专题4.4 等差数列的前n项和讲义（13类必考点）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦等差数列前n项和核心知识点，系统梳理前n项和公式、与二次函数的关系、常用性质及求最值的方法，搭建从等差数列定义、通项公式到前n项和应用的学习支架，衔接后续数列综合问题。 资料以13个分层考点覆盖基础计算、性质应用到实际问题，如结合《算法统宗》“九儿问甲歌”培养应用意识，通过性质推理题提升运算能力与推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，发展数学思维与创新意识。

专题4.4 等差数列的前n项和 【知识梳理】 1 【考点1：求等差数列的前n项和】 2 【考点2：含绝对值的等差数列前n项和】 4 【考点3：等差数列奇数项或偶数项的和】 7 【考点4：由前n项和判断数列是否是等差数列】 10 【考点5：等差数列片段和的性质及应用】 13 【考点6：前n项和与n的比所组成的等差数列】 14 【考点7：两个等差数列的前n项和之比问题】 17 【考点8： 等差数列前n项和的其他性质及应用】 19 【考点9：等差数列前n项和的二次函数特征】 21 【考点10：二次函数法求等差数列前n项和的最值】 24 【考点11：求等差数列前n项和的最值】 27 【考点12：根据等差数列前n项和的最值求参数】 29 【考点13：等差数列前n项和的简单应用】 32 【知识梳理】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【考点1：求等差数列的前n项和】 1．（25-26高三上·山东日照·期中） . 【答案】 【分析】由等差数列的求和公式可得. 【详解】原式. 故答案为：. 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知等差数列中，，则前项和的值为（   ） A．80 B．40 C．20 D．10 【答案】B 【分析】利用等差数列的项的性质与求和公式计算即得. 【详解】因是等差数列，则， 故. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及前项和求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）设数列，，，，的前项和为，求，． 【答案】， 【分析】根据题意，前项和有个连续的奇数，利用等差数列的求和公式即可，再由与的关系求即可. 【详解】令，则，， 故，, 所以 则. 5．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）（1）已知数列是等差数列，且，，求通项公式和前n项和； （2）已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）设出公差，由题意得到方程组，求出公差，得到通项公式，进而利用等差数列求和公式求和； （2）利用等差数列求和公式直接求和. 【详解】（1）设数列的公差为，因为，，所以， 所以，前n项和； （2）因为数列，都是等差数列，所以数列为等差数列， 又，，，所以数列的前100项和为. 【考点2：含绝对值的等差数列前n项和】 1．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（  ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【分析】利用等差数列前n项和及其性质求基本量，进而得到，再确定的前4项为正数项，从第5项开始均为负数项，最后由的前12项和求结果. 【详解】由，可得， 所以，故数列的公差，且， 所以，令，， 所以的前4项为正数项，从第5项开始均为负数项，且， 所以的前12项和. 故选：D 2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）在数列中，，，则数列的前10项和为 . 【答案】50 【分析】求出等差数列通项公式，再分析得前6项小于等于0，最后利用等差数列前项公式计算即可. 【详解】由，得． 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 则． 数列的前项和． 当时，，当时，， 则数列的前10项和为 . 故答案为：50. 3．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系即可求解； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)，. (2)，. 【分析】（1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可； （2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. （2）由上可知， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上，. 5．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分与进行讨论即可得. 【详解】（1）当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； （2）设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和． 【考点3：等差数列奇数项或偶数项的和】 1．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】利用奇偶数项的和及等差数列的性质有，即可求项数. 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 【答案】19 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质列式求解. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， 因此，解得，所以所求项数为. 故答案为：19 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 5．（25-26高三上·新疆昌吉·月考）已知数列是等差数列. (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数. 【答案】(1)7； (2)2700； (3)19. 【分析】（1）求出公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案； （2）利用等差数列求和公式即可得到答案； （3）根据等差数列的性质得和，从而得到项数. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差， 所以. （2）在等差数列中，，， 所以. （3）设项数为，，数列公差为， 则， 所以， 而. ∴此数列共有19项. 【考点4：由前n项和判断数列是否是等差数列】 1．（24-25高二下·山西朔州·月考）命题“如果数列的前n项和，那么数列一定是等差数列”是否成立 A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．能断定 【答案】B 【分析】首先根据题中所给的条件，得到（），最后根据等差数列的定义得到结果. 【详解】∵，∴（）， ∴，当时，符合上式， 又∵（） ∴是等差数列，所以命题成立， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用数列的前项和求通项，利用定义判断数列是否是等差数列，属于基础题目. 2．（24-25高一下·山东德州·期末）已知数列的前项和为，且，若，，则的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】推导出数列是等差数列，由解得，由此利用能求出的值. 【详解】数列的前项和为，且 数列是等差数列 解得 解得 故选： 【点睛】本题考查等差数列的判定和基本量的求解，属于基础题. 3．（25-26高二上·上海·月考）已知等差数列前项和为，则 . 【答案】 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 4．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由（1）知，利用与的关系式，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【详解】（1）解：设数列的前项和为， 因为， 可得，解得， 所以. （2）证明：由（1）知， 当时，可得； 当时，， 当时，适合上式，所以， 又由，所以数列表示首项为，公差的等差数列. 5．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知数列的前n项和 求数列的通项公式； 求证：数列是等差数列． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）当时，类比写出，两式相减整理得；当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式. （2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可. 【详解】解：当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． 证明：， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 【点睛】本题主要考查已知数列的前项和求数列的通项公式的方法，考查等差数列的判断方法. 已知数列的前项和求数列的通项公式，求解过程分为三步： （1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； （2）当时， 求出； （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 【考点5：等差数列片段和的性质及应用】 1．（2025高三·全国·专题练习）在一个等差数列中，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前和的片断和性质列式求解. 【详解】由等差数列前和的性质知，成等差数列， 即，，所以. 故答案为： 2．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】56 【分析】利用等差数列前项和的性质结合等差中项即可求解 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 则，即，解得. 故答案为： 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】方法1：利用在等差数列中，，，，仍成等差数列，代入求解即可. 方法2：利用等差数列前项和公式，求出等差数列首项，公差，代入求解即可. 【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知： 在等差数列中，，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列，即， 又，，所以， 解得. 方法2：设等差数列首项为，公差为， 由等差数列前项和公式可知： ，， 联立解得，， 所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·山东烟台·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列部分和的性质有为等差数列，结合等差中项的性质列方程求值即可. 【详解】由题意为等差数列，则， 所以，则. 故选：C 5．（25-26高三上·重庆·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和为，则成等差数列，即可得出结论． 【详解】设，则， 等差数列的前n项和为，则成等差数列， 即成等差数列， 公差为，故，即， ， 故选：. 【考点6：前n项和与n的比所组成的等差数列】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 2．（24-25高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 3．（25-26高二上·河北沧州·月考）已知为等差数列的前项和，若常数且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可得为等差数列，则，即可求出. 【详解】由等差数列的性质可得为等差数列， 所以，则. 故选：B. 4．（2025·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 5．（24-25高二下·四川成都·月考）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 【答案】(1) (2)证明见解析，首项为，公差为 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 依题意得：，解得：， 故. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以数列是以为公差的等差数列，又， 故数列的首项为，公差为. 【考点7：两个等差数列的前n项和之比问题】 1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为，分别为等差数列，的前n项和， 所以， ， 所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可. 【详解】， 又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 3．（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）有两个等差数列，，其前项和分别为，.若，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的等差中项性质计算即可. 【详解】因为数列，是等差数列，其前项和分别为，， 所以，同理可得， 所以， 故答案为： 4．（25-26高三上·河南南阳·期中）设等差数列，的前项和分别为，，且，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为等差数列的前项和分别为， 则，. 所以. 故答案为：. 5．（25-26高三上·湖南·月考）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】由等差数列性质，可得，然后由等差数列前n项和性质可得 ，据此可得答案. 【详解】由等差数列性质，可得，， 则，，从而. 又，则. 故答案为： 【考点8： 等差数列前n项和的其他性质及应用】 1．（2025高三·全国·专题练习）在公差不为零的等差数列中，，则 ． 【答案】16 【分析】根据等差数列前项和的性质及下标和性质求解. 【详解】因为，所以， 所以，得. 故答案为：16. 2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（   ） A．20 B．64 C．45 D．50 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可得，再利用基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故，故， 故，而，故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：B. 3．（25-26高二下·河南周口·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，以及前项和的性质，结合已知条件，计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 即，所以，所以. 