4.2.2等差数列的前n项和公式课件(2)（等差数列前n项和公式的性质）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质，通过复习回顾等差数列通项公式、前n项和公式及基本量法等旧知，以“将Sn看作关于n的函数”为探究起点，搭建从公式应用到性质推导的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以数学眼光抽象Sn的函数特征，通过表格探究与代数证明培养逻辑推理能力，结合多种解法和变式练习强化应用意识。学生能深化对等差数列和函数关系的理解，教师可借助清晰的性质体系和分层例题提升教学效率。

4.2.2 等差数列的 前n项和公式(2) 复习回顾 等差数列{an}的前n项和公式 等差数列{an}的通项公式 基本量法 (转化与化归) 知三求二 (方程思想) 倒序求和 复习回顾 在前面我们学过了等差数列{an}的哪些性质？ 3. 若{an}公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的 等差数列． 2. (下标和)：若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq . 4. 数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1， d2，则数列{pan+qbn} (p,q为常数)是公差为pd1+qd2的等差数列. 1. 等差数列通项是特殊的一次函数：an= kn+b，其中k=d 思考：将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？ 新知探究 则 Sn= An2 + Bn 令 新知获得 1°当A≠0（即d≠0）时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，即 Sn=An2+Bn，它的图像是抛物线y=Ax2+Bx上一群孤立的点. 2°当A=0（即d=0）时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数. A＞0 (d＞0)时，图像开口朝上，A<0 (d<0)时，图像开口朝下. 1. 性质1： 等差数列前n项和公式的函数特征： Sn= An2 + Bn 等差数列前n项和的性质： 易错辨析 判断：等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 ( ) ❌️ 当d≠0时, Sn是常数项为零的二次函数 解法一： 书P21 练习 例7 已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求S30. 根据公式 ，得 解方程组得 所以 所以 基本量法 解法二： 练习 设 ，得 解方程组得 所以 S10=100A+10B=310 S20=400A+20B=1220 可以利用性质1 求解吗？ 书P21 例7 已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求S30. 所以 新知探究 探究 已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0. 任取若干组p,q,r, 计算a1,a2,a3,a4,a5的值 (图已给出p=1,q=2,r=0的情况)，观察数列{an}的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论. 多给p,q,r取几组值，看看有什么规律？ 新知探究 结论： 当时，数列为等差数列. 当时，数列从第二项起为等差数列. 新知探究 证明： 性质1 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 2. 解： 书P24 练习 当Sn常数项≠0时，数列从第二项起为等差数列. 新知获得 1. 性质1： 数列{an}是等差数列 (A、B为常数, ) . 2. 性质2： 数列 是等差数列. (公差为 ) 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： Sn= An2 + Bn 7. 书P25 习题4.2 已知是等差数列的前项的和， (1) 证明数列也是等差数列； (2) 设 是的前项的和，若，，求 . 7. 书P25 习题4.2 已知是等差数列的前项的和， (1) 证明数列也是等差数列； (2) 设 是的前项的和，若，，求 . (2) 解法三： 练习 可以利用性质2 求解吗？ 书P21 例7 已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求S30. 新知获得 3. 性质3：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， …也是等差数列，公差为n2d. 等差数列{an}中，a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…也成等差数列， a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…也成等差数列． 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： 解法四： 练习 可以利用性质3 求解吗？ 书P21 例7 已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求S30. 应用举例 自我评价 3. 等差数列{an}的前项的和为若， ，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 所以 ， 利用等差数列的性质：、、也成等差数列. 即 ， 解得 . 练P23 应用举例 变式： 已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100， 求它的前3m项和. 解：210 新知获得 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： 4. 性质4：若项数为奇数2n+1项， ； 最中间一项 奇数项共+1项，偶数项共项，所以 证明： 奇项个数÷偶项个数 新知获得 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： 4. 性质4：若项数为偶数2n项， ； 奇数项共项，偶数项共项，所以 证明： 奇项中间项÷偶项中间项 新知获得 5. 性质5： 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： 证明： 应用举例 5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数以及中间一项的值. 书P22 应用举例 解： . 变式 设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn， 若 ，求 的值. 课堂小结 设 等差数列{an}的前n项和为Sn，那么 性质1：数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数) 是等差数列. 性质3：在等差数列{an}中连续的n项和构成的数列Sn， S2n－Sn, S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列． 性质2：数列 课堂小结 设 等差数列{an}的前n项和为Sn，那么 性质4：若项数为奇数2n+1项， 性质5： 性质4：若项数为偶数2n项， 下课! ∴eq \f(S10,10)，eq \f(S20,20)，eq \f(S30,30)成等差数列， ∴eq \f(S10,10)＋eq \f(S30,30)＝2×eq \f(S20,20)， ∴S30＝30× ＝30×(122－31)＝2 730. ∵ 是等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列， ∵数列{an}为等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220， ∴S30＝2 730. $