24.4解直角三角形 第3课时（课件）2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦解直角三角形的应用，核心知识点为坡度、坡角的概念及关系。课堂导入先回顾解直角三角形的依据，再通过水库大坝横断面的实际问题引入坡度、坡角，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合水库大坝、天桥等实际情境，通过“化整为零”分割图形，培养学生几何直观与推理能力。典例精析和方法归纳帮助学生形成模型意识，提升用数学语言解决问题的能力，既助学生理解数学应用价值，也为教师提供清晰教学路径。

24.4　解直角三角形 第3课时　解直角三角形的应用——坡度、坡角 第24章　解直角三角形 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3)边角之间的关系: tanA＝ a b sinA＝ a c cosA＝ b c (必有一边) Ａ Ｃ Ｂ a b c 别忽略我哦！ 导入新课 回顾与思考 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i=1∶2.5 ， 则斜坡CD的坡面角α ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ A D B C i=1:2.5 23 6 讲授新课 坡度问题 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 α l h i= h : l 1.坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α . 2.坡度（或坡比） 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—— h l 3.坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 坡面 水平面 例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）. E F A D B C i=1:2.5 23 6 α 分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线； 典例精析 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出； 斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF. 解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F,由题意可知 E F A D B C i=1:2.5 23 6 α BE=CF=23m ，EF=BC=6m. 在Rt△ABE中 在Rt△DCF中，同理可得 =69+6+57.5=132.5m 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 (2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4， 由计算器可算得 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°. 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求： （1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）. B A D F E C 6m α β i=1:3 i=1:1.5 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° 在Rt△CDE中，∠CED=90° 探究归纳 完成第（2）题 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ h h α α l l 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1. h α l 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 方法归纳 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l. 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 课堂小结 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 1. 如图，某地修建一座高（BC）5m的天桥，若天桥斜坡AB的坡度为1∶ ，则斜坡AB的长度为（　A　） A. 10m B. 10 m C. 5m D. 5 m （第1题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图所示为一个水坝的横截面示意图（AD∥BC），若迎水坡AB的坡度i＝1∶3，坡面长AB＝30米，背水坡CD的坡角∠BCD＝45°，则背水坡坡面CD的长是 　6 　米. （第2题） 6 　 1 2 3 4 5 6 7 8 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 3. 如图所示为某水库大坝的横截面示意图，坝高CD＝20米，背水坡BC的坡度i1＝1∶1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1∶ .求背水坡新起点A与原起点B之间的距离（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 解：在Rt△BCD中，∵ BC的坡度i1＝1∶1，∴ ＝1.∴ CD＝BD＝20米.在Rt△ACD中，∵ AC的坡度i2＝1∶ ，∴ ＝ .∴ AD＝ CD＝20 米.∴ AB＝AD－BD＝20 －20≈14.6（米）.∴ 背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米. 1 2 3 4 5 6 7 8 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 4. 如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A处出发，沿斜坡AD行走130m至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至E处，在E处测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1∶2.4.由此可得建筑物BC的高度约为（参考数据： ≈1.732） （　A　） A. 136.6m B. 86.7m C. 186.7m D. 86.6m （第4题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图，某水渠的横截面是梯形，其斜坡AD的坡度为1∶1.2，斜坡BC的坡度为1∶0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米，则放水后水面上升的高度是 　1.1　米. （第5题） 1.1　 1 2 3 4 5 6 7 8 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 6. 如图，斜坡AB的坡度为1∶ ，在斜坡AB上有一旗杆BD（BD垂直于水平线AC），在旗杆BD左侧有一面墙EF，EF∥BD. 当阳光与水平线成45°角时，测得旗杆BD落在斜坡上的影长BF为16米，落在墙EF上的影长FG为5米，则旗杆BD高 　（8 －3）　米（结果保留根号）. （第6题） （8 －3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 易错题 某地的一座人行天桥如图所示，天桥的高为6m，坡面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8m（PB的长）处.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ . （1） 若新坡面的坡角为α，求坡角α的度数. 解：（1） ∵ 新坡面的坡角为α，新坡面的坡度为1∶ ，∴ tanα＝ ＝ .∴ α＝30°. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过两圆位置的学习，可以培养学生的抽象能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数列基础相关问题时，交流是必不可少的步骤。 （2） 有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3m时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由（参考数据： ≈ 1.732， ≈1.414）. 解：（2） 该文化墙PM不需要拆除.理由：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则CD＝6m.∵ 新坡面的坡度为1∶ ，∴ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 ＝ ，即 ＝ .∴ AD＝6 m.∵ 坡面BC的坡度为1∶1，CD＝6m，∴ BD＝CD＝6m.∴ AB＝AD－BD＝（6 －6）m.∵ PB＝8m，∴ PA＝PB－AB＝8－（6 －6）＝14－6 ≈3.608（m）.∵ 3.608＞3，∴ 该文化墙PM不需要拆除. 1 2 3 4 5 6 7 8 $