4.4.1 两个三角形相似的判定 课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定，系统讲解预备定理、两角对应相等判定定理及母子相似定理。导入通过回顾定义和中位线截三角形问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于以“议一议、量一量”引导观察操作，结合严谨证明培养推理能力（数学思维），通过测量河宽例题发展模型意识（数学语言）。练习分层设计，兼顾基础与提升，助力学生提升探究应用能力，也为教师提供清晰教学路径和实用素材。

4.4.1 两个三角形相似的判定 浙教版 1 2、三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？ 相似比是多少？ 1、相似三角形的定义？ A B C D E 三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 导入新知 A B C D E A B C D E 结论： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE‖BC，则△ADE与△ABC相似吗？ (1)议一议:这两个三角形的三个内角是否对应相等？ (2)量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？ (3)平行移动DE 的位置再试一试. 新知讲解 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 相似三角形的预备定理 ∵DE‖BC 几何语言叙述： ∴⊿ADE∽⊿ABC A B C D E A B C D E 归纳 观察 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？ 一定相似 新知讲解 如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'， 求证: △ABC∽△A'B'C' 证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D 作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC ∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B' ∴∠ADE=∠B' 又∵∠A=∠A',AD=A'B' ∴△ADE≌△A'B'C' ∴△A'B'C'∽△ABC A B C D E A' B' C' 归纳 如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定三角形相似的定理 两角对应相等，两三角形相似. 角角 A A A1 B1 C1 A B C △ABC∽△A1B1C1. 即：如果 √ ∠A =∠A1，∠B =∠B1 . 7 总结 判断两个三角形相似的两种方法： 1、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似. A D E B C A B C D E A字形 X字形 2、判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似。 归纳 例1、在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,小聪采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走45m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90°走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程） B. A. C D E 方法一 方法二 方法三 说一说 解：∵AB⊥AD，DE⊥AD ∴∠BAC=∠EDC=Rt∠ 又∵∠ACB=∠DCE ∴△ABC∽△DEC ∴ 即AB= ∵AC=45，CD=15，DE=20 ∴AB= 答：河宽AB是60m. 构造相似三角形产生比例线段 求线段长度是常用的方法 B. A. C D E 已知：如图Rt△ABC中，CD是斜边上的高. 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD C A D B 证明：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90° ∴△ABC∽△CBD 同理可证：△ABC∽△ACD ∴△ABC∽△CBD∽△ACD 拓展提升 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. 此结论可以称为“母子相似定理”，今后可以直接使用。 结论 练一练 如图, 在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 （1）图中有哪些相似的三角形?证明你的结论. （2）证明CD2=AD·BD （3）类似的，AC2=（ ）·（ ）; BC2=（ ）·（ ） (2) ∵ △CDB∽△ADC (1)△ACD∽△ABC △CBD∽△ABC 证明： ∵∠ACB=∠ADC=90° 又∠A=∠A=90° ∴ △ACD∽△ABC ∴ CD2=AD·DB ∴ AC2=AD·AB, ∴ BC2=BD·BA (3) ∵ △ACD∽△ABC ∵ △ABC∽△CBD △ACD∽△CBD B D A C 1 2 CD AD = BD CD ∴ 课堂练习 1.下列各组图形中有可能不相似的是(　　) A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是60°的两个等腰三角形 C．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 A 2、如图，已知点E,F分别是△ABC中AC,AB边的中点，BE,CF相交于点G,FG=2，则CF的长为 （ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 D 3.已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的 是____________． △EFD，△HGK 4、如图，点D和E分别在△ABC的边AB和AC上，且∠AED=∠ABC,若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为__________, 4 5.如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：△ABC∽△AED. 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠EAD. 又∵∠C＝∠D， ∴△ABC∽△AED.　 课堂小结 1、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2、判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似. 3、母子定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. THANK YOU 18 $