8.3.1 分类变量与列联表 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.3 列联表与独立性检验 第一课时 8.3.1 分类变量与列联表 人教A版选择性必修第三册第八章第三单元 课时目标 1.了解 探究分类变量之间关系的方法 2.制作、理解 2×2列联表，用频率分析法、图形分析法探究两个分类变量之间的关系（重点） 3.能够对统计数据进行简单整理、初步分析提升数学抽象、数据建模及数据分析素养（难点） 课题引入 吸烟是否会增加患肺癌的风险？ 有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手.为此，世界卫生组织固定每年5月31日为世界无烟日.那么这些疾病与吸烟有怎样的关系呢？ 【问题的提出】日常生活中我们关系这样一些问题： 1.打鼾与心脏病之间有无关系？ 2.性别与喜欢数学课之间有无关系？ 3.性别与喜欢体育锻炼之间有无关系？ 一般地，两个分类变量之间的关系如何判定？ 课题引入 如何利用统计数据判断一对分类变量之间是否具有关联性呢？对于这样的统计问题，有时可以利用普查数据，通过比较相关的比率给出问题的准确回答，但在大多数情况下，需要借助概率的观点和方法. 变量 例：人的身高；100米短跑所用时间；产品月销量等：数值变量的取值大小和运算都有实际含义, 处理它们之间的关系用回归分析法. 例：性别与是否经常锻炼；吸烟与患肺癌: 分类变量的取值可以用实数来表示，但没有通常的大小和运算意义. 如何分析处理分类变量之间的关系呢？ 数值变量 分类变量 1.分类变量与列联表 1.分类变量与列联表 【问题1】某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查.全校学生的普查数据如下：523名女生中有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻炼.你能利用这些数据，说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗？ 方法1——由频率估计概率 设，. 由可知，男生经常锻炼的比率比女生高出个百分点，所以该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面有差异，而且男生更经常锻炼. 1.分类变量与列联表 方法2——借助古典概型及条件概率 建立以为样本空间的古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，分别令 为了清楚起见, 我们用表格整理数据. 性别 锻炼 合计 不经常(Y=0) 经常(Y=1) 女生(X=0) 192 331 523 男生(X=1) 128 473 601 合计 320 804 1124 根据条件概率的计算公式，我们有： 由大于可以作出判断，在该校的学生中，性别对体育锻炼的经常性有影响，即该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异，而且男生更经常锻炼. 1.分类变量与列联表 性别 锻炼 合计 不经常(Y=0) 经常(Y=1) 女生(X=0) 192 331 523 男生(X=1) 128 473 601 合计 320 804 1124 通过比较发现，男生与女生经常锻炼的人生存在差异，男生经常锻炼的的频率高于女生经常锻炼的人数.依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断 . 因此，该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异，而且男生更经常锻炼. 方法3——借助等高堆积条形图 2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存.我们将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 组别 甲(Y＝0) 乙(Y＝1) 合计 A(X＝0) a b a＋b B(X＝1) c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 1.分类变量与列联表 【问题2】请结下表分析一下2×2列联表的特点. 性别 锻炼 合计 不经常 经常 女生 192 331 523 男生 128 473 601 合计 320 804 1124 分别是事件和中样本点的个数 样本空间中样本点的总数 分别是事件和中样本点的个数 核心部分，给出了事件 中样本点的个数 1.分类变量与列联表 【追问1】一般地，如何利用2×2列联表判断两个分类变量具有关联性？ 假设有两个分类变量和，它们的取值为，其2×2列联表为： 合计 合计 在2×2列联表中，与相差越大，即越大，即越大时，两变量有关联的可能性越大. 1.分类变量与列联表 【引例1】为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测验得到了如下数据: 甲校43名学生中有10 名数学成绩优秀;乙校45名学生中有7名数学成绩优秀. 试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异. 解：用表示两所学校的全体学生构成的集合，考虑以为样本空间的古典概型，对于中每一名学生，定义分类变量和如下： 我们将所给数据整理成2×2列联表. 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y＝0) 优秀(Y＝1) 甲校(X＝0) 33 10 43 乙校(X＝1) 38 7 45 合计 71 17 88 因此，甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为和；乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为和. ，因此，可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高. 1.分类变量与列联表 我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果，如图所示. 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y＝0) 优秀(Y＝1) 甲校(X＝0) 33 10 43 乙校(X＝1) 38 7 45 合计 71 17 88 由等高堆积条形图可以发现发现，两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异，甲校的频率明显高于乙校的频率.依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断 . 因此，可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高. 1.分类变量与列联表 【追问2】你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？ 事实上，“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的．有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的． 这就是说，样本的随机性导致了两个频率间出现较大差异，在这种情况下，我们推断出的结论就是错误的． 1.分类变量与列联表 【引例2】为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9 965人，其中，不吸烟的7 817人中有42人患肺癌，吸烟的2 148人中有49人患肺癌，试分析吸烟是否对患肺癌有影响. 我们在研究“吸烟与患肺癌的关系”时，需要关注哪些量呢？请补全表格，并完成问题(1)(2). (1)在非吸烟者中患肺癌的比例为　　　　；  (2)在吸烟者中患肺癌的比例为　　　　.  吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者   42 7 817 吸烟者   49 2 148 合计     9 965 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7 775 42 7 817 吸烟者 2 099 49 2 148 合计 9 874 91 9 965 0.54%　 2.28% 说明：吸烟者和非吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大. 1.分类变量与列联表 题型1.等高堆积条形图的辨析 【例1】为了解铅中毒与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如表所示. 试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒与尿棕色素为阳性是否有关系. 组别 尿棕色素 合计 阳性数 阴性数 铅中毒病人组 29 7 36 对照组 9 28 37 合计 38 35 73 等高堆积条形图如图所示.其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人组和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率. 由图可以直观地看出铅中毒病人组与对照组的尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒与尿棕色素为阳性有关系. 组别 尿棕色素 合计 阳性数 阴性数 铅中毒病人组 29 7 36 对照组 9 28 37 合计 38 35 73 题型1.等高堆积条形图的辨析 (1)收集数据，统计结果. (2)列出2×2列联表，计算频率. (3)画等高堆积条形图，直观分析. 反 思 感 悟 利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否有关联的步骤 18 【例2】(1)某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（     ） A．a=18 B．b=19 C．c+d=50 D．e-f=2 D 题型2.完善列联表（求参数值） 年龄 体检 合计 每年体检 未每年体检 老年人 a 7 c 年轻人 6 b d 合计 e f 50 年龄 体检 合计 每年体检 未每年体检 老年人 a=18 7 c=25 年轻人 6 b=19 d=25 合计 e=24 f=26 50 题型2.分类变量与列联表 【例2】（2）在研究某种药物对“H1N1”病毒的治疗效果时，进行了动物试验，得到以下数据：对150只动物进行药物治疗，其中132只动物存活，18只动物死亡，对150只动物进行常规治疗，其中114只动物存活，36只动物死亡.请根据以上数据建立一个2×2列联表. 治疗方法 治疗效果 合计 存活 死亡 药物治疗 132 18 150 常规治疗 114 36 150 合计 246 54 300 【解析】 2×2列联表如表所示： 题型2.完善列联表（求参数值） 【例2】（3）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取200名（其中男性120名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 根据统计数据完成2×2列联表．   不满意 满意 合计 男性   75   女性 50     合计     200   不满意 满意 合计 男性 45 75 120 女性 50 30 80 合计 95 105 200 【例3】下表是A，B两所中学的学生对报考某类大学的意愿的列联表： 根据表中的数据回答：A，B两所中学的学生对报考某类大学的态度是否有显著差异？ 题型3.列联表分析两个分类变量是否有关联（差异）   愿意报考某类大学 不愿意报考某类大学 总计 A中学 18 37 55 B中学 38 57 95 总计 36 94 150 解析 总结 题型3.列联表分析两个分类变量是否有关联（差异） 课堂小结 【问题3】请总结一下两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法有哪些？ 频率分析法 通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系.一般其值相差越大，分类变量有关系的可能性越大. 图形分析法 等高堆积条形图能够直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，可以观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显，就判断两个分类变量之间有关系. 课堂小结 中学愿意报考某类大学的比率为 ； 中学愿意报考某类大学的比例为 ； ，即 中学愿意报考某类大学的比例比 中学高了 ， 两所中学的学生对报考某类大学的态度有显著差异，且 中学更愿意报考. 利用2×2列联表分析两变量间的关系时，首先要根据题中数据列出2×2列联表，然后根据频率特征，即将P(Y＝1|X＝0)与P(Y＝1|X＝1)的值相比较，可直观地反映出两个分类变量间是否相互影响． $