心知识点，系统梳理投影的定义、平行投影与中心投影的特征及区别、正投影的性质，构建从基础概念到分类辨析再到特殊投影的递进式学习支架。 资料通过对比表格明晰平行与中心投影差异培养推理意识，结合古塔测量、树影计算等生活情境典例发展几何直观与模型意识，典例变式与分层习题助力课中教学增效，课后查漏补缺强化知识应用。

第08讲 投影（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：投影 知识点02：平行投影 知识点03：中心投影 知识点04：正投影 典例分析 （举三反三） 考点1：与平行投影有关的计算 考点2：确定中心投影点光源的位置 考点3：与中心投影有关的计算 考点4：投影在生活中的应用 习题巩固 一、单选题（4） 二、填空题（4） 三、解答题（4） 【知识点01】投影 1. 定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影. 照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 2. 性质： (1)光线是沿直线照射的，因此可以由物体与它的投影确定光线的方向. (2)不同时刻，物体的影子的方向和大小会发生变化；在投影线和投影面相同的情况下，不同形状的物体的投影一般不同. 【知识点02】平行投影 1. 定义：太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做平行投影. 例如，物体在太阳光的照射下形成的影子属于平行投影. 2. 特征：(1)同一时刻，在太阳光下，等高的物体垂直于地面放置时，它们的影子长度相等；等长的物体平行于地面放置时，它们的影子长度也相等，并且影子的长度等于物体本身的长度. (2)在太阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比. 【知识点03】中心投影 1. 定义：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影. 如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影. 2. 特征：在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上. 这些直线相交于光源这一点. 3. 知识拓展：平行投影和中心投影的联系与区别 类型 项目 平行投影 中心投影 定义 由平行光线形成的投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影 区 别 光源 太阳光等 点光源(如蜡烛、路灯等) 投影线 平行 相交 投影方向 相同 由点光源与物体的相对位置确定 联系 都是投影现象，都是物体在光线下形成的影子 【知识点04】正投影 定义：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影：如图29.1－8. 线段正投影的特征：平 行，长不变；倾斜，长缩短；垂直，成一点. (2)平面图形的正投影：如图29.1－9. 平面图形正投影的特征：平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段. (3)几何体的正投影：如图29.1－10. 几何体的正投影与它相对于投影面的位置有关，其正投影的形状、大小的特征服从线段和平面图形的正投影的特征. 【题型一】与平行投影有关的计算 【典例1-1】（24-25九年级下·广东深圳·月考）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出方程即可． 【详解】解：一丈五尺尺，一尺五寸尺，五寸尺， 由题意，可列方程为：； 故选A． 【典例1-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）旗杆的影子长，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是，如果此时附近一座纪念塔的影子长，那么这座纪念塔的高度是 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查平行投影，熟练掌握平行投影是解题的关键；由题意可知旗杆的高度为，然后根据平行投影可进行求解． 【详解】解：设这座纪念塔的高度为，由题意得：旗杆的高度为， ∴， 解得：； 故答案为：40． 【典例1-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【答案】该古塔的高度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行投影性质和位似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的位似性质、位似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键．与是位似图形，求出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】由平行投影可知，与是位似图形， ∵， 与的位似比为， ， ， ， 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长的比值一定可得，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，小明想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置在水平地面时的影长为1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，经测量落在地面上的影长为21米，落在墙上的影高为6米，求旗杆的高度． 【答案】20米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物高：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．过点E作交于点C，先证明四边形为矩形，可得米，米，设，则，求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，过点E作交于点C， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 设，则，解得：， ∴（米）， ∴旗杆的高度为20米． 【题型二】确定中心投影点光源的位置 【典例2-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，地面上有三根立柱，立柱在光源O的照射下的影子分别为，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出光源O和立柱的影子． 【答案】见解析 【分析】根据中心投影的作图即可． 本题考查了中心投影，正确确定投影中心是解题的关键． 【详解】解：光源O如图所示，立柱的影子如图所示． 则即为所求． 【典例2-2】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)见解析 (2)小亮影子的长度为 【分析】本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的性质，中心投影，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，延长交于点，连接，延长交于点，点，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点，线段即为所求； （2）， △△， ， ， ， 答：小亮影子的长度为． 【典例2-3】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】(1)见解析 (2)中心投影 (3)见解析 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点P，即为所求； （2）因为所有光线均从同一个点P发出，呈发散状，且不同立柱的影子方向不平行，符合中心投影的特征，即可解答； （3）连接并延长交地面于点M，则为所求． 【详解】（1）解：如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 【变式2-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，木杆和与地面垂直，木杆在路灯O下的影子为，木杆在路灯O下的影子为，已知点D，G，F，H在一条直线上，，，请在图中画出路灯O． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在中心投影问题中的应用．通过连接物体顶端与影子顶端的光线，找到路灯位置． 【详解】解：如图，路灯O为所求， 作法：连接，，延长，交与点O，此时点O即路灯为所求． 【变式2-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在路灯下，小明的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯灯泡在射线上．请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下的影子． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查中心投影，熟练掌握中心投影是解题的关键．根据中心投影的概念进行画图即可． 【详解】解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段为小亮在灯光下的影子． 【变式2-3】（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点表示）； (2)画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小李的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．（精确到0.1m） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)路灯的高度约为 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的性质与判定： （1）连接点B和小李的头部并延长，连接点D和小高的头部并延长，两条射线交于点P，点P即为所求； （2）连接点P与婷婷的头部与地面交于E，则点E与婷婷脚部的连线线段即为所求； （3）过点P作交延长线于H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）解：过点作，交的延长线于点 由题意得： ， ；即： 答：路灯的高度约为． 【题型三】与中心投影有关的计算 【典例3-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确利用相似三角形的性质解决问题． 证明，，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，    ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【典例3-2】（2025九年级上·山西太原·专题练习）如图，，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 【答案】/25平方厘米 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ∵， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：． 【典例3-3】（25-26九年级上·河南南阳·期中）小明家的客厅有一张圆桌，它的直径为米，桌高为米，其示意图如图所示．在点A处有一盏灯，它到地面的距离为2米，圆桌在地面上的影子的直径是，图中的各点均在同一平面内．若点D到点O的距离为21米，求点E到点O的距离． 【答案】23米 【分析】本题考查中心投影，正确将中心投影相关问题转化为相似三角形的问题是解题关键． 根据相似三角形的相似比等于对应高的比，求出即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点F， 由题意可得米，米，米，米，， ∴（米）， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴米， ∴（米）． ∴点E到点O的距离是23米． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比． 【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即． 已知，，则相似比为； 又，故． 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应 （填“增加”或“减少”） 米． 【答案】 增加 1 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ， ， ， ， ， ， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， 即， ，即， ， ∴光源与小明的距离应增加米， 故答案为：增加，1． 【变式3-3】（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯． (1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（不写作法，请保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果灯杆高，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度．（请写出完整的求解过程） 【答案】(1)见解析 (2)小亮影子的长度为 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段． （1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端； （2）根据中心投影的特点可知，利用相似比即可求解． 【详解】（1）解：连接并延长交地面于点C，线段就是小亮在照明灯（P）照射下的影子； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， 小亮影子的长度为． 【题型四】投影在生活中的应用 【典例4-1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为（   ）．（假设两次测量时太阳光线是平行的） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质， 先根据题意画出图形，再求出，然后根据物高与影长的比相等求出，最后根据得出答案． 【详解】如图所示，根据题意可知，， 根据物高与影长的比相等，得， 解得， ∴． 所以树高为4米． 故选：C． 【典例4-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为 m． 【答案】60 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成比例是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成比例即可得出结论． 【详解】解：设这栋楼的高度为， ∵在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为， 解得． 答：这栋楼的高度为， 故答案为：60 【典例4-3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为22米，小明的影长为米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 【答案】米 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．证明，利用相似比计算出的长，再证明，然后利用相似比计算的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵， ， 又∵， ， ∴， ∴（米）， 同理，， ∴， ∴（米）， ∴（米）． ∴旗杆的高为米． 【变式4-1】（22-23九年级上·山西晋中·期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下处测得影子的长为5米，则小明和路灯的距离为（　　） A．25米 B．15米 C．16米 D．20米 【答案】D 【分析】根据题意得，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 则小明和路灯的距离为20米． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 【变式4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影的应用，设树的高度为m，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设树的高度为，由题意得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴树的高度为， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 【答案】图见解析，小方的影长为米． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，然后证明，则，设，则，代入得，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，为所要求的图形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 答：小方的影长为米． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 【答案】D 【分析】本题考查投影，中心投影的光线从一点（投影中心）发出，平行投影的光线互相平行．根据选项描述的光源类型判断是否为中心投影即可．区分中心投影和平行投影的关键是看光源：点光源产生中心投影，平行光源产生平行投影． 【详解】解：∵ 日光、月光、落日阳光均为平行光，其投影为平行投影； ∵ 灯光为点光源，其投影为中心投影； ∴ 选项D中灯光下的影子属于中心投影． 故选：D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时还能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的投影是（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的投影是平行投影． 故选：A． 3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B作于点C，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 4．（2025九年级·浙江金华·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、坐标与图形、相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．史料中最早的记载是“汉书·律历志·制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主晷仪，下刻漏”．看来日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 投影． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行投影的概念，理解其概念是解题的关键． 根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行 ． 6．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过A作，交于C点．求出的值，可得结论． 【详解】解：过A作，交于C点．    ∵线段在平面α内的正投影为，，， ∴， ∴，且，则即为所求． ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ∵， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是 ． 【答案】 【分析】该题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据题意证明四边形是矩形，得出，根据太阳光线与地面成的角，得出，求出，在中，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，根据题意是皮球直径，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵太阳光线与地面成的角， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为．    【解决问题1】根据常识猜想小明在沿方向从向前进时，小明的影长如何变化________． 【解决问题2】求灯杆的高度． 【答案】[解决问题1]：逐渐变长；[解决问题2] 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． [解决问题1]：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； [解决问题2]：根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】[解决问题1]：由题意，可知：小明在沿方向从向前进时，小明的影长逐渐变长； [解决问题2]：解：由题意，可知：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：．    10．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请根据以上信息，求灯泡P距离地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)3.52米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的应用、中心投影，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接并分别延长，相交于点P，则点P即为所求． （2）过点P作于点G，设交于点H，根据题意可得米，米，米，，，可得，即，求出即可． 【详解】（1）解：如图，连接并分别延长，相交于点P， 则点P即为所求． （2）解：过点P作于点G，设交于点H， 两根标杆的距离为米， 米． 由题意得，，，， 四边形为矩形， 四边形为矩形， 米，米，，， ， ， 米，米， 米， ， 米， 即灯泡P距离地面的高度为米． 11．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高米．当地中午时，物高与影长的比是． (1)如图，当地中午时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为______米． (2)当地下午时，物高与影长的比是．如图，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（）根据平行投影的性质解答即可求解； （）作于点，则米，，根据平行投影的性质求出，进而即可求解； 本题考查了平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得米， 故答案为：； （2）解：如图，作于点，则米，， 由题意得，， ∴米， ∴米， 答：落在乙楼上的影子的长为米． 12．（25-26九年级上·四川·期中）九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 【答案】(1)点到水平地面的距离为6米； (2)小明测得的九天楼高度为米． 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过C作交延长线于H，根据含角直角三角形的性质求解即可； （2）过H作交于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出的长，进而求解即可． 【详解】（1）解：过C作交延长线于H， 在中，， ∴（米）； 答：点到水平地面的距离为6米； （2）解：过H作交于E， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴米 在中，， （米） （米） ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ∴，即 解得， ∴（米）． 答：小明测得的九天楼高度为米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 投影（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：投影 知识点02：平行投影 知识点03：中心投影 知识点04：正投影 典例分析 （举三反三） 考点1：与平行投影有关的计算 考点2：确定中心投影点光源的位置 考点3：与中心投影有关的计算 考点4：投影在生活中的应用 习题巩固 一、单选题（4） 二、填空题（4） 三、解答题（4） 【知识点01】投影 1. 定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影. 照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 2. 性质： (1)光线是沿直线照射的，因此可以由物体与它的投影确定光线的方向. (2)不同时刻，物体的影子的方向和大小会发生变化；在投影线和投影面相同的情况下，不同形状的物体的投影一般不同. 【知识点02】平行投影 1. 定义：太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做平行投影. 例如，物体在太阳光的照射下形成的影子属于平行投影. 2. 特征：(1)同一时刻，在太阳光下，等高的物体垂直于地面放置时，它们的影子长度相等；等长的物体平行于地面放置时，它们的影子长度也相等，并且影子的长度等于物体本身的长度. (2)在太阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比. 【知识点03】中心投影 1. 定义：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影. 如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影. 2. 特征：在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上. 这些直线相交于光源这一点. 3. 知识拓展：平行投影和中心投影的联系与区别 类型 项目 平行投影 中心投影 定义 由平行光线形成的投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影 区 别 光源 太阳光等 点光源(如蜡烛、路灯等) 投影线 平行 相交 投影方向 相同 由点光源与物体的相对位置确定 联系 都是投影现象，都是物体在光线下形成的影子 【知识点04】正投影 定义：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影：如图29.1－8. 线段正投影的特征：平 行，长不变；倾斜，长缩短；垂直，成一点. (2)平面图形的正投影：如图29.1－9. 平面图形正投影的特征：平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段. (3)几何体的正投影：如图29.1－10. 几何体的正投影与它相对于投影面的位置有关，其正投影的形状、大小的特征服从线段和平面图形的正投影的特征. 【题型一】与平行投影有关的计算 【典例1-1】（24-25九年级下·广东深圳·月考）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）旗杆的影子长，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是，如果此时附近一座纪念塔的影子长，那么这座纪念塔的高度是 ． 【典例1-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，小明想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置在水平地面时的影长为1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，经测量落在地面上的影长为21米，落在墙上的影高为6米，求旗杆的高度． 【题型二】确定中心投影点光源的位置 【典例2-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，地面上有三根立柱，立柱在光源O的照射下的影子分别为，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出光源O和立柱的影子． 【典例2-2】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 【典例2-3】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【变式2-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，木杆和与地面垂直，木杆在路灯O下的影子为，木杆在路灯O下的影子为，已知点D，G，F，H在一条直线上，，，请在图中画出路灯O． 【变式2-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在路灯下，小明的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯灯泡在射线上．请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下的影子． 【变式2-3】（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点表示）； (2)画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小李的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．（精确到0.1m） 【题型三】与中心投影有关的计算 【典例3-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 【典例3-2】（2025九年级上·山西太原·专题练习）如图，，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 【典例3-3】（25-26九年级上·河南南阳·期中）小明家的客厅有一张圆桌，它的直径为米，桌高为米，其示意图如图所示．在点A处有一盏灯，它到地面的距离为2米，圆桌在地面上的影子的直径是，图中的各点均在同一平面内．若点D到点O的距离为21米，求点E到点O的距离． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应 （填“增加”或“减少”） 米． 【变式3-3】（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯． (1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（不写作法，请保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果灯杆高，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度．（请写出完整的求解过程） 【题型四】投影在生活中的应用 【典例4-1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为（   ）．（假设两次测量时太阳光线是平行的） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例4-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为 m． 【典例4-3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为22米，小明的影长为米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 【变式4-1】（22-23九年级上·山西晋中·期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下处测得影子的长为5米，则小明和路灯的距离为（　　） A．25米 B．15米 C．16米 D．20米 【变式4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为 ． 【变式4-3】（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时还能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的投影是（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025九年级·浙江金华·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 二、填空题 5．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．史料中最早的记载是“汉书·律历志·制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主晷仪，下刻漏”．看来日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 投影． 6．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为 ．    7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为．    【解决问题1】根据常识猜想小明在沿方向从向前进时，小明的影长如何变化________． 【解决问题2】求灯杆的高度． 10．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请根据以上信息，求灯泡P距离地面的高度． 11．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高米．当地中午时，物高与影长的比是． (1)如图，当地中午时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为______米． (2)当地下午时，物高与影长的比是．如图，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 12．（25-26九年级上·四川·期中）九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 1 学科网（北京）股份有限公司 $