7.1.2 两条直线垂直 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

本讲义聚焦初中数学“两条直线垂直”核心内容，系统梳理垂直定义（相交夹角90°）、垂线性质（过一点有且只有一条垂线，体现存在性与唯一性）、画法（“一贴二靠三画”步骤）、垂线段最短性质及点到直线的距离（垂线段长度），形成从概念到应用的完整知识链，为几何学习提供基础支架。 该资料突出数学核心素养培养，如跳远成绩测量实例渗透垂线段最短原理，发展几何直观与空间观念（数学眼光），角度计算例题强化推理意识与运算能力（数学思维），规范几何语言表述（符号、作图步骤）提升精确表达能力（数学语言）。课堂分层练习助教学实施，课后巩固题辅助学生查漏补缺，兼顾教学与自主学习需求。

7.1.2 两条直线垂直 （同步教学讲义） 【人教版】 学习目标 1.了解垂直、垂线的定义，理解垂线的性质，能过一点画一条直线的垂线； 2.了解垂线段的定义，理解垂线段最短的性质、点到直线的距离的含义义，会度量点到直线的距离. 知识点讲解 知识点1.垂直的定义 1.如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 2.直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为， 几何语言： ∵CD⊥AB 或者：∵∠COB=90o ∴∠COB=90o ∴CD⊥AB 知识点2：垂线的性质 垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 说明：垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. 知识点3：垂线的画法 垂线的画法：利用直角三角板 “一贴”:一条直角边靠直线； “二靠”：另一直角边靠在该点； “三画”：沿直角边画垂线. 知识点4：垂线段的性质 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 如图：PO<PA 理由是（垂线段最短），点P到直线l的距离是线段PO的长度. 知识点5：点到直线的距离 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 例题讲解 题型1：经过一点画已知直线的垂线 题型2：根据垂直的定义进行角度的计算、说理 题型3：利用垂线的性质解释实际现象 例1（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    例2平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补 (4) 【分析】本题考查画垂线，角的度量，角度之间的关系，熟练掌握垂线的画法，量角器的使用，是解题的关键： （1）借助三角板画出垂线，利用量角器量角后，进行判断即可； （2）同（1）即可得出结果； （3）借助（1）（2）即可得出结论； （4）利用（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： 通过量角器测量得到； （2）解：作图如下： 通过量角器测量得到； （3）由（1）（2）如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补； （4）由（2）可知：， ∵， ∴． 例3如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，要熟练掌握由垂直得直角这一要点． 根据垂直的定义可得，再由，可得，根据对顶角相等，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． 例4如图，在中，． (1)求的度数； (2)若平分，是的高线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线、高，解题的关键是利用角平分线和高的定义； （1）利用三角形内角和定理及，建立等式求解； （2）利用角平分线和高的定义得出，，再由三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）在中，， ． ， ． ． （2）平分， ． 是的高线， ． ． 例5运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 例6在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义判定解答即可． 本题考查了点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，得A符合题意，其余错误， 故选：A． 例7下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【详解】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 课堂练习 1．为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（    ） A．过点可画垂直于的直线 B．过点可画的垂线 C．连接，则 D．过点可画直线与平行 【答案】C 【分析】此题考查了平行线和垂线的性质，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：由在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知：A、B正确，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知D正确； 连接，则不一定与垂直，故C错误． 故选：C 2．如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 【详解】解：要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 3．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 【详解】解：直线、相交于点，，则直线、的夹角是： ， ∵于点， ∴线段的长度表示点到直线的距离． 故答案为：， 4.下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到的距离就是过向作垂线的垂线段的长度． 【详解】解：A、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； B、表示点到的距离，故此选项正确，符合题意； C、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； D、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 5．如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短即可得． 【详解】解：∵小明在处测得米， ∴点到的距离米（当时，等号成立）， 观察四个选项可知，只有选项A符合要求， 故选：A． 6．如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了对顶角相等、垂线的定义，解题的关键是利用对顶角相等求出相关角的度数，结合垂线的性质计算目标角． 先根据对顶角相等求出的度数，再由垂直得出为直角，用减去即可得到的度数． 【详解】解：∵直线相交于点O， ∵， ∵， ∴(垂线的定义)， ∴， 故答案为：． 7．已知直线和相交于O点，射线于O，射线于O，且，则 _____ ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的性质、对顶角性质，掌握垂线性质、对顶角相等是解题的关键． 根据题意可知，， ，由垂线定义可得，进而得到，再根据对顶角定义可得，即可得出的度数，最后再计算即可得出答案． 【详解】解：， 即 故答案为：． 8．如图，已知 ，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了垂线的作法： （1）根据三角形高的定义，延长，过点向的延长线作垂线，垂足为，线段即为所求； （2）根据过一点作已知直线垂线的方法，过点作的垂线，垂足为，线段即为所求． 