7.2 离散型随机变量及其分布列 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.2 离散型随机变量及其分布列 人教A版选择性必修第三册第七章第二单元 课时目标 1.通过具体实例，理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 3.理解两点分布. 知识回顾 【问题1】在以下随机试验中，样本空间各是什么？能否将试验的样本点与实数建立对应关系？ 样本空间为. 用变量X=0，1, 2, 3，4来表示抽出的次品数. 样本空间为. 用变量ξ=0，1,…,10来表示命中的环数. （2）某次产品检查,在可能含有次品的100件产品中，任意抽取4件，那么其中含有次品可能是0件，1件，2件，3件，4件. （1）某人射击一次，可能出现命中0环,命中1环,…,命中10环. 1.离散型随机变量 【问题1】在以下随机试验中，样本空间各是什么？能否将试验的样本点与实数建立对应关系？ 样本空间为， 用变量Y= 来表示出现的点数. （4）掷两枚骰子，观察两个点数之和. ， 用Z== 表示“两枚骰子的点数之和”. （3）掷一枚骰子，可能出现1点，2点，3点，4点， 5点， 6点. 【追问1】下列随机试验能建立样本点和实数之间的1-1对应吗？ 样本空间为{“抽到次品”，“抽到正品”} 表示抽样结果 (2)同时抛掷两枚硬币，请写出试验的样本点与实数的对应关系. 将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示； 样本空间为 ，则 1.离散型随机变量 (1)随机抽一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能的结果. 样本点 变量x 0 1 2 3 【探究】考察下列随机试验及其引入的变量： 试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量表示三个元件中的次品数； 1.离散型随机变量 【试验1】如果用0表示“元件为合格品”， 1表示“元件为次品”， 则, 各样本点与变量的值的对应关系如图所示. 1.离散型随机变量 【试验2】 如果用表示“正面朝上”， 表示“反面朝上”， 则样本空间, 各样本点与变量的值的对应关系如图所示. 【探究】考察下列随机试验及其引入的变量： 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量表示需要的抛掷次数. 1.离散型随机变量 【追问2】观察两个随机试验，请你归纳试验1和试验2的样本空间中样本点与对应变量有什么共同点？ 在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量有如下共同点： ①取值依赖于样本点. ②所有可能取值是明确的. 1.离散型随机变量 （1）离散型随机变量定义 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. 可能的取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. (2)随机变量的表示 通常大写英文字母如X, Y, Z（或希腊字母如ε、η 、ξ）表示随机变量，用小写英文字母如m, x, y, z表示随机变量的取值. (3)随机变量的作用 为一些随机事件及其样本空间的表示带来方便，且能更好地利用数学工具研究随机试验的概率问题. 【追问3】有不是离散型的随机变量吗？请举例. 非离散型随机变量： 某型号空调的耗电量 ； 种子含水量的测量误差X2； 某品牌电视机的使用寿命X3； 测量某一个零件的长度产生的测量误差X4. 【注】变量是否离散与变量的定义方法有关. 如：对电视机的使用寿命问题，可定义如下离散型随机变量. 1.离散型随机变量 1 2 3 4 5 6 2.离散型随机变量的分布列及其性质 【问题2】若用X表示掷一枚质地均匀的骰子所掷出的点数，请确定X的可能取值及相应的概率，填入下表. 依据上表求下列事件发生的概率. (1)A={X是偶数}； (2)B= {X≤2}. 1 2 3 4 5 6 解析：掷一枚质地均匀的骰子，表示掷出的点数，则 事件A=“掷出偶数点”可以表示为 则P(A)=P= . 事件B=“掷出的点数不大于2”可以表示为，则P(B)= . (1)概率分布列 一般地，设离散型随机变量的可能取值为，我们称取每一个值的概率 为的概率分布列，简称分布列. (2)概率分布列的性质 ①,； . 2.离散型随机变量的分布列及其性质 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (3)概率分布列的表示 离散型随机变量X的(概率)分布列也可以用表格或图形表示： 【例1】某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示. 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数的分布列，以及. 解析：令{X=1}=“不及格”，{X=2}=“及格”，{X=3}=“中等”，{X=4}=“良”，{X=5}=“优”，则X的可能取值为1，2，3，4，5. 根据古典概型的知识，可得X的分布列如下： 1 2 3 4 5 . 2.离散型随机变量的分布列及其性质 【例2】一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台. 如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 0 1 2 解析：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2. 根据古典概型的知识，可得X的分布列为： ，， . 用表格表示的分布列，如下表所示. 2.离散型随机变量的分布列及其性质 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)确定的所有可能取值以及每个取值的意义； (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率； (3)写出分布列(可用表格)； (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 2.离散型随机变量的分布列及其性质 【例3】(1)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数.设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列. X 0 1 2 3 P 解：根据题意，X＝0，1，2，3， P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， 所以X的分布列为 2.离散型随机变量的分布列及其性质 16 【例3】(2)设离散型随机变量X的分布列为 求2X＋1的分布列. X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 解析：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3 当X＝0，1，2，3，4时，2X＋1＝1，3，5，7，9，故2X＋1的分布列为 2.离散型随机变量的分布列及其性质 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 17 解析：因为Y＝|X－1|，则可列表为由例(2)知m＝0.3， 故P(Y＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(Y＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(Y＝2)＝P(X＝3)＝0.3， P(Y＝3)＝P(X＝4)＝0.3， 故Y＝|X－1|的分布列为 X 0 1 2 3 4 |X－1| 1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 Y 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 2.离散型随机变量的分布列及其性质 【变式】(2)设离散型随机变量X的分布列为 求Y＝|X－1|的分布列. X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 18 (1)找出随机变量的所有可能取值. (2)计算每一个取值所对应的概率，并利用分布列的性质对计算结果进行检验. 求离散型随机变量的分布列的关键 反 思 感 悟 【练习】某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列. 解析：(1)将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4. P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝，P(X＝4)＝. 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P 2.离散型随机变量的分布列及其性质 【例4】一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义 , 求的分布列. 解析：根据的定义，{“抽到次品”，“抽到正品”， 的分布列为，. 那么的分布列如下表所示. 4.两点(0-1)分布 4.两点(0-1)分布 两点(0-1)分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义 如果，则，那么的分布列如下表所示. 我们称服从两点分布或分布. 实际上，为在一次试验中成功（事件发生）的次数（0或1）. 像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述. (1)看取值：随机变量只取0和1. (2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立. 反 思 感 悟 判断一个分布是否为两点分布 【练习】若随机变量X只能取0，1这两个值，且X取0的概率是取1的概率的3倍，写出X的分布列. 解析：由题意及分布列满足的条件知 P(X＝0)＋P(X＝1)＝3P(X＝1)＋P(X＝1)＝1， 所以P(X＝1)＝，故P(X＝0)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 P 4.两点(0-1)分布 1.知识清单： (1)随机变量及离散型随机变量的概念及判定. (2)离散型随机变量分布列的概念及其性质. (3)两点分布. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误. 课堂小结 课堂练习 [练习1]一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码. (1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率. [练习2]袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列. [练习1]一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码. (1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于4的概率. 解析：(1)设随机变量的可能取值为3，4，5，6，， ∴随机变量的分布列如右图所示： 课堂练习 (2)的取值不小于4的概率为 . [练习2]袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列. 解析：的可能取值为1，2，3，4，5. 则第1次取到白球的概率为， 第2次取到白球的概率为， 第3次取到白球的概率为， 第4次取到白球的概率为， 5次取到白球的概率为. ∴的分布列为： 课堂练习 P61-6.某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： (1)李明在一年内参加考试次数X的分布列；(2)李明在一年内领到资格证书的概率. 解：X的可能取值为1,2,3， 记Ai=“李明第i次考试通过(i=1,2)”， 则A1与A2相互独立. ∴X的分布列为： 课堂练习 P61-5.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率. 解：设随机抽3篇中抽到他能背诵的课文的数量为X， 则X的可能取值为0,1,2,3， ∴X的分布列为： 课堂练习 $