4.6.1 正弦函数的图像 课件-2025-2026学年高一上学期高教版中职数学基础模块上册

4.6 正弦函数 1 4.6 正弦函数的图像和性质 春天万物复苏、百花盛开，年复一年，周而复始．像这样重复出现的现象称为周期现象，数学中也存在这种现象．正弦函数就是一种周期函数，是刻画“周而复始”现象的数学模型． 4.6 正弦函数的图像和性质 正弦函数的图像 4.6.1 4.6.1 正弦函数的图像 3 4.6.1 正弦函数的图像 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 做一个沙漏单摆实验：如图所示，一个沙漏挂在架子上，沙漏下方放一块纸板，纸板中间画一条直线作为坐标系的横轴．把沙漏沿垂直于该直线方向拉离平衡位置，放手使之摆动，同时匀速拉动纸板．这样可在纸板上得到一条曲线．这是一条什么曲线呢？ 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 这个实验得到的曲线是一条波浪起伏、周而复始的曲线．从前面的学习我们知道，随着角的变化，三角函数值也具有这种周而复始的变化规律．我们可以用正弦函数来刻画这条曲线． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 根据单位圆的圆周运动特点，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这说明自变量每增加或者减少2π， 正弦函数值将重复出现．这一现象可以用公式 sin(x+2kπ) = sinx，k∈Z 来表示． 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 一般地，对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任意一个值时，都有 f(x+T) ＝f(x)， 则称函数y＝f(x)为周期函数．非零常数T为y＝f(x)的一个周期． 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 因此正弦函数y = sinx，x∈R是一个周期函数，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都是它的周期，即常数2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期． 如果周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数T0 ，那么这个最小的正数 T0就称为y＝f(x)的最小正周期． 本书中所涉及的周期，如果不特别说明，都是指函数的最小正周期． 显然，2π为正弦函数的最小正周期 ． 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 （1）列表． 用描点法作出正弦函数 y＝sinx 在 [0，2π]上的图像. 把区间[0，2π]分成12等份，分别求出y=sinx在各分点及区间端点的正弦函数值． 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x， y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝sinx 在 [0，2π]上的图像． 用描点法作出正弦函数 y＝sinx 在 [0，2π]上的图像. （2）描点作图． 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 观察函数y=sinx 在 [0，2π]上的图像发现，在确定图像的形状时，起关键作用的点有以下五个，描出这五个点后，正弦函数的图像就基本确定了． (0，0)， ，(π，0)， 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 因此，在精确度要求不高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到[0，2π]上正弦函数的图像简图了，这种作图方法称为五点法． 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 因为正弦函数的周期是2π，所以只要将函数y＝sinx在 [0，2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图像． 正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是一条“波浪起伏”“周而复始”的连续光滑曲线． 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 例1 利用五点法作出函数y＝1+sinx在 [0，2π]上的图像． 解 （1）列表． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 （2）描点作图． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 例1 利用五点法作出函数y＝1+sinx在 [0，2π]上的图像． 解 （1）列表． 根据表中x，y的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，再用光滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=1+sinx在 [0，2π]上的图像． 4.6.1 正弦函数的图像 4.6.1 正弦函数的图像 练习 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 1 . 设函数y=f (x)，x∈R的周期为2，且f(1)＝1，则f (3)= ． 2 . 利用五点法作出下列函数在[0，2π]上的图像： （1） y＝sinx−1； （2） y＝−sinx． 3. 利用五点法作出正弦函数y＝sinx在 上的图像． 4.6.1 正弦函数的图像 正弦函数的性质 4.6.2 4.6.1 正弦函数的图像 17 4.6.2 正弦函数的性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 利用研究函数的经验，可否从正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等方面来研究正弦函数的性质呢？ 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 （1）定义域． 正弦函数的定义域是实数集R ． 观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论： 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论： （2）值域． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 如图所示，正弦曲线分布在两条直线y=-1和y=1之间，即对任意的x，都有|sinx|≤1成立．因此，正弦函数的值域是[1，1] ． 当x= +2kπ (k∈Z)时，y取最大值，ymax=1； 当x=- +2kπ (k∈Z)时，y取最小值，ymin=-1 ． 