【详解】（1）如图，线段即为所求． （2）如图，线段即为所求．　 9．按照下列语句画图： ①画线段；     ②延长到C，使； ③经过的中点A画的垂线； ④在上截取； ⑤分别过点C，B画的垂线段； ⑥线段的关系是________． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查画线段，作垂线，线段的度量，根据作图语言，借助直尺和三角板画图，并测量线段的长度即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 经测量：． 10．如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （2）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：，， 理由如下： 因为线段的长度是点P到直线的距离， 所以； 因为线段的长度是点C到直线的距离， 所以． 11．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）求解，，，结合角平分线的定义进一步求解即可． （2）设，可得，，，，进一步列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：设， ∵，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，点在上，，是的角平分线，，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角性质，由角平分线定义可得，又，则，所以，从而可得，然后根据三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 13．如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了余角和补角、垂线的定义，利用同角的余角相等，可得，再利用补角的性质就可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴， ∵与互补， ∴． 14．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 课后练习 1．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到，平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．如图，，不测量，比较和（    ） A．大 B．大 C．相等 D．大小不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义以及同角的余角相等，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 利用垂直的定义得到角的和为，再通过同角的余角相等来比较和． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：C． 3.已知为直线外一点，为直线上三点，且，则点到直线的距离（　　） A．等于 B．等于 C．等于 D．不大于 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：因为垂线段最短，， 所以点P到直线l的距离不大于． 故选：D 4．如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)垂直，，． 【分析】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短作答，并量出的长即可； （4）由（2）可知，根据垂线段最短作答，并量出的长即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点A到直线上点的距离最短，约为． 故答案为：，； （4）解：与的位置关系是垂直，量出点B到直线的距离应是线段的长度，约为． 故答案为：垂直，，． 5. 如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段，点到直线的距离，准确识图，熟练掌握点到直线的距离是解决问题的关键．根据垂线段，点到直线的距离逐项分析即可． 【详解】解：A．点到的距离是垂线段的长度，故原说法错误，故选项符合题意； B．点到的垂线段是线段，故原说法正确，故选项不符合题意； C．线段是点到的垂线段，故原说法错误，故选项符合题意； D．线段的长度是点到的距离，故原说法正确，故选项不符合题意； 综上，不正确的有2个． 故选：B． 6．读句画图并填空 如图，点P是外一点，根据下列语句画图． (1)过点P，作线段，垂足为C． (2)过点P作，交边所在直线于点D． (3)若，则的度数为____． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查基本作图和垂直的定义以及三角形内角和定理， （1）延长，按照过定点作已知直线的垂线做法作图即可； （2）按照作平行线的做法作图即可； （3）根据平角求的得，利用平行得，再次根据垂直的定义求得，结合三角形内角和定理即可求得． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 7．如图，要修一条公路将村庄与公路连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出图形，并说明理由． 【答案】图见解析，理由：垂线段最短 【分析】本题考查了画垂线、垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．按照“一落”、“二移”、“三画”过点作于点，则即为所求．理由是：垂线段最短，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，则即为所求． 理由是：垂线段最短． 8．如图，直线相交于点O，．若 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，由垂线的定义可得，再由对顶角相等可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查垂直定义、角的运算，根据垂直定义得到，结合已知求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的性质、对顶角相等以及角的和差关系，熟练掌握垂直的性质和对顶角相等是解题的关键．先根据垂直的性质求出相关角的度数，再利用对顶角相等和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ 与是对顶角， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 11．如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质． （1）根据得出，即可求出的度数； （2）先根据对顶角相等求出的度数，再由角平分线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，判断两直线的位置关系，找准角度之间的数量关系，是解题的关键： （1）根据角度之间的数量关系，结合平角的定义，求出的度数，再根据对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵直线相交于点O，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴． 13．如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是互余的含义，平角的定义，角平分线的含义，垂直的定义，对顶角的性质，角的和差运算． （1）由可得，，结合角平分线可得，进一步可得答案． （2）先求解，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴的余角为． （2）解：，， ， ， ， ， ． 14．如图，交直线于点，射线、在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的性质，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． （1）由垂直的定义得出，即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：由（1）得， 平分， ， ． 15．如图，直线，相交于点，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂线的定义，根据图形，利用角的和差和倍数关系，进行求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 16．如图，已知直线与相交于点，，平分，若． (1)求的度数； (2)写出的余角和补角． 【答案】(1) (2)余角为、，补角为、、 【分析】本题考查了余角和补角的定义以及性质、角平分线的性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键． （1）根据，得到，由角平分线的性质得出，根据等量关系可得，进而可得的度数； （2）根据余角和补角的定义，找出图中满足条件的角． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ，， ， ； （2）解：由（）可知，， 它的余角为，即：、； 它的补角为，即：、、． 17．如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据垂线的定义得，根据对顶角的定义得，再由计算即可； （2）根据，设，则，，再根据得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设，则，， 据题意，得， ∴， 解得， 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2 两条直线垂直 （同步教学讲义） 【人教版】 学习目标 1.了解垂直、垂线的定义，理解垂线的性质，能过一点画一条直线的垂线； 2.了解垂线段的定义，理解垂线段最短的性质、点到直线的距离的含义义，会度量点到直线的距离. 知识点讲解 知识点1.垂直的定义 1.如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 2.直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为， 几何语言： ∵CD⊥AB 或者：∵∠COB=90o ∴∠COB=90o ∴CD⊥AB 知识点2：垂线的性质 垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 说明：垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. 知识点3：垂线的画法 垂线的画法：利用直角三角板 “一贴”:一条直角边靠直线； “二靠”：另一直角边靠在该点； “三画”：沿直角边画垂线. 知识点4：垂线段的性质 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 如图：PO<PA 理由是（垂线段最短），点P到直线l的距离是线段PO的长度. 知识点5：点到直线的距离 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 例题讲解 题型1：经过一点画已知直线的垂线 题型2：根据垂直的定义进行角度的计算、说理 题型3：利用垂线的性质解释实际现象 例1（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    例2平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 例3如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 例4如图，在中，． (1)求的度数； (2)若平分，是的高线，求的度数． 例5运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 例6在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 例7下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 课堂练习 1．为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（    ） A．过点可画垂直于的直线 B．过点可画的垂线 C．连接，则 D．过点可画直线与平行 2．如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 ． 3．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 4.下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 6．如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 7．已知直线和相交于O点，射线于O，射线于O，且，则 _____ ． 8．如图，已知 ，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； 9．按照下列语句画图： ①画线段；     ②延长到C，使； ③经过的中点A画的垂线； ④在上截取； ⑤分别过点C，B画的垂线段； ⑥线段的关系是________． 10．如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． 11．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 12．如图，在中，点在上，，是的角平分线，，，求的度数． 13．如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 14．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 课后练习 1．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，，不测量，比较和（    ） A．大 B．大 C．相等 D．大小不能确定 3.已知为直线外一点，为直线上三点，且，则点到直线的距离（　　） A．等于 B．等于 C．等于 D．不大于 4．如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 5. 如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 6．读句画图并填空 如图，点P是外一点，根据下列语句画图． (1)过点P，作线段，垂足为C． (2)过点P作，交边所在直线于点D． (3)若，则的度数为____． 7．如图，要修一条公路将村庄与公路连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出图形，并说明理由． 8．如图，直线相交于点O，．若 ． 9．如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 10．如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 11．如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 12．如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 13．如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 14．如图，交直线于点，射线、在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 15．如图，直线，相交于点，．若，求的度数． 16．如图，已知直线与相交于点，，平分，若． (1)求的度数； (2)写出的余角和补角． 17．如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $