抛物线 课件-2026届高三数学职教高考一轮复习

第八章 平面解析几何 第十一节 抛物线 职教高考一轮复习 直击高考 考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计 常考题型 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 抛物线的概念、标准方程和性质 掌握抛物线的概念、标准方程和性质 (30) (15) (21) (30) (17) (30) 选择题 填空题 解答题 本节抛物线定义方程及性质，主要以选择题、填空题的形式出现基础题居多． 方程 +椭圆 +直线 确定p 焦点 定p +圆 +直线 焦准距 +椭圆 +直线 知识梳理 1．抛物线的定义 (1)平面上与一个定点F和一条不经过点F的定直线l的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． (2)如图示，设直线l为准线， 点F为焦点，点P为抛物线上一点， 点P到直线l的距离为|PM|，则有|PM|＝|PF| 其中点F到直线l的距离|KF|＝p. p 2．抛物线的标准方程和几何性质 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0) 图形 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) (0，0) (0，0) (0，0) 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 离心率 e＝1 结合图象记忆 (1)在抛物线的几何性质中，p—焦点到准线的距离，p恒为正． (2)抛物线的标准方程有四种形式，利用数形结合思想分析总结． 如图可得焦点为 ， 准线方程为x＝ . 注意事项 (3)抛物线的性质都是通过标准方程体现的，在解题前一定要注意先化为标准方程，如2x2＝5y要先化为x2＝ y. (4)设点P(x，y)为抛物线上任意一点，则有|PF|＝|x|＋ (焦点在x轴上)或|PF|＝|y|＋ (焦点在y轴上). 数形结合，|PF|化归为点到准线距离 典例分析 【知识要点1】抛物线的定义 【例1】　已知抛物线y＝ x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　) A． B．5 C．6 D．4 B 【解析】抛物线的标准方程为x2＝4y，由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离即点A到准线y＝－1的距离，即4－(－1)＝5.故选B. y＝－1 【变式训练1】 (1)已知在第一象限内的点P在抛物线y2＝12x上，且它到焦点的距离为7，则点P的坐标为(　　) A．(4，4 ) B．(3，6) C．(2，2 ) D．(1，2 ) A (2)已知抛物线y2＝2px(p>0)上第一象限内的点M的横坐标为8，点M到焦点F的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为________． 4 提示：化归为到准线距离 提示：求p 【知识要点2】 抛物线的标准方程 【例2】　若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到准线的距离为4，则该抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x C 【解析】y2＝2px上一点P(2，y0)到准线的距离为4， 由抛物线定义可知2＋ ＝4，∴ ＝2，即p＝4， ∴抛物线的标准方程为y2＝8x，故选C. 【变式训练2】 (1)抛物线顶点在原点，准线方程为x＝3，则该抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝－12x B．y2＝－6x C．y2＝12x D．y2＝6x A (2)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，顶点在原点， 对称轴为坐标轴，则该抛物线的标准方程是_________________． y2＝16x或x2＝－8y 【知识要点3】 抛物线定义的综合应用 【例3】　　已知点M(－2，4)，抛物线y＝ x2的焦点为F，在抛物线上求一点P，使|PM|＋|PF|的值最小． 【变式训练3】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标． 解：如图所示，作PQ⊥l于Q. 由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离， 即|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|. ∵ >2，∴点A在抛物线内部． 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝± . ∴当A，P，Q三点共线时，|PA|＋|PF|最小，最小值为3＋ ＝ . 此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2. ∴|PA|＋|PF|的最小值为 ，此时点P的坐标为(2，2). 【知识要点4】 抛物线与椭圆、双曲线的综合应用 【例4】　已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点重合，若它们的一个交点是M ，求抛物线和椭圆标准方程． 【变式训练4】已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的右焦点F与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点重合，点M(2，2 )是它们的一个交点，求双曲线与抛物线的标准方程． 解：把点M的坐标代入抛物线y2＝2px(p＞0)得(2 )2＝2p×2.解得p＝6. 所以抛物线的标准方程是y2＝12x.因此抛物线的焦点坐标为(3，0). 由题意可知 解得 所以双曲线的标准方程是x2－ ＝1. 一、选择题 1．抛物线x＝ y2的准线方程是(　　) A．x＝－1 B．y＝－1 C．x＝1 D．y＝1 A 2．顶点在原点，对称轴为y轴，且过点(2，－2)的抛物线方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝－2x C．x2＝2y D．x2＝－2y D 课堂检测 3．抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　) A．3 B．1 C．2 D．4 C 活动设计：限时12分钟，从1-9题中精选6个检测 注意数形结合利用定义分析！ 4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线的焦点的距离是(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 B 数形结合分析 5．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－ ＝1的渐近线的距离是(　　) A． B． C．1 D． B 思考 ①抛物线焦点坐标 ②双曲线的渐近线方程并化一般式 ③点到直线的距离 二、填空题 6．双曲线 － ＝1的一个焦点是抛物线的焦点，则抛物线的方程为____________________． y2＝20x或y2＝－20x 7．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝________． 2 注意先定位（焦点）再定值！ 8．已知点M(m，4)是抛物线x2＝ay上的一点， 点F为该抛物线的焦点，若|MF|＝5， 则该抛物线的焦点坐标是________． (0，1) 9．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A，B是 抛物线C上不同的两点，且线段AB中点的横坐标 为2，则|AF|＋|BF|＝________． 6 三、解答题 10．抛物线的顶点与双曲线 － ＝1的中心重合，焦点是双曲线的顶点，求满足条件的抛物线的标准方程． 抛物线的标准方程是y2＝－8x或y2＝8x. 11．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M的纵坐标为4 ，这点到准线的距离为6，求该抛物线的标准方程． 解得p＝4或p＝8. 所以抛物线的标准方程为y2＝8x或y2＝16x. 解：设点M的横坐标为x0，由题意可知 选做 解：如图所示，以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系． 设抛物线的方程是x2＝－2py(p＞0)， 故16＝－2p×(－5)，解得p＝ ， 由题意知点A(4，－5)在抛物线上， 则抛物线的方程是x2＝－ y(－4≤x≤4). 设水面上涨后，木船两侧与拱桥接触于点B，B′时，木船开始不能通航． 设点B(2，y′)， ∵ ＋0.75＝2， ∴当水面上涨到与拱顶相距2 m时，木船开始不能通航． 则22＝－ y′，解得y′＝－ . 12．某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m．一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m．当水面上涨到与拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？ 二、填空题 1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为 ，则p＝________． 2 2．已知点A(3，2)，抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P是抛物线C上任意一点， 则△PAF周长的最小值为________． 5＋　 三、解答题 1．椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的短轴顶点与两个焦点构成面积为 ,顶角是120°的等腰三角形．若抛物线的焦点与椭圆短轴顶点重合，求椭圆和抛物线的标准方程． 椭圆的标准方程是 ＋y2＝1. 抛物线的标准方程是x2＝－4y或x2＝4y. 课堂小结 抛物线 定义 标准方程 焦点在 x 轴正方向 焦点在 x 轴负方向 焦点在 y 轴正方向 焦点在 y 轴负方向 几何性质 焦点 准线 离心率 布置作业 1.书面必做作业：完成复习资料相关题目； 2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书拓展练习进一步训练巩固相关内容 下 课 $