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论： （4） 周期性． 正弦函数是周期为2π的周期函数． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 读一读 对于周期函数，通过一个周期内的特征，可以了解其整个定义域的情况． 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论： （4）奇偶性． 由图像关于原点O对称和诱导公式sin(−x)=−sinx可知，正弦函数是奇函数． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论： 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 （5）单调性． 这说明，正弦函数在上单调递增，在上单调递减． 如图所示，在正弦函数的一个周期区间上，当x由增大到时，曲线逐渐上升，sinx由-1增大到1；当x由增大到时，曲线逐渐下降，函数值从1减小到-1 ． 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论： 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 （5）单调性． 在每一个闭区间 (k∈Z)上都是增函数，函数值从-1增大到1； 在每一个闭区间 (k∈Z)上都是减函数，函数值从1增减小到-1 ． 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 例2 当x取何值时，下列各函数取得最大值和最小值？ （1）y= sinx，x∈R；（2）y=1-2sinx，x∈R ． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 分析 由正弦函数的性质知，-1≤sinx≤1，且当x=+2kπ(k∈Z)时，sinx取得最大值1，此时-sinx取得最小值-1 ，当x= -+2kπ(k∈Z)时， sinx取得最小值-1，此时-sinx取得最大值1 ． 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 解（1）因为-1≤sinx≤1，所以-≤ sinx≤．由正弦函数的性质可得 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 例2 当x取何值时，下列各函数取得最大值和最小值？ （1）y= sinx，x∈R；（2）y=1-2sinx，x∈R ． 当x=+2kπ(k∈Z)时，sinx取得最大值1，函数y= sinx取得最大值； 当x=-+2kπ(k∈Z)时， sinx取得最小值-1，函数y= sinx取得最小值-． 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 解 （2） 因为-1≤sinx≤1，所以2≥-2sinx≥-2，即-2≤-2sinx≤2 ．所以 -1≤1-2sinx≤3 ． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 例2 当x取何值时，下列各函数取得最大值和最小值？ （1）y= sinx，x∈R；（2）y=1-2sinx，x∈R ． 由正弦函数的性质，可得 当x= +2kπ(k∈Z)时，sinx取得最大值1，函数y=1-2sinx取得最小值-1 ； 当x= -+2kπ(k∈Z)时， sinx取得最小值-1，函数y=1-2sinx取得最大值 3． 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 例3 不求值比较下列各组数值的大小． （1）sin sin；（2） sin sin （1）因为 0 < < < ，正弦函数y=sinx在上是增函数， 解 根据正弦函数的图像和性质可知： 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 所以 sin sin 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 例3 不求值比较下列各组数值的大小． （1）sin sin；（2） sin sin （2）因为 < < < ，正弦函数y=sinx在上是减函数， 解 根据正弦函数的图像和性质可知： 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 所以 sin sin 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 例4 求函数y=的定义域． 观察正弦函数y=sinx在[0，2π] 上图像． 2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)， 故函数的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z} ． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 解 要使 y= 有意义，必须使sinx≥0. 发现，在[0，2π]内，符合题意的x 满足0≤x≤π．由函数的周期性得： 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 对含三角函数的函数式求定义域时，除了考虑使函数式有意义之外，还要注意三角函数的周期性． 情境导入 探索新知 巩固练习 归纳总结 布置作业 典型例题 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 对于函数y=sinx (x∈R) ，有sin=sin 成立．这是否说明是函数y=sinx (x∈R)的一个周期？为什么？ 情境导入 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 练习 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 1. 下列等式是否成立？为什么？ （1）2sinx=3 ；（2） sin²x= ． 2. 当自变量x为何值时，下列各函数取得最大值和最小值？ （1）y= sinx；（2） y= 2sinx-1 ． 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 练习 3．函数y=a+2sinx的最小值是5，求a的值． 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4．不求值，比较下列各对正弦值的大小： （1）sin(-65°)与sin(-70°)； （2） sin 与sin ； （3） sin与sin ；（4） sin 与sin ． 5．求函数y=的定义域． 4.6.2 正弦函数的性质 4.6.2 正弦函数的性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.6 正弦函数的图像和性质 4.6.2 正弦函数的性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.6 正弦函数的图像和性质 $