7.4.2 超几何分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦超几何分布的概念、分布列、均值及应用，通过有放回与不放回抽样的对比实例引入，如100件产品抽4件次品数的探究，衔接二项分布知识，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过实例辨析（如判断种子发芽实验是否超几何分布）培养数学思维，用表格呈现分布列、推导均值公式E(X)=nM/N及设计摸奖游戏应用案例，强化数学语言表达。帮助学生建立知识联系，提升逻辑推理与应用能力，教师可借助此资料高效开展概念教学与能力培养。

7.4二 项分布与超几何分布 第二课时 7.4.2 超几何分布 人教A版选择性必修第三册第七章第四单元 课时目标 1.通过具体实例，了解超几何分布的概念与特征. 2.会求超几何分布的概率及分布列. 3.掌握超几何分布的均值的求解方法. 0.课题引入 【探究1】已知100件产品中有8件次品，采用有放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列. 每次抽到次品的概率为 0.08，且各次抽样的结果相互独立， 此时 X 服从二项分布，即 X～B (4，0.08). 则X的分布列：,4. 有放回抽样 【追问】如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布？如果不服从，那么的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布. 【探究2】已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件，设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 不放回抽样 由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4；从100件产品中任选4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的. 其中4件产品中恰有件次品的结果数为,由古典概型的知识，得的分布列为 X 0 1 2 3 4 P P 超几何分布 0.课题引入 （1）超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布， 记为：X~H(N，n，M). 1.超几何分布的概率及分布列 注： (1)“由较明显的两部分组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”； (2)不放回抽样：“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”. M N－M 【追问1】计算结果数时，考虑抽取的次序和不考虑抽取的次序，对分布列的计算有影响吗？ 没有影响. 不考虑抽取的次序时 . 考虑抽取的次序时, . 0.课题引入 【追问2】如何理解 ？ 总数为的产品 次品有件 正品有件 随机抽取件，其中含次品件 当，即，抽到的样本可能没有次品，则 当，即，样本中必有次品，且 1.超几何分布的概率及分布列 【追问3】如何理解 ？ 总数为的产品 次品有件 正品有件 随机抽取件，其中含次品件 当抽到的产品件数不大于总体中次品的个数（即）时， 当抽到的产品件数大于总体中次品的个数（即）时， 1.超几何分布的概率及分布列 【例1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由. (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； (3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个(除颜色外无区别)，任取3个球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，求X的分布列. 1.超几何分布的概率及分布列 不是 不是 是 是 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点： (1)总体是否可分为两类明确的对象. (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类被抽取的个体的个数. 反 思 感 悟 10 1.超几何分布的概率及分布列 【练习】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ） A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数 为X C.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸 出黑球时摸取的次数为X B 【例2】从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 解析：设表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1)， 则服从超几何分布，且，，. 因此甲被选中的概率为 . 1.超几何分布的概率及分布列 【例3】一批零件共有30个，其中有3个不合格. 随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 解析：设抽取的10个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且，，. 的分布列为 方法一：至少有1件不合格的概率为 . 方法二：. 1.超几何分布的概率及分布列 【练习】(1)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名参加某活动，若2名学生都是甲班的概率为. ①求7名学生中甲班的学生数； ②设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求{ξ≥1}的概率. 解析： （1）设甲班的学生数为M，则，M2－M－6＝0， 解得M＝3或M＝－2(舍去). ∴7名学生中甲班的学生数为3. （2）由题意可知，ξ服从超几何分布，且ξ＝0，1，2， ∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝. 1.超几何分布的概率及分布列 【练习】(2)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列. 解析：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4). 故P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝，P(X＝4)＝， ∴随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 1.超几何分布的概率及分布列 反 思 感 悟 求超几何分布的分布列的步骤 16 2.超几何分布的均值 【探究3】服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 设随机变量服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数. 令，则是件产品的次品率，而是抽取的件产品的次品率，我们猜想，即. 令 ，, 由随机变量均值的定义： 当时， . ① 因为， 所以. 当时，注意到(1)式中间求和的第一项为0， 类似可以证明结论依然成立. 【追问1】超几何分布的均值公式，与二项分布的均值公式一样吗？ 从形式上看二者相同，都是 ，但公式中，的含义不同. 在二项分布中，是伯努利试验重复的次数，是一次试验成功（发生）的概率； 在超几何分布中，是抽取的产品件数，是件产品的次品率. 2.超几何分布的均值 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体容量 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，此时超几何分布近似二项分布. 【追问2】超几何分布与二项分布有何区别与联系？ 2.超几何分布的均值 2.超几何分布的均值 【例4】（1）盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝____. （2）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数， 则P(X<2)＝____，随机变量X的均值E(X)＝____. 【练习】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； 解析：（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A， 则P(A)＝.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为. 2.超几何分布的均值 【练习】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值. 解析：依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3. 所以X的分布列为 所以随机变量X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×. X 0 1 2 3 P 2.超几何分布的均值 反 思 感 悟 (1)求解超几何分布的分布列与均值 ①验证随机变量服从超几何分布，代入公式计算随机变量取每一个值时的概率. ②求分布列，计算随机变量的均值. (2)若一个随机变量X服从超几何分布，则E(X)＝. 2.超几何分布的均值 【例5】一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本，用表示样本中黄球的个数. （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列； 解：（1）①对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此 ，的分布列为 ②对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为 3.超几何分布的应用 0 0.00004 0.00001 11 0.07099 0.06376 1 0.00049 0.00015 12 0.03550 0.02667 2 0.00309 0.00135 13 0.01456 0.00867 3 0.01235 0.00714 14 0.00485 0.00217 4 0.03499 0.02551 15 0.00129 0.00041 5 0.07465 0.06530 16 0.00027 0.00006 6 0.12441 0.12422 17 0.00004 0.00001 7 0.16588 0.17972 18 0.00000 0.00000 8 0.17971 0.20078 19 0.00000 0.00000 9 0.15974 0.17483 20 0.00000 0.00000 10 0.11714 0.11924 （2）利用统计软件计算出两个分布列的概率值（精确到0.00001），如表所示. 样本中黄球的比例是一个随机变量， 根据上表计算得： 有放回摸球： . 不放回摸球： . 3.超几何分布的应用 【例5】一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本，用表示样本中黄球的个数. （2）分别就有放回摸球和不放回模球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率. 【追问3】观察[例5]的计算结果，在相同的误差限制下，采用哪种方式摸球估计的结果更可靠些？ 由例6可以发现，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些. 两种摸球方式下，随机变量分别服从二项分布和超几何分布. 虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图看，超几何分布更集中在均值附近. 3.超几何分布的应用 【例6】在某联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和个20白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率. 3.超几何分布的应用 【追问4】如果要将这个游戏的中奖率控制在55%左右，应该如何设计游戏规则？ 3.超几何分布的应用 【例6】在某联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和个20白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率. 课堂小结 超几何分布的定义 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为： . M N－M 其中，，，，， ，. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，记为X~H(N,n, M). 超几何分布的均值： 课堂小结 解：(2)X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布， 所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝， E(X)＝=＝0.6. 解：(1)由题意得： N=5，M=3，n＝2；E(ξ)＝＝. 解：设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中 ,于是由超几何分布模型得中奖的概率 ≈0.191 解析：至少摸到2个红球的概率为： $