故选：D 4．（2025·福建厦门·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列的性质有即可判断A；由得，又即可判断C，由即可判断B，由解出即可判断D. 【详解】由有，故A错误； 由，，所以，故C正确； ，故B错误； 由，故D错误. 故选：C. 5．（多选）（25-26高二下·广西南宁·期中）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】根据数列的前项和的性质即可求解. 【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且，所以，所以等差数列为递减数列， 所以在数列中，最大；当时，； 故选：AD. 【考点9：等差数列前n项和的二次函数特征】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）设等差数列的前项和为，．若，则的值为 ． 【答案】12 【分析】写出，由二次函数的对称性得到，求出答案. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以可看成二次函数， 由二次函数图象的对称性及， 可得，解得． 故答案为：12 2．（25-26高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得. 【详解】等差数列的前n项和是关于n的二次函数， 由二次函数的对称性及，，得，解得， 所以正整数k为2023． 故选：D 3．（2025·全国·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：根据条件得到，，再利用等差数列的通项公式及前项和公式的函数性质，即可求出结果；法二：根据条件得到，建立不等不关系，即可求出结果. 【详解】方法一：因为，所以，得到， 设等差数列的公差为，由，得到，又，所以， 所以，， 又， 令，其图象如图所示 结合等差数列的前n项和及通项的函数特征，    由图知，n的取值范围是． 方法二：由条件得，即． 因为，所以，并且有， 所以． 由，得， 整理得． 因为，所以， 即，解得， 所以n的取值范围是， 故选：C. 4．（多选）（25-26高二上·河南焦作·月考）等差数列中，若且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．最大 D． 【答案】AD 【分析】根据题意得到，，，从而逐项判断. 【详解】等差数列中，若且，则，，故. ，故A正确； ，故，故B错误； ，故C错误； ，，故，故D正确； 故选：AD. 5．（多选）（25-26高三上·云南昆明·月考）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【答案】AC 【分析】根据的关系求出通项，然后根据公差即可判断ABC；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D. 【详解】当时，， 当时，， 显然时，上式也成立，所以. 对A，因为， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对B，由上可知，当时，为常数列，B错误； 对C，若为递增数列，则公差，即，C正确； 对D，若为递增数列，由函数性质可知，解得，D错误. 故选：AC 【考点10：二次函数法求等差数列前n项和的最值】 1．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的公式列方程求解和d，进而得到的表达式即可求得最值． 【详解】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． 2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为 . 【答案】6 【分析】首先由条件得到，再代入等差数列的前项和公式，根据二次函数的性质，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则，即， ，其中， 对称轴为，所以当时，取得最大值. 故答案为：6 3．（2025高三·全国·专题练习）已知在等差数列中，，，则该数列前多少项的和最小？ 【答案】或时，取最小值 【分析】解法1：由等差数列的基本量运算求得，然后求出，利用二次函数性质求解最小值即可； 解法2：由等差数列的基本量运算求得，由的符号法求解和的最小值； 解法3：由及等差数列的性质可知，又，可知前10项或前11项和最小． 【详解】解法1：设等差数列的公差为， 由题意得， 即，即， 因为，所以， 所以． 因为，所以有最小值． 又因为，所以或时，取最小值． 解法2：同解法1，由，得． 由得 解得． 故取10或11时，取最小值． 解法3：因为，所以，所以，所以． 因为，所以前10项或前11项和最小． 4．（2025高三·全国·专题练习）在等差数列中，，数列的前项和为，求数列的最小项，并指出其值为何． 【答案】最小，－66． 【分析】计算等差数列的基本量，进而得，利用等差数列前项和得，最后利用二次函数即可求解. 【详解】设公差为，由题意有， 所以， 则， 由对称轴为，又，所以当时，即最小，最小值为－66． 5．（24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据等差数列通项公式解题即可; （2）根据等差数列的前项和公式，再由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，数列的前项和， 因为，所以当或时，有最大值，即. 所以数列的最大项和. 【考点11：求等差数列前n项和的最值】 1．（25-26高三上·广东广州·月考）数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则最小值为 . 【答案】 【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】设等差数列的公差为， 由，，可得， 解得，， ， 因，故当或时，的最小值为 故答案为： 2．（24-25高一下·重庆万州·月考）设是等差数列，为其前项和，若，，当取得最小值时， . 【答案】6 【分析】根据已知条件求得，由此求得当为何值时最小. 【详解】依题意，解得， 所以. 令，解得，由于， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和的最值的有关计算，属于基础题. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为 ． 【答案】30 【分析】根据等差数列的前项和公式求出的表达式，再结合二次函数相关性质，及为正整数的条件求出的最大值. 【详解】 . 又为正整数，所以当取与最接近的整数即5或6时， 最大，最大值为30. 故答案为：30. 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于 【答案】 【分析】由题意可知数列是首项为10，公差为的等差数列，求出前n项和，转化为求函数的最大值问题即可. 【详解】当时，，且， 所以，数列是首项为10，公差为的等差数列， 则数列的前n项和为， 因，故当时，取得最大值18． 故答案为：． 5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在等差数列中，若，且数列的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是 . 【答案】9 【分析】由题意可得且，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】等差数列的前项和有最大值，等差数列为递减数列， 又，，， 又，， 则使成立的正整数的最大值是9. 故答案为：9 【考点12：根据等差数列前n项和的最值求参数】 1．（25-26高三上·全国·期中）已知等差数列的前项和为，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求等差数列公差，得到前项和的二次函数表达式，利用二次函数的对称性与单调性，计算关键项的和，确定的取值范围. 【详解】由等差数列性质，，代入，，得，解得. 前项和. 是开口向下的二次函数，对称轴为. ，， ，. 因只有两个正整数满足，结合的单调性，需满足. 故答案为： 2．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知首项为正的等差数列的前项和为，，若对于任意的，都有，则 . 【答案】或 【分析】根据等差数列的基本性质求得，然后解不等式，即可得出正整数的值. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得，可得， ，则，令，解得， 所以，中，或最大，，所以，中，最大. 因此，或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查等差数列前项和最值的求解，考查计算能力，属于中等题. 3．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知等差数列的前n项和为，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质可得公差，由可得，从而可得，再根据等差数列的通项公式与分式变形，结合函数思想即可求得的取值范围. 【详解】设等差数列的公差为，所以，由于，所以， 且，即， 则，由得，故， 即的取值范围为. 故答案为：. 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求得，再由恒成立的不等式建立不等式组求解. 【详解】数列是公差为d的等差数列，设， 由，得，解得，则， 由对任意的恒成立，得. 所以公差d的取值范围为． 故答案为： 5．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第项的关系求出，进而求出数列的通项，再结合等差数列性质列出不等式组，求解即得. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得， 而满足，因此， 令， 因，则数列是等差数列， 由的最大值为，得，解得， 故实数的最大值是. 故答案为：. 【考点13：等差数列前n项和的简单应用】 1．（25-26高三上·山西·月考）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【详解】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 2．（2025·安徽合肥·二模）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 【答案】C 【分析】根据题意设第n个儿子的年龄为岁，易知是等差数列，，利用等差数列前n项和公式求出即可. 【详解】设第n个儿子的年龄为岁，由题可知是等差数列，设其公差为d，前n项和为， 易得，则 ， 解得， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选：C. 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【答案】B 【分析】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【详解】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B 4．（25-26高三上·吉林白城·期中）在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（    ） A．两 B．两 C．两 D．两 【答案】C 【解析】设10个兄弟由大到小依次分得两银子，数列是等差数列， 利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为关于和的方程，即可求得长兄可分得银子的数目. 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得两银子，由题意可得 设数列的公差为，其前项和为， 则由题意得，即，解得. 所以长兄分得两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得两银子构成公差的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式. 5．（25-26高二上·河南商丘·期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】A 【分析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，设出公差，根据题意得，又，，且，故只能满足，进而可得答案. 【详解】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为； 故，①； 又由②，，且，所以， ①+②得，，得， 由知， 又因为观察答案，当且仅当时，满足条件，所以，； 组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19； 剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6. 所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列： 1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17. 故答案选：A 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 等差数列的前n项和 【知识梳理】 1 【考点1：求等差数列的前n项和】 2 【考点2：含绝对值的等差数列前n项和】 3 【考点3：等差数列奇数项或偶数项的和】 5 【考点4：由前n项和判断数列是否是等差数列】 6 【考点5：等差数列片段和的性质及应用】 7 【考点6：前n项和与n的比所组成的等差数列】 7 【考点7：两个等差数列的前n项和之比问题】 8 【考点8： 等差数列前n项和的其他性质及应用】 9 【考点9：等差数列前n项和的二次函数特征】 10 【考点10：二次函数法求等差数列前n项和的最值】 10 【考点11：求等差数列前n项和的最值】 12 【考点12：根据等差数列前n项和的最值求参数】 12 【考点13：等差数列前n项和的简单应用】 13 【知识梳理】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【考点1：求等差数列的前n项和】 1．（25-26高三上·山东日照·期中） . 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知等差数列中，，则前项和的值为（   ） A．80 B．40 C．20 D．10 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．30 C．60 D．120 4．（2025高三·全国·专题练习）设数列，，，，的前项和为，求，． 5．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）（1）已知数列是等差数列，且，，求通项公式和前n项和； （2）已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和． 【考点2：含绝对值的等差数列前n项和】 1．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（  ） A．108 B．28 C．62 D．80 2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）在数列中，，，则数列的前10项和为 . 3．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 5．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【考点3：等差数列奇数项或偶数项的和】 1．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 3．（2025高三·全国·专题练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 5．（25-26高三上·新疆昌吉·月考）已知数列是等差数列. (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数. 【考点4：由前n项和判断数列是否是等差数列】 1．（24-25高二下·山西朔州·月考）命题“如果数列的前n项和，那么数列一定是等差数列”是否成立 A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．能断定 2．（24-25高一下·山东德州·期末）已知数列的前项和为，且，若，，则的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（25-26高二上·上海·月考）已知等差数列前项和为，则 . 4．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 5．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知数列的前n项和 求数列的通项公式； 求证：数列是等差数列． 【考点5：等差数列片段和的性质及应用】 1．（2025高三·全国·专题练习）在一个等差数列中，，则 ． 2．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（25-26高三上·山东烟台·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·重庆·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点6：前n项和与n的比所组成的等差数列】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 2．（24-25高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北沧州·月考）已知为等差数列的前项和，若常数且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（2025·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 5．（24-25高二下·四川成都·月考）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 【考点7：两个等差数列的前n项和之比问题】 1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）有两个等差数列，，其前项和分别为，.若，则 . 4．（25-26高三上·河南南阳·期中）设等差数列，的前项和分别为，，且，则 . 5．（25-26高三上·湖南·月考）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 【考点8： 等差数列前n项和的其他性质及应用】 1．（2025高三·全国·专题练习）在公差不为零的等差数列中，，则 ． 2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（   ） A．20 B．64 C．45 D．50 3．（25-26高二下·河南周口·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（2025·福建厦门·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二下·广西南宁·期中）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 【考点9：等差数列前n项和的二次函数特征】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）设等差数列的前项和为，．若，则的值为 ． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 3．（2025·全国·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·河南焦作·月考）等差数列中，若且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．最大 D． 5．（多选）（25-26高三上·云南昆明·月考）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【考点10：二次函数法求等差数列前n项和的最值】 1．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为 . 3．（2025高三·全国·专题练习）已知在等差数列中，，，则该数列前多少项的和最小？ 4．（2025高三·全国·专题练习）在等差数列中，，数列的前项和为，求数列的最小项，并指出其值为何． 5．（24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【考点11：求等差数列前n项和的最值】 1．（25-26高三上·广东广州·月考）数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则最小值为 . 2．（24-25高一下·重庆万州·月考）设是等差数列，为其前项和，若，，当取得最小值时， . 3．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为 ． 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于 5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在等差数列中，若，且数列的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是 . 【考点12：根据等差数列前n项和的最值求参数】 1．（25-26高三上·全国·期中）已知等差数列的前项和为，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 2．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知首项为正的等差数列的前项和为，，若对于任意的，都有，则 . 3．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知等差数列的前n项和为，，则的取值范围为 . 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ． 5．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是 . 【考点13：等差数列前n项和的简单应用】 1．（25-26高三上·山西·月考）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 2．（2025·安徽合肥·二模）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 4．（25-26高三上·吉林白城·期中）在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（    ） A．两 B．两 C．两 D．两 5．（25-26高二上·河南商丘·期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $